②M ?N =(
a a +1+
b b +1)?(1a +1+1
b +1
) =
a (a+1)
2+
a+b (a+1)(b+1)
+
b (b+1)2
，
∵a +b =0
∴原式=a (a+1)2+b
(b+1)2
=
a(b +1)2+b(a +1)2
(a +1)2(b +1)2
=4ab
(a +1)2(b +1)2
∵a ≠?1，b ≠?1，∴(a +1)2(b +1)2>0，
当a 和b 同号时，ab ≥0，M ?N ≥0， 当a 和b 异号时，ab ≤0，M ?N ≤0．
∴②错． 故选：D ．
①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论； ②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论． 本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
3.【答案】D
【解析】 【分析】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．归纳总结得到一般性规律，即可得到结果． 【解答】
解：由a 1=n ，得到a 2=1?1
a 1
=1?1
n =
n?1n
，a 3=1?1a 2
=1?n n?1=?1n?1=1
1?n ，
a 4=1?1
a 3
=1?(1?n)=n ，
以n ，
n?1n
，1
1?n 为循环节依次循环，
∵2013÷3=671， ∴a 2013=1
1?n ． 故选D ．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是分式的基本性质的有关知识，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
由题意利用分式的基本性质对给出的各个选项进行逐一分析即可． 【解答】
A .当m ≠0时，b
a =bm
am ，所以本选项错误; B .
x 2+x 1?x 2
=x (x+1)
(
1+x )(1?x )=
x 1?x
，所以本选项错误;
C .0.1x?y
x+0.2y =x?10y
10x+2y ，所以本选项错误; D .
(b?a )2a?b
=
(a?b )2a?b
=a ?b ，所以本选项正确．
故选D ．
5.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查了分式的基本性质．在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【解答】 解：分式
a+2b ab
中的a 和b 都扩大2倍，则分式变为
2a +2×2b 2a ×2b =2(a +2b )4×ab =24×a +2b ab =12×
a +2b
ab
分式的值缩小2倍， 故选D ．
6.【答案】D
【解析】 【分析】
本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方运算：负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1. 有理数比较大小：正数>0；0>负数；两个负数，绝对值大的反而小．根据负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂的定义将a 、b 、c 、d 的值计算出来，然后比较大小即可． 【解答】
解：因为a =?3?2=?1
9， b =?0.32=?0.09， c =(?13)
?2
=
1
(?13
)2
=9，
d =(?15)0
=1，
因为?1
9d >a >b. 故选D ．
7.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查分式的值为0的条件和等腰三角形的判定，关键是先根据分式的值为0得{(a ?c)(b ?c)=0a =b ≠0再求解即可解答． 【解答】
解：由题意得{
(a ?c)(b ?c)=0
a =
b ≠0, 解得a =
c 或b =c 且a ≠b ， ∴△ABC 是等腰三角形． 故选B ．
8.【答案】B
【解析】试题分析：x ，y 都扩大3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x 和3y.用3x 和3y 代替式子中的x 和y ，看得到的式子与原来的式子的关系． 用3x 和3y 代替式子中的x 和y 得：3x+3y
2(3x)(3y)=3(x+y)18xy
=13
×
x+y 2xy
，
则分式的值缩小成原来的1
3，即缩小3倍． 故选B ．
9.【答案】D
【解析】解：∵分式x+y
2xy2
中的x和y都扩大3倍，
∴3x+3y
2×3x×(3y)2=1
9
?x+y
2xy2
，
故选：D．
先求出x和y都扩大3倍后的算式，再与原式比较即可．
本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是求出x和y都扩大3倍后的算式．10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了分式的基本性质，如果分式的分子分母乘以(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变，解答此题可将分子分母中的字母都变为原来的3倍，再利用分式的基本性质化简比较即可得到答案．
【解答】
解：原式=3×3y
6x?3y
，
=3×3y
3(2x?y)
，
=3y
2x?y
．
∴分式的值没变，
故选B．
11.【答案】C 【解析】解：2(a+b)
2×2a
=a+b
2a
．
则分式值不变．
故选：C．
根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的任何一项扩大2倍，再约分即可．
本题主要考查分式的基本性质，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质和约分．12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查分式及其性质，根据分式的基本性质进行化简计算即可．
【解答】
解：∵分式
xy
x+y
(x+y≠0)中的x，y都扩大3倍，
∴3x·3y
3x+3y
=9xy
3(x+y)
=3·xy
x+y
，
∴分式的值扩大为原来的3倍．
故选A.
13.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了分式的基本性质，注意分母扩大了100倍，分子扩大了10倍．根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的结果不变，可得答案．
【解答】
解：分式2x+3y
x 2?y 2的x 、y 均扩大为原来的10倍后，则分式的值变为原分式的1
10， 故选A ．
14.【答案】A
【解析】 【分析】
此题主要考查了完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0，所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值.把p 重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值． 【解答】
解：p =a 2+2b 2+2a +4b +2008， =(a 2+2a +1)+(2b 2+4b +2)+2005， =(a +1)2+2(b +1)2+2005，
当(a +1)2=0，(b +1)2=0时，p 有最小值， 最小值最小为2005． 故选A ．
15.【答案】±√3
【解析】 【分析】
本题主要考查分式的化简求值和完全平方公式，由原式得出a 2+?1?
a 2的值是解题的关键．
【解答】
解：∵a +1
a =√7，
∴(a +?1
?a )2=7，即a 2+2+?1?
a 2?=7， ∴a 2+?
1?a 2?=5，
则((a ??1?a )2=a 2+?1 a 2
?2=3,
∴a ?
?1?a
?=±√?3，
故答案为：±√3．
16.【答案】3
5
【解析】 【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，关键是熟练掌握分式的加减运算法则.先根据已知利用分式的加减整理可得y ?x =3xy ，然后整理所求的分式整体代入化简可得结果． 【解答】 解：∵1
x ?1
y =3， ∴
y?x xy
=3，
∴y ?x =3xy ， ∴原式=
2(x?y )+3xy
(x?y )?2xy =?6xy+3xy ?3xy?2xy =?3xy ?5xy =3
5．
故答案为3
5．
17.【答案】x≥?2
【解析】
【分析】
本题考查的是函数自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可得到答案．
【解答】
解：根据二次根式有意义，分式有意义得，
x+2≥0且x+3≠0，
解得x≥?2且x≠?3，
所以x的取值范围是x≥?2，
故答案为x≥?2．
18.【答案】25
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方公式及等式的性质，题目难度较大．解决本题的关键是根据a+b+
c=0，利用等式的性质得到2
bc +2
ac
+2
ab
的值．
由1
a +1
b
+1
c
=?5，利用完全平方公式得到1
a
+1
b
+1
c
+2
ab
+2
ac
+2
bc
=25，根据a+b+
c=0，两边都除以abc，求出2
bc +2
ac
+2
ab
的值代入即可．
【解答】
解：∵1
a +1
b
+1
c
=?5，
∴(1
a
+1
b
+1
c
)
2
=25，即1
a2
+1
b2
+1
c2
+2
ab
+2
ac
+2
bc
=25，
∵a+b+c=0，abc≠0，
∴2
abc
(a+b+c)=0，
∴2
bc
+2
ac
+2
ab
=0，
∴1
a2
+1
b2
+1
c2
=25．
故答案为25．
19.【答案】x?1
x?2
【解析】解：y2=
1
1?1
x?1
=1x?2
x?1
=x?1
x?2
；
y3=1
1?x?1
x?2
=1?1
x?2
=2?x；
y4=1
1?(2?x)
=1
x?1
，
则y的值3个一次循环，则y2015=y2=x?1
x?2
．
故答案是：x?1
x?2
．
首先把y1代入y2，利用x表示出y2，进而表示出y3，y4，得到循环关系
本题考查了分式的混合运算，正确对分式进行化简，求得y2、y3、y4的值，得到循环关
系是关键．
20.【答案】3、4、6
【解析】解：由于同号得正，
当m?2>0，即m>2时，
代数式4
m?2
的值是正数
因为4除以1、2、4的结果为整数，
所以m?2可等于1、2、4，
所以m可取3，4，6．
即当m=3、4、6时，代数式4
m?2
的值是非负整数．
故答案为：3、4、6．
非负整数就是正整数和0，由于分子为4，所以结果不可能是0，根据整除的意义，先确定m?2的值，再确定m的值．
本题考查了分式的值及分式有意义的条件．解决本题的关键是理解非负整数数和整除的意义.0和正数叫非负数，0和正整数叫非负整数．
21.【答案】1
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是利用分式的两边同时除以不为0的数，等式不变．
a2?3a+1=0两边同时除以不为a的数，再化简求解即可．
【解答】
解：∵a2?3a+1=0，
∴a2+1=3a，
∴a+1
a
=3，
a+1
a ?3=3?2=1，
故答案为1．
22.【答案】7
50
【解析】
【分析】
本题考查根据所给条件对分式化简求值.设3
a
=4
b
=5
c
=1
k
，进而用含k的式子表示a，b，
c.再代入分式化简即可．
【解答】
解：设3
a
=4
b
=5
c
=1
k
，则a=3k，b=4k，c=5k，
则分式
ab?bc+ac
a2+b2+c2
=
3k·4k?4k·5k+3k·5k
9k2+16k2+25k2
=7k2
50k2
=7
50
23.【答案】3或1
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的乘方及零指数幂.分情况考虑底数是1或非零的零指数幂或底数是
?1指数是偶次方这三种情况，解答即可．
【解答】
解：当m?2=1时，即m=3时，(m?2)m?3=1，
当m?3=0时，即m=3时，m?2≠0，(m?2)m?3=1，
当时，即m=1时，m?3=?2是偶数，(m?2)m?3=1，
则m=3或m=1．
故答案为3或1．
24.【答案】m>1
【解析】
【分析】
本题主要考查分式有意义的条件.原式分母配方为完全平方公式还剩m?1，只需要m?1>0即可．
【解答】
解：∵x2?2x+m=(x?1)2+m?1，
又∵(x?1)2≥0，
∴当m?1>0时，
即m>1时，不论x取何实数，x2?2x+m恒大于零，分式总有意义．
故答案为m>1．
25.【答案】3
【解析】解：由a+b?3ab=0得
a+b=3ab
1 a + 1 b
=a+b
ab
=
3ab
ab
=3．
故答案为3．
由a+b?3ab=0得a+b=3ab1
a
+1
b
=a+b
ab
=3ab
ab
=3．
本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的混合运算法则是解题的关键．
26.【答案】2015
【解析】
【分析】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意得出规律
f(x)+f(1
x
)=1，原式结合后计算即可得到结果．
【解答】
解：∵f(x)=x
1+x
，
∴f(x)+f(1
x
)=x
1+x
+
1
x
1+1
x
=x+1
x+1
=1，
∴原式，
故答案为2015．
27.【答案】19
【解析】解：若a?b=3，b?c=2，
则a?c=5．
a2+b2+c2?ab?ac?bc
=1
2
(2a2+2b2+2c2?2ab?2ac?2bc)
=1
[(a?b)2+(a?c)2+(b?c)2]
=1
2
(9+25+4)
=1
2
×38
=19．
故答案为19．
根据已知条件求出a?c的值，再构造完全平方公式，整体代入即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是构造完全平方公式，善于利用整体思想．28.【答案】7或?5
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解?运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的特征判断即可求出k的值．
【解答】
解：∵原式可用完全平方公式分解，
∴k?1=±6，
∴k=1±6，
即k=7或?5．
故答案为7或?5．
29.【答案】?25【解析】
【分析】
本题主要考查了解二元一次方程组和代数式的求值，分解因式的运用，解答此题可将两个方程相加的和除以5得到a+b的值，用第二个方程减去第一个方程可得m?n的值，然后将代数式分解因式代入计算即可．
【解答】
解：{
2m+3n=15①
3m+2n=10②
,
②?①得：m?n=?5，
①+②得：5m+5n=25，即m+n=5，
∴m2?n2=(m+n)(m?n)=5×(?5)=?25．
故答案为?25．
30.【答案】(x+3)(3x?4)
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解?十字相乘法等，解此题的关键是熟练掌握“十字相乘法”分解因式，题目比较好，难度一般．根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x?12=(x+ 3)(3x?4)即可．
【解答】
解：3x2+5x?12=(x+3)(3x?4)．
故答案为：(x+3)(3x?4)
31.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
把已知的式子化成1
2
[(a?b)2+(a?c)2+(b?c)2]的形式，然后代入求解．
【解答】
解：∵a=2019x+2018，b=2019x+2019，c=2019x+2020，
∴a?b=?1，a?c=?2，b?c=?1，
则原式=1
2
(2a2+2b2+2c2?2ab?2ac?2bc)
=1
2
［(a2?2ab+b2)+(a2?2ac+c2)+(b2?2bc+c2)］
=1
2
[(a?b)2+(a?c)2+(b?c)2]
=1
×(1+4+1)
=3．
故答案为3．
32.【答案】解：∵a+a?1=3，∴a+1
a
=3，
则(a+1
a )2=9，即a2+2+1
a2
=9，
a2+1
a
=7，
∴(a2+1
a2)2=49，即a4+1
a4
+2=49，
则a4+1
a4=47．
【解析】由a+1
a
=3可得(a+1
a
)2=9，即a2+2+1
a2
=9，据此得a2+1
a2
=7，进一步
可得(a2+1
a2
)2=49，即a4+1
a4
+2=49，从而得出答案．
本题主要考查分式的运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
33.【答案】解：(1)原式=1
4
(4x2?4xy+y2)=1
4
(2x?y)2．
当2x?y=√2009时，原式=2009
4
．
(2)原式=2x?3?x
x
×x
x2?9
=
x?3
x
×
x
(x+3)(x?3)
=1
x+3
；
当x=?2时，原式=1．
(注：只要x≠0，±3均可)
【解析】(1)利用因式分解的知识，把x2?xy+1
4
y2变形为1
4
(2x?y)2，再进一步整体
代入求解；
(2)首先对分式进行化简计算，在确定x的值的时候，特别注意保证分式有意义，即x≠0，
±3．
(1)中，注意运用整体代入的思想，结合因式分解的知识进行求解；(2)中，特别注意分
式有意义的条件：分母不能为0．
34.【答案】解：∵|a?1|+|ab?2|=0，
∴a?1=0且ab?2=0，
解得：a =1，b =2，
∴1ab +1(a +1)(b +1)+1(a +2)(b +2)+?+1(a +2004)(b +2004) =
11×2+12×3+13×4+?+
1
2005×2006
=1?12+12?13+13?14+?+12005?
1
2006 =1?
1
2006
=20052006
．
【解析】由绝对值的结果为非负数，根据两个非负数之和为0，两非负数同时为0，得到a ?1=0且ab ?2=0，可得出a 与b 的值，将求出的a 与b 的值代入所求的式子中，根据1
n(n+1)=1
n ?1
n+1将各项变形，合并抵消后即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，涉及的知识有：非负数的性质：两非负数之和为0，两非负数同时为0，以及拆项法，即式子1
n(n+1)=1
n ?1
n+1的运用，是一道中考中常考的题型．
35.【答案】解：设
y+z x
=
x+z y
=
x+y z
=k ，
则：{y +z =kx(1)x +z =ky(2)x +y =kz(3)
，
(1)+(2)+(3)得：2x +2y +2z =k(x +y +z)， ∵x +y +z ≠0， ∴k =2，
∴x +y =2z ，y +z =2x ，x +z =2y ，
∴原式=2z·2y·2x xyz
=
8xyz xyz
=8．
【解析】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k ”法．根据提示，先设比值为k ，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k 的值是2，然后把x +y =2z ，x +z =2y ，y +z =2x 代入所求代数式． 36.【答案】解：(1)x?1
x?2=x?2+1x?2=1+
1x?2
，x 4+3x 2?1x 2+1
=
x 2(x 2+1)+2(x 2+1)?3
x 2+1
=x 2+2?3
x 2+1；
(2)
2x?1x+2
=
2(x+2)?5x+2
=2?5
x+2，
当x +2=1，5，?1，?5，即x =?1，3，?3，?7时，分式的值也为整数．
【解析】(1)两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
(2)原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x 的值． 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
37.【答案】解：(1)∵a ≠0，a 2?3a +1=0，
∴a +1
a =3，
两边平方得：(a +1a )2
=9，
∴a 2+2+
1a 2
=9，
∴a 2+
1
a 2
=7; (2)∵1
x +x =3，
∴x2+1=3x，
∴
x2
x4+x2+1
=
x2
(x2+1)2?x2
=
x2
(3x)2?x2 =
x2
8x2
=1
8
.
【解析】本题考查了利用整体代入法求分式的值，其中运用了等式的性质，完全平方公式，分式的约分．解题关键是把求值的代数式进行变形，然后运用整体代入法求值．
(1)先把条件等式的两边都除以一个不为0的数a，得出a+1
a
=3，再两边平方即得答案．在运用完全平方公式时不要忘记了“乘积的2倍”．
(2)先对条件等式两边都乘以x，得出x2+1=3x，再把求值的代数式变形为x2
(x2+1)2?x2
，然后整体代入，再约分即可．38.【答案】解：(1)∵a+b=0，
∴a=?b，
∴a2=b2，
∵f(a)=a2
a2+1
，f(b)=b2
b2+1
，
∴f(a)=f(b);
(2)∵f(n)+f(1
n
)=n2
n2+1
+(
1
n
)
2
(1
n
)
2
+1
=1，
∴原式=f(1)+[f(2)+f(1
2
)]+[f(3)+f(1
3
)]+···+[f(n)+f(1
n
)]
=1
2
+1+1+?+1=n?1
2
．
(3)f(a)理由如下：
f(a)?f(a+1)=
a2
a2+1
?
(a+1)2
(a+1)2+1
=?(2a+1)
(a2+1)[(a+1)2+1]
，
∵a>0，
∴?(2a+1)<0，a2+1>0，(a+1)2+1>0，
∴?(2a+1)
(a2+1)[(a+1)2+1]
<0，
即f(a)?f(a+1)<0，
∴f(a)【解析】本题考查了分式的加减法，运用了整体代入法求值化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
(1)由已知条件：a+b=0，可得a2=b2，再把a，b代入公式可得f(a)=a2
a2+1
，f(b)=
b2
b+1
，因此f(a)=f(b)．
(2)把n和1
n 分别代入公式可得：f(n)+f(1
n
)=n2
n2+1
+(
1
n
)
2
(1
n
)
2
+1
=1，因此原式运用加法的
结合律和所得出的规律计算即可求出值．
(3)先猜想f(a)39.【答案】解：设另一个因式为x+n，得x2?4x+m=(x+3)(x+n)，则x2?4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴{
n+3=?4
m=3n，
解得，{
n=?7
m=?21，
∴另一个因式为x?7，m的值为?21．
【解析】本题考查了多项式乘以多项式及因式分解的应用，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题关键．设另一个因式是(x+n)，则x2?4x+m=(x+3)(x+ n)=x2+(n+3)x+3n，根据对应项的系数相等即可求得n和m的值．
40.【答案】(1)C；
(2)方程两边同时乘以(a2?b2)，因为(a2?b2)的值有可能是0；
(3)△ABC是直角三角形或等腰三角形
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，以及等腰三角形的判定，找出阅读材料中解题过程中的错误是解本题的关键．
(1)上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a2?b2，没有考虑a2?b2是否为0；
(2)正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；
(3)根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．
【解答】
解：(1)上述解题过程，从第C步开始出现错误；
(2)正确的写法为：c2(a2?b2)=(a2+b2)(a2?b2)，
移项得：c2(a2?b2)?(a2+b2)(a2?b2)=0，
因式分解得：(a2?b2)[c2?(a2+b2)]=0，
则当a2?b2=0时，a=b；当a2?b2≠0时，a2+b2=c2；
所以错误原因为：方程两边同时乘以(a2?b2)，因为(a2?b2)的值有可能是0；(3)△ABC是直角三角形或等腰三角形．
故答案为(1)C；(2)方程两边同时乘以(a2?b2)，因为(a2?b2)的值有可能是0；(3)△ABC是直角三角形或等腰三角形．
41.【答案】(1)232?1；
(2)原式=1
2(3?1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=332?1
2
；
(3)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16).
当m≠n时，原式=1
m?n
(m?n)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)=
m32?n32
m?n
；
当m=n时，原式=2m?2m2?2m4?2m8?2m16=32m31．【解析】
【分析】
此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
(1)原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
(2)原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
(3)分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．
【解答】
解：(1)原式=(2?1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=232?1；故答案为：232?1；
(2)见答案；
(3)见答案．
因式分解及分式的计算测验题(题型全)
分式计算练习二 周案序 总案序 审核签字 一.填 空： 1.x 时，分式 4 2-x x 有意义； 当x 时，分式122 3+-x x 无意义； 2.当x= 时，分式 2 152x x --的值为零；当x 时，分式x x --11 2的值等于零. 3.如果b a =2，则2 222b a b ab a ++-= 4.分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； 5.若分式2 31 -+x x 的值为负数，则x 的取值范围是 . 6.已知2009=x 、2010=y ，则()??? ? ??-+?+4422y x y x y x ＝ . 二.选 择： 1.在 31x+2 1 y, xy 1 ,a +51 ,—4xy , 2x x , πx 中，分式的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2.如果把 y x y 322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A 、扩大5倍 B 、不变 C 、缩小5倍 D 、扩大4倍 3.下列各式：()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4.下列判断中，正确的是（ ）A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时，分式B A 无意 义 C 、当A=0时，分式B A 的值为0（A 、 B 为整式） D 、分数一定是分式 5.下列各式正确的是（ ） A 、11++= ++b a x b x a B 、22 x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 6.下列各分式中，最简分式是（ ）
因式分解、分式月考题(绝对经典)
1 蒲江中学实验学校2017年3月月考数学试题 A 卷（100） 一．选择题（每题3分，共30分） 1．在式子a a 25，1 x y x y --，πy x 25 ，y x y x +-2，4332c b a ，x a +5，y x 103+ ，y x +1中，分式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2.下列各式从左到右，是因式分解的是（ ） A.232344a b a b =? B.)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y C.)1)(1(1--=+--b a b a ab D.)32(322m m m m m --=-- 3.下列式子中，无论x 取何值，一定有意义的是（ ） B 221x x - C.2 (1)x + D 21x x + 4.下列运算正确的是（ ） A ．a b a b 11+-=+- B ．b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ C ．12316+=+a a D ．x y x y y x y x +-=+- 5.下列因式分解正确的是（ ） A ． 22242234)(2xy x y x y x x -=+- B ．)42)(42(4)2(22c b a c b a c b a -+++=-+ C ．)2)(5(10322+-=--m m n mn m D ．)1()()()(222m b a a b m b a --=--- 7.若解方程 x x x x x 2 2242 =---出现增根，则增根为（ ） A ．0或2 B ．0 C ．2 D ．1 8.使分式3 2 32---m m m 的值是整数的整数m 的值是( ) A. 0=x B.最多2个 C. 正数 D.共有4个 9.已知c b a ,,分别是ABC △的三边长，且满足,22222222444c b c a c b a +=++则ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10．从3,1,21,1,3--这五个数中，随机抽取一个数记为,a 若数a 使关于x 的不等式组?????-≥+0 37231 ＜） （a x x 无解， 且使关于x 的分式方程1323-=----x a x x 有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A.3- B.2- C.23- D.2 1 二．选择题(每题4分，共20分)： 11.若20)2017( )2016(--+-x x x 有意义，则x 的取值范围是__________. 12.若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 的值为 . 13. 5(1)(3)13 x A B x x x x +=- +-+-，则=+B A . 14．32454222-+-++y x y xy x 可取得的最小值为 。 15.若,06022=-+ab b a b a ，＞＞则 =-+a b b a 。 三．解答题： 16.分解因式：(每题4分，共20分) （1）3231827a a a -+ （2）2244243x xy y x y ++--- （3）化简 2352362a a a a a -? ?÷+- ? --?? （4） 解不等式组：?????+-≤+--) 1(315121 5312x x x x （5）4 1 615171---=---x x x x 17.先化简，再求值：x x x x x x x x x 416 )44122(2222+-÷+----+，其中x 是不等式组???-≥-≥-1032312x x 的整数解（8分）．
整式乘法与因式分解和分式测试题
八年级上册数学测验题 一、选择题（请把答案写到下面的框内，每题4分，共48分） 1. 下列各式 m 1、21、y x +15、π 2、y x b a --25、432 2 b a -、65xy 其中 5. 7. 若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A 、 xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 8.若x+m 与x+3的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）。
A 、-3 B 、3 C 、0 D 、1 9.若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值为（ ）。 A 、3 B 、-5 C 、7 D 、7或-1 10. A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千 米/时，则可列 11.把多项式n n x x 632-- 分解因式，结果为（ ）。 A 、)2(3+-n n x x B 、)2(32n n x x +- C 、)2(32+-x x n D 、)2(32n n x x -- 12. 已知b a b a b a ab b a -+>>=+则 且,0622的值为（ ） A 、2 B 、2± C 、2 D 、 2± 二、填空题（每题4分，共20分） 13. =?-201520145.1)3 2 ( 。 14. 用科学记数法表示：－0.0000002005＝ ． 15.边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积 是 。 16.若分式 y y --55 ||的值为0，则y= 。 17.若a>0，3,2==y x a a ，则=-y x a 。三、解答题（共32分） 18.计算（每题5分，共10分） （1） ））（（b a b a b )2(322-+-÷--b ab b a （2） 33223)()(----?ab b a 19.（8分）先化简再求值： )111 (3121 322+---++?--x x x x x x ，其中x=- 65。
分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习
整式的乘除法。因式分解和分式复习 基本概念 一．整式的除乘法 1.同底数幂的乘法：m n m n a a a +=g ，（m,n 都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数 相加。 2.幂的乘方：()m n mn a a =，（m,n 都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：()n n n ab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 4.整式的乘法： （1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 可用下式表示：m (a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式) （3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 5.乘法公式： （1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个 数的平方差”，即用字母表示为：(a +b )(a －b )=a 2－b 2 ；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差. （2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母 表示为：(a +b )2=a 2+2ab +b 2；(a －b )2=a 2－2ab +b 2 ；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。 乘法公式的几种常见的恒等变形有： （1）．a 2 +b 2 ＝(a +b )2 －2ab ＝(a －b )2 +2ab . （2）．ab ＝ 2 1［(a +b )2－（a 2+b 2 ）］
因式分解与分式
因式分解与分式 （因式分解与分式） 班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每题2分，共20分） 1、如果)3)(3)(9()81(2x x x x n -++=-，那么n= 。 2、已知0=+-c b a ，则=--+--+--+))(())((c a b c a b c b a c b a 。 3、化简：200220032)2(+-所得的结果为 。 4、下列多项式：①22n m -；②22b a +；③224y x +-；④ 22916b a --能用平方差公式因式分解的是 （填序 号）。 5、若2 241121161?? ? ??+=+-n x m xy x ，则m= ，n= 。 6、当x 时，分式 x x +710有意义。 7、若0352=--y x ，则=÷y x 324 。 8、0.0046用科学记数法表示为 。 9、如果1)1(0=-a ，则a 的取值范畴为 。 10、分式223c a b 、ab c 2-、3 5cb a 的最简公分母是 。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、下列各数分解后素数种类最多的是（ ） A 、121 B 、256 C 、64 D 、100 2、下列关于因式分解讲法正确的是（ ）
A 、单项式也能够进行因式分解 B 、因式分解会改变式子的大小 C 、因式分解确实是进行多项式的乘法运算 D 、因式分解的结果只是将多项式化成几个整式的乘积形式 3、已知a 、b 差不多上素数，且a ＜b ，若ab 为偶数，则（ ） A 、a=2 B 、b=2 C 、a+b=2 D 、无法确定 4、代数式)(1553a b b a -，)(52a b b a -，))((2533b a b a b a +--的公因式是（ ） A 、)(5b a ab - B 、)5(22a b b a - C 、)(52a b b a - D 、 )(1202233b a b a - 5、下列各式为完全平方式的是（ ） A 、22n mn m +- B 、122--x x C 、4 1 22++x x D 、 ab b a 4)(2+- 6、在3a 、1+x x 、y x +5 1 、b a b a -+22中分式的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、若分式9 69 22++-x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 、3 B 、—3 C 、3± D 、4 8、下列分式化简后等于 1 21 +x 的是（ ） A 、144122+--x x x B 、144122---x x x C 、141 22-+x x D 、 1 441 22+++x x x 9、运算：3927÷÷m m 的结果为（ ）
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：
八年级数学因式分解与分式
八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 1 1 （ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b --+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.2 22()a b a b +-
因式分解 分式 计算题
一、整式的计算 (1)(? 5a 3b 2)·(?3ab 2c)·(? 7a 2b)； (2)? 2a 2b 3·(m ?n)5·13ab 2·(n ?m)2+13 a 2(m ?n)·6a b 2； (3) 3a 2(1 3 ab 2?b)?( 2a 2b 2?3ab)(? 3a)； (4)(3x 2?5y)(x 2+2x ?3)． 2．当x = ?3时，求8x 2?(x ?2)(x+1)?3(x ?1)(x ?2)的值． 二、因式分解 (1)3x 2y －6xy ＋3y ； (2)(a 2＋1) 2－4a 2 3x 3－27x (x ＋y) 2＋2(x ＋y)＋1. 6xy 2﹣9x 2y ﹣y 3 1522 --x x
三、分式的计算 1、(1－1x －1)(x x ＋1＋1)÷(1＋3 1－x 2 ) 2、先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3 x ＋1)，其中x ＝0. 3、 先化简 在求值 () 其中x 满足x 2﹣4x+3=0 4、先化简，再求值：324 a a --÷(a +2－ 52 a -)，其中a =－1 2 ． 5、先化简，再选择一个你喜欢的数字代入求值：（﹣ ）÷
6、(a ＋2a 2－2a ＋1－a a 2－4a ＋4)÷a －4a ，其中a 满足a 2－4a －1＝0. 四、分式方程 21x x -=2－3 12x - 52x ＋4－12－x ＝x 2 x 2－4－1； + =2 2 1 23524245--+=--x x x x 021211=-++-x x x x ； 871 78=----x x x 五、二次根式的计算 （1）﹣+ ． （2） ． （3）（2﹣ ）2+ ．
02 利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()() 4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】 试题分析：
因式分解与分式
第二部分 代数式与恒等变形部分 ★五、多项式的因式分解： 1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》 2、因式分解的方法、步骤和要求： （1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ?-m （ ）。 （2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。 （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法. *十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。 *分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。 （4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。 《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》 【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++. 2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？ 【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ） A.327b a B.227b a C.b a 27 D.3328b a 2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ） A.-13 B.13 C.42 D.-42 3.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----442 3；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2 -+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x x B.)(2n m m m mn m +=++ C.)2)(4(822+-=--a a a a D.22)21(21-=+ -x x x 5.若A n m n m mn n m ?+=+-+)()()(3，则A 是（ ） A.22n m + B.22n mn m +- C.223n mn m +- D.22n mn m ++ 6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。 7.简算：①2299.001.1-；②9.235.22571.104.01.4?-?-÷；③77.046.277.023.122?++. 8.两个同学将一个二次三项式因式分解，甲看错了一次项而分解为()()912--x x ；乙看错了常数项而分解为()()422--x x 。请将原多项式因式分解。 9.如果ab a b a 22+=*，则y x *2所表示的代数式分解因式的结果是什么？ 10.给出三个整式ab b a 2,22和。（1）当17b 3,1==a 时，求222b ab a ++的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。 11.观察下列等式：（1）531422?=-；（2）732522?=-；（3）933622?=-；（4）1134722?=-；……则第n （n 是正整数）个等式为 。 12.⑴已知的值求2233,1,2b a ab b a +=-=+； ⑵已知()()的值求xy y x y x ,5,922=-=+；⑶已知2,72==+ab b a ，求()2 2b a -的值.
因式分解和分式方程章节测试卷
数学周考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1．下列因式分解中，正确的是（） A C ． D． 2） A．2个 B．3．4个 D．5个 3．若关于m的取值范围是（） A、 B、 C、且 D、且 4） A、0 C、1 D 5x的取值范围是（） A、 B、且 C、 D、且. 6．已知x+，那么的值是（） A．1 B．﹣1 C．±1 D．4 7．下列各式变形正确的是（） A C 8．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共人，则所列方程为（） A 9．A、B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（） A．﹣=40 B．﹣=2.4 C．﹣2=+ D．+2=﹣ 10 x 2 x≠ 且 1 x≥ 1 x＞ 2 x≠ 1 x≤ 1 x≥ 1 m≠ 1 m≥- 1 m≠ 1 m>- 1 m≥ 1 m>- x )3 )( 2 ( 6 5 2- - = - -x x x x 2 2 2) (y x y x- = -
11．当______ 0； 12 _______个； 13有增根，则它的增根是 ，m= ； 14．已知m=2n≠0，则 +﹣= ． 15．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时。现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做。完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x 小时，则所列的方程为 。 三、解答题（55分） 16．解方程(8分) （1） （2） 17．先化简，其中x 的整数解．（6分） x =
因式分解分式数的开方
二、因式分解、分式、数的开方 陈文华吴中区浦庄中学 【课标要求】 （1）会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）、十字相乘法进行因式分解（指数是正整数）．（2）了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算． （3）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根． （4）了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根． （5）了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，要求掌握分母为一项或两项的无理式的分母有理化，会用它们进行有关实数的简单四则运算． 【课时分布】 因式分解、分式、数的开方本单元在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试．下表为 【
2、基础知识（教材相应章节重要内容整理） （1）因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式． （2）因式分解的方法： ①提公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++； ②公式法：22222)(2),)((b a b ab a b a b a b a ±=+±-+=-；))((2233b ab a b a b a +±=± ； ③十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++； ))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++， （21a a ≠０）． ④分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解． （3）分式的概念：形如B A （A 、 B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的代数式叫做分式．分式有意义的条件是分母不等于零；分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． （4）分式的基本性质： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不为零的整式）． （5）分式的运算与分数的运算相仿． （6）平方根与算术平方根的概念：如果)0(2≥=a a x ，那么a x 叫做的平方根，记作 )0(≥±=a a x ，其中a )0(≥a 叫做a 的算术平方根． （7）立方根的概念：如果，a x =3那么x 叫做a 的立方根，记为3a x = （8）二次根式概念：形如a )0(≥a 的式子叫二次根式． （9）最简二次根式：满足下列两个条件，被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． （10）同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （11）相关性质：)0,0(|;|);0()();0(022≥≥==≥=≥≥b a b a ab a a a a a a a ；)0,0(>≥=b a b a b a ． （12）二次根式的运算：①加、减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式．②乘、除运算：是积、商性质的逆向应用．运算结果中每一个二次根式都应是最简二次根式． 3、能力要求 例1 在二次根式①12，②32，③ 3 2，④327中与是同类二次根式的是 （ ）．
因式分解分式和分式方程综合测评精修订
因式分解分式和分式方 程综合测评 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-
因式分解、分式和分式方程综合测评 一、选择题（共30分，每题3分） 1、（2014安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A 、a 2+1 B 、a 2—6a+9 C 、x 2+5y D 、x 2—5y 2、（2014海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A 、a 2+4a-21=a （a+4）-21 B 、a 2+4a-21=（a-3）（a+7） C 、（a-3）（a+7）=a 2+4a-21 D 、a 2+4a-21=（a+2）2-25 3、(2014浙江金华）把代数式1822-x 分解因式，结果正确的是（ ） A 、)9(22-x B 、 2)3(2-x C 、 )3)(3(2-+x x D 、)9)(9(2-+x x 4、下列各式的约分运算中，正确的是（ ）. A 、 x 6x 2 =x 3 B 、 a+c b+c = a b C 、a+b a+b = 0 D 、 a+b a+b =1 5、（湖南衡阳2014）下列因式分解中正确的个数为（ ） ①()3222x xy x x x y ++=+； ②()2 2442x x x ++=+； ③()()22x y x y x y -+=+- A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 6、若把分式2x y x y +-中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 7、分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m 为（ ） A 、0 B 、1 C 、3 D 、6
(分式因式分解)
1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+- C 、()24545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ? ?--=-- ?? ? 2、下面各分式： 44 16121222 222+-+---++-x x x x x y x y x x x x ，，，，其中最简分式有（ ）个。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3、 如果m 为整数，那么使分式 1 3 ++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 4、已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的边长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm - 5、下面各式，正确的是（ ） A. 32 6 x x x = B. b a c b c a =++ C. 1=++b a b a D. 0=--b a b a 6、已知1=ab ，则? ?? ??+??? ? ? -b b a a 11的值为（ ） A. 2 2a B. 2 2b C. 2 2a b - D. 2 2b a - 7、下列各式的分解因式：①()()2210025105105p q q q -=+- ②()()22422m n m n m n --=-+-③()()2632x x x -=+-④2 21142x x x ? ?--+=-- ???其中正 确的个数有( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A 、()()4x y y x xy +-- B 、2224a ab b -+ C 、2144 m m -+ D 、()2 221a b a b ---+ 9、若多项式()281n x -能分解成()()()2 49 2323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 10、如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个 边长为b 的小正方形(a >b )，把余下的部分 剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图 形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则 这个等式是( ) A 、()()2222a b a b a ab b +-=+- B 、()2 222a b a ab b +=++ C 、()2 222a b a ab b -=-+ D 、()()22a b a b a b -=+- 11、对于分式39 2+-x x ，当x__________时，分式无意义；当x_________时，分式的值为0； 12、若 5 9 22=-+b a b a ，则a ：b =__________； 13、已知13a a -= ，那么221 a a +=_________ ； 14、若分式732 -x x 的值为负数，则x 的取值范围为_______________； 15、221.229 1.334?-?=__________； 16、若26x x k -+是x 的完全平方式，则k =__________。 17、若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________。 18、若5,6x y xy -==则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。 19、若()2 22,8x y z x y z ++=-+=时，x y z --=__________。 ① ②
因式分解+分式
第四讲 因式分解+分式 一、因式分解 （一）方法： 1．提公因式法： （1）多项式 mc mb ma ++中每一项都含有一个相同的因式m ，称之为公因式。 （2）方法 ：)(c b a m mc mb ma ++=++ （3）公因式可能是单项式（如（1）），也可能是多项式，如：)2)(21()2)(13(b a b b a a +--+- （4）公因式系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母，指数取字母的最低次数； （5）如果第一项系数为负，一般先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正，同时多项式的各 项都要变号。如：)53(5322+--=-+-y x xy xy xy y x 2．公式法： （1）两个非常重要的公式： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=- 完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （2）有的公式需要先提公因式后才能体现。如：a ab ab ++442 （3）有的公式需要从整体上观察。如：22)32()32(y x y x --+ 3．分组分解法：当多项式的项数超过3项可考虑用此方法 （1）分组后能直接提公因式： 如：))(()()(b a n m n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++ （2）分组后能直接运用公式： 如：2222z xz y x ++- 4．运用式子：ab x b a x b x a x +++=++)())((2进行分解。如：562+-x x 5、十字相乘法：如：322-+x x 例1、把x y xy x 442-+-分解因式，下列的分组方法不正确的是 （ ） （A ） () ()x y xy x 442-+- （B ） ()()xy y x x -+-442 （C ） ( ) ()x xy y x 442+-+ （D ） ( ) ()y xy x x 442--- 例2、因式分解：（1）()()()y x x y x y x x +--+ （2）()()87----b a b a
因式分解、分式知识要点
因式分解【知识要点】 1、因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 概念要点：（1）结果必须是“积”（2）两个因式必须是“整式” 2、因式分解的方法：“一提，二套，三分组” （1）、提取公因式法：提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。 确定公因式的方法：系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。 （2）套用公式法： 如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分解因式的目的。这种方法叫做运用公式法。 A 平方差公式：“两个平方项，符号不一样” 22()() a b a b a b -=+- ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. B完全平方公式：“甲平方，乙平方，甲乙2倍在中央” 222 2() a a b b a b ++=+ 222 2() a a b b a b -+=- ①左边相当于一个三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. C 补充：（二次三项式的因式分解） 3、因式分解的一般步骤： 第一步：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式； 第二步：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式； 如三项，则考虑用完全平方公式； 第三步：最后看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。 注意：①分解因式后首项不能为负 ②分解结果中只能出现小括号 ③应分解到每一个因式都不能再分解为止. 分式与分式方程 知识要点总结注意问题 分式的概念及有意义的条件 B A 的形式且B中有字母分母0 ≠ B，分式 B A 才有意义 1 π不是分式 分式值为0的条件分子等于0，分母不等于0 二者必须同时满足，缺一不可分式的基本性质 M B M A M B M A B A ÷ ÷ = ? ? =0 ,0≠ ≠B M，且M B A, ,均 表示的是整式 分式的符号法则 B - A B A - B - A - - B A -= = = - - = - - = - - = 或 B A B A B A B A分子、分母和分式二，三同时 改变其中两个的符号，分式的 值不变 约分把分式中的分子、分母的公因式约 去的变形过程叫约分 约分是一个恒等变形。找最大 公因式是关键 通分把几个异分母分式分别化为与原分 式相等的同分母分式的变形过程叫 通分。 通分前后分式的值不变；找最 简公分母是通分的关键 公因式找公因式的方法： （1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再 找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 （2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的 方法找公因式 最简公分母：系数与各字母 （或因式）的最高次幂的积 （其中系数都取正数） 找最简公分母到方法1、分母为多项式，应先分解因式。 2、各分母系数的最小公倍数。 3、各分母所含所有因式或字母的最高次幂。 分式方程分母中含有未知数的方程。可能产生增根，必须检验 增根使最简公分母为零的未知数的值
因式分解知识点归纳总结一
因式分解知识点归纳总结一 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解 1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点 ①项数：三项
②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式． 如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式． 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n) 做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)?(a +b)． 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． （六）提公因式法 1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式． 2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意： 1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于 一次项的系数．
