2020-2021学年高三数学(理科)四校联考摸底考试及答案解析

最新四校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1．全集U=R，A={x|x2＞4}，B={x|log3x＜1}，则A∩B=（）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＞3} D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3}

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥α

C．若则m⊥α，n⊥α，m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n

3．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）

A．6 B．4 C．2 D．

4．已知P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）（）

A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）

5．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则该函数表达式为（）

A．y=2sin（x+）+1 B．y=2sin（x﹣）

C．y=2sin（x﹣）+1 D．y=2sin（x+）+1

6．过双曲线﹣=1（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的

切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）

A．B． C． D．

7．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）

A．[，]∪[，] B．（，]∪[，）C．（，]∪[，）D．[，]∪[，]

8．将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9．已知α，β为锐角，，则cos2β= ，α+2β= ．10．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为．表面积为．体积为．

11．若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）= ；不等式f（x）+f（﹣x）＜的解集为．

12．已知= ，

S2015= ．

13．已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的最大值是．14．已知△ABC中，，则= ．

15．已知点M（4，0），点P在曲线y2=8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）2+y2=1上运动，则取到最小值时P的横坐标为．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=1，，求b+c的值．

17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．

（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

18．已知函数f（x）=（a＞0，b＞1），满足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值．

（I）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t （O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．

20．数列{a n}满足a1=2，．

（1）设，求数列{b n}的通项公式；

（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，求出S n并由此证明：．

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1．全集U=R，A={x|x2＞4}，B={x|log3x＜1}，则A∩B=（）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＞3} D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3}

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】求出集合A、集合B，然后求出两个集合的交集即可．

【解答】解：A={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，

B={x|log3x＜1}={x|0＜x＜3}，

所以A∩B={x|x＞2或x＜﹣2}∩{x|0＜x＜3}={x|2＜x＜3}，

故选B

【点评】本题考查集合间的交集的运算，注意不等式的解集，借助数轴解答或者韦恩图，是解答集合问题的常用方法，本题是基础题．

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥α

C．若则m⊥α，n⊥α，m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选择．

【解答】解：对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误；

对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B 错误；

对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确；

对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误；

故选C．

【点评】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟记定理是关键．

3．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）

A．6 B．4 C．2 D．

【考点】简单线性规划．

【专题】数形结合．

【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最小，只需求出直线z=2x+y在y轴上截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：在坐标系中画出可行域

由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小

平移直线2x+y=0经过点B时，z=2x+y最小

由可得B（2，0）

则目标函数z=2x+y的最小值为z=2

故选：C

【点评】.借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．

4．已知P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）（）

A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑．

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即可．

【解答】解：P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，

则a＜2，

故选：A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义建立不等式关系是解决本题的关键．

5．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则该函数表达式为（）

A．y=2sin（x+）+1 B．y=2sin（x﹣）

C．y=2sin（x﹣）+1 D．y=2sin（x+）+1

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】由函数的最大、最小值求出k和A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．

【解答】解：由函数的图象可得k==1，A=3﹣k=2，T==（﹣2）=6，

∴ω==．

再根据五点法作图可得×2+φ=，求得φ=﹣，

∴f（x）=2sin（x﹣）+1．

故选：C．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最大、最小值求出k和A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．

6．过双曲线﹣=1（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的

切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）

A．B． C． D．

【考点】圆与圆锥曲线的综合．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】由=（+），知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，能推导出在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，由此能求出离心率．【解答】解：∵若=（+），

∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，

则PF′=2OE=a，

∵E为切点，

∴OE⊥PF

∴PF′⊥PF

∵PF﹣PF′=2a

∴PF=PF′+2a=3a

在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2

即9a2+a2=4c2

∴离心率e==．

故选：A．

【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．

7．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）

A．[，]∪[，] B．（，]∪[，）C．（，]∪[，）D．[，]∪[，]

【考点】函数零点的判定定理．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0，从而得到答案．

【解答】解：因为f（x）=﹣a=0，故=a；

分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．

若x＞0，此时[x]≥0；

若[x]=0，则=0；

若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故＜≤1，即＜a≤1．

且随着[x]的增大而增大．

若x＜0，此时[x]＜0；

若﹣1≤x＜0，则≥1；

若x＜﹣1，因为[x]≤x＜﹣1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤＜，即1≤a＜，且随着[x]的减小而增大．

又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．

所以为使函数f（x）=﹣a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=﹣1，﹣2，﹣3．

若[x]=1，有＜a≤1；

若[x]=2，有＜a≤1；

若[x]=3，有＜a≤1；

若[x]=4，有＜a≤1；

若[x]=﹣1，有a＞1；

若[x]=﹣2，有1≤a＜2；

若[x]=﹣3，有1≤a＜；

若[x]=﹣4，有1≤a＜

综上所述，＜a≤或≤a＜，

故选：B．

【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了分类讨论思想，考查了新定义问题，是一道中档题．

8．将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（）

A．B．C．D．

【考点】球的体积和表面积．

【专题】计算题；转化思想；转化法；球．

【分析】若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，可先求出该球的半径，若将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则=2r，进而可得答案．

【解答】解：若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，

设该小球的半径为r，

则r+1+=，

解得：r=，

若将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，

则=2r，

解得：a=，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是空间球与球之间的位置关系，正三棱锥的高与棱长的关系，难度较大．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9．已知α，β为锐角，，则cos2β= ，α+2β= ．

【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．

【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cosβ的值，利用二倍角公式可求cos2β，sin2β的值，利用两角和的余弦函数公式可求sin（α+2β）的值，结合α+2β的范围，由余弦函数的性质即可得解．

【解答】解：∵α，β为锐角，，可得：cosα==，cosβ==，

∴cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×（）2=，sin2β=2sinβcosβ=2××=，

∵cos（α+2β）=cosαcos2β﹣sinαsin2β=×﹣×=，

∵α+2β∈（0，），

∴α+2β=．

故答案为：，．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式，余弦函数的性质在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为．表面积为+12 ．体积为．

【考点】棱柱的结构特征．

【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．

【分析】由已知可得正三棱柱的所有棱长均为2，进而可得三视图中正视图的面积，及棱柱的表面积和体积．

【解答】解：由已知可得正三棱柱的所有棱长均为2，

则此三棱柱的正视图为矩形，长2，宽，面积，

表面积为：2×+6×2=+12，

体积为：××2=，

故答案为：，，

【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，由三视图求几何体的体积和表面积，难度中档．

11．若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）= ；不等式f（x）+f（﹣x）＜的解集为（﹣1，1）．

【考点】指数函数的图象与性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】设出指数函数解析式，将点的坐标代入，求参数a，然后将不等式具体化，换元得到一元二次不等式解之，然后还原求解集．

【解答】解：设指数函数解析式为y=a x，因为指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），所以4=a﹣2，解得a=，所以指数函数解析式为y=，所以f（3）=；

不等式f（x）+f（﹣x）＜为，设2x=t，不等式化为，所以2t2﹣5t+2＜0解得＜t＜2，即＜2x＜2，所以﹣1＜x＜1，所以不等式的解集为（﹣1，1）．故答案为：；（﹣1，1）．

【点评】本题考查了待定系数法求指数函数解析式以及解指数不等式；采用了换元的方法．12．已知= 5 ，S2015= 15 ．

【考点】数列递推式．

【专题】计算题；归纳法；等差数列与等比数列．

【分析】根据题意推知数列{a n}（n≥7）是周期为3的周期数列，由此进行解答．

【解答】解：∵

a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6，

a7=﹣a4=﹣4，a8=﹣a5=﹣5，a9=﹣a6=﹣6，

a10=﹣a4=﹣4，a11=﹣a8=a5=5，a12=﹣a9=a6=6，

a13=﹣a4=﹣4，a14=﹣a8=a5=5，a15=﹣a9=a6=6，

∴数列{a n}（n≥7）是周期为3的周期数列，

∵2015=671×3+2，

∴a2015=a5=5．

∴S2015=a1+a2+a3+a2010+a2011+a2013+a2014+a2015，

=a1+a2+a3﹣a4+a5+a6﹣a4+a5，

=1+2+3﹣4+5+6﹣4+5，

=15．

故a2015=5．S2015=15．

故答案为5；15．

【点评】本题考查了数列递推式、数列的周期性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

13．已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的最大值是．【考点】基本不等式；函数单调性的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由题意可得xy=1，k应小于或等于的最小值．令x+2y=t，可得t≥2，且=t﹣，故k应小于或等于t﹣的最小值．根据函数t﹣

在[2，+∞）上是增函数，求得t﹣取得最小值，即可得到k的最大值．

【解答】解：∵已知正实数x，y满足lnx+lny=0，∴xy=1．

∵k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，∴k≤，

故k应小于或等于的最小值．

令x+2y=t，则由基本不等式可得t≥2，当且仅当x=2y 时，取等号，故t∈[2，+∞）．

故==t﹣，故k应小于或等于t﹣的最小值．

由于函数t﹣在[2，+∞）上是增函数，故当t=2时，t﹣取得最小值为，

故k的最大值是，

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

14．已知△ABC中，，则= ﹣7 ．

【考点】正弦定理的应用；向量在几何中的应用．

【专题】解三角形；平面向量及应用．

【分析】利用向量的数量积和向量夹角的定义，将转化为

=，再应用正弦定理将边转化为角表示，即可得到sinAcosB=﹣7cosAsinB，把化为正余弦表示代入即可得答案．

【解答】解：∵，

∴，根据向量数量积的和向量夹角的定义，

∴=4，

∴，

根据正弦定理，可得﹣3sinBcosA+3cosBsinA=4sinC，

又4sinC=4sin（A+B）=4sinAcosB+4cosAsinB，

∴sinAcosB=﹣7cosAsinB，

=．

故答案为：﹣7．

【点评】本题考查了向量的数量积在几何中的应用，涉及了向量数量积的定义，向量夹角的定义以及正弦定理的应用．解题时要特别注意向量的夹角与三角形内角的关系，在三角形问题中，解题的思路一般是应用正弦定理和余弦定理进行“边化角”或“角化边”．属于中档题．

15．已知点M（4，0），点P在曲线y2=8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）2+y2=1上运动，则取到最小值时P的横坐标为 2 ．

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】设圆心为F，则容易知道F为抛物线y2=8x的焦点，并且最小时，PM经过圆心F，设P（x，y），则：

|PM|2=（x﹣4）2+y2=（x﹣4）2+8x=x2+16，|PQ|=x+2+1=x+3，所以=，求的最小值即可．

【解答】解：如图，设圆心为F，则F为抛物线y2=8x的焦点，该抛物线的准线方程为x=﹣2，设P（x，y），

由抛物线的定义：|PF|=x+2，要使最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|=|PF|+1=x+3，且

|PM|==

∴=，

令x+3=t（t≥3），则x=t﹣3，

∴=t+﹣6≥4，当t=5时取“=“；

此时x=2．

故答案为：2．

【点评】考查抛物线的标准方程，焦点坐标公式，准线方程，及抛物线的定义，圆的标准方程，利用基本不等式求函数的最值．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=1，，求b+c的值．

【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式转化成角的正弦的关系式，整理求得tanA的值，进而求得A．

（Ⅱ）利用向量积的性质求得bc的值，进而利用余弦定理求得b2+c2的值，最后用配方法求得答案．

【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵，

∴sinAcosB+sinBsinA=sinC，

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

∴sinAcosB+sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB

整理得sinA=cosA，即tanA=，

∴A=．

（Ⅱ）AB?AC?cosA=|?|=3，

∴bc?=3，即bc=2，

∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣2?2?，

∴b2+c2=1+6=7，

∴b+c==．

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，向量积的运算．综合性很强．17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．

（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．

【专题】计算题；证明题．

【分析】（Ⅰ）欲证BC⊥平面ACFE，可根据面面垂直的性质定理进行证明，而AC⊥BC，平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，满足面面垂直的性质定理；

（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH，根据二面角的平面角的定义可知∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角，在△DGH中，利用余弦定理即可求出二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

【解答】解（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°

∴四边形ABCD是等腰梯形，

且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°

∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°∴AC⊥BC

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，

∴BC⊥平面ACFE

（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH∵DE=DF，

∴DG⊥EF∵BC⊥平面ACFE∴BC⊥EF

又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，

又∵GH∥FB，

∴EF⊥GH

∴BE2=DE2+DB2∴∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角．

在△BDE中，∴∠EDB=90°，

∴．

又．

即二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值为

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

18．已知函数f（x）=（a＞0，b＞1），满足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值．

（I）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．

【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】（I）根据条件建立方程和不等式关系即可求f（x）的解析式；

（Ⅱ）求出f（x）的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

【解答】解：（I）∵f（x）=（a＞0，b＞1），满足：f（1）=1，

∴f（1）==1，即a=1+b，①

f（x）=≤=，

∵f（x）在R上有最大值．

∴=．即2a=3②，

由①②得a=3，b=2，

即f（x）的解析式f（x）=；

（Ⅱ）依题意，若x∈[1，2]时有意义，则m＞2或m＜1，

则当x=1时，不等式也成立，即1≤=，

即m≥|m﹣1|，平方得m2≥m2﹣2m+1，得m≥，

当x=2时，不等式也成立，即1≤，

即m≥2|2﹣m|，

平方得3m2﹣16m+16≤0，

即≤m≤4，．

由f（x）≤得≤，

即x≤，则|x﹣m|≤，即﹣≤x﹣m≤，在x∈[1，2]上恒成立．

①当x=1时，不等式成立，当x≠1时，m≤，则m≤4

②对于m≥，x∈（1，2]上恒成立，等价为m≥（）max，

设t=x+1，则x=t﹣1，则t∈（2，3]，

则==t+﹣2，在（2，3]上递增，

则（）max=，

则m≥．

综上实数m的取值范围是2＜m≤4．

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件建立方程关系求出函数的解析式，利用参数分离法转化求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强．

19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t （O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为，可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=，+=t，即可求得结论．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c=﹣1；…

又因为b==1，所以a2=2，b2=1．…

故椭圆C的方程为+y2=1．…

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．…

△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2．…

x1+x2=，x1x2=．

又由|AB|=，得|x1﹣x2|=，即

=…

可得…

又由+=t，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则=，

=…

故，即16k2=t2（1+2k2）．…

得，t2=，即t=±．…

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．数列{a n}满足a1=2，．

（1）设，求数列{b n}的通项公式；

（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，求出S n并由此证明：．【考点】数列递推式；数列的函数特性．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（1）利用数列递推式，结合条件，可得b n+1﹣b n=，利用叠加法，可求数列{b n}的通项公式；

（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，利用数列的单调性，即可得到结论．

【解答】解：（1）∵，

∴﹣=

∵

∴b n+1﹣b n=

∴b n=b1+（b2﹣b1）+…+（b n﹣b n﹣1）=

∵，a1=2，

∴b1=1

∴b n=；

（2）由（1）知，a n=，∴，

∴=[]

∴S n==

∵=得到递减，

∴=

∴，即．

【点评】本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

2016年10月26日