双曲线标准方程及几何性质知识点及习题

1. 双曲线第一定义：

平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义：

平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。无限接近，但不可以相交。

例1. 方程1112

2=-++k

y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是

（） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-

3. 双曲线的标准方程：

（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 222

2100-=>>()，

（2）焦点在y 轴上的：y a x b

a b 222

2100-=>>()，

（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。注：c 2＝a 2＋b 2

【例2】求虚轴长为12，离心率为5

双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。

练习。焦点为()6,0，且与双曲线12

=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是

（）

A ．124

122

2=-y x

B ．124

122

2=-x y

C ．112

242

2=-x y

D ．112

242

2=-y x

【例4】与双曲线

1916

x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -

练习。求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲

线的离心率．

解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c

e a

=和222c a b =+的关系式。

线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e c

a e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。 <>±5渐近线：y b

x =

<>=±62

准线方程：x a c

5．若双曲线的渐近线方程为：x a

b y ±

= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

)0(22

22≠=-λλb

y a x

【例4】求与椭圆x y 229415

+=有公共焦点，并且离心率为

的双曲线的标准方程。

【例5】已知双曲线经过

，且与另一双曲线，有共同的渐

近线，则此双曲线的标准方程是

练习。求与双曲线x y M 2294

1921-=-?? ???有共同渐近线，且经过点，的双曲线的

标准方程。

【例6】设F 1、F 2分别是双曲线22

221x y a b

-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使

1290F AF ∠=，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。

练习。已知双曲线12

22=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是

求双曲线的方程；

双曲线标准方程及几何性质习题

一选择

1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（）

A ．椭圆

B ．线段

C ．双曲线

D ．两条射线

2．方程1112

2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是

（） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-

3．双曲线14122

22=--+m y m x 的焦距是

（） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关

4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2

=mn 所表示的曲线可能是（）

5．焦点为6,0，且与双曲线12

2=-y 有相同的渐近线的双曲线方程是（）

A ．1241222=-y x

B ．1241222=-x y

C ．1122422=-x y

D ．112

242

2=-y x

6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122

22=-b

y a x 有（）

A ．相同的虚轴

B ．相同的实轴

C ．相同的渐近线

D ．相同的焦点

7．过双曲线19

162

2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ?（F 2为右焦点）的周长是（） A ．28 B ．22

C ．14

D ．12 8．双曲线方程为152||2

2=-+-k

y k x ，那么k 的取值范围是

（）

A ．k ＞5

B ．2＜k ＜5

C ．－2＜k ＜2

D ．－2＜k ＜2或k ＞5 9．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（）

A ．x 2－4y 2=1

B ．x 2－4y 2＝1

C ．4x 2－y 2=－1

D ．4x 2－y 2=1

10．设P 是双曲线192

22=-y a

x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （）

A ．1或5

B ． 6

C ． 7

D ． 9

11．已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支

上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为（）

A ．

B ．

C ．2

D ．

12．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线122

22=-b

y a x (a>0, b>0)的一个顶

点到它的一条渐近线的距离（）

A ．

c a B ．c

b C ．

D ．

b 13．双曲线)1(122

>=-n y n x 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为（）A ．2

B ．1

C ．2

D ．4

14．二次曲线142

2=+m

y x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（）

A ．]2

,22[ B ．]2

5,23[

C ．]2

6,25[

D ．]2

6,23[

二．填空

15．直线1+=x y 与双曲线13

2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____

16．设双曲线122

22=-b

y a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以

AB 为直径的圆恰好过F 点，则离心率为 17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 三、解答题

1.双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：

21PF PO PF 、、

成等比数列（O 为坐标原点）．

2.已知双曲线方程x y 22

1-= （1）过点M （1，1）的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；

（2）是否存在直线l ，使点N 112，?

?为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

3.已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取

值范围.

4.已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且sin sin sin B C A -=3

，求顶点

A 的轨迹方程。

分析：在△ABC 中由正弦定理可把sin sin sin B C A -=

转化为b c a -=3

，结合图形可

5.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测

点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).