专题讲座8分式与分式方程(含答案)

专题八 分式与分式方程

内容通览

1．理解分式的概念，能对分式本身的性质、意义进行讨论； 2．掌握分式的基本性质，明白分式进行变形的原理； 3．知道通分、约分的原理与要求，能进行分式综合运算；

4．掌握分式方程的意义及解法，以及检验的相关事项；

5．能解、列可化为整式方程的分式方程的应用题．

能力举要

1、会对分式本身的存在性进行讨论，能对代数式进行分类；

2、能化整、变形分式、能通分、约分化分式为最简分式；

3、熟练地对分式进行简单的混合运算，方法灵活、 算理合理、结果准确。

1、分式是分母中含有 字母 的代数式； ①分式有意义?分母 ≠ 0， ②分式无意义?分母 = 0，

③分式的值等于0?分子 = 0且分母 ≠ 0； 2、最简分式就是分子、分母中不含有 公因式 的分式；

3、约分是把分子、分母中的 公因式 约去的过程； 通分是根据分式的 基本性质 不改变 分式的值 ，把几个分母不同的分式化为 分母相同 的分式的过程；

4、分式基本性质：B A = M B M A ?? 、B A

= M B M A ÷÷

（其中 M ≠0 ）； 5、符号法则：

b a -=......)(...b a -= —( b

a )=—b

a -....)(.....； 6、运算法则： (1)

b a ÷d

c =b a ?c

d

= ...)(......)(...bc ad

(2) (b a )n =...)

(.......)

(....n n b a (n 为正整数)

(3)

b a ±d

c =bd

ad ±bd bc =bd

bc ad ..)(..± （4）a -

p =

p

a

1 =(a 1)p

（a )0≠； 7．科学记数法表示数为 a ×10 n 方式，其中 1

≤ |a| < 10 （n 是整数）； 8．分母中含有 未知数 的方程叫分式方程，解分式分式程的基本思想是化分式方程为 整式方程 ；故可能产生 增根 ，因此必须 检验 ．

[整合串讲]

[教学建议]

1．首先要是搞清楚分式与分数的区别以及分式

何时有意义的问题．对于分式的基本性质，则主要是在分式变形和运算中能够正确灵活地运用． 2． 解分式方程的关键有两点：一是把分式方程“转化”为整式方程；二是验根，把分式方程转化成整式方程，主要是分式四则运算的运用；验根则应根据分式的基本性质，搞清原因，在学习时，可结合分式方程的解法中由分式方程到整式方程的转化，以及转化条件的讨论和验根等，提高学生对这种基本数学方法的认识和掌握．

3．至于列分式方程解应用题，关键在于用分式表示一些基本数量关系的能力，这一点解决好了，剩下的就是和用整式方程解应用题类似的问题了．虽然如此，在复习教学时，还是应当结合典型问题的研究，提高学生分析问题、解决问题的能力．

[好例盘点]

［例1］（2007·黄冈）下列运算中，错误的是（ ） A 、(0)a ac c b bc =≠ B 、1a b

a b

--=-+ C 、

0.55100.20.323a b a b

a b a b

++=-- D 、x y y x x y y x --=++． 解析：A 是用分式的基本性质分子与分母同时乘以的 c,B 是约分可以得到，C 是分子与分母同时乘以10． 答案：D

点评：考查分式的基本性质与运算知识点就可以直接得．

［例2］

（2007·茂名）若实数a b ，满足0a b

a b +=，则________ab

ab

=． 解析：本题直接可以看到a 、b 异号，从而去绝对值符号进行化简． 答案：-1．

点评：要注意题中的已知条件，挖掘题中的隐含条件．

［例3］

（2007·聊城）先化简，再求值： 223111111a a a a a ???

?+÷- ? ?+--????·，其中32a =-． 解析：223111111

a a a a a ???

?+÷- ?

?+--????· 22

21141111a a a a a +-=÷+--· 2221111141a a a a a +-=+--·· 21(1)(1)1

1(12)(12)1

a a a a a a a +-+=

+-+-·· 1

21

a =

-．． ???

????????

???????

??

?????????

??

??????????→???→?????→?????????→分式方程的应用增根基本步骤分式方程的解法整式方程分式方程分式方程的基本概念分式方程乘方

乘除法加减法分式的运算通分约分基本性质无意义的条件的条件值为有意义的条件定义分式0

答案： 当3

2

a =-

时，原式111

3214212a ==

=--???-- ???

．

点评：正确进行分子、分母分解因式以及熟练运用分式的乘除运算法则是解题的关键。分式的乘除运算实质就是约分．

［例4］（2007·贵阳）方程12

2x x =-的解为

x = ．

解析：用比例的性质可以直接得到，x=2x-4，再移项合并得到x=4， 最后检验就可以得解． 答案： 4

点评：分式方程的解法的运用，主要就防止漏检验． ［例5］（2007·广东）某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，

使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天

完成任务，求该文具厂原来每天加工多少套这种学生画图工具？

解析：设该文具厂原来每天加工x 套，依据题意得，

55.1100

25001002500=---x

x

解得x = 100 ．

经检验x = 100是原方程的解，

答案：该文具厂原来每天加工100套．

点评：要建立分式方程的关系式，通过本题已知与未知的关系可以很容易得解．在解分式方程应用题时要注意正确理解题意去建立方程；还要注意检验的含义：一方面要检验解适合方程另一方面还要检验是否符合题意，方能准确得解．

[重要考点1] 分式的概念

理解分式的基本知识，对于其相关的应用有很多帮助，要求学生弄清楚它的含义． [例1]（2006，重庆）使分式24

x

x -有意义的x 的取值范围是（ ）

（A ）2x = ． （B ）2x ≠ ． （C ）2x =- ． （D ）2x ≠-．

思路点拨：考查分式有意义的条件是分母不为0. 解答:B

易混点辨析:混淆分式有意义与无意义的条件或者把分母不为0错解为分母中的字母不为0. [重要考点2] 分式的基本性质

主要要弄清基本性质是进行分式化简运算的基础，要掌握其基本实质，才能灵活运用． [例2]（2005，南充）化简

1

12

--m m 的结果是（ ） （A ）

11+m ． (B)—11

-m ． (C)—11+m ． (D)1

1

-m ．

思路点拨：考查利用分式的基本性质约分 解答:C

易混点辨析:①忽视所乘或所除以的整式不为0的约束,②错用分子、分母中部分项同乘或同除以整式, ③对分式的约分和通分的步骤不熟悉. [重要考点3] 分式的运算

一要弄清分式运算的基本理论依据是分式的基本性质，二要弄清其运算的基本要求． [例3]（2006，乐山）计算b

a b

a a

b a -++-2的结果是（ ） （A ）

a

b b

a -+3． (B) b

a b a -+3．

(C)1．

(D) 1-．

思路点拨：考查利用分式的加法运算

解答

:D [例4]（2007，南充）化简：

22221

422

x x x x x x +?---- 思路点拨：利用分解因式，再进行约分

解答：解：原式221

(2)(2)(2)2

x x x x x x x +=?-+---

22

2

(2)(2)x x x x -=---

2

2

.(2)

x =- [例5]．（2006，宜宾）化简求值：1

)1(22

-÷+-a a a a a ，

其中12+=

a .

思路点拨：考查利用分式的混合运算以及求代数式的值. 分式的混合运算应遵循：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号里的运算顺序,在每一步计算时应弄清计算顺序以及计算法则,

解:原式2

2)

1)(1(1a

a a a a -+?+= 1-=a

当12+=a 时， 原式=

2112=-+ ．

易混点辨析:.①对分式运算法则掌握得不够熟练,计算时不讲算理,②没有分清计算顺序盲目计算. ③计算结果应化为最简分式或整式.

[重要考点4]解简单分式方程与它的相关的应用．是属于灵活运用型题目． [例6]（2007，成都）解方程：

32211

x

x x +=-+. 思路点拨：去分母即成或则用比例关系也可以化简

为整式方程． 答案：x=-5．

[例7]（2007年·泸州）先将式子2

2

11(1)x x x -+÷

化简，然后请你自选一个理想的x 值求出原式的值． 思路点拨：分式运算与分解因式的综合运用，即可得解.

答案：原式=1

-x x

取值要在x ≠1情况下就可以了. [例8]（2006年·眉山）解方程：

x

x

x --=

+-21321． 思路点拨：2

1

321--=

+-x x x 1+3(x-2)=x-1 X=2

经检验：x=2 是原方程的增根。

答案：原方程没有解

［易混点辨析］解分式方程在去分母是漏乘一些整式项，也有在解分式方程时漏掉检验这个步骤，对增根要学会舍弃.

[重要考点5] 列分式方程解简单应用题.

在学习过程中要能灵活掌握基本模型，要做到运用自如的建立自己的模型．

[例9]（2006年·南充）A 、B 两城铁路长240千米，为使行驶时间减少20分，需要提速10千米／时，但在现有条件下安全行驶限速100千米／时，问能否实现提速目标．

思路点拨：设提速后行驶的速度为x 千米每小时，由题意得：

60

20

24010240=--x x 整理：x 2

-10x-7200=0 解之 x 1=90 x 2=-80

经检验：x 1=90 x 2=-80都是原方程的解， 但x 2=-80不符合题意，应舍去，

x=90＜100。验证符合. 答案：能完成提速目标.

[例10]某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为

1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上

信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？

解：设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要

2x 天．根据题意得

111

220

x x +=

， 解得 30x =．

经检验30x =是原方程的解，且30x =，260x =都符合题意．

∴应付甲队30100030000?=（元）． 应付乙队30255033000??=（元）．

∴公司应选择甲工程队，应付工程总费用

30000元．

［易混点辨析］要注意解分式方程的应用题，一方面要检验解与所列方程是否相符，还要检验它

与实际问题是否相符，不要漏掉这两个检验步骤，否则不能正确作出答案．

[例10]（2006年·巴中）已知方程

11

1

=-x 的解是k ，求关于x 的方程02

=+kx x 的解．

思路点拨：先求出k 再求x . 答案：k=2， x 1=0，x 2=－2．

［易混点辨析］此类题目一方面要注意找出合理的相等关系式，建立方程，解方程防止过失错误；另一方面要注意答案数据与实际应用题目的合理性；当然还要注意漏根的现象发生.

(测试时间30分钟,共题,答对___题,正确率___%)

1．(2007，自贡) 下列计算正确的是（ D ） （A ）

)(81

8181y x y x +=

+ （B ）xz

y z y x y 2=+

（C ）y y x y x 21

212=

+- （D ）01

1=-+-x

y y x ．

2．（2006，绵阳）使分式2

2

||--x x 的值为零的x 的值是（ B ）

（A ）2 ． (B)-2 ． (C)2或-2． (D)0．

3．（2007，南充）如果分式2x

x

-的值为0，那么x

为（ D ）． （A ）－2 ．（B ）0 ． （C ）1 ．

（D ）2 ．

4．（2005，雅安）计算422-a a ÷2+a a +a

-22

＝

0 ．

5．（2007，乐山）当1

3x =-时，求

2

3111

x x x x x x ??-÷ ?-+-??的值． 解：原式3(1)(1)(1)(1)

(1)(1)x x x x x x x x x

+--+-=

?-+

24x =+

当13x =-时，原式1243??=?-+ ???103

=

6．（2007，绵阳）化简：1)

2)(1(3

1-+---x x x x ，并指出x 的取值范围． 解：原式=

1

1+x ， x 的取值范围是x ≠－2且x ≠1的实数． 7． （2007，怀化）解方程

2

523

1

x x x x +=++． 解：

523

(1)1

x x x x +=++

去分母得：523x x += 解得：1x =-

经检验可知，1x =-是原方程的增根

∴原方程无解

8．（2005年·资阳）已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元；

（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？

（2）若工程管理部门决定从这两个队中选 一个队单独完成这项工程，以节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？（请说明理由）．

解：（1）设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要（2x －10）天，

根据题意：

x 1＋1021-x ＝12

1 解得：x 1=3 （舍去） x 2=20

所以：乙队单独完成需要2x －10＝30（天） 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20、30天

（2）设甲队每天的费用为y 元，则12y ＋12（y －150）＝138000，解得y ＝650

所以：甲队需工程费用：650×20 = 13000 （元） 而 乙对需工程费用：650×30 = 15000（元）

因为：13000<15000

所以：以节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队． 9．（2007，眉山）某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( C )．

A ．b a -8分钟

B ．b a +8

分钟 C ．b b a +-8分钟 D ．b

b a --8分钟．

10．（2006，乐山）计算2a a b

b a a b

++

--的结果是（ D ） A 、

3a b b a +- B 、3a b

a b

+- C 、1 D 、－1． 11．（2007，眉山）计算：b

a b -2

十a 十b ．

解：原式=b

a b -2

12．（2007，资阳）方程21044x

x x

--=--的解是____x=3____．

13．（2007，资阳）化简求值：

2

32

(

1)121

x x x x x ---÷--+，其中x=

． 解：原式=223121

(

)112x x x x x x --+---- =2

(2)(2)(1)12x x x x x +---?

--

=-x 2-x+2 . 当x=

2时，

原式

=2

(2)(

2)

2

.

[命题规律1] 主要考查学生对分式基本性质的运用的灵活度，要求弄清它的实质，并能灵活应用；如[全真检测]题1，就是对分式基本性质的应用，也要注意与相关的知识点的混合考查．

[复习策略1]要在平时的基本功学习中要彻底地明白分式的基本性质的含义与灵活使用方法步骤，要能举一反三．

[命题规律2]对分式本身的性质应用考查也是中考

中必不可少的主要内容，特别是对分式的值与分式存在的意义的综合考查就灵活多样了，如[全真检测]题2，在得到使分式的值为0的x 的值的时候，要特别注意考察分母为0否，否则就会失分． [复习策略2] 当然要掌握分式的定义及分式本身性质的讨论的基础知识，加强平时数学思维模式的训练，强调数学的严密性．

[命题规律3]分式的综合运算主要是加减、乘除、乘

方开方的混合运算，一要注意各式里的符号，二要注意运算顺序，当然基本知识得彻底掌握；如[全真检测]题4、题5、题6、题7，要小心运算。才能万无一失得满分．

[复习策略3]加强平时基本技能的训练，弄懂基本计算顺序与法则，同时要在符号的变化、基本公式的运用、约分通分等方面培养学生的能力．

[命题规律4]分式方程的解法及根（增根）的应用，在中考中要引起重视，它既是全面考查解方程的基本技能，又要考查去分母是产生增根的原因；所以这一技能必须认真掌握，如[全真检测]题8，它要防止增根也要防止漏根．

[复习策略4]要学生弄清分式方程的解法步骤和熟练的解题技能，同时要弄明白增根是分式方程的特

有的状况，必须验根，养成思考问题的全面性． [命题规律5]列分式方程解应用题，也是必考内容，它的要求跟列一次方程、二次方程解原因题一样，彻底掌握；如[全真检测]题9，只要弄清反比关系，就能很清楚的找到答案．

[复习策略5]分式方程的应用题，关键是要读懂题意，建立方程；要培养学生善于思考，善于挖掘已知、未知两者的联系，用数学思维完成数学实际问题的解答；同时要注意：“生活、设计、决策、销售、开放探索”等方面为背景的应用题，是数学问题的热点．

[复习策略]（针对性训练1～4题）

1、分式14

5422-+-x x x 的值为零，则x ＝ -2 ；

当 a < 0 时，分式

1

||+a a

的值为负？

2、函数1

3

y

x 的定义域是 x ≠ 3

3、若a=32则 1273222+---a a a a 的值等于 － 2

1

．

4、若a b +b a =2则2

2224b ab a b ab a ++++的值等于 21

．

[复习策略]（针对性训练5～8题）

5、下列运算中，其中正确的是（ D ）

（A ）a 1+b 1=b

a +2

． （B ）a a 23)( =a 3．

（C ）b a b a ++22= a+b ． （D ）9632+--a a a =3

1

-a ．

6．若分式

m

x x +-21

2无论x 取何值都有意义，则m

的取值范围是（ C ）．

(A) m ≥1． (B) m ≤1 ． (C)m>1． (D)m<1． 7．分式

22

22-+-

+-x x x x 化简正确是( A ) (A)482--x x ． (B)4

82+-x x ．

(C)4

82-x x ．

(D)4

8222-+x x ．

8．方程

11-x =1

1

2-x 的解是（ D ） （A ）1． （B ）－1． （C ）1． （D ）0． 9．若分式x y

x y +-中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值 （ A ）

（A ）不变 ． （B ）是原来的3倍． （C ）是原来的

13 ．（D ）是原来的16

． [复习策略]（针对性训练10～12题） 10、先化简代数式(

2

22

2b a b a -+—b

a b

a +-)÷2

))((2b a b a ab

+-，然后请你自取一组a ,b 的值代入计

算（注意所取的值要使原式有意义！）

解:原=[2222b a b a -+-)

)(()

(b a b a b a -+-].

ab b a b a 2))((2+-]

=))((2b a b a ab

-+．ab b a b a 2))((2+-= a+b

要使原式有意义

∴当 a ≠-b a ≠b a ≠0 b ≠0 的任意数字即可 11．如果关于x 的方程32-x =1—3

-x m

无解，求m 的值．

解：由已知得，方程增根为x ＝3，把原方程整式化为2＝x-3-m 即x=5+m ，虽然增根x ＝3，不适合原分

式方程，但是整式方程x=5+m 的根，

所以把x=3代入x=5+mt 得到m=-2. 12．解方程

21-x =x

x --21-3． 解：去分母得1=-(1-x)-3(x-2) 整理得2x=4 x=2

经检验，x = 2是方程的增根 ∴原方程没有解.

[复习策略]（针对性训练13～14题）

13．我市政公司，为了改变部分街道面积水严重问题，决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工，若甲、乙两队合做，需12天完成此项工程；甲队先做8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工；

（1）问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若已知甲队施工一天需要费用2万元，乙队施工一天需要费用1万元，要使完成该工程的所需要费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？ 解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x 天、y 天，由题意得：

???????=+=+1188121

11y

x y x 解之：???==3020y x 经检验知它们适合方程组和题意.

（2）甲队每天施工1200/20＝60米 m ，乙队每天施

工1200/30＝40m

又设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a 天、b 天，由题意得

??

?≤+=+35120

4060b a b a

解之得b ≥15

答：乙工程队至少要施工15天.

14. 解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长

分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．

（1）设A ＝3x x －2－x x ＋2，B ＝x 2－4x ，求A 与B 的积；

（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题．

解: （1）A ×B

= (3x x －2－x

x ＋2

)×x 2－4x

=x x x x x x x x 44263223-????

? ??-+-+ =2x+8 (2)略.