函数的极大(小)值和最大(小)值
§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值
1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分
区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数)(x f 在点),(0b a x ∈连续.若有足够小的正数δ，使
)||0()()(00δ<-< 点0x 为函数)(x f 的极大值点.同理，使 )||0()()(11δ<-<>x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点1x 取到极小值)(1x f ，并称 点1x 为函数)(x f 的极小值点.函数的极大值和 极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和 极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论： 若函数()f x 在某区间内的点0x 处取到极值且有导数'0()f x ，则'=0()0f x . 因此，0()0f x '=是可微函数．．．．在点0x 取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条．．．．．．．．．．．．．．．．件． ! 例如函数3)(x x f =，尽管有0)0(='f ，但0不是它的极值点(图2-22).以后，就把使0()0f x '=的点0x 称为函数)(x f 的驻点(可能不是极值点．．．．．．． ). 需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数()f x x = (图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此， 函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点. 它们合在一起称为函数的临界点. 一般情形下，求连续函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值时，一般步骤是： 第一步，求出)(x f 在区间),(b a 内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)； 第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点； 第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值). 判别法Ⅰ 设0x 为连续函数)(x f 在区间),(b a 内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足 够小的正数δ，使(见图2-24) ⑴)(x f 在),(00x x δ-内是增大的且在),(00δ+x x 内又是减小的，则) (0x f 是极大值； 图2-23 x 图2-21 [或] [或] ⑵)(x f 在),(00x x δ-内是减小的且在),(00δ+x x 内又是增大的，则)(0x f 是极小值； [或0)(<'x f ] [或0)(>'x f ] ⑶)(x f 在),(00δδ+-x x 内是增大的或是减小的，则)(0x f 不是极值. 当0x 为函数)(x f 的驻点且0)(0≠''x f 时，就用下面的判别法Ⅱ. 判别法Ⅱ 设0x 为函数)(x f 在区间),(b a 内的驻点[即0)(0='x f ].若有二阶导数 0)(0≠''x f ，则 ⑴ 当0)(0<''x f 时，)(0x f 是极大值； ⑵ 当0)(0>''x f 时，)(0x f 是极小值. [当0)(0=''x f 时，函数)(x f 在点0x 是否取到极值，需要做进一步的讨论] 证 根据例22（§2-5），则有 222200000011()()()()()()()()22f x h f x f x h f x h o h f x f x h o h '''''+=+++=++ 于是得 20001()()[()(1)]2 f x h f x f x o h ''+-=+ 因为0)(0≠''x f ，所以当||h 足够小时，)]1()([0o x f +''与)(0x f ''同符号.因此，有正数δ，使当0||h δ<≤时， 0()f x h +0()f x -=000,()00,()0 f x f x ''<>? 这就是要证的结论. 例23 求函数1323-+=x x y 的极值. 解 2363(2)y x x x x '=+=+，666(1)y x x ''=+=+ 由0='y 得驻点122,0x x =-=.因为2060,60x x y y =-=''''=-<=>，所以 31)2(3)2(232=--+-=-=x y 是极大值； 01x y ==-是极小值. 【注】若函数()f x 在点0x 没有导数或二阶导数0()0f x ''=，就去用上面的判别法Ⅰ. 2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中 某个区间上的最大(小)值.求连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值和最小值时，方法更简单： 第一步，先求出)(x f 在开区间),(b a 内的临界点；并求出)( x f 在所有临界点上的函数值. (1) 0 图2-24 (2) (3) 第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值)(a f 和)(b f 放在一起做比较，其中最大者就 是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值. 非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分 析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如， ⑴ 函数)(x f 在区间),[b a 上增大(减小)时，)(a f 就是最小值(最大值)； ⑵ 函数)(x f 在区间],(b a 上增大(减小)时，)(b f 就是最大值(最小值)； ⑶ 设有点),(b a c ∈. 若函数)(x f 在区间],(c a 上增大且又在区间),[b c 上减小，则) (c f 就是最大值；若函数)(x f 在区间],(c a 上减小且又在区间),[b c 上增大，则)(c f 就是最小值. 例24 证明不等式：)0(1e >+>x x x . 证 令)0()1(e )(≥+-=x x x f x ，则)(x f 在),0[+∞上是连续函数.因为 )0(01e )(>>-='x x f x [即函数()f x 是增函数] 所以(0)0f =是最小值.因此，()0(0)f x x >>，即)0(1e >+>x x x . 例25 证明：函数)10()(<<-=αααx x x f 在区间),0(+∞内有最大值α-=1)1(f . 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H ?lder)不等式: 11110,0,0,0;1p q ab a b a b p q p q p q ??≤+>>>>+= ?? ? 证 由0)1()(11=-=-='--αααααx x x f 得驻点1=x . 因为 当10< 当+∞< 0) ()()()(2)(324222=+-=++?-+?='R r R r E R r R r R E R r E P 得r R =. 因此，当负载r R =(内阻)时，电功率取到最大值r E P 4/2=. 例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是 2h x k =ε(k 为比例系数，x 为矩形的宽，h 为矩形的高) 今要将一根横截面直径为d 的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？ 解 如图2-26，因为2 22x d h -=，所以22()(0)kx d x x d ε=-<<.令0='x ε，即 22222()2(3)0x k d x x k d x ε'=--=-=??? ? 则得驻点x d =根据实际问题的提法，当矩形的宽/x d =强度ε取到最大值.此时，因为 d d d x d h 32)3(2222=-=-= 所以2/= x h . 图2-26 在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径AB 分成 三等份(如图2-27)，再分别自分点C 和D 向相反方向作直径AB 的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是2. 例28 已知某工厂生产x 件产品的成本为 21()2500020040 C x x x =++ (元) 问：⑴ 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ ⑵ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 ⑴ 平均成本为 x x x x C x C 40 120025000)()(++==(元/件) 让040125000)(2 =+- ='x x C ，则得1000=x (件).因此，生产1000件产品时平均成本最小. ⑵ 售出x 件产品时，收入为x 500(元)，而利润为 =)(x L (收入)x 500-(成本))40 120025000(500)(2x x x x C ++-= 212500030040 x x =-+- 让020 300)(=-='x x L ，则得6000=x (件).因此，生产6000件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为900000)6000(=L (元). 习 题 1.求下列函数的极值(极大值或极小值)： 求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然 后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值. ⑴x x x f -=3)(； ⑵2 42)(x x x f -=； ⑶1 22)(2-+-=x x x x f ； ⑷()f x x = ⑸x x x f -=e )(； ⑹x x x f ln )(=； ⑺x x x f -+=e )1()(3； ⑻32 31 )1()(x x x f -=. 答案：⑴max min f f ?= ?；⑵1)1(,0)0(m in m ax -=±=f f ； ⑶2)2(,2)0( m in m ax =-=f f ；⑷min 34f ??= ??? ；⑸1m ax e )1(-=f ； ⑹12m in e 2)e (---=f ；⑺2m ax e 27)2(-=f ；⑻max min 1(1)03f f ??= ???. 2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值： ⑴];2,2[,1823-+--=x x x y ⑵];1,1[,15-++=x x y ⑶];2,1[,13--=x x y ⑷511,,1;12y x x ??= -??++?? ⑸211,1,12x y x +??=-??+?? . 答案：⑴;11,27203-⑵;1,3-⑶;443,23-⑷;31,1532⑸0,2 242-. 3.设n a a a <<< 21. 当x 为何值时，函数∑=-=n i i a x x f 12)()(取最小值？ 答案：n a a a x n +++= 21(算术平均值). 4.设.0>a 求函数| |11||11)(a x x x f -+++=的最大值. 提示：把区间),(+∞-∞分成三个区间(,0),(0,),(,)a a -∞+∞. 答案： 21a a ++. 5.证明下面的不等式： ⑴ );01(2)1ln(2<<--<+x x x x ⑵ 12ln 1(0);21x x x ??+>> ?+? ? ⑶ );0(arctan 3 3 ><<-x x x x x ⑷ 1e 1(0)x x x -≥>. 6.设有方程033=+-c x x (c 为常数).问：当c 满足什么条件时，方程有: ⑴三个实根，⑵两个实根，⑶一个实根？ [提示：分别研究下图⑴，⑵，⑶] 答案：⑴22<<-c ；⑵2±=c ；⑶2- 7.在什么条件下，方程()300x px q pq ++=≠有：⑴一个实根，⑵三个实根？ 提示：参考上一题的做法. 答案：⑴042723>+q p ；⑵04 272 3<+q p . 8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间： ⑵ 第6题图 ⑴ 0109623=-+-x x x ； ⑵ 020********=-+--x x x x ； ⑶ )0(ln ≠=k kx x ； ⑷2e (0)x ax a =>. 答案：⑴一个实根，在)5,4(内；⑵两个实根，32,1221<<-<<-x x ； ⑶当0 当1e 0-< ⑷当4e 02< e 2 >a 时有三个实根， 1230,02,2x x x -∞<<<<<<+∞. 9.设有二阶导数)(a f ''. 证明： ⑴ 若函数)(x f 在点a 取到极大值，则0)(≤''a f ； ⑵ 若函数)(x f 在点a 取到极小值，则0)(≥''a f . 10.设函数 21()22sin (0),(0)2f x x x f x ??=-+≠= ?? ?. 证明：)(x f 有最大值2)0(=f ，但)(x f 在点0的左旁附近不是增大的，而且在点0的右旁附近 不是减小的(这说明判别法Ⅰ中的条件不是必要的). 11.应用题 ⑴设两正数x 与y 的和等于常数a (a y x =+).求)0,0(>>n m y x n m 的最大值. ⑵设两正数x 与y 的乘积等于常数a (a xy =).求)0,0(>>+n m y x n m 的最小值. ⑶在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？ ⑷用薄钢板做一个容积为定值v 的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底 半径r 与高h 各为多少时，用料最省？ ⑸从半径为R 的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角θ为何值时，卷成漏斗的容积最大？ 第11⑸题图 ⑵ ⑴ 第11⑹题图 x ⑹(反射定律) 如图示，由点A 经点B ，再到点C . 证明：当入射角α等于反射角β时， 折线ABC 的长度最短. ⑺一商家销售某种商品的价格为x p 2.07-=(万元/T)，其中x 为销售量(单位:T)；商品的 成本为13+=x C (万元). （i ）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求商家获最大利润时的销售量； （ii ）t 为何值时，政府税收的总额最大？ 答案：⑴n m n m n m n m n m a +++)(；⑵n m n m mn n m a n m +???? ??+1 )(；⑶1∶ 2；⑷r h == ⑸2θ=弧度)；⑺（i ）t x 5.210-=；（ii ）2=t . 课题:函数的最大值和最小值 教学目的： ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程： 一、复习引入： 1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 ，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 即一个函数的极大值未必大于极小值， （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值， 2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值 是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明： 正弦函数的最大值与最 小值 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 正弦函数的最大值与最小值： (1) 当sinx ＝1，即x ＝2k π＋2 π(k ∈Z)时，y max ＝1； (2) 当sinx ＝－1，即x ＝2k π－2 π(k ∈Z)时，y max ＝－1。 余弦函数的最大值与最小值：——让学生研究得出结论。 (1) 当cosx ＝1，即x ＝2k π(k ∈Z)时，y max ＝1； (2) 当cosx ＝－1，即x ＝2k π＋π(k ∈Z)时，y max ＝－1。 [例1] 求下列函数的定义域。 (1) y ＝12sin x 1 － 解：2sinx －1≠0，即sinx ≠12，则x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋56π(k ∈Z) 所求函数的定义域为{x| x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋56 π，k ∈Z} (2) y 解：cosx ≥0，则x ∈[2k π－2π，2k π＋2 π]，k ∈Z [例2] 求下列函数的值域。 (1) y ＝2sinx －3 解：∵－1≤sinx ≤1 ∴－5≤2 sinx －3≤－1，则所求函数的值域为[－5，－1] (2) y ＝sin 2 x －sinx －2 解：y ＝sin 2x －sinx －2＝(sinx －12) 2－94 ∵－1≤sinx ≤1 ∴当sinx ＝12时，y min ＝－94 ；当sinx ＝－1时，y max ＝0。 则所求函数的值域为[－94 ，0] (3) y ＝cos 2x －4cosx －2 解：y ＝cos 2x －4cosx －2＝(cos x －2) 2－6 ∵－1≤cosx ≤1 ∴当cosx ＝1时，y min ＝－5；当cosx ＝－1时，y max ＝3。 则所求函数的值域为[－5，3] [例3] 写出下列函数取到最大值与最小值时的x 值。 (1) y ＝cos (x －4 π) 解：① 当cos (x －4π)＝1，即x －4π＝2k π，得x ＝2k π＋4 π(k ∈Z)时，y max ＝1； ② 当cos (x －4π)＝－1，即x －4π＝2k π＋π，得x ＝2k π＋54 π(k ∈Z)时，y min ＝－1。 例说求函数的最大值和最小值的方法 例1.设x 是正实数，求函数x x x y 32+ +=的最小值。 解：先估计y 的下界。 55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+- +-=+-+ ++-=x x x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。 说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计： 77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-+ +-=-++ ++-=x x x x x x x y 但y 是取不到-7的。即-7不能作为y 的最小值。 例2. 求函数1 223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。 解 去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当2 1≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ?=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0, 所以 -4≤y ≤1 又当3 1-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。 例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值 解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1 y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1 原函数当t =169,45=x 即时取最大值8 33 例4求函数22 3,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值 解：令x -1=t ( 121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+= y min =5 1,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解：∵)(2 122y x xy +≤ ∴6)(23 ),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +- ≥ 函数的最大值和最小值教案 1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已 经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的 最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优 化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的 教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极 值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数 f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述 函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有 最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能 位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区 间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1) 认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高 学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在 与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主 客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间 上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察 闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的 方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是 进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点, 这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下 的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数 的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使 得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂 1 3.3.3 函数的最大值与最小值练习题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列说法正确的是 A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3.函数y = 234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为 A.0 B.－2 C.－1 D.12 13 4.下列求导运算正确的是（ ） A ．211)1(x x x +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．e x x 3log 3)3(?=' D ．x x x sin 2)cos (2-=' 5.设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是 A.27 B.－3 C.－1 D.1 6.设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则 A.a =2,b =29 B.a =2,b =3 C.a =3,b =2 D.a =－2,b =－3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________. 8.已知函数f (x )=2-x 2,g (x )=x ．若f (x )*g (x )=min{f (x ),g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是 ． 9.将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和____. 10.使内接椭圆22 22b y a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为______ 11.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大. 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 13.已知：f (x )=log 3x b ax x ++2,x ∈(0,+∞).是否存在实数a 、b ,使f (x )同时满足下列两个条件：（1）f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f (x )的最小值是1，若存在，求出a ,b ，若不存在，说明理由. 14.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . b 3.8函数的最大值和最小值（第1课时） 嵊州市马寅初中学袁利江 【教学目标】 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标： 1．知识和技能目标 （1）理解函数的最值与极值的区别和联系． （2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值． （3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤． 2．过程和方法目标 （1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值． （2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处． （3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值． 3．情感和价值目标 （1）认识事物之间的的区别和联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． 【教学重点】 会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值． 【教学难点】 高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．【难点突破】 本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．【教法选择】 根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用． 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 【学法指导】 对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 导数在函数求最大值和最小值中的应用 例1．求函数f (x )＝5x ＋ . 解析：由3040x x +??-? ≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’＝f ’(x ) ＝5 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增． ∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27， ∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27]. 例2．设32f (a )，f (－1) 二次函数的最大值和最小值问题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 二次函数的最大值和最小值问题 高一数学组主讲人-－---－－－－蒋建平 本节课的教学目标: 重点：掌握闭区间上的二次函数的最值问题 难点:理解并会处理含参数的二次函数的最值问题 核心: 区间与对称轴的相对位置 思想: 数形结合、分类讨论 一、复习引入 1、二次函数相关的知识点回顾。 （１）二次函数的顶点式： (2）二次函数的对称轴： （3)二次函数的顶点坐标： 2、函数的最大值和最小值的概念 设函数)(x f 在0x 处的函数值是)(0x f ,如果不等式)()(0x f x f ≥对于定义域内任意x 都成立,那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0min x f y = 如果不等式)()(0x f x f ≤对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0max x f y = 二、新课讲解:二次函数最大值最小值问题探究 类型一:无限制条件的最大值与最小值问题 例1、(１)求二次函数322 ++-=x x y 的最大值 ． (2)求二次函数x x y 422-=的最小值 . 本题小结：求无条件限制时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标。 2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。 3、求出最值。 类型二:轴定区间定的最大值与最小值问题 例2、(1)求函数])1,3[(,232-∈-+=x x x y 的最大值 ，最小值 . (2）求函数])3,1[(232∈-+=x x x y 的最大值 ，最小值 . (３)求函数])2,5[(232 --∈-+=x x x y 的最大值 与最小值 . 本题小结:求轴定区间定时二次函数最值的步骤 1、配方,求二次函数的顶点坐标或求对称轴,画简图。 2、判断顶点的横坐标(对称轴）是否在闭区间内。 ３、计算闭区间端点的值,并比较大小。 类型三:轴动区间定的最大值与最小值问题 例3、求函数)(32R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最大值。 函数的最大值和最小值时 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020. 2006年江西省高中青年教师优质课比赛参赛教案§函数的最大值和最小值(第1课时)江西省临川第一中学游建龙（344100） 二ＯＯ六年九月十三日 §函数的最大值和最小值 【教材分析】 1．本节教材的地位与作用 本节是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使用料最省、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，对于完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义． 2．教学重点 会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值． 3．教学难点 确定函数最值的方法，并会求函数的最值． 【教学目标】 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标： 1．知识和技能目标 （1）理解函数的最值与极值的区别和联系． （2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值． （3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤． 2．过程和方法目标 （1）了解开区间内的连续函数不一定有最大、最小值． （2）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值． 3．情感和价值目标 （1）认识事物之间的的区别和联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． 【教法选择】 根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用． 本节课引导学生自己通过观察函数的图象，归纳、总结出最大值、最小值求解的方法与步骤，让学生自己主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不是进行全部的灌输．【学法指导】 对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下问题是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂的函数求最值问题教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． § 4函数的最大值最小值问题 最值与极值的重要区别： 极值是一点X 。局部的形态; 最值是某区间整体的形态。 先讨论必要 性： X 。是f (x)在(a b 内的最大(小)值, =X 。必是f (x)在(a,b)的极大(小)值点, =X 。是f (x)的稳定点或不可导点. 稳定点 f(x)在［a,b ］的可能的最值点：S 不可导点 ,区间端点 F 面就两种常见的情形给出判别法，以最大值为例说明. 1 ?闭区间情形 设f (x)在a,b 1连续，这时f (x)在l.a, b 1必有最大值. 则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较 (如果可能的 话)，最大者即是最大值. 2.开区间情形 设f(x)在(a,b)可导，且在(a,b)有最大值.若在(a,b)内有唯一的 稳定点X 。，则X 。是最大值点. 注意强调最值的存在性 例1 一块边长为a 的正方形，在四个角上截去同样大小的正方形, 做成无盖的盒，问截去多大的小方块能使盒的容积最大？ 图5-13 解设x为截去的小方块的边长，则盒的容积为 V(x)二x(a 2,) ,x 100,) 显然，V(x)在(0,a)可导，且 2 ' 2 V (x) =(a _2x) _4x(a _2x) =(a_2x)(a _6x) 令V (x) = 0得x =—或x =—。因此在(0,—)中有唯一一的稳定点—o 2 6 2 6 由实际问题本身知V(x)在(0,-)中必有最大值，故知最大值为 2 V(—) -a3。即截去的小的方块边长为-时，盒的容积最大。 6 2 7 6 例2求函数f (x) = 2x3 -9x2 +12x在1-1,3】的最大值和最小值 解2x3-9x212x =x 2(x-9)2 15， IL 4 8 因此f(x) =(2x3-9x2 12x)sgnx,x 〔-1,3 1， f (x) =(6x2-18x 12)sgn x = 6(x-1)(x -2)sgn x, x (T,0) _? (0,3) 故f (x)的稳定 点为x=1,x=2，不可导为x=0。 比较所有可能的最值点的函数值： f(-1)= 2 3f, (0) f 0, =(1f) 5〒(f2) =4, 即得最大值为f(-1) = 23，最小值为f(0)=0。 例3 在正午时，甲船恰在乙船正南82处，以速度V1=20km h向正东开出；乙船也正以速度v =16km h向正南开去(图5—15).已知两船航向不变，试证：下午二时，两船相距最近. 函数的最大值和最小值 教材分析 函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。 学情分析在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数一次函数二次函数等最简单的函数，了解了他们的图像和性质。鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。但这只是感性上的认识。为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。让学生有一个从具体到抽象的认识过程。对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的内涵。例1与它的变式是本节的重点，通过对区间的改变，让学生对求二次函数的最值有一个更深的认识。同时让学生体会到数形结合的魅力。 教学目标分析 1、知识与技能目标：掌握函数最大、最小值的概念，能够解决与二次函数有关的最值问题，以及利用函数单调性求最值，会用函数的思想解决一些简单的实际问题。 2、过程与方法目标：通过函数最值的学习进一步研究函数，感悟函数的最值对于函数研究的作用。 3、情感态度、价值观目标：培养学生积极进行数学交流，乐于探索创新的科学精神。 教学重点和难点 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 四、教学方法 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 五、学习方法 《函数的最大值和最小值》说课稿 《函数的最大值和最小值》说课稿范文 【教材分析】 1、本节教材的地位与作用 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题、这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义。 2、教学重点 会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值。 3、教学难点 高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法。 4、教学关键 本节课突破难点的关键是：理解方程f′（x）=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点。 【教学目标】 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标： 1、知识和技能目标 （1）理解函数的最值与极值的区别和联系。 （2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f（x），在[a，b]上必有最大、最小值。 （3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的'方法和步骤。 2、过程和方法目标 （1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值。 （2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处。 （3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值。 3、情感和价值目标 （1）认识事物之间的的区别和联系、 （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题。 （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。 浙江汽车职业技术学院高等数学课教案NO11 解：设方盒底边边长为x ,体积为 = 箱子容积为：V=x2 h ．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值． 2．如图为连续函数f(x)的图象： 在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别 【教学设计说明】 本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开． 1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性． 3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中． 4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率． 《函数的最大值和最小值与导数》教学设计 【课本教材内容分析】 本节教材知识间的前后联系，以及在课堂教学中的地位与作用： 导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。 新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。众所周知，函数又是中学数学研究导数的一个重要载体，因此函数问题涉及高中数学比较多的知识点和数学思想方法。 导数作为研究函数的一种重要工具，在宁夏高考进入新课标实验区之后，不但成为宁夏高考文理科数学的必考题，而且也逐渐成为高考试卷中起到拔高作用的热点难题。在学习时应引起我们教师和学生的充分重视。 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法与函数导数之间的关系及其简单的应用问题，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，并且以本节知识为基础，可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．为下一节“生活中的优化问题”的教学打下坚实的基础。这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值． 高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦. 【课堂教学三维目标】 根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标： 1．知识和技能目标 （1）．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；并且能理解函数最值与极值的区别和联系 （2）理解可导函数的最值存在的可能位置． （3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤． 2．过程和方法目标 （1）通过函数图象的直观，让学生发现函数极值与最值的关系，掌握利用导数求函数最值的方法。 (2) 在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识． (3) 培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． 3．情感态度和价值观目标 (1) 渗透数形结合的思想，体会导数在求函数最值中的优越性，优化学生的思维品质。 (2) 认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想． 函数中的max min (m in),(m ax )问题 1.记{}???<≥=q p q q p p q p ,max ，设{} 1,1max ),(22+-++=x y y x y x M ，其中R y x ∈,， 则),(y x M 的最小值为 43 2.定义{}???<≥=y x y y x x y x M ,，设()R y x y xy y b x xy x a ∈++=++=,,24,22 则{}b a M ,的最小值为 61- ，此时=x 31- ，=y 6 1- 。 3.若y x ,为正实数，? ?????+=22,min y x y x a ，则a 的最大值为 22 此时=x 22 ，=y 22 。 4.设{}???<≥=y x x y x y y x ,min ，若定义域为R 的函数)(),(x g x f 满足8 2)()(2+=+x x x g x f 则{})(),(m in x g x f 的最大值为 8 2 5.设{}???<≥=y x x y x y y x ,min ，若定义域为)2,0(π 的函数)(),(x g x f 满足1sin 22sin )()(2+= +x x x g x f 则{})(),(m in x g x f 的最大值为 63 6.已知[]1,0,,∈?∈x R b a 恒有1≤+b ax 成立，则b a b a 710710-++的最大值为 40 7.已知存在[]9,1∈x ，对任意的R b a ∈,,使得kx bx ax x ≥--+2 29恒成立，则k 的最大值为 2 8.若存在R b a ∈,，使不等式[]t x b ax x ,1,12∈?≤--都成立，则实数t 的最大值为 122+ 9.设b ax x x f ++=2)(，若R b a ∈?,，总存在[]3,10∈x 使得M x f ≥)(0， 则实数M 的最大值为 3324- 10.已知?? ????∈∈--+=2,21),,(,1)(x R b a b ax x x x f 时，)(x f 的最大值为),(b a M ， 函数的最大（小）值 韶关市田家炳中学范永祥 一、教材分析 本课是人教版教材《数学1》第一章1.3节内容。本课时主要学习函数的最大（小）值的概念，探索函数最大（小）值求解方法。本节课是在学生学习了函数概念、单调性的基础上所研究的函数的一个重要性质。函数最大（小）值的概念是研究具体函数值域的依据，对于学生进一步研究函数图像性质，以及将来研究不等式问题有重要作用。函数最大（小）值的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。本课题分两课时，本节是第一课时。 二、学情分析 本节课的教学以函数的最大（小）值的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。按现行教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、正、反比例函数，学生的现有认知结构中知道“函数最大（小）值就是函数值中最大（小）的一个”的常识，并未接触“最大（小）值”一概念，对最大（小）值的理解缺乏数学严谨性，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势。三、教学目标： 1．知识与技能： 理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．过程与方法： 通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识． 3．情态与价值 学习过程中，培养学生积极情绪，树立学习信心，形成科学严谨治学态度，同时培养学生坚强意志以及创新精神，利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的好奇心积极性． 四、教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义。 五、教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 六、教学用具：多媒体. 七、教学方法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤． 八、教学过程： （一）创设情景，揭示课题． 问题一：什么是函数的最大（小）值？ 考察：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①R x x x f ∈+-=,3)(②]2,1[,3)(-∈+-=x x x f ③R x x x x f ∈++-=,32)(2 ④]2,1[,32)(2-∈++-=x x x x f 存在问题： ① 不会用描点法作图，二次函数的图像性质陌生； ②画图忽视定义域，忽视端点的实与虚；求最值环节出错（求导、判号、导函数的值正负与原函数单调关系、计算） 函数的最大值与最小值(二) 课题：3．8函数的最大值与最小值（二）教学目的： 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y =f(x0)，x0是极大值 极大值 第 2页（共12页） 第 3页（共12页） 点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0 x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0 x f 是极值，并且如果)(x f '在0 x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0 x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0 x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将 教学设计 课程名称：高等数学参赛教师： 时间： 2013年10月 教学设计方案 学习任务名称函数的最大值和最小值 专业机制教学对象13级机械制造与自动化专业 设计者课时2课时 一、教材内容分析 《高等数学》是一门满足高职教育发展需要同时结合我院教学特点的适应于工程类、经济类以及理工类各专业的重要公共基础理论课，为和谐社会的进步和发展培养创新型高级适应性人才服务。本课程以“深化概念，加强计算，注重应用，提高素质”为特色，充分体现了“以应用为目的，以必须够用为度”的原则；通过本课程的学习，主要是培养学生运用数学来分析、解决实际问题的数学能力，为后续各课程的学习奠定较好的数学基础，形成一定的数学思想。使学生成为综合能力强，素质全面，能更好地适应未来发展需求的高级应用型人才。 本次课程主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义． 二、学习者特征分析 1、教学对象是2013级机制等专业高职班学生，共87人。 2、该班学生是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？ 3、该班学生人数多，性格外向，大多数学生都有较强的表现欲望，但数学语言表达书写能力需要进一步提高。 针对这些特点，采取了任务分解、合作探究、学生上台讲解等教学方法。 三、教学目标（专业能力、方法能力、社会能力） 1、学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置。 2、探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程。 3、让学生主动地获得知识，培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题。 4、提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。 函数的最大值和最小值 时 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 2006年江西省高中青年教师优质课比赛参赛教案§函数的最大值和最小值(第1课时)江西省临川第一中学游建龙（344100） 二ＯＯ六年九月十三日 §函数的最大值和最小值 【教材分析】 1．本节教材的地位与作用 本节是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使用料最省、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，对于完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义． 2．教学重点 会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值． 3．教学难点 确定函数最值的方法，并会求函数的最值． 【教学目标】 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标： 1．知识和技能目标 （1）理解函数的最值与极值的区别和联系． （2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值． （3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤． 2．过程和方法目标 （1）了解开区间内的连续函数不一定有最大、最小值． （2）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值． 3．情感和价值目标 （1）认识事物之间的的区别和联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． 【教法选择】 根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用． 本节课引导学生自己通过观察函数的图象，归纳、总结出最大值、最小值求解的方法与步骤，让学生自己主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不是进行全部的灌输．【学法指导】 对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下问题是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂的函数求最值问题教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．函数的最大值与最小值
正弦函数的最大值与最小值
例说求函数的最大值和最小值的方法
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函数的最大值和最小值(教案与课后反思)
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