第二章习题答案

习题二

2. 设随机变量X 的分布函数为()F x ，用分布函数表示下列概率：

(1) {}p X a ≥; (2) {||}p X a <; (3) {}.p a X b ≤≤

解：（1）{}1{}1(0);p X a p X a F a ≥=-<=--

（2）

{||}{}{}{}

(0)();

p X a p a X a p X a p X a F a F a <=-<<=<-≤-=---

（3）{}{}{}()(0).p a X b p X b p X a F b F a ≤≤=≤-<=--

4. 同时掷2枚骰子，设X 是两枚骰子出现的最小点数，求X 的分布列. 解：X 可能取值为：1,2,3,4,5,6，所以

11651111666611

34111166661121111166662121119

{1},{2},

363621217

5{3},{4},3636212131

{5},{6},

3636

C C p X p X C C C C C C p X p X C C C C C C p X p X C C C C --======⋅⋅--======⋅⋅--======⋅⋅

故，X 的分布列为：

.1 2 3 4 5 6 1197531 363636363636 ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

5. 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球，4个黑球；第二个盒子装有2个白球，3个黑球；

第三个盒子装有3个白球，2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球.以X 表示所取到的白球数. (1) 求X 的概率分布列； (2) 求X 的分布函数； (3) 取到的白球数不少于2个的概率是多少？ 解：(1) X 可能取值为：0,1,2,3，结合全概率公式，得

33

343355121212

2332143335552

1212332

33551115

{0}0,

3333011115

{1},

33330

1119

{2}0,

3333051591{3}1.30303030

C C p X C C C C C C C C p X C C C C C C C p X C C p X ==⋅+⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===-

--=

故，X 的分布列为：

0 1 2 3 ; 51591 30303030⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

(2) 当(,0)x ∈-∞时,

(){}()0,F x p X x p =≤=∅=

当[0,1)x ∈时,

5(){}{0},

30

F x p X x p X =≤===

当[1,2)x ∈时,

(){}({0}{1})51520 {0}{1},3030

30F x P X x P X X P X P X =≤=====+==

+=

当[2,3)x ∈时,

(){}({0}{1}{2})

5159

29 {0}{1}{2}30303030

,

F x P X x P X X X P X P X P X =≤======+=+==++=

当[3,)x ∈+∞时,

(){}({0}{1}{2}{3}) {0}{1}{2}{3} 1.

F x P X x P X X X X P X P X P X P X =≤=======+=+=+==

故X 的分布函数为

0, 0,5, 01,3020

(), 12,3029

, 23,30 1, 3;

x x F x x x x ⎧⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩<≤<=≤<≤<≥

(3) 取到的白球数不少于2个的概率是

{2}({2}{3})

91

1 {2}{3}30303

.

P X P X X P X P X ≥=====+===+

8. 已知某型号电子元件的一级品率为0.3，现从一大批元件中随机抽取10只，设X 为10只电子元件中的一级品数.问最可能抽到的一级品数k 是多少?并计算p {X ＝k }.

解：设随机变量X 表示抽到的一级品数，所以(10,0.3),X B →

p {X ＝k }710

0,.3 0.7 k

k C = 3

37103.3;00.2668.(3).3 0.7 [(1) ][]3 p p X C n =≈==+=

9. 某商店出售某种商品，根据以往经验表明，月销售量(件)服从参数3λ=的泊松分布.问在

月初进货时，需要多少库存量，才能有99.6%的概率充分满足顾客的需要？

解：设随机变量X 服从参数3λ=的泊松分布. 设需要N 件库存量，才能有99.6%的概率充分满足顾客的需要，则

1

{}{}1 =1-0.996=0.004 !

= 1-k N e p X N p X N k λ

λ-+≤>=-∑

故N =8.

12．盒子中装有m 只白球，n 只黑球.从袋中有返回地随机摸球，直到摸到白球时停止. 求摸球次数的分布列.

解：设随机变量X 表示首次摸到白球时摸球次数，所以()(),X

G p G m

m n

→=+

1{}(

)(),1,2,. k n m p X k k m n m n

-===++ 13．一批产品共100件，其中有97件正品，3件次品.每次随机抽取1件，直到取到正品为

止.就下列两种情况求抽取次数的分布列: (1) 放回抽取； (2) 不放回抽取. 解：（1）设随机变量X 表示直到取到正品为止抽取次数，因为是放回抽取，所以

()(

),97

100

X G p G →=则 1

397

{},1,2,;100100

k p X k k -⎛⎫

=== ⎪

⎝⎭

（2）设随机变量X 表示直到取到正品为止抽取次数，因为是不放回抽取，所以

97397{1}, {2};10010099

p X p X ==

==⋅ 329732197 {3}, {4}.1009998100999897

p X p X ==

⋅⋅==⋅⋅⋅ 14．试确定下面连续型随机变量的分布函数中的待定系数,a b .

(1) 2, 0,

()0, 0.

x b ae x F x x -⎧->=⎨≤⎩

(2) , 0,(), 0<2,1, 2. x be x F x a bx x x ⎧<⎪

=+≤⎨⎪≥⎩

解：(1) 由lim ()1x F x →+∞

=得1b =，由()F x 在0x =连续，得10a -=，于是1a =，则有

21, 0,

()0, 0.

x e x F x x -⎧->=⎨

≤⎩ (2)由()F x 在0,2x x ==连续，得,21b a a b =+=，于是11

,.33

a b =

=，则有 1, 0,311

(), 0<2,33

1, 2. x

e x F x x x x ⎧<⎪⎪

⎪=+≤⎨⎪≥⎪⎪⎩

16. 设连续型随机变量X 的密度函数

||1,()0, || 1. x f x x <=≥⎩

求：(1) 系数a ；(2)1{||}2

p X <. 解：(1)

由

1

1

()1f x dx +∞

+-∞

-==⎰

⎰

得1

a π

=

，

（2

）11{||}.23p X <==⎰ 17. 设(1,6)Y U ，求方程210x Yx ++=有实根的概率.

解：(1,6)Y

U ，因方程210x Yx ++=有实根，所以240Y ∆=-≥.

随机变量Y 的密度函数

1

, 16,

()5

0, 6, 1.

x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪><⎩ 故，2

2

1

(40){4}1{22}10.8. 5

P Y p Y p Y -≥=≥=--≤≥=-

= 19. 某仪器安装了3个独立工作的同型号的电子元件，其寿命X (单位：小时)都服从同一指数分布，密度函数为

600

1,0,()6000,,x e x f x -⎧⎪

⎨⎪⎩

>=其它

求：此仪器在最初使用的200小时内，至少有一个此种电子元件损坏的概率.

解：已知每个电子元件其寿命X 都服从同一指数分布，密度函数为

600

1,0,()6000,,x e x f x -⎧⎪

⎨⎪⎩

>=其它

设A ={每个电子元件寿命X 在200小时内}，则

200

200

600

13

1(){0200}()1,600

x p A p X x dx e

dx e -

-

=<<===-⎰

⎰

设Y ={3个独立工作的同型号的电子元件，电子元件损坏的数量}，显然1

3

1(3,),e Y B -

-故

至少有一个此种电子元件损坏的概率

1100

3

333

{1}1{0}1(1)()0.632.p Y p Y C e e -

-

≥=-==--≈

21. 设2(1,2)X

N .

求：(1) {0}p X >；(2) {|2|1}p X -<；(3) 确定c 使得{}{}p X c p X c >=<. 解：（1）01

{0}1{0}1()1(1(0.5))0.6915,2

p X p X ->=-≤=-Φ=--Φ= （2）3111

{|2|1}{13}(

)()0.3413,22

p X p X ---<=<<=Φ-Φ= (3) 确定c 使得{}{}p X c p X c >=<，则

11

{}1{}1(

){}()22

c c p X c p X c p X c -->=-≤=-Φ=<=Φ 故111

2(

)1,(),10, 1.222

c c c c --Φ=Φ=-== 23. 某校抽样调查结果表明，考生的数学成绩X (以百分制计)近似地服从2

(72,)N σ的正态分布，已知96分以上的人数占总数的2.3%,试求考生的成绩在60分至84分之间的概率. 解：考生的数学成绩X (以百分制计)近似地服从2

(72,)N σ的正态分布，已知96分以上的人

数占总数的2.3%,故

9672

{96}1{96}1(

)0.023,

24

24

(

)0.977,

1.99,1

2.

p X p X σ

σσ

σ

-≥=-<=-Φ=Φ==≈

考生的成绩在60分至84分之间的概率为

84726072

{6084}(

)()0.6826.1212

p X --≤≤=Φ-Φ= 24．设随机变量X 的分布函数

0, 2,

0.3, 21,()0.9, 12,1, 2.

x x F x x x <-⎧⎪-≤<-⎪

=⎨

-≤<⎪⎪≥⎩ 求随机变量21Y X =+和2

Z X =的分布列．

解：随机变量X 的分布函数，得X 的分布列：

-2 -1 2 ; 0.3 0.6 0.1⎛⎫

⎪⎝⎭

因为21Y X =+，Y 的取值为-3，-1,5，得Y 的分布列：

3 -1 5;0.3 0.6 0.1Y -⎛⎫ ⎪⎝⎭

因为2

Z X =，Z 的取值为1,4，得Z 的分布列：

1 4 . 0.6 0.4Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭

26. 设(0,1)X U ，求以下随机变量的概率密度函数：

(1) ln Y X =； (2) X

Y e =；(3) 2Y X =．

解：设(0,1)X U ，X 的概率密度为

1,01,

()0,

.X x f x <<⎧=⎨

⎩其它 （1）由于,0,()0;0,ln Y Y y F y y X =≤=>

(){}{ln }Y F y p Y y p X y =≤=≤

{}(),y y X p X e F e =≤=

两边对y 求导，得Y =lnX 的概率密度

()() , 0.

0, 0,

Y Y y f y F y y y e ⎧'=⎨≥⎩<=

(2) 由于X

Y e =, (),()0,(01

x y g x e g x x '==><< 1

()ln ,(),x h y y h y y

'===

(0)1,(1),1,,g g e e αβ====

由公式得

1(ln )||,1,()

0,(1,),1

,1,= 0,(1,),X

Y f y y e y f y y e y e y y e ⎧

<<⎪=⎨⎪∉⎩⎧<<⎪⎨⎪∉⎩

(3) 由于20,0()0;0Y Y X y F y y =≥≤=>故当时，故当时，有

2(){}{}Y F y p Y y p X y =≤=≤

{()X p X f x dx =≤≤=

两边对y 求导，得Y =X 2的概率密度

()()()Y Y X f y F y f x dx '⎛⎫'== ⎪⎝⎭

0,0,0.

y y ≥=<⎩

出师表

两汉：诸葛亮

先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。