通信原理答案第二章

《通信原理》习题参考答案

第二章

2-1.设随机过程ξ(t)可表示成

ξ(t)＝2cos(2πt+θ)

式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2、P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。

解：求E[ξ(1)]就是计算t=1时ξ(1)的平均值：

∵ξ(0)＝2cos(0+θ)＝2cosθ

ξ(1)＝2cos(2π+θ)＝2cosθ

∴E[ξ(1)]＝P(θ=0)×2cos0＋P(θ=π/2)×2cos(π/2)

＝(1/2)×2＋0

＝1

Rξ(0,1)＝E[ξ(0)ξ(1)]

＝E[2cosθ×2cosθ]

＝E[4cos2θ]

＝P(θ=0)×4cos20＋P(θ=π/2)×4cos2(π/2)

＝(1/2)×4

＝2

题解：从题目可知，θ是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出ξ(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。

1

2-2. 设Z(t)＝X 1cos ω0t －X 2sin ω0t 是一个随机过程，若X 1和X 2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，试求

(1) E[Z(t)]、E[Z 2(t)]

(2) Z(t)的一维分布密度函数f(z);

(3) B(t 1,t 2)与R(t 1,t 2)。

解：(1)∵ E[X 1]＝E[X 2]＝0，且X 1和X 2彼此独立

∴ E[Z(t)]＝E[X 1cos ω0t －X 2sin ω0t]

＝E[X 1cos ω0t]－E[X 2sin ω0t]

＝E[X 1]×cos ω0t －E[X 2]×sin ω0t

＝0

E[Z 2(t)]＝E[(X 1cos ω0t －X 2sin ω0t)2]

＝E[X 12cos 2ω0t －2 X 1 X 2 cos ω0t sin ω0t ＋X 22sin 2ω0t] ＝E[X 12cos 2ω0t]－E[2 X 1 X 2 cos ω0t sin ω0t]＋E[X 22sin 2ω0t] ＝cos 2ω0t E[X 12]－2 cos ω0t sin ω0tE[X 1]E[X 2]＋sin 2ω0t E[X 22] ＝cos 2ω0t E[X 12] ＋sin 2ω0t E[X 22]

又∵ E[X 12]＝D[X 1]＋E 2 [X 1]＝D[X 1]＝σ2

E[X 22]＝D[X 2]＋E 2 [X 2]＝D[X 2]＝σ2

∴E[Z 2(t)]＝σ2 cos 2ω0t ＋σ2 sin 2ω0t

＝σ2(cos 2ω0t ＋sin 2ω0t)

＝σ2

(2)由于Z(t)＝X 1cos ω0t －X 2sin ω0t 是由两个正态随机变量X 1和X 2叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的

其中： E[Z(t)]＝0

]2exp[21)(22)(σσπa x Z f --=

3 D[Z(t)]＝E[Z 2(t)]－E 2 [Z(t)]＝E[Z 2(t)]＝σ2 所以得一维分布密度函数f(Z)为：

(3) B(t 1,t 2)＝R(t 1,t 2)－E [Z(t 1)] E [Z(t 2)]

＝R(t 1,t 2)

＝E [Z(t 1) Z(t 2)]

＝E [(X 1cos ω0t 1－X 2sin ω0t 1)( X 1cos ω0t 2－X 2sin ω0t 2)] ＝E [X 12cos ω0t 1 cos ω0t 2－X 1 X 2cos ω0t 1 sin ω0t 2

－X 1X 2sin ω0t 1cos ω0t 2＋X 22sin ω0t 1 sin ω0t 2] ＝cos ω0t 1 cos ω0t 2E [X 12]－cos ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 1 X 2] －sin ω0t 1cos ω0t 2 E [X 1 X 2]＋sin ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 22] ＝cos ω0t 1 cos ω0t 2E [X 12] ＋sin ω0t 1 sin ω0t 2 E [X 22] ＝σ2 (cos ω0t 1 cos ω0t 2＋sin ω0t 1 sin ω0t 2) ＝σ2cos ω0(t 1－t 2)

＝σ2cos ω0τ 其中τ＝∣t 1－t 2∣

2-4. 若随机过程z(t)＝m(t)cos(ω0t ＋θ)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数R m (τ)为

θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。

(1) 证明z(t)是宽平稳的；

(2) 绘出自相关函数R z (τ)的波形；

(3) 求功率谱密度P z (ω)及功率S 。

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σπx Z f -=?????-+=011)(τττR m τττ其它,10,01,<≤<<-