2018-2019学年江苏省无锡市天一中学(强化班)高一下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学

试题（强化班）

一、单选题

1．已知公比大于0的等比数列{}n a 满足13a =，前三项和321S =，则234a a a ++=（ ） A ．21 B ．42

C ．63

D ．84

【答案】B

【解析】根据13a =，前三项和321S =，代入前n 项和公式，求出q ，即可. 【详解】

()()31231=21=

311a q S q q q

-=++-，即2

60q q +-=，

解得2q =，3q =-（舍）， 所以234

322142.a a a qS ++==?=

故选：B . 【点睛】

本题考查等比数列基本量的求解，方程思想可求解，属于基础题.

2．直线a 与直线b 为两条异面直线，已知直线//l a ，那么直线l 与直线b 的位置关系为（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．异面或相交

【答案】D

【解析】两条直线的位置关系是异面，相交，平行，用反证法假设平行，推出矛盾，说明假设不成立，故而是异面或相交. 【详解】

假设l b P ，又l a P ，根据公理3可得a b ∥，这与a 与b 是异面直线矛盾，故假设不成立，所以l 与b 异面或相交. 故选：D . 【点睛】

本题考查空间中两直线位置关系，是概念辨析题，属于基础题.

3．圆1O ：()()2

2

121x y -+-=与圆2O ：()()22

212x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离

B ．相切

C ．相交

D ．内含

【答案】A

【解析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出两个圆的圆心距，分析可得

1212O O r r >+，由圆与圆的位置关系分析可得答案.

【详解】

根据题意，圆1O ：()()2

2

121x y -+-=的圆心为(1，)2，半径1=1r ，圆2O ：

()()

22

212x y -++=的圆心为(2，)1-，半径2r =

12O O =121r r +=，则有1212O O r r >+，两圆外离；

故选A . 【点睛】

本题考查两圆位置关系，圆心距大于两圆半径之和为相离，属于基础题.

4．已知点()0,0O ，()0,A b ，()1,1B .若OAB ?为直角三角形，则必有（ ） A ．1b =

B ．2b =

C ．()()12=0b b --

D ．120b b -+-=

【答案】C

【解析】根据题意即可得出OB AB ⊥uu u r uu u r 或OA AB ⊥u u u

r u u u r ，而可求出()1,1OB =u u u r ，

()=1,1AB b -u u u r ，()0,OA b =u u u r ，从而得出0OB AB ?=u u u r u u u r ，0OA AB ?=u u u r u u u r

，从而求出b 的值.

【详解】

根据题意知，OB AB ⊥uu u r uu u r 或OA AB ⊥u u u r u u u r

；

()1,1OB =u u u r ，()=1,1AB b -u u u r ，()0,OA b =u u u r

；

110OB AB b ?=+-=uu u r uu u r ，或010OA AB b ?=+-=uu r uu u r

2b ∴=，或1b =，则有(1)(2)0b b --=

故选：C . 【点睛】

本题考查向量垂直，转化成数量积为零，计算求解，属于基础题.

5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ，分别为棱1AB CC ，的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线

A ．有无数条

B ．有2条

C ．有1条

D ．不存在

【答案】A

【解析】∵平面D 1EF 与平面ADD 1A 1有公共点D 1且不重合，

∴两平面有1条过D 1的交线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的任意直线都与平面D 1EF 平行，这样的直线有无数条．

6．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为An 和Bn ，且7453

n n A n B n +=+，则使得

n

n

a b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3

C ．5

D ．4

【答案】C

【解析】∵数列{a n }和{b n }均为等差数列，且其前n 项和An 和Bn 满足7453

n n A n B n +=+，则

1212112121()

2143872n+2)+2424122=7=7+()22222221

2

n n n n n n n n n a a a a A n n b b b b B n n n n ----++=====++++++（. 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，n

n

a b 为整数. 故选C.

7．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()2

2

321x y ++-=相切，则反

射光线所在直线的斜率为（ ） A ．5

3

-或35- B ．32-或2

3- C ．54-

或45

- D ．43-

或34

-

【答案】D

【解析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】

解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），

故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离

d ==1，

化为24k 2+50k +24＝0， ∴k 43=-

，或k 3

4

=-． 故选：D ． 【点睛】

本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．

8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的*n N ∈都有2

1n n S S n ++=，若{}n a 为

单调递增的数列，则1a 的取值范围为（ ）

A ．11,22??- ???

B ．11,33??- ???

C ．11,44??- ???

D ．11,43??- ???

【答案】C

【解析】根据数列的递推关系求出22n n a a +-=，根据{}n a 为单调递增的数列，则只要满足1234a a a a <<<，即可，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】

Q 对于任意的n *∈N 都有21n n S S n ++=，①

()2

121n n S S n ++∴+=+，②

②-①得

()2

212=121n n a a n n n ++++-=+，③

则当2n ≥时，121n n a a n ++=-，④

③-④得22n n a a +-=，也就是当2n ≥时，隔2项成等差数列，公差为2.

{}n a Q 为单调递增的数列

∴只要保证1234a a a a <<<可以保证整个数列单调递增.

当1n =时，1121a a a ++=，即2112a a =-，

当2n =时，121234a a a a a ++++=，即123224a a a ++=， 则31214222a a a a =--=+，421232a a a =+=-， 代入1234a a a a <<<，得1111122232a a a a <-<+<-，

即1111111212222232a a a a a a <-??-<+??+<-?，即11

113

1414a a a ?

?

>-??

?

，即11144a -<<， 即1a 的取值范围为14?- ?，14?

??

故选：C 【点睛】

运用数列常用公式1(2)n n n a S S n -=-≥求解递推关系，判断数列性质，有一定难度.

二、填空题

9．1l ：()1360m x y +++=，2l ：()120x m y +-+=，若12//l l ，则m =_____. 【答案】-2.

【解析】根据两直线平行的公式，即可求解参数值. 【详解】 依题意，12l l P

()()11310m m ∴+--?=且()21160m +-?≠

解得：2m =- 故答案为：2- 【点睛】

本题考查解析几何中两直线平行公式，属于基础题. 10．给出下列三个命题：

①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行；

④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____. 【答案】1.

【解析】根据空间中，直线与直线位置关系，逐一判断，即可求解. 【详解】

①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错；

②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错；

③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对

只有一个结论正确 故答案为：1 【点睛】

空间中直线与直线位置关系，与平面内直线与直线位置关系有所不同，需仔细辨析，本题属于中等难度.

11．过三个点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交直线340x y +=与M 、N 两点，则

MN =____.

【答案】.

【解析】根据题意，设圆的方程为

220x y Dx Ey F ++++=，代入三个点的坐标，求出D ，E ，F ，即可得圆的方程，

分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】

根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=，

圆过三个点(1A ，)3，(4B ，)2，(1C ，)7-，则有193016442014970D E F D E F D E F ++++=??

++++=??++-+=?

，

解可得：2D =-，4E =，20F =-，即圆的方程为2

2

24200x y x y +-+-=， 变形可得：()()2

2

1225x y -++=， 其圆心为(1，)2-，半径为=5r ； 圆心到直线340x y +=的距离

1d =

=

，则2MN =

=，

故答案为：【点睛】

本题考查待定系数法确定圆的一般方程，考查了几何法求解直线与圆相交弦长问题，属于基础题.

12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则11S =_____. 【答案】1365

【解析】推导出11222n n

n n a a -++=?=，

()()()()()112345678910111S a a a a a a a a a a =++++++++++，由此能求出结果.

【详解】

n S Q 是数列{}n a 的前n 项和，

11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列， 11222n n n n a a -+∴+=?=，

()()()()()246810111234567891011=1222221365

S a a a a a a a a a a a ++++++++++=+++++=

故答案为：1365. 【点睛】

本题考查并项求和，需仔细辨析项数，属于中等偏难题型.

13．已知一组平行线n l ：0n y c ++=，*n N ∈，其中13c =，且点()1,n n c c +在

直线21y x =-上，则100l 与101l 间的距离为_____. 【答案】992.

【解析】由题意可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-，由等比数列的通项公式

可得所求12n

n c =+，再由两平行直线的距离公式可得所求值.

【详解】

13c =，且点(n c ，)1n c +在直线21y x =-上，可得121n n c c +=-，即有

()1121n n c c +-=-，

∴数列{}1n c -为等比数列，公比为2

可得()1

1112

2n n n c c --=-?=，即12n n c =+，

可得直线120n

n l y +++=，则100l 与101l 间的距离为992d ==.

故答案为：992. 【点睛】

本题考查数列求通项公式中的构造等比数列方法，和两平行直线距离公式，有一定难度. 14．点P 为圆A ：()2244x y -+=上一动点，Q 为圆B ：()()22

641x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，则PO PQ PB ++的最小值为______. 【答案】9

【解析】取点(3,0)C ，则2PO PC =，将PO PQ PB ++的最小值转化为BC 距离，即可得到所求. 【详解】

P 为圆A ：22(4)4x y -+=上一动点，Q 为圆B ：22

(6)(4)1x y -+-=上一动点，

O 为坐标原点，

取(3,0)C ，则

1

2

AC AP AP AO ==， ACP APO ∴V :V 2PO PC ∴=

21PO PQ PB PO PB ∴++=+- 221219PC PB BC =+-≥-=

故答案为：9 【点睛】

本题考查距离最短问题，将距离转化，利用两点间线段最短，求解最短距离.

三、解答题

15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413,,a a a 成等比数列，等差数列{}n b 前n 项为n S ，且416S =，636S =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求和1122111

n n n

T a b a b a b =

+++L . 【答案】.（1）21n a n =+，21n b n =-；（2）21

n n

T n =

+. 【解析】（1）分别运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；

（2）由（1）得，

11111

()

(21)(21)22121 n n

a b n

n n n

==-

-+-+，运用裂项相消求和，化简可得所求和.

【详解】

（1）公差d不为0的等差数列{}n a满足13

a=，

1413

a a a

，，成等比数列，

可得2

4113

a a a

=，即2

(33)3(312)

d d

+=+，解得2

d=，即21

n

a n

=+；

等差数列{}n b的公差设为m，前n项和为n S，且416

S=，

6

36

S=，

可得1

4616

b m

+=，

1

61536

b m

+=，解得

1

12

b m

==

，

则21

n

b n

=-；

（2）由（1）结论，

11111

()

(21)(21)22121

n n

a b n n n n

==-

-+-+

则

1122

111111111

...(1...)

233

11

(1)

52112

221

n

n n

T

a b a b a b n n n

=+++=-+-+=-

-

++

+

-

21

n

n

=

+

【点睛】

（1）考查等差数列基本量的求法，分别通过通项公式和前n项和公式列方程，通过方程求解首项和公差，是等差数列常见方法；（2）裂项相消求和，通项公式可化简差的形式，适合裂项相消求和.

16．如图，在四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M.

求证：（1）//

PD平面ANC；

（2）M是PC中点.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）作辅助线，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理，由线线平行证

明线面平行；

（2）先利用线面平行的判定定理证明BC ∥平面ADMN ,再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M 是PC 中点. 【详解】

证明：（1）连结,BD AC ，设AC BD O =I ，连结NO ，

ABCD Q 是平行四边形，

O ∴是BD 的中点，在PBD ?中，N 是PB 的中点，

//PD NO ∴，

又NO ?平面ANC ，PD ?平面ANC ，

//PD ∴平面ANC ，

（2）Q 底面ABCD 为平行四边形，

//AD BC ∴，

BC ?Q 平面ADMN ，AD ?平面ADMN ， //BC ∴平面ADMN .

Q 平面PBC I 平面ADMN MN =，

//BC MN ∴，又N 是PB 的中点，

M ∴是PC 的中点.

【点睛】

（1）利用三角形中位线平行于底边证明线线平行，再证线面平行是证明线线平行的常见方法；（2）考查线面平行的性质定理；有一定难度，属于中等题型. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(),n n P n S 都在函数

()22f x x x =+的图象上，记n a 与1n a +的等差中项为n k .

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若2n k

n n b a =?，求数列{}n b 的前n 项和n T ；

（Ⅲ）设集合{

}*

,n A x x k n N

==∈，{}*

2,n

B x x a n N ==∈，等差数列{}n

c 的任

意一项n c A B ∈?，其中1c 是A B I 中的最小数，且10110115c <<，求{}n c 的通项公式.

【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）26116

499

n n n T ++=

?-；（Ⅲ）126n c n =-. 【解析】（Ⅰ）根据点(,)n n P n S 都在函数2

()2f x x x =+的图像上，可得

22()n S n n n N *=+∈，再写出1n S -，两式相减，即可求得数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求数列的和；

（Ⅲ）先确定A B B =I ,再确定{}n c 是公差为4的倍数的等差数列，利用

10110115c <<，可得10114c =，由此可得{}n c 的通项公式.

【详解】

（Ⅰ）Q 点(),n n P n S 都在函数()2

2f x x x =+的图象上，

()2*2n S n n n N ∴=+∈，

当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+. 当1n =时，113a S ==满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （Ⅱ）n k Q 为n a 与1n a +的等差中项

12n n n a a k ++∴=

=()21211

222

n n n ++++=+ 2n k n n b a ∴==()4214n n ?+?.

12434454n T ∴=??+??+()34744214n n ??++?+?L ①

由①4?，得23

4434454n T =??+??+()41

4744214

n n +??++?+?L ②

①-②得：

()()231

34342444214n n n T n +??-=?+?+++-+???

L ()()211

414434221414n n n -+??-??=?+?-+?-????

26116499

n n n T ++∴=?-

（Ⅲ）{

}*

,n A x x k

n N

==∈，{}*

2,n

B x x a n N ==∈

A B B ∴=I

n c A B ∈?Q ，1c 是A B I 中的最小数，16c ∴=.

{}n c Q 是公差为4的倍数的等差数列，()*1046c m m N ∴=+∈.

又10110115c <

11046115

m m N

<+

设等差数列的公差为d ，则101101c c d -=

=-1146

129

-=，

()6112n c n ∴=+-?126n =-，

126n c n ∴=-.

【点睛】

本题考查：（Ⅰ）已知前n 项和公式求通项公式，11n n n S a S S -?=?

-? 1

2

n n =≥；（Ⅱ）数列求

和方法：错位相减法；（Ⅲ）结合集合中交集运算，判断等差数列；本题考查知识比较全面，属于难题.

18．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心O 后转向ON u u u r

方向，已知tan 2MON ∠=-，

现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km .

（1）若102OA km =，求两站点,A B 之间的距离；

（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区.因考虑未来道路AB 的扩建，则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？ 【答案】（1）)

20

21；（2）设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之

间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.

【解析】（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=， 则34EOB πα∠=

-，（42ππα<<），可得10tan AE α=，310tan 4BE πα??

=-

???

，可求310sin

43cos cos 4AB π

παα=???- ?

??

，又3cos cos 4παα???- ??

?1sin 2244πα??=-- ???，结合

4

2

π

π

α<<

，可得max

3cos cos 4παα??

?-=

???，即可求解两出入口之间距离的最小值.

（2）设切点为F ，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系

xOy ，设直线AB 的方程为(0)y kx t k =+>，可求20t k =，或60t k =（舍去），可

求(20,0)A -，此时20OA =，又由（1）可知当//AB ON

时，OA =，综上即可求解. 【详解】

（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=， 则34

EOB πα∠=

-，（42ππ

α<<），

故10tan AE α=，310tan 4BE πα??

=-

???

， 310tan 10tan 4AB παα??

=+- ?

??

3sin sin 4103cos cos 4πααπαα??

??- ? ??? ?=+

?? ?

- ?

????

?310sin

43cos cos 4π

παα=??

?- ?

??

， 又3cos cos 4παα???- ??

?cos cos 22ααα??=?-+ ? ??

?1sin 2244πα??=-- ??

?， 由

4

2

π

π

α<<

，得32,444

π

ππ

α??-

∈ ???

，

故max

322cos cos 4

4παα-??

?-=

???，当且仅当242ππα-=，38πα=时取等号.

此时，AB 有最小值为(

)

20

21+.

即两出入口之间距离的最小值为(

)

20

21+.

（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，

根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F 此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线. 因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，

建立平面直角坐标系xOy 由5CF =，10OE =，

因为圆O 的方程为2

2

100x y +=，圆C 的方程为()2

23025x y ++=，

设直线AB 的方程为()0y kx t k =+>，

则22101305

1t

k

k t k ?=?+??-+?=?+?

所以，两式相除，得

230t k t =-+， 所以20t k =或60t k =，

所以此时()20,0A -或()60,0A -（舍去），此时20OA =， 又由（1）知当//AB ON 时，102OA = 综上，()

102,20OA ∈.

即设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 【点睛】

（1）实际应用问题中，三角函数的应用，可利用三角函数的有界性取得最小值； （2）由实际问题建立平面直角坐标系，运用直线与圆的位置关系，确定参数范围.

19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22

(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，

N 两点，设直线l 的方程为

(0)y kx k =>．

（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点． （ⅰ）若217

AB ≤

k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，

是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）15

y x =

；

（2）1154k ≤<（3）见解析 【解析】试题分析：（1）由题意0k >，圆心C 到直线l 的距离2

1d k

=

+l

与圆C 相切得15

15

k =

，由此能求出直线l 的方程；（2）（i ）由题意得：2

21702117

AB d <=-，2 1d k =+k 的取值范围；(ii)()1

:3AM l y k x =-与圆C ()2

2:41x y -+=联立，得：()()()22

1131350x k x k ??-+-+=??，由韦达定理求出,A B 的坐标，从而得到 ()()()22

1131350x k x k ??-+-+=??，由此能证明存在常数2a =，使得12

32k k k +=恒成立．

试题解析：（1）解：由题意，0k >，

∴圆心C 到直线l

的距离d =

，

∵直线l 与圆C 相切，

∴1d ==，

∴k =

，∴

直线:l y x =． （2

）解：由题意得：0AB <=≤

1d ≤<， 由（1

）可知：d =

1≤<，

∴

14k ≤<

． （3）证明：()1:3AM l y k x =-，与圆C ()2

2:41x y -+=联立，得：

()()()22

1131350x k x k ??-+-+=?

?， ∴3M x =，212135

1A k x k +=+，

∴2112211352,11k k A k k ??+ ?++??， 同理可得：2222222532,11k k B k k ??

+- ?++??，

∵OA OB k k =， ∴1222

12221222

122211355311k k k k k k k k -++=++++，即()()12121350k k k k ++=，

∵121k k ≠-，∴213

5

k k =-

， 设()00,P x y ， ∴()()0100

2035y k x y k x ?=-??=-??，∴120

1212012352k k x k k k k y k k -?=?-??-?=?-?

， ∴12121212352,k k k k P k k k k ??-- ?--??，即1315,44k P ??

???，

∴1

313141554

k k k ==，∴12132

25k k k k +==，

∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立．

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求直线方程、直线与圆的位置关系以及解析几何

中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.

20．若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,p q ∈N 使得p q a a c ==（c 为常数）； ②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n =+

； ②sin 2

n n a π

=； ③()()35n a n n =-- （2）设50

1012,150

2

,50n n n n a m n --≤≤?=?

+>?，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ；

（3）设()9310n

n a kn ??=+ ???

，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1) ①③是双底数列，②不是双底数列(2) 1m =-

249100,15022548,50n n n n n S n n -?-≤≤=?-+>?

（3）存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底

数列

【解析】试题分析：（1）根据双底数列的定义可判定①③是双底数列，②不是双底数列；（2）由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，

()

29910121002

n n n S n n +-=

=-，当50n >时，

()()()

22501005050212121n n S L -=?-+-+-++-，从而可得结果；（3）

()119931010n

n n a a k kn +??

-=-- ???

， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否

则不是双底数列），即 3

9n k

-=，该方程共有四组解，分别验证是否为双底数列即可得结果.

试题解析：（1）①③是双底数列，②不是双底数列； （2）数列{}n a 当150n ≤≤时递减，当50n >时递增，

由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，()

29910121002

n n n S n n +-=

=-，

当50n >时，()()(

)

2

2

50

100505021212

1n n S L -=?-+-+-++-

4922548n n -=-+，

综上，249

100,150

2

2548,50n n n n n S n n -?-≤≤=?-+>?. （3）()()1

199331010n n

n n a a kn k kn ++????

-=++-+ ?

???

??

，

()()93931010n kn k kn ??++??=-+

? ?????

()19931010n

k kn ??

=-- ???， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列）， 即 3

9n k

-

=， 得16k n =??

=?或38k n =??=?或112k n =-??=?或3

10

k n =-??

=? 故当1k =时，()13961010n

n n a a n +??

-=- ???

，

当15n ≤≤时，1n n a a +>；当6n =时，1n n a a +=；当7n ≥时，1n n a a +<； 从而 12345678a a a a a a a a L <<<= ，数列{}n a 不是双底数列； 同理可得：

当3k =时，12891011a a a a a a =L L ，数列{}n a 不是双底数列； 当1k =-时，1212131415a a a a a a >>>=<<>>=<<

【方法点睛】本题考查数列的通项公式及求和公式、新定义问题的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，

分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义双底数列达到考查数列性质的目的.