243正多边形和圆
24.3 正多边形和圆
班级姓名N O：24013
学习目标:正多边形和圆的有关概念,正多边形和圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．正多边形的画法
学习重点:正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系
学习难点:正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．
学习过程
一、知识掌握104—106页,正多边形及相关概念
1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．
2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．
4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．
5．设正n边形的半径为R，边长为a n，边心距为r n，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积S n=________．
6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．
7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．
8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．
相关练习105页1,2,3
二、正多边形计算105页例题
三、练习
1．正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为4cm，则这个正六边形的边长为______cm，面积为______cm2．
2．等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比为______．
3．若等边三角形的边长为3，则它的外接圆的半径的长为______．
4．一个正三角形与一个正六边形的周长相等，则它们的面积之比为______．
5．已知正四边形的边心距为2，求它的外接圆的面积．
6．一个不等边三角形是不是一定有外接圆和内切圆?画图试一试．如果有，这两个圆是不是同心圆?
四、画正多边形106—107页
在下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
(1)正三角形(2)正方形(3)正五边形
(4)正六边形(5)正八边形(6)正十二边形
五、随堂练习
1.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
则∠ADB的度数是（）．
A．60°B．45°C．30°D．22．5°
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°
3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，?则这段弧所对的圆心角为（）A．18°B．36°C．72°D．144°
4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．
5．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆
交AB于D，如图所示，若AC=6，则AD的长为________．
6．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图所示，AB∥CD，且CD为直径，
如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△
ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．
三、综合提高题
1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．
2．如图所示，?已知⊙O?的周长等于6 cm，?求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．
正多边形的概念及正多边形与圆的关系
24.6 正多边形与圆 第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系 ［学习目标］ 1．理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念； 2．理解并掌握正多边形的有关概念； 3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形. ［学法指导］ 本节课的学习重点是理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，并能进行计算，学习难点是探索正多边形和圆的关系. ［学习流程］ 一、导学自习 1. 如果一个多边形的顶点都在圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 . 2.各边，各角也的多边形叫做正多边形. 思考： 正多边形的定义中“各边，各角”是正多边形的两个特征，缺一不可. 3.举例说出生活中常见的正多边形. 二、研习展评 活动1：思考：（1）你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？ （2）将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论． 证明：如图1，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. ?????, AB BC CD DE EA ==== Q ______________________, ∴ （3）如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？ （4）结论：正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成的一些弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的 . 活动2：阅读教材，思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？ 方法一、任何正n边形的作法：用量角器作一个等于的圆心角，再等分圆； 方法二、特殊正多边形的作法:正六边形和正方形等的尺规作法. （在此基础上，还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形） 做一做：在右图2中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形． ［当堂达标］ 1.如图5所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（） A、60° B、45° C、30° D、22.5° 2.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五等分点 E A C D B O （图1） O （图2） （图5）
正多边形与圆2
教师姓名 学生姓名 填写时间 学科 年级 教材版本 课题名称 正多边形与圆 本人课时统计 第（ 、 ）课时 共（）课时 上课时间 教学目标 同步教学知识内容 掌握正多边形与圆的关系 个性化学习问题解决 解决正多边形的相关概念与各种计算 教学重点 勾股定理的运用以及概念的理解 教学难点 各种概念的理解 教 学 过 程 、 课 堂 设 计 知识点1 正多边形的相关概念 （1） 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 （2） 正多边形和圆：把一个圆n 等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个 圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 （3） 正多边形是对称图形。当n 为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心 对称图形。 （4） 与正多边形有关的概念： a 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心； b 正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径； c 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。正n 边形的每个中心角都等于 360/n ，正n 边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n. d 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。 例题1 圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 例题2 正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3 正n 边形是 对称图形，它的对称轴有 条 。 例题4
知识点2 正多边形的计算 1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。 2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。 3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距。 注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式 提示：解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决. 例题5如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。 例题6如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，若∠C ＝900 ，AD ＝4，BD ＝6，求图中阴影部分的面积。 ?第1题图 E F A B O C D 2 2 2 2?? ? ??+=a r R 2 O 1O ??例1图 B A
正多边形和圆及圆的有关计算
正多边形和圆及圆的有关计算 一、知识梳理： 1、正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成n （n ＞3）等分： （l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 正n 边形的每个中心角等于n 360 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。 若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 2、正多边形的有关计算 正n 边形的每个内角都等于n n 180)2(- 定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 3、画正多边形 (1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆 正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。 正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长 （1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180R n L π= 5、圆扇形，弓形的面积 （l ）圆面积：2R S π=； （2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形 注意：因为扇形的弧长180 R n L π=。所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形 （3）弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。 弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三
243正多边形和圆
24.3 正多边形和圆（第1课时） 学习目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，让学生尽可能讲出生活中的多边形. 重难点：1、正多边形和圆的关系． 2、通过例题使学生理解正多边形的半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系． 教学过程： 一、复习引入 请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？ 2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？ 其对称轴有几条，对称中心是哪一点？ 老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；?偶数边的正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点． 二、探索新知 如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能 够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，?正六边形 ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、 C、? D、 E、F都在这个圆上． 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可 以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 我们以圆内接正六边形为例证明． 如图所示的圆，把⊙O?分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF， 下面证明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF 又∴∠A=1 2 BCF= 1 2 （BC+CD+DE+EF）=2BC ∠B=1 2 CDA= 1 2 （CD+DE+EF+FA）=2CD ∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上 ∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正五边形ABCDEF的外接圆． 整个证明思路可总结为： 弧相等弦相等、圆周角相等多边形各边相等、各角相等多边形是正多边形为了今后学习和应用的方便， 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心． 外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 探究1：正多边形的边和半径形成了怎样的三角形？ 探究2：正多边形的边心距有什么特点？ 探究3：正多边形的半径和边心距又形成了怎样的三角形？ 探究4：正多边形的中心角跟边数n有怎样的关系？
24.3 正多边形和圆(2)
临夏县三角中学课时计划 一、教学内容 24.3 正多边形和圆（2） 二、教学目标 1. .巩固正多边形的有关概念、性质. 2.会运用等分圆的方法，画正多边形，会用尺规作图法画特殊的正多边形. 过程. 3.使学生会画正多边形，设计图案，发展学生的实践能力和创新精神. 三、重难点、关键 1．重点：会画正多边形 2.教学难点：用尺规作图法画特殊的正多边形 四.教具：圆规 五、教学过程 （一）、复习引入 1．什么叫做正多边形？ 2．什么是正多边形的边长、中心、半径、边心距、中心角？ 3．正多边形有哪些性质？ 4．正n边形的每个中心角都等于多少度？ 实际生活中经常会遇到画正多边形的问题，这些问题都和等分圆周有关系，这节课学习如何画正多边形. （二）、探索新知 用量角器等分圆周画正多边形 怎样就能等分圆周呢？ 分析：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以作相等的圆心角就可以等分圆，从而得到相应的正多边形. 用尺规作图等分圆周画特殊的正多边形 1.如何画一个半径为2cm正五边形？ 画图需要注意：画图时尽量减少误差，力求精确. 2.用上述画法画一个半径为3cm的正九边形.
3.如何画一个半径为2cm正六边形？在此基础上如何得到正三角形？ 4.如何画一个半径为2cm正方形（正四边形）？ 画正多边形的外接圆和内切圆 1.已知：正五边形ABCDE, 求作：正五边形ABCDE的外接圆和内切圆． 分析画法：画圆需要确定圆心和半径.正多边形的外接圆和内切圆的圆心都是各边垂直平分线的交点，本题的关键是确定圆心，只要作出两条边的垂直平分线，其交点就是圆心0，半径容易得到. 2.确定特殊正多边形的外接圆和内切圆的圆心的画法 1.正方形：画对角线，交点就是圆心. 2.正六边形：分别以两个顶点为圆心，以边长为半径画弧，在形内交于一点，该点就是圆心. 3.问题：任意正多边形的外接圆和内切圆的圆心的确定有怎样的普遍方法吗？（三）课堂练习完成课本107页练习 （四）、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1.复习正多边形的有关概念、性质以及正多边形和圆的关系. 2.正多边形的画法. 3.正多边形的外接圆与内切圆的画法. 4设计图案. 六、板书设计： 24.3 正多边形和圆 1.复习引入 3.课堂练习 2. 等分圆周画正多边形 4.课时小结 七、布置作业：习题24.3 2,7 题 八、作业收交及完成情况： 九、缺课学生及原因： 十、教学反思：
九年级上册数学《圆》正多边形和圆_知识点整理
正多边形和圆 一、本节学习指导 本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。 二、知识要点 1、正多边形 （1）、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。 （2）、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （4）、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （5）、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （6）、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 2、正多边形的对称性 （1）、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 （2）、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 （3）、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
24.3正多边形和圆 一、填空题 1． 在一个圆中，如果?60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________. 2． 正n 边形的中心角的度数是_______. 3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________. 4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________. 二、选择题 5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）. （A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定 6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）. （A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:3 7．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ） （A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）4 1 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 9．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影 部分面积为（ ）. （A ）（1-π）a 2 （B ）1-π （C ） 44π- （D ）4 4π-a 2 1. 3； 2. n o 360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD
正多边形和圆教案
24.3 正多边形和圆教案 教学任务分析 板书设计 课后反思
教学过程设计
问题与情境师生行为设计意图活动一：复习提问 1.什么样的图形叫做正多 边形？ 展示图片（课本P 113 页图 片），你还能举出一些这样的 例子吗？ 2.正多边形与圆有什么关系呢？ （引出课题） 活动二：等分圆周 问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？ 教师提出问题，学生进行 回答：各边相等，各角相等的 多边形叫做正多边形．并举出 生活中的例子． 教师可再展示一些图片让 学生欣赏． 学生根据教师提出的问题 进行思考，回忆圆的有关知识， 进而回答教师提出的问题．即 等分圆周，就可以得到圆内接 正多边形，这个圆叫做这个正 多边形的外接圆． 教师提出问题后，学生认 真思考、交流，充分发表自己 的见解，并互相补充．教师在 学生归纳的基础上进行补充， 并以正五边形为例进行证明． 复习正多边形的概 念，为今天的课程做准 备． 激发学生的学习兴 趣． 培养学生的思维品 质，将正多边形与圆联 系起来．并由此引出今 天的课题． 教学过程设计
教学过程设计
教学过程设计
问题与情境师生行为设计意图 活动五：方案设计 某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花 园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。 为了美观，种植要求如下： （1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月 季和一块杜鹃。（注意：面积相等必须由数学知识作保 证） （2）花卉总面积等于广场面积 （3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园 中间且与牡丹花没有公共边。 请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同 的方案类型不同．） 活动六：课堂小结 1.本节课中，你有什么收获与大家交流？ 2. 布置作业：P 116页：练习；P 117 页：2，4.并与大家交 流． 教师要关 注学生对问题 的理解，对等 分圆周方法的 掌握程度． 教师提出 问题后，让学 生认真思考 后，设计出最 美的图案，并 用实物投影展 示自己的作 品． 要求①尺 规作图；②说 明画法；③指 出作图依据； ④学生独立完 成． 教师巡 视，对画的好 的学生给予表 扬，对有问题 的学生给予指 导． 学生归纳 总结本节课的 内容，教师作 补充． 教师布置 作业，学生记 录． 应用等 分圆周的 方法作图． 发展学 生作图的 能力，对学 生进行美 的教育，发 展学生作 图能力． 巩固本 节课所学 的内容． 停 图5 扩展资料：
24.3 正多边形和圆教学设计
24.3 正多边形和圆 教学内容 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，?正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距． 2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法． 教学目标 1．知识与技能 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形． 复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容． 2．过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．?了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式． （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流． 3．情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望． 重难点、关键 1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系． 2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系． 教学过程 一、复习引入 请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？ 2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、?中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？ 老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；?正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点． 二、探索新知 如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线 为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆
正多边形和圆的计算
圆和正多边形的有关计算 (30分钟 50分) 一、选择题(每小题4分,共16分) 1.(2０1５·凉山州期末)☉O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是 ( ) A．∶2 ?B．1∶１ C.1∶?? D.∶ 【解析】选Ａ.如图所示,连接CO,过点O作OE⊥CD于点E,四边形AMNB是☉Ｏ的外切正方形,☉O切ＡB于点C,△CFD是☉O的内接正 三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则CO=,∠ＯＣＥ＝３０°，∴ＣE＝·coｓ3０°=, ∴☉Ｏ的内接正三角形的边长为2EC＝,∶a＝∶２． 2.（2０1５·广州越秀区期末)如图,ＡＢ与☉O相切于点B,OA=2,∠OAB＝３0°,弦ＢC∥OA,则劣弧的弧长是( )
A.???Ｂ.??Ｃ.?? D. 【解析】选Ｂ．连接ＯB，OC， ∵AB为☉O的切线, ∴∠ABO=９０°，在Rt△ＡBO中，OA=２,∠ＯAB=3０°, ∴ＯB=1,∠AOB=6０°, ∵ＢC∥OＡ,∴∠OBC=∠AOB=60°， 又OB＝OＣ,∴△BOC为等边三角形, ∴∠BＯＣ＝６0°,则劣弧的长为=. 3．如图，☉O为正五边形ＡＢCＤE的外接圆,☉O的半径为2,则的长为（ )
A.?? B.? C.?Ｄ. 【解析】选D.如图所示,∵☉O为正五边形AＢCDE的外接圆,☉Ｏ的半径为2, ∴∠AOB==72°， ∴的长为:=. 【知识拓展】正n边形的有关计算 (1)边长:ａｎ=２Ｒn·ｓin. (2)周长：P n=n·aｎ． (3)边心距:r n＝Rｎ·cos． （4)面积:Sｎ=aｎ·ｒn·ｎ. (5)每一个内角的度数为. （6)每一个外角的度数为.
正多边形和圆练习题
正多边形和圆练习题 1、如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 2、下面给出五个命题 （1）正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆 （2）各边相等的圆外切多边形是正多边形 （3）各角相等的圆内接多边形是正多边形 （4）正多边形既是轴对???图形又是中心对称图形 （5）正n边形的中心角，且与每一个外角相等 其中真命题有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3、正五边形ABCDE中，已知△ABC面积为1，则这正五边形面积是（） A． B．
C． D． 4、如果一个正三角形与一个正六边形的面积相等，那么它们的周长之比是（）A．1：2 B．：2 C．：2 D．：3 5、正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为（） A．4 B．2 C．4 D．2 6、如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是（） ①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长； ②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长； ③弧AC=弧BC； ④∠BAC=30°．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 7、以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，则 （） A．这个三角形是等腰三角形 B．这个三角形是直角三角形 C．这个三角形是锐角三角形 D．不能构成三角形 8、如图，一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径为（） A．r B．1.5r C．r D．2r 9、下列命题中的真命题是（） A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径 C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍 D．各边相等的圆外切多边形是正方形
正多边形与圆 练习题
正多边形与圆 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.3 6 D.34 4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( ) A.S 3>S 4>S 6 B.S 6>S 4>S 3 C.S 6>S 3>S 4 D.S 4>S 6>S 3 5.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.3 3 6.已知正多边形的边心距与边长的比为 21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ） A. 33 B. 233 C. 23 D. 223 已知正六边形边长为a ，求它的内切圆的面积_________。 7.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 8.中心角是45°的正多边形的边数是__________. 9.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 10.若正n 边形的一个外角是一个内角的3 2时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 11.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm. 12.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度. 如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm 2，则正八边形ABCDEFGH 的面积为 cm 2．
正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后试
+典型正多边形和圆知识点整理 例题+课后试
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个性化辅导教案 学生年级： 上课时间：2016年 月 日 时 分至 时 分共 小时 教学标题 正多边形和圆 教学重难点 知识梳理： 1、 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、 正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫 做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的 一边的距离叫做正多边形的边心距。 正多边形的中心角与外角的大小相等。 3、 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 180°。 4、 圆内接正n 边形的性质(n >3,且为自然数)： (1) 当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。 (2) 当n 为偶数时，圆内接正 n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即 外接圆的圆心。 5、 常见圆内接正多边形半径与边心距的关系： (设圆内接正多边形的半径为 r ，边心距为d) 1 (1)圆内接正三角形：d r (2)圆内接正四边形： d S 2 (3)圆内接正六边形： d 3 2 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系： (1)圆内接正三角形：x .3r (2)圆内接正四边形： x 2r (3)圆内接正六边形： x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1) 用量角器等分圆周。 (2) 用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 正n 边形每一个内角的度数为： n 2 180 n 正n 边形的一个中心角的度数为: 学生姓名: 授课教师： ____________ 所授科目： _____________________ 360 n
正多边形与圆
知识点1 正多边形的相关概念 （1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 （2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边 形的中心。 （3）正多边形是对称图形。当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。 （4）与正多边形有关的概念： a正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心； b正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径； c正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n. d正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。 例题1 圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 例题2 正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3 正n边形是对称图形，它的对称轴有条。 例题4 正n边形的每个内角是，每个中心角是。 知识点2 正多边形的计算 1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。 2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。 3.在正n变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；
底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距。 注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式 . 提示：解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决. 例题5 【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。 例题6 1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，若∠C ＝900，AD ＝4，BD ＝6，求图中阴影部分的面积。 2 2 2 2?? ? ??+=a r R 2 O 1O ?? 例1图 B A
24.6正多边形和圆(2)(正多边形的画法).
活动1 多姿多彩的正多边形:生活中的正多边形图案 1 24.6正多边形和圆 2 正多边形的画法 II O
几种常见的正多边形 活动2由扌正，边形虚＜产?丄渚实酥屮韦广^^ 的走用*L 所＜4合■正9it形;6足槽乂*务* 力走—0 怎样画一个正多边形呢？已知?O的半径为2＜3?,求作圆的内接正三角形. 这种作法是不是等①用*角器度*,使 ZAOB=ZBOC=ZCOA =120°? ②用*角《或30?角的三角板度*,使 ZBAO=ZCAO=30° ?
分圆呢？为什么呢？请说依据。
丁活动3 你能用等分圆的方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？ 用量角器等分圆 由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中, 先用量角器作一个等于竺的圆心角，这个角所对的 1 〃 弧就是圆周的丄，然后在圆周上一次截取这条弧的等n 弧，就得到圆的兄等份点，从而作出止ZI边形。 活动3 正六边形 你能画出正四边形.正五边形、 吗？ D 90。、、
在七年级上册4.6节“用尺规作线段与角" 的“教学 活动”中，曾介绍过画正五角星, 你述记得是怎么画 的吗？下面就來研究这样画的道理。 (正五角星就是这样作出的) 活动4 用尺规等分圆周 对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规來等分圆周。 止四边形的作法 如图24-57 ( 1 ),用直尺和圆规作OO 的两条相互垂直的育径，就可以把?O 分 成4等份，从而作出止四边形。 C 我们再逐次平分各边所对的弧，就可 以作出正八边形［图24-57 (2)］、正十六 边形等。
活动4 也能够这样进行尺规作图吗? 活动5 用尺规等分岡周 对于?些特殊的正n 边形， 止六边形的作法 如图24-58 (I),设OO 的半径为R,通常先作出?O !一条直径AB,然后分别以点A, B 为圆心.R 为半径作 L 与OO 交于点C, D, E, F,从而得到OO 的6等份点, :出止八边形。 24-58 只 申已知?O 的互 相垂 $直径即得圆内 接正方 形，再过圆心作 各边的垂线与OO 相交， 或作各中心角的角平分 线与?O 相交，即得 接正 八边形，照此方法 为什么？ 依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十 四边形 可以用直尺和圆规來等分圆周’ A D C R 园 B B
243正多边形和圆
24.3 正多边形和圆 班级姓名N O：24013 学习目标:正多边形和圆的有关概念,正多边形和圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．正多边形的画法 学习重点:正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系 学习难点:正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系． 学习过程 一、知识掌握104—106页,正多边形及相关概念 1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形． 2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距． 4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________． 5．设正n边形的半径为R，边长为a n，边心距为r n，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积S n=________． 6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______． 7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______． 8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______． 相关练习105页1,2,3 二、正多边形计算105页例题 三、练习 1．正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为4cm，则这个正六边形的边长为______cm，面积为______cm2． 2．等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比为______． 3．若等边三角形的边长为3，则它的外接圆的半径的长为______． 4．一个正三角形与一个正六边形的周长相等，则它们的面积之比为______． 5．已知正四边形的边心距为2，求它的外接圆的面积． 6．一个不等边三角形是不是一定有外接圆和内切圆?画图试一试．如果有，这两个圆是不是同心圆?
九年级数学： 正多边形和圆练习题(含答案)
一、选择 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.36 D.3 4 4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( ) A.S 3>S 4>S 6 B.S 6>S 4>S 3 C.S 6>S 3>S 4 D.S 4>S 6>S 3 5.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.6 3 B.43 C.332 D.33 6.已知正多边形的边心距与边长的比为2 1，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 二、填空 7.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 8.中心角是45°的正多边形的边数是__________. 9.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 10.若正n 边形的一个外角是一个内角的3 2时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 12-13初三 数学作业 总第（23）期 姓名 班级 学号 命题人：蔡文红 校对人： 杜荣丽 康梅红 正多边形和圆（2）
11.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm. 12.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度. 13.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为23，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 14.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全 覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 15、如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、 正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON. 图24-3-6 (1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数； (2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________； (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
243正多边形和圆同步练习人教新课标九年级上
的值为( ) 1 .2 A . — B . 2 2 C . 1 2 D .- 4 4 24.3正多边形和圆 1下列边长为a 的正多边形与边长为 a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是 ( ) (1) 正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形 A ? (1)(2) B ? (2)(3) C . (1)(3) D . (1)(4) 2.以下说法正确的是 ___________ A. 每个内角都是120 °的六边形一定是正六边形. B. 正n 边形的对称轴不一定有 n 条. C. 正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数. D. 正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形. (3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为 「3 ,「4, 「6，贝U 「3：「4：「6 等于( ) A . 1: . 2 : 3 B . , 3: . 2:1 C . 1:2:3 D . 3: 2:1 4.已知正六边形 ABCDEF 内接于O 0,图中阴影部分的面积为 12.3，则O O 的半径为 ABCD 内接于O 0,点E 在 A D 上，则/ BEC 6.将一块正六边形硬纸片(图1),做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒 (侧面均垂 直于底面，见图2),需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形 AGAH 那么/ GAH 5.如图，正方形 的大小是 _______ 度. 7. ( 2006年威海市)如图，若正方形 A 1 B 1 AB D A 1 B 1 C 1 D 1内接于正方形 ABCD 的内接圆，则
正多边形和圆(一)教学设计
正多边形和圆(一)教学设计 Regular polygon and circle (1) teaching desig n
正多边形和圆(一)教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标： 1、使学生理解正多边形概念； 2、使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形． 3、通过正多边形定义教学培养学生归纳能力； 4、通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力． 教学重点： （1）正多边形的定义； （2）n等分圆周（n≥3）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
教学难点： 对正n边形中泛指“n”的理解． 教学过程： 一、新课引入： 同学们思考以下问题： 1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？[安排中下生回答] 3．等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？[安排中上生回答：各边相等、各角相等]． 各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．这就是我们今天学习的内容“7.15正多边形和圆”． 二、新课讲解： 正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加生产劳动都是必要的．因此本节课首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形的定义和圆的有关知识推导出正多边形与圆的第一个关系定理，即n等分圆周就可得到圆的内接或外切正n边形，它是正多边形画图的理论依据，因此也是本节课的重点之一．
24.3正多边形和圆2教案
正多边形和圆教案 教学目标： （1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理； （2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力； （3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想． 教学重点： 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理． 教学难点： 对定理的理解以及定理的证明方法． 教学活动设计： （一）观察、分析、归纳： 观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？ 归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点． 教师组织学生进行，并可以提问学生问题． （二）正多边形的概念： （1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形． （2）概念理解： ①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….） ②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等． （三）分析、发现： 问题：正多边形与圆有什么关系呢？ 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆． 分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？ （四）多边形和圆的关系的定理 定理：把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 我们以n=5的情况进行证明． 已知：⊙O中，= = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线． 求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形； （2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形． 证明：（略） 引导学生分析、归纳证明思路： 弧相等 说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形． (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件． (3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形． （五）初步应用 P157练习
24.3正多边形和圆)
24.3正多边形和圆 5分钟训练（预习类训练，可用于课前） 1. 圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 A.扩大了一倍 C.扩大了四倍 思路解析：由题意知 圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化 . 答案：D 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为 A.3 : 2 : 1 B.4 : 3 : 2 n 边形的边长也扩大一倍，所 思路解析：如图，设正三角形的边长为 a , ( ) C.4 : 2 : 则高AD= ^a ， 2 所以 AD : OA : OD=3 : 2 : 1. 答案：A 3. ____________________ 正五边形共有 条对称轴，正六边形共有. 思路解析：正n 边形的对称轴与它的边数相同 . 答案：5 6 4. _______________________________________ 中心角是45°的正多边形的边数是 ___________________ . 360 O 思路解析：因为正 n 边形的中心角为 36匕，所以45 n 答案：8 5.（2010上海静安检测）已知△ ABC 的周长为20, △ ABC 那么BC= _____ . 思路解析：由切线长定理及三角形周长可得 . 答案:6 10分钟训练（强化类训练，可用于课中） 2 时，此时该正 3 思路解析：因为正 n 边形的外角为 色匕，一个内角为 n 所以由题意得型'2 ? （n —2）? 180 n 1.若正n 边形的一个外角是一个内角的 D.6 : 4 : 3 外接圆半径0A=逅a ,边心距 3 条对称轴. 型，所以n=8. n 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4, n 边形有 条对称轴. (n — 2)*180 ，解这个方程得n=5. 答案：5 2.同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是 （ ） A. 一 2 3 B. 4 76 C.一 3 4 D. 3 ，分别求出正三角形、正方形的边长，知应 选 思路解析：画图分析 答案：A 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 A. S 3、S 4、S 6之间的大小关系是（ ） n 边形的边长与半径之比（ ）