一元二次方程知识题型总结

15

1

2

x

x x x -+

=-一元二次方程知识题型总结

一、知识与技能的总结

（一）概念

一元二次方程——“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高次数是2”． 一元二次方程的一般形式——20(0)ax bx c a ++=≠，按未知数x 降幂排列

方程的根（解）——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数． （二）一元二次方程的解法——把一元二次方程降次为一元一次方程求解

1．直接开平方法——适用于 的方程． 2．配方法——适用于所有的一元二次方程； （1）“移项”——使得 （2）“系数化1”——使得 （3）“配方”——使得 （4）“求解”——利用 解方程 3．公式法——适用于 的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系， （1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a 、b 、c ； （2）先求出24b ac ?=-的值，若240b ac ?=-≥，则代入公式 ．

若240b ac ?=-<，则 ；

4．因式分解法——适用于 的方程．

用因式分解法解一元二次方程的依据是：0A B ?=? ．

通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个 方程的解．

（三）其它知识方法

1．根的判别式：24b ac ?=-，是解方程的 过程中产生的

（1）若240b ac ?=->，则方程有 解；（2）若240b ac ?=-=，则方程有 解； （3）若240b ac ?=-<，则方程有 解； 2．换元法

（1）2(21)3(21)40x x +-+-=； （2）

222(1)3(1)(2)2(2)0x x x x +++---=

（3）．

3．可化为一元二次方程的分式方程

解方程63

1(1)(1)1

x x x -=+--

二、典型题型的总结

（一） 一元二次方程的概念 1．（一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式： （1）x x 3252

=-——

（2）015622

=--x x ——

（3）5)2(7)1(3-+=+y y y —— （4） m m m m m m 57)2())((2-=-+-+

——

（5）2

2

)3(4)15(-=-a a —— 2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值）

(1)m = 时，关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2

=+--是一元二次方程。

(2)若分式01

872=---x x x ，则=x

3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）

(1)关于x 的一元二次方程01)1(2

2=-++-a x x a 有一个根为0，则=a

(2)已知关于x 的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，

则=++c b a ，=+-c b a (3)已知2是关于x 的方程

2

3202

x a -=的一个根，则21a -的值是 (4)已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032

=+-c x x 的一个根的相反数是方程

032=-+c x x 的一个根，则方程032=-+c x x 的根为 ，c=

（二）一元二次方程的解法 4．开平方法解下列方程：

（1）012552

=-x （2）289)3(1692

=-x

（3）03612

=+y （4）0)31(2=-m

（5）20.010y -=； （6）21

0.503

x -=；

（7）2

(31)90x +-=． （8）

85

)13(22

=+x

5．用配方法解下列各方程：

（1）2280x x --=； （2）0152

=++y y ；

（3）3422

-=-y y （4）2324x x -=

（5）22300x -=； （6）211

063

x x +-=．

6．用公式法解下列各方程：

（1）2220x x --=； （2）2227x x +=；

（3）2

3412

y y =-； （4）3(32)1x x -=-．

（5）2632

-=x x （6）p p 3232=+

（7）y y 1172

= （8）2592

-=n n

（9）3)12)(2(2---=+x x x

7．用因式分解法解下列各方程：

（1）094

12

=-x ； （2）230x =

（3）02172

=-x x （4）04542

=-+y y

（5）031082

=-+x x （6）1)5(2)5(2

--=-x x

（7）2(1)2(1)3x x +-+=； （8）224(3)25(2)x x +=-．

（9）7(3)39x x x -=- （10）6223362

-=-x x x

（11）08)3(2)3(2

2

2

=-+-+x x x

8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：

（1）128)72(22=-x （2）2

22)2(212m m m m -=+-

（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）3

)

13(2)23(332-+-=+y y y y y

（5）2

2

)3(144)52(81-=-x x

9．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：

（1）022

2

2

=-+-n m mx x （2）12432

2

+-=+a ax a x

(3)n m nx x n m -=++2)(2

（0≠+n m ） (4)x a x a x x a )1()1()1(2

2

2

2

-=--+-

（三）一元二次方程的根的判别式

10．不解方程，判别方程根的情况：

（1）4x x x 732

=+- ——

（2）x x 4)2(32

=+ ——

（3）x x 54542

=+ ——

11．k 为何值时，关于x 的二次方程0962

=+-x kx

（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根 （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根 （3）k 满足 时,方程无实数根

12．已知关于x 的方程2340mx x -+=，如果0m <，那么此方程的根的情况是（ ）． A ．有两个不相等的实根 B ．有两个相等的实根 C ．没有实根 D ．不能确定 13．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）．

A ．有两个不相等的实根

B ．有两个相等的实根

C ．没有实根

D ．不能确定 14．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）． A ．2m ≠ B ．6m ≤且2m ≠ C ．6m < D ．6m ≤

15．已知0k >，且方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k 的值等于（ ）．

A ．

B ．±

C ．3或4-

D ．3 16．若关于x 的方程2430kx x -+=有实根，则k 的非负整数值是（ ）． A ．0，1 B ．0，1，2 C ．1 D ．1，2，3 17．已知关于ｘ的方程m x m x -=+-1)2(42

有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方

程的根．

18．方程054)1(22

2

=-++++a a x a x 有实数根，求正整数a.

19．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(2

2

2

=++-+m mx x m 无实数根.

20．设m 为整数，且404<

2

=+-+--m m x m x 有两个

相异整数根，求m 的值及方程的根。

21． k 为何值时，方程0)3()32()1(2

=+++--k x k x k 有实数根.

（四）一元二次方程的应用

22．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.

23．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.

24．一个两位数，两个数位上的数字之和为6，两个数之积等于这个数的三分之一，求这个两位数．

25．已知：如图，在一块长80cm，宽60cm的白铁片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积是15002

cm的没有盖的长方

体盒子，问截去的小正方形边长是多少？

60cm

80cm

26．某林场准备修一条长1000米，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.4万平方米，上口宽比渠面深多2.3米，渠底宽比渠深多0.3米． （1）渠道的上口与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土70立方米，需要多少天才能把这条渠道的土挖完？

27．据有关资料显示，我国农产品出口总量中，初级产品占五分之四，深加工产品占五分之一．由于在国际市场上，初级产品的价格较低，不利于出口创汇，所以加入WTO 后，必须尽快改变这种出口结构．假设我国每年农产品出口总量不变，两年后将深加工产品的出口比重提高到十分之三，问平均每年比上年提高的百分数是多少？（结果精确到

0.1% 1.414 1.732≈ 2.236≈）

28．旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年．如果第一年的折旧率为20%，以后折旧率有所变化；现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆车第二年、第三年平均每年的折旧率．

29．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？

30．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不计利息税）

31.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.

东

32．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

33．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距102千米？

34．如图，东西和南北向两条街道交于O 速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3过O 点又继续前进50米时，甲刚好通过O 点，求这两人在相距时，每个人的位置。

35．已知关于x 的方程01)1(2

=++-mx x n ①有两个相等的实数根.

(1)求证：关于y 的方程03222

2

2

2

=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。

(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122

+的值。

36．一次函数6+-=x y 和反比例函数x

k y =

，（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个公共点为A 、B ，AOB ∠是锐角

还是钝角？

37．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错；若有错，请你写出正确答案． 已知m 是关于x 的方程220mx x m -+=的一个根，求m 的值． （1）将x m =代入原方程，化简，得3m m =． （2）两边同除以m ，得21m =，所以1m =．

（3）把1m =代入原方程检验，可知1m =符合题意，所以1m =．

38．要使关于x 的方程210x bx ++=与20x x b --=有且只有一个公共根，求b 的值．

39．是否存在使函数2310

2

x x y x --=+的函数值为0的x 值，若存在，就把它求出来；若不

存在，请说明理由．

40．*解下列分式方程：

（1）831x x -=-； （2）11322x x x x

-=---；

（3）2211

423

x x x +=--； （4）

2213211x x x x -+=--；

（5）63371x x x x +-=+； （6）2

56011

x x x x ??-+= ?

++??．

（五）＊根系关系

若20(0)ax bx c a ++=≠中，有0?≥，则有：

1x = 1x =

可推出：12x x += ； 12x x ?= ；

根据一元二次方程的根与系数关系解答下列问题：

41．如果是α、β是方程2234x x +=的两个根，则22αβ+的值为（ ）． A ．1 B ．17 C ．6.25 D ．0.25

42．已知1x 、2x 是方程220x ax c +-=的两个实数根，则12122x x x x +-等于（ ）． A ．2

a

c +

B ．2a c --

C ．2a c -+

D ．2a c -

43．设1x 、2x 是方程22630x x -+=的两个实数根，则1221

11

()()x x x x ++的值为（ ）

． A ．14

6 B ．2

53

C ．16-

D ．146- 44．方程2380x x m -+=的两根之比为3:1，则m 等于（ ）． A ．4 B ．4- C ．3 D ．5

45．已知一个直角三角形的两条直角边的恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）．

A

B ．3

C ．6

D ．9 46已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．