4平方根与立方根

一、无理数的定义：无限不循环的小数叫做无理数。例如：π，???101001.0等．

除了这些数今天我们要学习另外的一些无理数，那就是根式的学习． 【练习1】 （1）==x x ,42（2） =

=x x ,83（3）=

-=x x ,83

思考题

（1）=

=x x ,32 （2）=

=x x ,93

二、平方根与算术平方根

1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 注意：(1)、负数没有平方根,0a ≥．

(2)、一个正数的平方根有两个并且互为相反数． (3)、a ±读作正负根号a ．

2、算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．

平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 【例1】判断正误 （1）a 一定是正数．

( )

（2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．

( )

知识精讲

平方根与立方根

（4）若264x =，则648x =±=±．

( )

（5）64的平方根是8±．

( )

（6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数．

( )

（8）2a -没有平方根．

( )

（9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等．

( )

【例2】下列各式中x 的值．

（1）29x =

（2）21

(51)303

x --=

【巩固】求下列等式中的x ：

（1）若x 2＝1．21，则x ＝_____ （2）x 2＝169，则x ＝______

（3）22500x -= （4）2(100.2)0.64x -=

【例3】（1）81的平方根是（ ） （2）4的平方根是（ ） （3）81的算术平方根是（ ） （4） 5的算术平方根是（ ） （5）π的平方根是（ ） 【巩固】2)5(-的平方根是 （ ）

A ． 5±

B ． 5

C ． 5-

D ． 5± 【巩固】16的算术平方根是( )

A ．4

B ．4±

C ．2

D ．2±

【例4】若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）

A ．2

B ．±2

C ．4

D ．±4 【巩固】若()4

216A a =

+，则A 的算术平方根是_________

【例5】设a 是整数，则使48a 为最小正整数的a 的值是________

【巩固】设a 是整数，则使2012a 为最小正有理数的a 的值是

【例6】一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A ．1a + B ． 21a + C ． 22a + D ．21a +

【例7】x 为何值时，下列各式有意义？

（1）2x ； （2）2x -； （3）2x -+； （4）

x ；

（5） 1

1

x -； （6）112x x ++-

【巩固】使

1

x-2

有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠2 C ．x>2 D ．x≥0且x≠2

【巩固】5

5

++x x 有意义，求x 的取值范围。

【例8】已知x ，y ，z 满足211

4412()052

x y y z z -++++-=，求()x z y -的值．

【巩固】已知0121322=++++-b b a a ，求b a a -+2

2

1

的值。

【巩固】如果3a b -+与22a b +-互为相反数，求27()a b +的值．

【例9】若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足04962

=-++-b a a ，

求该直角三角形的斜边长。

【巩固】已知c b a ,,是△ABC 的三边长，且满足关系式0222222=+-+--b ab a b a c ，判断△ABC 的形状。

【例10】已知4942492b a a =-+-+，求11

a b

+的平方根．

【巩固】若2

442

2+-+-=x x x y ，求y x +2的值．

【例11】已知a a a =-+-20052004，则22004-a 的值为_________。

【巩固】已知y ＝20031-x －200441+-x ，求22y x 的值.

三、立方根

立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根。

一个数a 的立方根可用符号表“3a ”，其中“3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的“a ”其实省略了根指数“2”，即：2a 也可以表示为a ．

3

a 读作“三次根号a ”，2a 读作“二次根号a ”，a 读作“根号a ”．

任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．

立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

【例12】判断

（1）2

a -没有算术平方根．

( ) （2）64的立方根是4±． ( ) （3）12

-是1

6-的立方根．

( )

（4）33

x x =．

( ) （5)互为相反数的两个数的立方根互为相反数．

( ) (6)正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )

【例13】已知3x+16的立方根是4，求2x +4的算术平方根．

【巩固】已知（x -1）的算术平方根是3，（x -2y +1）的立方根是3，求x 2-y 2的平方根．

【例14】解方程

（1）01522

=--x x （2）081)1(33

=+-x

【巩固】求x 的值：3(100.2)0.027x -=-

【例15】若8a +与2(27)b +互为相反数，求33a b --的立方根．

【例16】（1)任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）2

a 的算术平方根是a ，（4）2(4)π-的算术平方根是4π-，（5）算术平方根不可能是负数，正确的个数有____________个.

【巩固】若m <0，则m 的立方根是（ ）

A.3m

B.－

3

m

C.±3m

D.

3

m -

【例17】若31.815848 1.22=，则31815848-= _____. 【巩固】33321600010.125+--

总结：平方根与立方根的区别与联系： 区别：

（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略． （2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数．

（3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．

（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，1-； 联系：

（1）平方根与立方根相等的数是0．

（2）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．

1.下列各式中，正确的是（ ）

A ．2)2(2-=-

B ．9)3(2=-

C ．393-=-

D ． 39±=±

2. 下列各式中，正确的是（ ） A ．11±= B ． 11-=- C ．

113

-=- D ． 1)1(2-=-

3．若a >0，则a

a 22

等于（ ）

A ．21

B ．2

1- C ．±21

D ．0

4. 下列各式的计算中，不正确的是（ ） A ．64)6()4(-?-=-?-=（-2）×（-4）=8

B ．222244

2)(244a a a a =?=?=

C ．5251694322==

+=+

D ．512512131213)1213)(1213(12132

2=?=-?+=-+=

-

5.下列式子中，字母x 的取值范围是3>x 的是（ ）

A. 3-=

x y B.31-=

x y C.13-x D.1

31

-=x y 6.若4x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）

A. 4x ≥-

B. 4x >-

C. 4x >

D. 4x ≥

7．已知043=-+-b a ，则

b

a

3

的值是（ ）

课后作业

A.41

B.－41

C.433

D.4

3

8.如果

1-x ＋x -9有意义，那么代数式|x －1|＋2)9(-x 的值为（ ）

A ．±8

B ．8

C ．8-

D ．无法确定

9. 7的平方根为 ， 64-的立方根是 ；

10. 若2

2)5()(-=-x ，则x= ；

12.使2

1

-+x x 有意义的x 的取值范围是 ．

13.若1

114

y x x =-+-+，求xy 的平方根.

15．若代数式二次根式

22)3()1(a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围

是 ．

16、设c b a ,,都是实数，且满足2)2(a -+c b a ++2

+08=+c ，02

=++c bx ax ，求代

数式122

++x x 的值．