高一函数的奇偶性复习课教案

高一函数的奇偶性复习课

教学目标：

1、巩固偶函数和奇函数的定义；

2、学会判断简单函数的奇偶性和利用函数奇偶性解决有关问题，进一步理解偶函数和奇函数的性质。

教学重点：函数的奇偶性的判断和应用。

教学难点：函数的奇偶性的应用。

教学过程：

一、知识回顾：

1．偶函数定义;

2．奇函数定义;

3.奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇 偶性.

注：①函数()y f x =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所对应的区间关于原点对称;

②若奇函数在原点处有定义，则有(0)0f =;

③若函数()y f x =是偶函数，则对于定义域内的每个x ，都有()()f x f x =; ④既是奇函数又是偶函数的函数是()0f x =，x A ∈,定义域A 是关于原点对称的非空数集;

⑤函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势.函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是函数的局部性质.

4.奇函数、偶函数的图象的性质：

一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y 轴）对称.

二、函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：

1.定义法：定义域（关于原点对称）→验证()()f x f x -=±或()()0f x f x -±=或()1(()0)()

f x f x f x -=±≠→下结论. 2.图像法：一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y 轴）对称.

3.性质法：两个奇函数的和为奇函数；

两个偶函数的和为奇函数；

两个奇函数的积是偶函数；

两个偶函数的积是偶函数；

一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

注：以上函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上.

练习1

（1） 已知()()f x g x 、分别是[-10,10]上的奇函数和偶函数，则函数

()()()F x f x g x =的图象关于________对称.

（2） 函数2()2f x a x b x a b =++-是定义在[1,2a a -]上的偶函数，则

a b +=_____.

练习2 判断下列各函数的奇偶性：

（1）()(f x x =-（2）22(0)()(0)

x x x f x x x x ?+≤=?-+>? 练习3 函数2()1ax b f x x +=

+是定义在（-1,1）上的奇函数，且12()25

f =，求函数()f x 的解析式.

三、函数奇偶性的应用

函数的奇偶性的应用主要体现在以下几个方面：

1.求函数值.

例1 已知32()8f x ax bx cx =++-,且(2)10f -=，求(2)f .

解：设32()g x ax bx cx =++，则()g x 为奇函数.

依题意可得(2)(2)810f g -=--=,则(2)18g -=. ∴(2)(2)18g g =--=- ∴(2)(2)818826f g =-=--=-.

2.求解析式.

例2 已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()1f x =求0x < 时,()f x 的解析式.

解：设0x <，则0x ->.

由已知0x >时,()1f x =有()11f x -=

又()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-, ∴()1f x -=

∴()1f x =.

∴当0x <时，()1f x =.

注：此类题型的解题步骤如下：

①在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间里;

②利用()f x 的奇偶性把()()f x f x =--或()f x -；

③将()f x -中的x -代入已知解析式中，从而解出()f x .

3.解抽象函数不等式

例 3 设()f x 在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有22(21)(321)f a a f a a ++<-+，求a 的取值范围.

解：由()f x 在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增知()f x 在区间（0，+∞）上递减.

∵2217212()+048a a a ++=+>，22123213()033

a a a -+=-+>，且 22(21)(321)f a a f a a ++<-+，

∴2221321a a a a ++>-+，即230a a -<，解得03a <<.

注：在此用到以下结论：

① 若函数()f x 为奇函数，当()f x 在区间[,a b ]上是单调函数时，则()f x 在

区间[,b a --]上也是单调的，且单调性相同；

② 若函数()f x 为偶函数，当()f x 在区间[,a b ]上是单调函数时，则()f x 在

区间[,b a --]上也是单调的，且单调性相反.

4.函数的综合问题

例 4 已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若,a b ∈[-1,1],0a b +≠时，有()()0f a f b a b

+>+成立. (1)判断()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明；

(2)解不等式：11()()21

f x f x +<-； (3)若2()21f x m am ≤-+对所有的a ∈[-1,1]恒成立，求实数m 的取值范围. 解：(1)任取12,[1,1]x x ∈-，且12x x <，则2[1,1]x -∈-，由()f x 为奇函数，有

1212121212()()()()

()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x -=+-+-=

?-+- ∵1212()()0()

f x f x x x +->+-，120x x -<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <. ∴()f x 在[-1,1]上单调递增.

(2) ∵()f x 在[-1,1]上单调递增,

∴11,21111,211 1.1x x x x ?+

∴312x -≤≤-. (3) ∵(1)1f =,()f x 在[-1,1]上单调递增, ∴在[-1,1]上()1f x ≤. 问题转化为2211m am -+≥，即220m am -≥对[1,1]a ∈-恒成立. 设2()20g a m a m =-?+≥，

若0m =，则()00g a =≥，自然对[1,1]a ∈-恒成立.

若0m ≠，则2()2g a m a m =-?+为a 的一次函数,当0m >时，若()0g a ≥对

[1,1]a ∈-恒成立，则必须(1)0g ≥，解得2m ≥；当0m <时，若()0g a ≥对[1,1]a ∈-恒成立，则必须(1)0g -≥，解得2m ≤-.

∴m 的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}.

练习4 已知定义域为R 的奇函数()f x ，求证：若在区间[,a b ](0b a >>)上()f x 有最大值M ，那么()f x 在区间[,b a --]上必有最小值-M.

练习5

（1）已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，2()2f x x x =+，求()y f x =的解析式；

（2）已知奇函数()f x 有最大值7，试问它有无最小值？若有，求出最小值； 练习6已知函数()f x 是偶函数，其定义域为（-1,1），且在[0,1）上为增函数，若2(2)(4)0f a f a ---<，试求a 的取值范围.