全等三角形练习题及解析

全等三角形练习题

一．选择题（共3小题）

1．（2012梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）

A．10°B．12°C．15°D．18°

2．（2011随州）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2009内江）如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）

A．60米B．100米C．90米D．120米

二．填空题（共4小题）

4．（2009黔东南州）如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．_________．

5．（2007资阳）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=_________．

6．（2012通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．

7．（2012通辽）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′BD的度数为_________．

三．解答题（共5小题）

11．（2012牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴S△ABP=ABPE，S△ACP=ACPF，S△ABC=ABCH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，

∴ABPE+ACPF=ABCH．

∵AB=AC，

∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB 边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．

12．（2012云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC 交AB于点E．

求证：△ABC≌△MED．

全等三角形练习题

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．（2012梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）

A．10°B．12°C．15°D．18°

考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．

分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD，代入数据进行计算即可得解．

解答：解：∵AD⊥BC，∠C=36°，

∴∠CAD=90°﹣36°=54°，

∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，

∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，

∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．

故选A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．

2．（2011?随州）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=（）

A．1B．2C．3D．4

考点：三角形的面积．

分析：本题需先分别求出S△ABD，S△ABE再根据S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE即可求出结果．

解答：解：∵S△ABC=12，

EC=2BE，点D是AC的中点，

∴S△ABE==4，

S△ABD==6，

∴S△ABD﹣S△ABE，

=2．

故选B．

点评：本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．

3．（2009?内江）如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）

A．60米B．100米C．90米D．120米

考点：多边形内角与外角．

专题：应用题．

分析：利用多边形外角和等于360度即可求出答案．

解答：解：∵小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形，

∴多边形的边数为360°÷20=18，

∴他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90米．

故选C．

点评：主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．

二．填空题（共4小题）

4．（2009?黔东南州）如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．答案如图．

考点：三角形的面积．

专题：作图题．

分析：因为按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，所以需要把三角形的面积平均分为4份，甲占1份，其余的是乙的，由此把BC四等分即可．解答：解：如图所示：

点评：本题需仔细分析题意，结合图形利用等分点即可解决问题．

5．（2007?资阳）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=195．

考点：三角形的面积．

专题：操作型．

分析：根据高的比等于面积比推理出△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，则△A1B1B的面积是△A1BC面积的3倍…，以此类推，得出△A2B2C2的面积．

解答：解：连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，

因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，

因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，

设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，

同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，

则△A1B1B的面积是6a，

同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，

△A1B1C1的面积是19a，

即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，

同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，

即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，

依此类推，△A5B5C5的面积是S5=195=2476099．

点评：正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键，本题的难度较大．

6．（2012?通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=4：5：6．

考点：角平分线的性质．

分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．

解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，

∴OD=OE=OF，

∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．

故答案为：4：5：6．

点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

7．（2012?通辽）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′BD的度数为30°．

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：由梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠A′BC=15°，利用三角形外角的性质，可求得∠DA′B的度数，由折叠的性质，可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，继而求得∠A′BD的度数．

解答：解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，

∴∠C=90°，

∵∠A′BC=15°，

∴∠DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°，

由折叠的性质可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，

∵AD∥BC，

∴∠ABC=180°﹣∠A=75°，

∴∠A′BD==30°．

故答案为：30°．

点评：此题考查了折叠的性质、梯形的性质以及三角形的外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

11．（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，

∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．

∵AB=AC，

∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB 边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．

考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．

专题：几何综合题．

分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；

（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．

解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH，

∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，

∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，

又∵AB=AC，

∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，

∴AC=2CH．

∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，

分两种情况：

①P为底边BC上一点，如图①．

∵PE+PF=CH，

∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；

②P为BC延长线上的点时，如图②．

∵PE=PF+CH，

∴PE=3+7=10．

故答案为7；4或10．

点评：本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．

12．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC 交AB于点E．

求证：△ABC≌△MED．

考点：全等三角形的判定．

专题：证明题．

分析：根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED．

解答：证明：∵MD⊥AB，

∴∠MDE=∠C=90°，

∵ME∥BC，

∴∠B=∠MED，

在△ABC与△MED中，，

∴△ABC≌△MED（AAS）．

点评：此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．