高中数学含参数不等式的解法

含参数的不等式（分类讨论）

一、解不等式问题（分类讨论）

1．解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x 解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x

当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或

当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-

2

()2.f x x ax a =--

若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠I ，求实数a 的取值范围。

点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不重不漏。

3． 已知a 是实数，函数2

()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零

点，求a 的取值范围．

解析：由函数()f x 的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就0a =和0a ≠两类情况进行讨论。

答案：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，

a=0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -?≤或

(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a

-≥??≥??

?=++≥??

?-∈-??15a ?≤≤

或a ≤

或5a ≥

?a ≤或a ≥1. 所以实数a

的取值范围是a 或a ≥1. 点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知

识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。

4．（本题满分12分）已知 2

()3(6)f x x a a x b =-+-+ （1）解关于a 的不等式(1)0f >．

（2）当不等式f(x)>0的解集为（－1，3）时，求实数,a b 的值． 4．解：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b =2

63a a b -++-

∵ f(1)>0 ∴2

630a a b -++-< ------------------- 2分 △=24+4b

当b ≤-6时，△≤0∴ f(1)>0的解集为φ；------------- 4分 当b>-6

时，33a <<∴ f(1)>0

的解集为{

}|33x a <<+--------- 6分

（2）∵ 不等式2

-3+(6-)+b>0x a a x 的解集为（-1，3）

∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解

∵2

3(6-)-b<0x a a x 解集为（-1，3）----------------- 8分

∴ ???

????

=-=3b 33)a 6(a 2------------------ 11分

解之得??

???=±=9b 33a ----------------------- 1２分

二、含参数不等式的恒成立

“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：

即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有

()M x f ≥恒成立()M x f ≥?min ； ()M x f ≤恒成立()M x f ≤?max .

因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.

1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当??

?

??∈2,

0πθ时，有 ()

()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.

分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。 【解析】由()

()022sin 2cos 2

>--++m f m f θθ得到：

()

()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ

因为()x f 为奇函数，

故有()

()22sin 2cos 2

+>+m f m f θθ恒成立，

又因为()x f 为R 减函数， 从而有22sin 2cos

2

+<+m m θθ对??

?

?

?∈2,0πθ恒成立

设t =θsin ，则01222

>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立， 在设函数()1222

++-=m mt t t g ,对称轴为m t =.

①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，

即21

-≥m ，又0

∴02

1

<≤-m (如图1)

②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,

()012442<+-=?m m m ,即0122<--m m ,

∴2121+

<<-m ,又[]1,0∈m ,

∴10≤≤m (如图2)

③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立. ∴1>m (如图3)

2