清华第三版运筹学教学教程课后答案解析(第一章第五章部分)

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运筹学教程

1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg 维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1所示。 表1

要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。

解：设总费用为Z 。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。i x 表示满足动物生长的营养需要时，第i 种饲料所需的数量。则有：

??????

?=≥≥++++≥++++≥++++++++=5

,4,3,2,1,01008.022.05.0305.022.05.07008623..8.03.04.07.02.0min 54321543215432154321i x x x x x x x x x x x x x x x x t s x

x x x x Z i

2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班开始时间向病房报道，试决定：

（1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要； （2） 若除22:00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其他班次护士由医院

排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。

表2

解：（1）设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6

?

?????

???

??=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=且为整数

6,5,4,3,2,1,03020

5060

7060

..min 655

4

43322161654321i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x Z i 解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4。

???

?????

?????

??=≥=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++++++=4

,3,2,1,10021502

1602

1702

,160..30

min i

444342414444433422411434

33323133

44333322311324232221224

423322221

1214131211114413312211114321j i y x y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y t s x x x x Z ij 变量，—是，，，第四班约束，，第三班约束，，第二班约束

，第一班约束

3. 要在长度为l 的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n 种，分别为j

a （j=1,2，…n ）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。

解：设i x 表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n 。

?????≤=∑∑==是整数i

1

1

1max x x a x a Z i i n

i i

i n

i

4. 一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的与最大允许载重量如表3.1所示。现有三种货物待运，已知有相关数据列于表3.2。 表3.1

表3.2

又为了航海安全，前、中、后舱实际载重量大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应该载A,B,C 各多少件运费收入才最大？试建立这个问题的线性规划模型。

解：设ij x 表示第i 件商品在舱j 的装载量，i,j=1,2,3

)(600)(700)(1000m ax 333231232221131211x x x x x x x x x Z ++++++++=

1) 商品的数量约束：

???

??≤++≤++≤++800

1000600

333231

232221131211x x x x x x x x x 2) 商品的容积约束：

???

??≤++≤++≤++1500

75105400751040007510332313

322212312111x x x x x x x x x 3) 最大载重量约束：

???

??≤++≤++≤++1500

56830005682000

568332313

322212312111x x x x x x x x x 4) 重量比例偏差的约束：

???

?????

???

???

??

?

++-≥+++++≤++++-≥+++++≤++++-≥+++++≤++)568)(1.01(43568)

568)(1.01(43

568)

568)(15.01(21568)568)(15.01(21568)

568)(15.01(32568)568)(15.01(3

256831211133

231331211133231332

221233231332221233231332

2212312111322212312111

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5. 篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比赛。8名队员的身高及擅长位置见表5. 表5

出场阵容应满足以下条件： （1） 只能有一名中锋上场； （2） 至少一名后卫；

（3） 如1号和4号均上场，则6号不出场； （4） 2号和8号至少有一个不出场。

问应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高，试建立数学模型。 解：设1=i x 表示第i 个队员出场，i=1,2…8.

?????

????≤++≤+≥++≤+==∑∑==变量

—是，，102

1115

51max 6

4182876218

18

1

i i i i

i x x x x x x x x x x x x x Z 6. 时代服装公司生产一款新的时装，据预测今后6个月的需求量如表4所示，每件时装用工2h 和10元原材料费，售价40元。该公司1月初有4名工人，每人每月可工作200h ，月薪2000元。该公司可于任一个月初新雇工人，但每雇1人需一次性额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需补偿1000元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库存费每件每月5元，当供不应求时，短缺数不需补上。试帮组该公司决策，如何使用6个月的总利润最大。

表4 单位：件

解：设1i x 为第i 月现有工人人数，2i x 为新雇工人人数，3i x 为辞退工人人数，i y 为每月的需求。i=1,2，…，6。则有：

??????

?==≥÷+?==+≤+≤??

?≤=--+++-+?-=∑∑∑∑====216,2102)(2005214

..0

00

1)()

()(5)100035002000()(2200

)1040(max 212131111

6

132161216

1，；，，，

，，，，，，，其中k i x x x n i x x x x x t s x x x f y n f y n x x x x x Z ik i i i i i i i i i i i j k j i i i i i i i

7. 童心玩具厂下一年度的现金流（万元）如表6所示，表中负号表示该月现金流出大于流入，为此该厂需借款。借款有两种方式：一是于上一年末借一年期贷款，一次得全部贷款额，从1月底起每月还息1%，于12月归还本金和最后一次利息；二是得到短期贷款，每月初获得，于月底归还，月息1.5%。当该厂有多余现金时，可短期存款，月初存入，月末取出，月息0.4%。问该厂应如何进行存贷款操作，既能弥补

可能出现的负现金流，又可使年末现金总量为最大。 表6

解：设长期存款为y ，i w 为第i 个月的短期贷款额，i z 为第i 个月短期存款额，i=1,2,…，

n 。则有：

?

??

???

?????

???

??

??

?-≥+---≥+----≥+----≥+---≥+---≥+----≥+---≥+---≥+---≥+---≥+---≥-+--=45

015.101.0004.17015.101.0004.112

015.101.0004.115015.101.0004.12015.101.0004.17015.101.0004.15

015.101.0004.14

015.101.0004.110015.101.0004.18015.101.0004.110

015.101.0004.112

..015.101.1004.1max 121211111111101010

109999888877776666555

5444433332222111112

12w z w y z w z w y z w z w y z w z w y z w z w y z w z w y z w z w y z w z w y z w z w y z w z w y z w z w y z z w y t s w y z Z 8. 某地准备投资D 元建民用住宅，可以建住宅的地点有n 处：n 21A A A ，

，。n A 处每幢住宅的造价为d ，最多可造a 幢。问应当在哪几处建住宅，分别建几幢，才能使建造的住宅总数最多，试建立问题的数学模型。 解：设i x 表示在A 处所建住宅的数量，i=1,2，…n 。

?????=≤≤=∑∑==是整数，，，，i

i i i i n

i i

n

i x n i a x D x d x Z 21max 1

1

9. 有一批每根长度为l 的圆钢，需截取n 种不同长度的零件毛坯。长度为j a 的毛坯必须有j m 段（j=1，2，…n ），为了方便，每根圆钢只截取一种长度的毛坯。应当怎样截取，才能使动用的圆钢数目最少，要求建立数学模型。

解：设i x 表示各种毛坯使用圆钢的数量，i y 表示各种毛坯在一根圆钢上可得到的数量。i=1,2，…n 。

???

??

?

?=≥=≥=≤=∑=n 21i 0y x n 21n 21min i i 1

，，，，且都是整数，，，，，，，，

， i m x y i l x a x Z j i i i j i

n

i 10. 一个旅行者要在其背包里装一些最有用的旅行用品。背包容积为a ，携带物品总重量最多为b 。现有物品m 件，第i 件物品体积为i a ，重量为i b （i=1,2，m ）。为了比较物品的有用程度，假设第i 件物品的价值为i c （i=1,2，m ）。若每件物品只能整件携带，每件物品都能放入包中，并且不考虑物品放入包后相互的间隙。问旅行者应当携带几件物品，才能使携带物品的总价值最大，要求建立数学模型。 解：设1=i x 表示携带第i 件物品，i=1,2，…，m 。

??????

?????=≤≤=∑∑∑===m 2,110max 1

11 ，

变量—是i x b x b a x a x c Z i i m i i i m

i i

i m

i 11. 宏银公司承诺为谋建设项目从2003年起的4年中每年初分别提供以下数额贷款：2003年——100万元，2004年——150万元，2005年——120万元，2006——110万元。以上贷款资金均需2002年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额情况下，可将多余资金分别用于下列投资项目：

（1） 于2003年初购买A 种债卷，期限3年，到期后本息合计为投资额的140%，

但限购60万元。

（2） 于2003年初购买B 种债卷，期限2年，到期后本息合计为投资额的125%，

且限购90万元。

（3） 于2004年初购买C 种债卷，期限2年，到期后本息合计为投资额的130%，

但限购50万元。

（4） 于每年初将任意数额的资金存放于银行，年息4%，于每年底取出。 求宏银公司应如何运用好这笔筹集到的资金，使2002年底需要筹集到的资金数额为最少。

解：设x 为2002年底该公司需要筹集到的资金额；321y y y ，，分别为2003、2004、2005年初存放到银行的资金数；C B A w w w ，，分别为购买A 、B 、C 债卷的数额。则有：

???

???

??

??

??

?≤≤≤≤≤≤≥≥=++=-+=--=---=50

09006000011030.140.104.112025.104.1150

04.1100..min 321332211C B A C A B C B A w w w y y y x w w y y w y w y y w w y x t s x

Z ，，，、、，