泛函分析习题参考答案

一、设)

,(y x d 为空间

X 上的距离，试证：)

,(1)

,(),(~x y d x y d x y d +=

也是X 上的距离。 证明：显然

,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~

。

再者，

),(~)

,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；

最后，由

t

t t +-

=+11

11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 )

,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++

++=+++≤+=

),(~),(~)

,(1)

,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤

。

二

、设

1p ≥，1()()(,

,,)i n n p n x l ξξ=∈， ,2,1=n ，1(,

,,)p

i x l ξξ=∈，则

n →∞时，

1()1(,)0p

p n n i i i d x x ξξ∞

=?

?=-→ ???

∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,

i =；

)2(0ε?>，

存在

0N >，使得

()1

p

n i i N ξε∞

=+<∑

对任何自然数n 成立。

必要性证明：由1

()

1(,)0p

p

n n i i i d x x ξξ∞

=??=-→ ???

∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =。

由

1(,,,)p

i x l

ξξ=∈可知，

ε?>，存在

10

N >，使得

11

()2

p

p

i i N εξ∞

=+<∑

，并且

1

n N >时，

()

1

()2

p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得，

11

111()

()1

1

1p p p

p

p p

n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞

∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ???????

∑

∑∑对1n N >成立。

对于

11,2,

n N =，存在20N >，

2()1

p

n p

i i N ξε∞

=+<∑

。取

{}12max ,N N N =，则

()1

p

n p i

i N ξ

ε∞

=+<∑

对任何自然数n 成立。

充分性证明：由条件可知，

0ε?>，存在0K >，使得

()1

()2p n p

i

i K ε

ξ

∞

=+<∑

对任何自然数

n 成立，并且

1

()2

p

p i i K εξ∞

=+<∑

。

由

()n i

i ξ

ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1

K

p

n p i

i

i ξ

ξε=-<∑，并且

()()()1

1

1

(,)K

p

p

p

p

n n n n i i

i i i i

i i i K d x x ξ

ξξ

ξξξ∞

∞

===+=-=-+

-∑∑∑

11()()1

11()()2p

K

p

p p n n p p p i i

i i i i K i K ξξξξε∞∞

==+=+??≤-++< ???

∑∑∑。

三、在],[b a L p )

1(≥p 上定义距离：

()

1

(,)()()b

p

p

a

d x y x t y t dt

=

-?

，则在此距离诱导的

极限意义下，

)(t x n 收敛于)(t x 的充要条件为)1()(t x n 依测度收敛于)(t x ；)2({})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。

必要性证明：由

0),→x x n （ρ，可得0>?σ，?

?≥--≥

-)

()()(σx x E p

n E

p

n n dt x x dt t x t x

)((σσ≥-?≥x x E m n p ， ,2,1=n ，令∞→n ，可得0)((→≥-σx x E m n 。即)(t x n 依测度收敛于

)(t x 。

由

)(t x 的积分绝对连续性可知，对任何0>ε，存在01>δ，使得E e ?，1δ

e

p

p

dt t x 2

))((1ε

。对上述

>ε，存在

0>N ，使得N n >时，

?<-E

p

p

n dt t x t x 2

)()(1ε

）（，

从而

ε

<+-≤+-≤?????p

e

p

p

E

p

n p

e

p p

e

p n p

e p n

dt x dt x x dt x dt x x dt t x

11111

)()()()())(，

即

ε

e

p

n

dt t x

1))(，对

,1,+=N N n ，成立。

对于

N n ,,2,1 =，易知存在02>δ，使E e ?，2δ

（?

p

n dt t x ε)(）。

取

)

,m in(21δδδ=，则

E e ?，δ

e

p

n dt t x 1))(，对每个自然数

n 成立。

即

{}

)(t x n 在

],[b a 上具有等度绝对连续的积分。

充分性证明：对任何

>ε，令

)()(εε≥-=x x E E n n ，则0)(→εn mE 。由此可知，对任何0>δ，存在0>N ，使得

N n >时，δε<)(n mE 。

令

)()(εε<-=x x E F n n ，则?

?

-+

-=

n

n

E F p

n p

n n p dt x x dt x x x x ),(ρ。此时，

p

E p

p E p E p n p n n n n dt x dt x dt x x ??????

?????+≤-1

1)()(，

p F p

n a b dt x x n

ε?-<-?

)(。

由积分的等度绝对连续性可知，对任何

>ε，存在

>δ，使得

E e ?，δ

2

))(1ε

<

?

p

e

p

n dt t x ，

2

))(1ε

<

?

p

e

p

dt t x 。

对上述

>δ，存在

0>N ，使得N n >时，δε<)(n mE ，此时

p

E p

n n

dt x x ?≤-ε）（。

于是对任何

>ε，存在

0>N ，使得N n >时，1

(,)(1)p

n d x x b a ε≤+-?，

即

)(t x n 收敛于)(t x 。

四、

F

是距离空间

X 中闭集的充分必要条件为对任何F 中点列{}n x ，n x x X →∈，必有x F ∈。

必要性证明：对于

F

中点列

{}

n x ，

n x x X

→∈，若

x F ?，则c x F ∈，即x 为开集c F 的内点，从而存在0>δ，使得

(,)c O x F δ?。由n x x →可知，存在0>N ，使得(,)c N x O x F δ∈?，这与N x F ∈矛盾。因而有x F ∈。

充分性证明：对于

F 中互异点列{}n x ，若n x x X →∈，则x F ∈，即F 的聚点在F 中。因此，对于任意c x F ∈，x 必不是F 的聚点，从

而存在

0>δ，使得

(,)c O x F δ?，因而 c F 为开集，即F 为闭集。

五、设

B

是度量空间

X 中闭集，试证必有一列开集 ,21n O O O ，，

，包含B ，并且 ∞

==1

n n O B 。

证明：任取 ,2,1,1

==

n n n δ，令 B x n n x O ∈=)(δ，则n O B ?，并且n O 为开集),2,1( =n 。任取 ∞

=∈1n n O x ，

则存在B x n ∈，使得n x x d n 1

),(<

),2,1( =n ，从而x x n →。由于B 为闭集，因而B x ∈，即有 ∞

==1

n n O B 。

六、设

X

为距离空间，

21F F ，为X 中不相交的闭集，试证：存在开集21G G ，，使得

Φ=21G G ，11F G ?，22F G ?。

证明：由

Φ=21F F ，得0),(2111>∈?F x d F x ，，0),(,1222>∈?F x d F x 。

令

2),(,2),(122211F x d F x d ==δδ， 2

211)(,)(222111

F x F x x

G x G ∈∈==δδ,则21G G ，分别为包含

21F F ，的开集。

假设210G G x ∈，则2

11220110,,),(,),(F x F x x x d x x d ∈∈<<δδ，但是

),(2

)

,(2),(),(),(),(211221200121x x d F x d F x d x x d x x d x x d ≤+<+≤是一个错误，故而

Φ=21G G 。

七

、试证：

∞l 是不可分的距离空间。

证明：设

(){

},1,0,,,,21=∈=∞n n l M ξξξξ ，则对于任何{}{}M y x n n ∈==ηξ,，当

y

x ≠时，

,)sup 1n n d x y ξη=-=（。显然，M 与二进制小数一一对应，因而是不可数的。

假设

∞l 是可分的，则存在可数稠密子集{}n y ，使得任何∞?∈l M x 的邻域)3

1

,(x U 中至少包含一个n y 。对于任何两个不同的邻域

)31,(x U 、)3

1

,(y U ，M

y x ∈,，必有

Φ=)31,()31,(y U x U ，从而?

??

???∈M x x U )31,(是一族互不相交的球，其总数是不可数的。因此{}n y 至少也有不可数个，这与{}

n y 是可数的相矛盾。

（或：由

M

l y U n ??∞）（3

1

, 以及

M

是不可数的，可知存在一个

)3

1

,(n y U 包含M

中的两个不同点

y x ,。但

,)1d x y =（，并且2

,),)(,)3

n n d x y d x y d y y ≤+<

（（，显然这是相互矛盾的。） 八、设X

为距离空间，

A 为X 中的子集，令),(inf )(y x d x f A

y ∈=，X x ∈，试证：)(x f 是X 上的连续函数。

证明：任取

X

x ∈0，对于

X x ∈，有

),(),(),(),(inf )(00x y d x x d y x d y x d x f A

y +≤≤=∈,对一切A y ∈成立。

从而

)(),()(00x f x x d x f +≤，同理可得)(),()(00x f x x d x f +≤

即有

),()()(00x x d x f x f ≤-，从而)(x f 在0x 处连续。

因此

)(x f 是X 上的连续函数。

九、试证：

T 是距离空间X 到距离空间Y 中的连续映射的充要条件为Y 中任何闭集F 的原像F T 1-是X 中的闭集。

必要性证明：设

F 为Y 中的闭集，任取{}1n x T F -?，n x x →，X x ∈，则n Tx F ∈。

由

T 的连续性可知，n Tx Tx →，从而Tx F ∈，即1x T F -∈。

充分性证明：设

X x ∈，任取{}n x X ?，n x x →。

假设

n Tx Tx →不成立，则存在00ε>和子列{}

k n x X ?，使得0(,)k n d Tx Tx ε≥。

令

{}0(,)F y d y Tx ε=≥，则{}

k n Tx F

?，并且

F 为Y 中的闭集，从而F T 1-是X 中的闭集。

由

1k n x T F -∈,k n x x

→可得，

1x T F -∈，即Tx F ∈，由此可得00(,)0d Tx Tx ε=≥>，这一矛盾说明，

n Tx Tx →，即为连续映射。

十

、试证：

p l )1(≥p 是完备的距离空间。

证明：对于任何基本列

{}p

n x l ?：

1()()

()2(,,,,)i n n n n x ξξξ=， ,2,1=n ，有0ε?>，存在0N >，

,m n N

>时，

()()1

p

n m p

i i i ξξε

∞

=-<∑。从而对于每个

1,2,

i =，

{}

()

n i ξ是

R 中的基本列，由R 的完备性可知，存在

i R

ξ∈，使得

()n i i

ξ

ξ→，

n →∞

。同时对于任何自然数s

，

()()1

s

p n m p

i

i

i ξ

ξε=-<∑，令

m →∞

，得

()1

s

p

n p

i i

i ξ

ξε

=-≤∑，从而

()1

p

n p i i i ξξε∞

=-≤∑。

令

12(,,

,,)i x ξξξ=，则由1

1

1

()()111i p

p

p

p

p p n n i i i i i i ξξξξ∞

∞

∞

===??

??

?

?≤+-??

??????

??

??

∑∑∑可知，

p x l ∈。由

(,)n d x x ε≤可知，n x x →。从而p l )1(≥p 是完备的距离空间。

十一

、试证：

[,]C a b 在积分平均收敛意义下是不完备的距离空间。

证明：设111111,

2(),1,2n n

n n

n

n

t x t nt t t --≤≤-??

=-≤≤

??≤≤+?

，

,2,1=n ，则{}[,]n x C a b ?。

对于

n m >，2

2

11

(,)()()n m n m d x x x t x t dt m n

-=-=

-?，由此可知，{}n x 为([,],)C a b d 中的基本点列。 若

{}

n x 在

([,],)C a b d 中收敛，则存在()[,]x t C a b ∈，使得

2

2

(,)()()0n n d x x x t x t dt -=-→?，从而112

2

1()1()0n

n

x t dt x t dt --++-→??。

由此可得，

(0)1x -=-，(0)1x +=，这与()[,]x t C a b ∈矛盾。因此{}n x 在([,],)C a b d 中不收敛，从而[,]C a b 在积分平

均收敛意义下是不完备的。

十二、设

)(x f 是

R

上的可微函数，并且

1)(<≤'αx f ，则方程x x f =)(有唯一的实数解。

证明：对于任何

R y x ∈,，y

x y x f y f x f -?≤-?'=-αξ)()()(。

由

10<<α，可知，f 是完备空间R 上的压缩映射。 由压缩映射不动点原理可知，x x f =)(有唯一的实数解。

十三

、设

F 是n 维欧几里得空间n R 中有界的闭集，A 是F

到自身中的映射，并且满足下列条件：对任何

)(,y x F y x ≠∈，有

),(),(y x d Ay Ax d <。试证：映射A 在F 中存在唯一的不动点。

证明：令

)(inf ),,()(0x Ax x d x F

x ???∈==，则

)

(x ?是紧集

F 上的连续函数，从而存在

F x ∈?，使得)(0?=x ??。

假设

0),()(>=???Ax x d x ?，则),(),(2????

即

0)()(???=

x ??∈?=∈，矛盾，故而0),(=??Ax x d ，从而??=x Ax 。即映射

A 在F 中存在不动点。

若

?≠=x x x Ax 000,，F x ∈0，则),(),(),(000x x d Ax Ax d x x d ???<=，显然这是

一个错误。因而映射

A 在F 中不动点是唯一的。

十四

、设对于任何实数

1p ≥，12(,,

,,)p n x l ξξξ=∈，试证：lim p

p x

x

∞

→+∞

=。

证明：不妨设

12(,,,,)0n x ξξξ=≠，令n

n x

ξη∞

=

，

()

12,,

,,

n y ηηη=，则

1n η≤，

p

y l ∈，

p

p

x y

x

∞

=

,

1y

∞

=。由此可知，对于0ε?>，0N ?>，n N

>时，使得

1

p

n n N ηε

∞

=+<∑

，并存在

0n ，使得

011n εη-<≤。

由

()1

1

101111p

p

p

N p p p n n n n p

n n n N y

N εηηηηε∞∞===+????

-<≤==+≤+ ? ?????

∑∑∑可得，

ε?>，

11p

p

p p lim y

lim y

ε→+∞

→+∞

-≤≤≤，从而lim 1p

p y

→+∞

=。

由此可得，

lim p

p x

x

∞

→+∞

=。

十五、设

X

一个线性空间，范数

1x 与2

x

等价的充分必要条件是存在两个正数

b a ,，使得不等式2

12

x

b x x

a ?≤≤?，对任何

X x ∈成立。

证明：充分性是显然的，只需证明必要性。

假设不存在

0>b ，使得2

1x

b x ?≤成立，则对每一个自然数

n

，存在

X

x n ∈，使得

2

1

n

n

x n x ?>，从而

n x x n n

1

2

1

<

，但11

1

=n n x x ，这与范数1x 与2

x

等价相矛盾。因而存在

0>b ，使得对任何X x ∈， 2

1x

b x ?≤成

立。

同理可证，存在

0>'a ，使得12x a x ?'≤。令a a '

=

1

，则0>a ，并且对任何X x ∈，成立着12

x x a ≤?。

十六、设 ,2,1,0,0,,=≠≠∈n x x X x x n n ，并且∞→→n x x n ,，则x

x

x x n n →。

证明：由

x x n →及x

x x x n n -≤-（或范数的连续性）,可得

x

x n →。

由

x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n ?-+-???=??-?=-)()(1

∞→→-?+-???≤

n x x x x x x x

x n n n ,0)(1

，

可得

x

x x x n n →。

十七、设

，

，21X X 是一列

Banach 空间，{} ,,,,21n x x x x =是一列元素，其中n n X x ∈， ,2,1=n ，并

且

∑∞

=∞<1

n p n

x

，这种元素列的全体记为X

，按通常数列的加法和数乘，在

X

中引入线性运算。若令

p

n p

n

x x 11

??

? ??

=∑∞

=，试证：当

1

≥p 时，

X 是Banach 空间。

证明：仅证

X 的完备性。设 ,2,1),,,,,()()(2

)(1)(==i x x x x i n i i i ，为X 中的基本列，则

I

j i I >>?>?,,0,0ε时

ε<-)()(j i x x ，即∑∞

=<-1

1

)()

()(n p

p

j n

i n x

x ε，从而对每个自然数n ，均有ε<-)

()(j n i n

x x ，即{}∞

=1)(i i n x 为n X 中的基本列。由

n

X 的完备性可知，存在点列

{}n

n X x ?，使得

∞

→i 时，

,2,1,)(=→n x x n i n 。令

)

,,,,(21 n x x x x =，

则

∑∞

=-=-1

1

)

()()

(n p

p

n i n i x x x x 。由

∑∑∞

=∞

=∞

→-=-1

1

)

(1

1

)()

()

()(lim n p

p

n i n n p

p

j n

i n j x x x x ，可得

I i >时，ε

≤-x x i )(，从而

∞→→i x x i ,)(，

并且

∑∑∞

=∞

=-≤=1

1)(1

1)

()(n p

p

n i n

n p

p

n x x

x x +

+∞<∑∞

=1

1)()(n p

p i n

x

，即X x ∈。因此X 是完备空间。

十八、设

()()12,,,,1,,,,,T

n

ij ij n n Tx z z Ax A a a R i j n x x x x R ===∈≤≤=???∈，并且

n R 中范数分

别取为

{}1max i i n

x

x ∞

≤≤=、11

n

i

i x x ==∑、

12

2

21

()

n

i i x x ==∑。试证：

T 是n n R R →的有界线性算子，并求算子T 的范

数

T

∞

、

1

T

、

2

T

。

证明：（1）由

1111

1

1

()()n n

n

ij j ij j ij

i n

i n

i n

j j j Tx max a x max

a x max

a x ∞∞

≤≤≤≤≤≤====≤?≤?

∑∑∑可得，T

为有界线性算子，并且

11n

ij

i n

j T

max a ∞

≤≤=≤∑。

不妨设

11

1

0n

n

ij mj i n

j j M max a a ≤≤====≠∑∑，1m n ≤≤。

取

012((),(),

,())T m m mn x sign a sign a sign a =，则0

1x ∞

=，并且

11

11

()()n

n

n

ij mj mj

mj mj i n

j j j Tx max a sign a a

sign a a M

∞

≤≤====≥

==∑∑∑。

由此可得，

T

M ∞

≥，从而11

n ij

i n

j T

max a ∞

≤≤==∑。

（2）由

1111

1

11

1

1

1

()()()n

n

n n n

n

n

ij j ij j j

ij

ij j n

i j i j j i i Tx a x a x x a

max a x ≤≤========≤?=≤∑∑∑∑∑∑∑可得，T 为有界线性

算子，并且

111

n

ij

j n i T max a ≤≤=≤∑。

不妨设

11

1

0n

n

ij im j n

i i M max a a ≤≤====≠∑∑，1m n ≤≤。

取

0x 为向量单位m e ，则011x =，并且011

n

im i Tx a M

===∑。

由此可得，

T

M ∞

≥，从而111

n

ij

j n

i T max a ≤≤==∑。

（3）不妨设

0A ≠，由实对称矩阵T A A 的半正定性可知，其特征值均为非负实数，并且最大特征值()0T max A A λ>。

由二次型理论可知，

()

()()

()

()

1

1

1

2

2

2

22

()()T

T

T

T

max Tx Ax Ax x A A x A A x

λ=

=≤，同时存在

0n x R ∈，

021x =，使得()

1

2

2

()T

max Tx A A λ=。

由此可知，

T 为有界线性算子，并且()

1

2

2

()T

max T

A A λ=。

十九

、试求

]11[，-C 上线性泛函??--=01

1

)()()(dt t x dt t x x f 的范数。

解：由

?????---=+≤-=

01

10

1

1

1

10

)()()()()()(dt

t x dt t x dt t x dt t x dt t x x f

]1,1[,2)(max 21

1-∈??=?≤≤≤-C x x t x t

可得

2≤f 。

取???

?

?

????-----=]

1,1[,1]1,1[,]1,1[,1)(n n n nt n t x n

，则 ,2,1,1],1,1[==-∈n x C x n n ，并且

????=-=-----+=---n

n

n

n

n n n dt dt nt dt nt dt x f 10

1

11

10

1,2,1,1

2)1()()(1)( ，

从而

,2,1,1

2)(=-=≥n n

x f f n 。

由此可得

2≥f ，从而2=f 。

二十

、设无穷矩阵

()ij

a (

,2,1,=j i )，满足

∞<∑∞

=≥1

1

sup j ij i a 。作∞l 到∞l 的算子如下：

若

),,(21 x x x =，),,(21 y y y =，y Tx =，则∑∞

=?=1

j j ij i x a y ， ,2,1=i 。试证，T 是∞l 到∞l 的有界

线性算子，并且

∑∞

=≥=1

1

sup j ij

i a T 。

证明：显然

T 是线性算子。

对于任何

∞∈=l x n ),,,,(21 ξξξ，

∑∑∑∞

=≥∞

=≥∞

=≥≥?≤?≤?==1

1

1

1

1

1

1

sup sup sup sup j ij

i j j ij i j j ij i i i a x a a Tx ξξη，

即

∑∞

=≥≤1

1

sup j ij

i a T （记为

M ，不妨设0

1k M >

）。

对 ,1,,1

00+==

k k k k ε，存在自然数k i ，使得011

>->∑∞

=k M a j j i k 。

令

),sgn ,,(sgn 1 j i i k k k a a x =，则∞∈l x k

，并且 ,,10k k x k ==。

由此可得

),sgn ,(1

j i j ij k k a a Tx ?=∑∞=

，∑∑∞

=∞

=≥?≥

?=1

1

1

sgn sgn sup j j

i j

i j j i ij i k k k k a a

a a Tx

,2,1,1

1

=-

>=∑∞

=k k

M a j j i k 。从而

,,1

0k k k

M Tx T k =->≥，即有

M

T ≥。因而

M T =。

二十一

、设

X

是赋范线性空间，

Z 是X

的线性子空间，

X

x ∈0，又

0),(0>Z x d ，试证，存在*∈X f ，满足条件：（1）当

Z x ∈时，0)(=x f ；（2）),()(0

0Z x d x f =；（3

）1=f 。 证明：设

{}K k Z z z kx G ∈∈+=,0，对于任何),()(,00Z x d k x F G z kx x ?=∈+=，则F 为X

的子空间

G 上的线性泛函，),()(00Z x d x F =，并且Z x ∈时，0)(=x F 。

0≠k 时，x

k

z

x k Z x d k z x k F x F =+?≤?=+?=)(),()()(000，即有

1≤F 。

设

{}Z

z n ∈，使得

∞→→-n Z x d z x n ),,(00，则≤-==)()(),(000n z x F x F Z x d

n

z x F -?0。令

∞→n ，可得),(),(00Z x d F Z x d ?≤，即1≥F 。因此1=F 。

由

Banach 延拓定理，可得存在*∈X f

，满足1),,()(,0)(00===f Z x d x f Z f 。

二十二、设

X

是线性空间，

1x 和2

x

是

X

上两个范数，若

X

按

1x 及2

x

都是完备的，并且由点列

{}

n x 按

1x 收敛于0，必有按

2

x

收敛于0，试证：存在正数

b a ,，使

121x b x x a ?≤≤?。

证明：记

Banach 空间),(),,(21x X x X 分别为F E ,，E 到F 上的恒等算子为I

，则

x x n →即01→-x x n 时，

022→-=-x x Ix Ix n n ，即Ix

Ix n →，从而

I

为

E

到

F

上的连续线性算子。因此存在正常数

b

，使得

12x b x ?≤。由逆算子定理，可得1-I 为F 到E 上的有界线性算子，从而存在正常数a ，使得2

111x

x I a x a ≤?=?-。

因此存在正常数

a 、

b ，使得12

1x b x

x a ?≤≤?。

二十三、设

)(Y X B T n →∈)

,2,1( =n ，其中

X

是

Banach 空间，Y 是赋范线性空间，若对于每个X

x ∈，

{}

x T n 都收敛，令

x T Tx n n ∞

→=lim ，试证：T 是X 到Y 中有界线性算子，并且n

n T T ∞

→≤lim 。

证明：由已知，对于每个

X x ∈，{}x T n 收敛，从而有界。由共鸣定理可知，{}

n

T 有界，即存在

0>M ，使得M T n ≤。

由

Ty Tx y T x T y x T y x T n n n n n n ?+?=?+?=?+?=?+?∞

→∞

→∞

→μλμλμλμλlim lim )(lim )(，可知T

是

X 到Y 中的线性算子。

对于任何

X x ∈，x

T x T x T x T Tx n n n n n n n n ?=?≤==∞

→∞

→∞

→∞

→lim )(lim lim lim ，即有

n

n T T ∞

→≤lim 。

二十四

、任取内积空间

X

中一点

y ，对于任意x X

∈，令

(),f x x y =<>，试证：()f x 为X

上有界线性泛函，并计算其范数

f

。

证明：对于任意

,x z X

∈和常数

k ，

(),,,()()f x z x z y x y z y f x f z +=<+>=<>+<>=+

(),,()f kx kx y k x y kf x =<>=<>=

因此

()f x 为X 上线性泛函。

对于任意

x X

∈，由

(),f x x y x y =<>≤?可知，

()f x 为X 上有界线性泛函，并且f y

≤。

不妨设

0y ≠，令y x y

=，则

1x =，并且()f x y

=。

由此可得，

f y

≥，从而

f y

=。

二十五

、设

{}

n x 是内积空间

X

中点列，若

x x n →)

(∞→n ，并且对于一切

X

y ∈，有

>→

证明：由

>-<+>-<++=-n n n

n x x x x x x x

x ,,22

2

以及2

2

x

x n

→、

2

,,x

x x x x n ->=->→<-<、

2

,,,,x

x x x x x x x x n n ->=-=<>-<→>-<>=-<，可得

∞→=--+→-n x

x x x x x n ,02

2

2

2

2

，即∞→→n x x n ,。

二十六

、设

X 是n 维线性空间，{}n e e e ,,,21 是X

的一组基，试证：

>

上内积的充要条件是存在

n 阶正定方阵

()ij a A =，使得

∑∑∑===??>=

??

j i j i ij

n

j j j n i i i y x a

e y e x 1

,1

1

,。

必要性证明：设

>

=

>

=<>

ji

ij a a =，

n

j i ≤≤,1，并且

∑∑∑===??>=

??

j i j

i ij

n

j j j n

i i i y x a

e y e x 1

,1

1

,。

令

n

ij a A )（=，

则

A

A ='，

并

且

对

任何

),,,(21'=n x x x α，∑∑∑===>

??=

'n

i i i n

i i i n

j i j i ij

e x e x x x a A 1

1

1

,,αα。由内积的正定性可知，仅当

01

=?=∑=n

i i i e x x ，即0=α时，0='ααA 。因而A 为n 阶正定矩阵。

充分性证明：对于任何

X

y x ∈,，设

?

?

?

?

?

??=????? ??=?=?=∑∑==n n n

i i i n

i i i y y x x e y y e x x 1111,,,βα，则

A A A y x =''>=<,,βα，从而

（1）

000,0,=?=?='≥'>=

（2）

><+><='?+'?='?+?>=?+?

),,,(,211

'=?=∑=n n

i i i z z z e z z γ；

（3）

><='='='>=

因此

>

二十七、设

X

为内积空间，

12,,,n x x x X

∈，满足

n j i x x ij j i ≤≤>=<,1,,δ，试证：n x x x ,,,21 线性无

关。

证明：考察

∑==?n

i i i

x k

1

0，两端同时与j x 作内积得，

∑==>==?

i j i j j i i n j x x k x x k 1

,,2,1,0,, ，即n j k j ,,2,1,0 ==。

因而

n x x x ,,,21 线性无关。

二十八、设

X 是

Hilbert

空间，

M X ?，M ≠?，试证：()M ⊥⊥是X 中包含M 的最小闭子空间。

证明：显然，

()M ⊥⊥为X

中包含

M 的闭子空间。

设F 为X 中包含M 的任意闭子空间，则F 为完备的子空间，并且()()F M ⊥⊥⊥⊥?。

下证：()

F F ⊥⊥

?，从而()F F ⊥⊥=。 任取

()x F ⊥⊥∈，由正交分解定理可知，12x x x =+，12,x F x F ⊥∈∈。 两边与

2x 作内积得，21222,,,x x x x x x <>=<>+<>。

由

2,0x x <>，12,0x x <>=可得，22,0x x <>=，即20x =，1x x F =∈，因此()F F ⊥⊥?。

（或：由

1()x F F ⊥⊥∈?可知，{}12()0x x x F F ⊥

⊥⊥-=∈=，即1x x F =∈，因此()F F ⊥⊥?。

） 由此可知，

()F M ⊥⊥?。 综上所述，

()M ⊥⊥是X

中包含

M 的最小闭子空间。

二十九

、试证：数域

K 上内积空间X 中向量y x ,垂直的充要条件是对一切数K ∈α，成立x

y x ≥?+α。

充分性证明：由

x y x ≥?+α，可得

>>≥

,,,2

>≥

,,,≠>

<>

<-

=y y y y x α，代入上式后得到，

0,,2

≥>

<>

<-

y y y x ，从而0,>==

必要性证明：由

y

x ⊥，即

,>=

,>=?<∈?y x K αα，，即

y

x ?⊥α。由此可得

2

2

2

2

x

y

x y

x ≥?+=?+αα，即

x

y x ≥?+α。

三十、设

12,,,n

e e e 为内积空间

X 中的规范正交系，试证：X 到12{,,

,}n span e e e 的投影算子P 为

1,n

i i i Px x e e ==<>∑，x X

∈。

证明：设

12{,,,}n M span e e e =，则M 为X

中完备子空间。

由题意知，对于任何

x X ∈，x Px y =+，其中Px M ∈，y M ⊥∈，从而12,,

,n y e e e ⊥。

设

1

n

i i i Px c e ==∑，由12,,

,n e e e y ⊥可得，,i i c x e =<>，1,2,

,i n =。

由此可知，

1

,n

i i i Px x e e ==<>∑，x X

∈。

三十一、设

X

是可分的

Hilbert 空间，试证：X 中任何规范正交系至多为可数集。

证明：显然

X 是有限维的线性空间时，其任何规范正交系必为一线性无关的向量组，因而一定是一个有限集。

若X 不是有限维的线性空间，则由X 的可分性与完备性可知，存在可列的完全规范正交系{

} ,,,,21n e e e M =。对于X 中任何规范正交系

{}I v e E v ∈=，作集合

{}I v e e e E i v v i ∈>≠<=,0,， ,2,1=i ，则 ∞

=???

?

??∈>><=1,1,k i v v i I v k e e e E 至多是可列集（由

Bessel 不等式

1,2

1

,2

=≤><∑

≥∈i

j I v i v e e e j j ，可知?

??

???∈>>

,2,1=i ，并且E E i i ?∞

= 1

。对于E 中任何向量v e ，若 ∞

=?1

i i v E e ，则必有0,>=

性可知，必有

0=v e ，这与1=v e 矛盾。因此必有 ∞=∈1

i i v E e ，从而E E i i =∞

= 1

。由此可知，规范正交系E 至多为可数集。

三十二、设

T 是

Hilbert

空间

X 上的有界线性算子，1≤T ，试证：

{}{}

x

x T

x x Tx x ===?

。

证明：设

00x Tx =，则>>=<>=<<∈??y T x y Tx y x X y ,,,,000，即

0,0>=-

y T y x 。取0x y =，得到000)(x x x T ⊥-?

，从而2

2

02

0x T x x T x ?

?

=-+。由此可得

2

2

2

2

02

x x T x x T x ≤?≤-+?

?，从而

000=-?x x T ，即00x x T =?；

同样，

00x x T =?时，由1≤=?T T ，可得00x x T =?

?）（，即00x Tx =。从而

{}{}

x

x T

x x Tx x ===?

。

三十三、设

2

1,T T 均为

Hilbert 空间H 中的有界线性算子，若H y x ∈?,，有>=

>

证明：由已知可得，

0,,,21>=-<∈?y x T x T H y x 。

取

x T x T y 21-=，则0,2

21=-∈?x T x T H x ，即x T x T 21=。因而21T T =。