2019-2020年高三数学第六次联考试题 理

2019-2020年高三数学第六次联考试题理

考生注意:

1.本试卷共150分.考试时间120分钟.

2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.

3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.

4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.

5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|y=log2(5-2x),x∈N},B={x|3x(x-2)≤1},则A∩B等于

A.{x|0≤x≤2}

B.{x|1≤x<2}

C.{0,1}

D.{0,1,2}

2.已知函数f(2x-1)=3x+a,且f(3)=2,则a等于

A.-3

B.-4

C.1

D.2

3.各项均为正数的等比数列{a n}满足a5+2a4=a6,则等于

A.2

B.3

C.4

D.6

4.已知a,b∈R,则“a>b”是“2a>2b+1”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知=,则sin 2α等于

A.-

B.

C.

D.-

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

B.9

C.12

D.

7.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(2-t),且x∈[0,1]

时,f(x)=-x2,则f(3)+f(-)的值等于

A. B. C.- D.-

8.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是

A.(0,)

B.(0,)

C.(-,0)

D.(-,0)

9.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,P是两曲线的公共点,且|PF|=p,则此双曲线的离心率为

A. B.+1 C.3 D.

10.已知≤k<1,函数f(x)=|2x-1|-k的零点分别为x1,x2(x1

点分别为x3,x4(x3

A.1

B.log23

C.log26

D.3

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷中的横线上.

11.已知向量a=(1,2),b=(2,3),若(λa+b)⊥(a-b),则λ= ▲.

12.若变量x,y满足,则z=的取值范围为▲.

13.已知圆C:x2+y2-4x+m=0与圆(x-3)2+(y+2)2=4外切,点P是圆C一动点,则点P到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为▲.

14.周期为2的函数f(x)=sin(ωx+2θ)(0<θ<π)在x=2时有最大值,将函数f(x)的图象向上平移1个单位得到函数g(x)的图象,则g()= ▲.

15.在三棱锥A-BCD中,AB=AD=CB=CD,∠BAD=∠BCD=90°,且面ABD⊥面CBD,给出下列结论:

①AC⊥BD;

②△ACD是等腰三角形;

③AB与面BCD成60°角;

④AB与CD成60°角.

其中正确的是▲.

16.已知x>-1,y>1,且+=3,则x+2y的最小值为▲.

17.设等差数列{a n}满足=1,公差d∈(-1,0),当且仅当n=9时,数列{a n}的前n项和S n取得最大值,则该数列首项a1的取值范围是▲.

三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本小题满分14分)

△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=c,cos C=.

(1)求sin B的值;

(2)若D为AC中点,且△ABD的面积为,求BD的长度.

19.(本小题满分14分)

设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2-4n+4.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求T n的表达式.

20.(本小题满分15分)

如图,已知菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂

直,AB=2AD=2CD=4,∠ABE=60°,∠BAD=∠CDA=90°,点H,G分别是线段EF,BC的中点.

(1)求证:平面AHC⊥平面BCE;

(2)点M在直线EF上,且GM∥平面AFD,求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值.

21.(本小题满分15分)

已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(,),记椭圆的左顶点为A.

(1)求椭圆的方程;

(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点,试求△ABC面积的最大值;

(3)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证:直线DE恒过一个定点.

22.(本小题满分14分)

如果一个函数的定义域是值域的真子集,那么称这个函数为“思法” 函数.

(1)判断指数函数、对数函数是否为思法函数,并简述理由;

(2)判断幂函数y=xα是否为思法函数,并证明你的结论;

(3)已知f t=ln是思法函数,且不等式2t+1+3t+1≤k对所有的f t都成立,求实数k的取值范围.

2015届高三第六次联考·数学试卷

参考答案

1.D 在集合A中:5-2x>0,即x<,而x∈N,故A={0,1,2};在集合B中:由3x(x-2)≤1可得,x2-2x≤0,解得0≤x≤2,即B={x|0≤x≤2},所以A∩B={0,1,2}.

2.B 令2x-1=3,得x=2,即3×2+a=2,得a=-4.

3.C 因为a6=a5+2a4,所以a4q2=a4q+2a4,即q2-q-2=0.

又a n>0,所以q>0,得q=2,所以=q2=4.

4.B 当a=0,b=-1时,由a>b ?/ 2a>2b+1,反之成立,故选B.

5.D 由已知得=sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=,解得sin 2α=-.

6.A 由三视图可知,该几何体是由一个边长为2正方体以及一个高是2,底面积为2的三棱锥构成.其中正方体的体积为8,而三棱锥的体积为×2×2=,故所求几何体的体积为8+=.

7.A 由f(t)=f(2-t)得f(2+t)=f(-t)=-f(t),所以f(4+t)=-f(2+t)=f(t),所以f(x)的周期为4.又f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=1,而f(-)=-f()=-f(4+)=-f()=()2=,所以

f(3)+f(-)=1+=.

8.D 依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈(-,0),即x的取值范围是(-,0).

9.C 设双曲线的左焦点为F1,由题可知抛物线的准线方程为x=-,F(,0),F1(-,0),c=.由抛物线的定义知点P到准线的距离为p,所以可得点P的横坐标为p-=,纵坐标为p,即点P的坐标为(,p),∴|PF1|2=(+)2+(p)2=p2,

∴|PF1|=p,∴2a=|PF1|-|PF|=p-p=p,即a=p,∴e===3.

10.B 由题知=1-k,=1+k,=1-,=1+,∴=,=,∴==-3+,又k∈[,1),∴-3+∈[3,+∞),∴(x4-x3)+(x2-x1)∈[log23,+∞).

11.- 由题知λa+b=(2+λ,2λ+3),a-b=(-1,-1),又因为(λa+b)⊥(a-b),所以有-2-

λ-2λ-3=0,解得λ=-.

12.[1,5] 根据约束条件画出可行域,如图所示,z=表示经过可行域内一点与点(-2,0)

的直线的斜率的2倍,其取值范围是[1,5].

13.3 x2+y2-4x+m=0可化为(x-2)2+y2=4-m,由已知得+2=3,解得m=3,∵圆心C到直线3x-4y+3=0的距离d==2,∴点P到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为2+1=3.

14. 易得f(x)=sin(πx+2θ),则f(2)=sin 2θ,∵0<θ<π,∴θ=,则f(x)=cos

πx,∴g(x)=cos πx+1,即g()=.

15.①②④①②显然正确,③中AB与面BCD成的角应为45°,至于④,可以将三棱锥补成一个底面是正方形的四棱锥A-BCDE.

16.4 (x+1)+2(y-1)=[(x+1)+2(y-1)](+)=[5++]≥3,当且仅当x=0,y=2时等号成立,即x+2y-1≥3,∴x+2y≥4.

17.(,) 由=1得:

=1,

即=1.

又{a n}为等差数列,

∴a3+a6=a4+a5,a3-a6=-3d,

∴sin(3d)=-1.∵d∈(-1,0),∴3d∈(-3,0),则3d=-,d=-.

由S n=na1+=na1+=-n2+(a1+)n.

对称轴方程为n=(a1+),由题意当且仅当n=9时,数列{a n}的前n项和S n取得最大值,

∴<(a1+)<,解得:

18.解:(1)由cos C=,得sin C=,由正弦定理得sin A==,∵a

(2)∵sin B=sin C,∴B=C,∴b=c.

由△ABD的面积为,∴·csin A=c2·=,得c=2,

BD2=12+22-2×1×2×=,∴BD=.14分

19.解:(1)当n=1时,a1=S1=1.

当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-4n+4-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5.5分

∵a1=1不适合上式,∴a n=6分

(2)由(1)得b n==

当n=1时,T1=.9分

当n≥2时,T n=+++…+,①

T n=+++…++.②

①-②得T n=-+2(+…+)-=(1-)-,

得T n=1-(n≥2).12分

此时n=1时也适合,∴T n=1-(n∈N*).14分

20.(1)证明:在菱形ABEF中,因为∠ABE=60°,所以△AEF是等边三角形,

又H是线段EF的中点,所以AH⊥EF?AH⊥AB,

因为平面ABEF⊥平面ABCD,所以AH⊥平面ABCD,所以AH⊥BC;4分

在直角梯形ABCD,AB=2AD=2CD=4,∠BAD=∠CDA=90°,得到:AC=BC=2,

从而AC2+BC2=AB2,所以AC⊥CD,6分

所以CB⊥平面AHC,又BC?平面BCE,所以平面AHC⊥平面BCE.8分

(2)解:由(1)知AH⊥平面ABCD,如图,分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

则A(0,0,0),B(0,4,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,2,2),F(0,-

2,2),H(0,0,2),G(1,3,0).9分

设点M的坐标是(0,m,2),则、、共面,

所以存在实数λ、μ使得:

=λ+μ?(-1,m-3,2)=(2λ,0,0)+(0,-2μ,2μ),

得到:2λ=-1,m-3=-2μ.2=2μ?m=1.

即点M的坐标是(0,1,2),12分

由(1)知道:平面AHC的法向量是=(2,-2,0),

设平面ACM的法向量是n=(x,y,z),

则??13分

令z=,则y=-6,x=6,即n=(6,-6,),

所以cos==.

即平面ACH与平面ACM所成角的余弦值是.15分

21.解:(1)由题意得解得

所以椭圆的方程为x2+2y2=1.5分

(2)设B(m,n),C(-m,n),则S△ABC=·2|m|·|n|=|mn|.

又1=m2+2n2≥2=2|mn|,所以|mn|≤,

当且仅当|m|=|n|时取等号,从而S△ABC≤.所以△ABC面积的最大值为.8分

(3)因为A(-1,0),所以直线AD:y=k1(x+1),直线AE:y=k2(x+1).

联立消去y,得(1+2)x2+4x+2-1=0,

解得x=-1或x=,故点D(,).同理,E(,).

又k1k2=2,故E(,).故直线DE的方程为

y-=·(x-),即y-=·(x-),

于是y=x+.所以2y-(3x+5)k1+4y=0.

则令得直线DE恒过定点(-,0).15分

22.解:(1)因为指数函数的定义域是R,值域,所以指数函数不是思法函数;

对数函数的定义域是,值域R,故对数函数是思法函数.3分

(2)幂函数y=xα不是思法函数.证明如下:

当α=0时,显然y=x0不是思法函数;

当α>0时,设α=(其中m,n是互质的正整数).

①若n为偶数,则m为奇数,定义域和值域都是,不是思法函数;

②若n为奇数,当m为奇数时,定义域和值域都是R,不是思法函数;当m为偶数时,定义域R,值域是,不是思法函数.

当α<0时,设α=-(其中m,n是互质的正整数).

①若n为偶数,则m为奇数,定义域和值域都是,不是思法函数;

②若n为奇数,当m为奇数时,定义域和值域都是∪,不是思法函数;当m为偶数时,定义域∪,值域是,不是思法函数.

综上所述,幂函数y=xα不是思法函数.8分

(3)令y=ln u,u=x2+2x+t.则u=+t-1.

当Δ=4-4t<0,即t>1时,恒有u≥t-1>0.故f t的定义域为R,值域为,f t不是思法函数; 当Δ=4-4t≥0,即t≤1时,u=x2+2x+t能取中的一切值,故f t的值域为R.定义域不是R,f t是思法函数.因此,f t是思法函数?t∈.

又2t+1+3t+1≤k?k≥,令g=,则k≥g.

所以g==2+在上是增函数,故g=g=,

所以k∈[,+∞).14分