类型三 二次函数与图形面积问题(解析版)
类型三 二次函数与图形面积问题
例1、如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标;
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
【解析】解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±
令0x =，得1y =-
∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-
（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45o ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45o
过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形
令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +
∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3
∴四边形ACB P 的面积S =
12AB ?O C +1
2
AB ?P E = 11
2123422
??+??= (3)． 假设存在
∵∠P AB =∠BAC =45o
∴P A ⊥AC
G
M
C B
y
P
A
o
x
∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90o 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC
在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A
P= 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-
(ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m --，MG=2
1m -
2=
解得11m =-（舍去） 223m =（舍去） (ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有
AG CA =MG
PA
即
2=
解得：1m =-（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-
② 点M 在y 轴右侧时，则1m >
(ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m +，MG=21m -
∴
2
=
解得11m =-（舍去） 243
m =
∴M 47(,)39
(ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有
AG CA =MG
PA
即 2232
=
解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)
∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?P CA 相似 M 点的坐标为(2,3)-，47
(,)39
，(4,15)
例2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．
（1）求b ,c 的值；
（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】解：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）
∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （-1，0）B(4,5)
∴10
1645b c b c -+=??
++=?
解得：b=-2 c=-3
（2）如２６题图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5)
∴直线AB 的解析式为：y=x+1 ∵二次函数223y x x =--
∴设点E(t ， t+1),则F （t ，223t t --） ∴EF= 2(1)(23)t t t +--- =2325()24
t --+
∴当32t =
时，EF 的最大值=254
∴点E 的坐标为（
32，5
2
） （3）①如２６题图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F 的坐标（
32，15
4
-）,点D 的坐标为（1，-4） S EBFD 四边行 = S BEF V + S DEF V =12531253
(4)(1)242242
?
-+?- =
758
②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,223m m --)
则有：25232m m --=
解得:1226
m =－,2226m +=
∴12265
(
,)22
p －, 22265(,)2p + ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，223n n --）
则有：2154
23n n --=- 解得：112
n = ，23
2n =（与点F 重合，舍去）
∴3P 1
15
24
（，－
） 综上所述：所有点P 的坐标：12265
(
,)22
p －，22265(,)2p +3P （11524（，－）. 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．
例3、如图,已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，－2）.
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D.若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）∵c bx x y ++=2的顶点为C （1，－2）， ∴2)1(2--=x y ，122--=x x y ．
（2）设直线PE 对应的函数关系式为b kx y += 由题意，四边形ACBD 是菱形.
故直线PE 必过菱形ACBD 的对称中心M ．
由P (0，－1)，M （1，0），得??
?=+-=0
1
b k b ．从而1-=x y ，
设E (x ，1-x )，代入122--=x x y ，得1212--=-x x x ． 解之得01=x ，32=x ，根据题意，得点E (3，2) （3）假设存在这样的点F ，可设F (x ，122--x x )．
过点F 作FG ⊥y 轴，垂足为点G .
在Rt △POM 和Rt △FGP 中，∵∠OMP +∠OPM =90°，∠FPG +∠OPM =90°， ∴∠OMP =∠FPG ，又∠POM =∠PGF ，∴△POM ∽△FGP .
∴
GF
GP
OP OM =
．又OM =1，OP =1，∴GP =GF ，即x x x =----)12(12． 解得01=x ，12=x ，根据题意，得F (1，－2)． 故点F (1，－2)即为所
求． 3222
1
1221=??+??=+=MFE MFP PEF S S S △△△．
例4、如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．
(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标； (3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为Q （2，－1）∴设()122--=x a
y
将C （0，3）代入上式，得()12032--=a
1=a ∴()122
--=x y ， 即342+-=x x y
（2）分两种情况：
①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图) 令y =0, 得0342=+-x x 解之得11=x , 32=x
∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P 1(1,0)
②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图) ∵OA=OC, ∠AOC=ο90, ∴∠OAD 2=ο45
当∠D 2AP 2=ο90时, ∠OAP 2=ο45, ∴AO 平分∠D 2AP 2 又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称 设直线AC 的函数关系式为b kx y += 将A(3,0), C(0,3)代入上式得
??
?=+=b b k 330, ∴?
??=-=31
b k ∴3+-=x y ∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,
∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )∴(3+-x )+(342+-x x )=0
0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)∴当x =2时, 342+-=x x y =32422+?-=－1 ∴P 2的坐标为P 2(2,－1)(即为
抛物线顶点)
∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,－1)
(3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点P 的坐标为P 2(2,－1)(即顶点Q)时,
平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形 ∵P(2,－1), ∴可令F(x ,1)∴1342=+-x x 解之得: 221-=x , 222+=x ∴F 点有两点, 即F 1(22-,1), F 2(22+,1)