图形的平移和旋转培优题(1)

图形的平移和旋转

一：知识点

1．平移的定义与规律

关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．

（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，?对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．

（2）简单作图

平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．

2．旋转的定义与规律

（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，?这样的图形运动称为旋转． 关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．

（2）旋转的规律

经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

（3）简单的旋转作图： 旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．

二：小试牛刀

1．平移是由_________________________________________所决定。

2. 平移不改变图形的 和 ，只改变图形的 。

3．钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是___________,经过20分,分针旋转___________度。

4．(2010年兰州市)如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．

5、（2008年湖北省咸宁市）如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论，其中正确的是_____

①△AED ≌△AEF ； ②BE DC DE += ③S △ABE +S △ACD >S

△AED ； ④222BE DC DE += 三：例题讲解

1、如图所示：正方形ABCD 中E 为BC 的中点，将面ABE 旋转后得到△CBF.

（1）指出旋转中心及旋转角度．（2）判断AE 与CF 的位置关系．

（3）如果正方形的面积为18cm 2，△BCF 的面积为4cm 2

,问四边形AECD 的面积是多少？

2、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，且BE ＋DF ＝EF ，求∠EAF

3、如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，

垂足为G ，AG 交BD 于点F ，求证：OE=OF 。 A B C

D E

4．如图，已知正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=BE+FD ，请说出AF 平分∠DAE 的理由。 5、如图，有边长为1的等边三角形ABC 和顶角为120°的等腰△DBC ，?以D 为顶点作∠MDN=60°角，两边分别交AB 、AC 于M 、N 的三角形，连结MN ，（1）、求证MN=BM+CN ；（2）、试说明△AMN 的周长为2．（3）、若M,N 分别在AB,CA 的延长线上，则（1）中结论还成立吗？如果不成立，MN,BM,CN 又满足什么关系？

6、如图，正方形纸片ABCD 和正方形EFDH 边长都是1，点E ABCD 的中心，在正方形EFGH 绕着点E 旋

转过程中，

（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？

（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。

7、操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边

AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两

点．图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：

（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合图②加以证

明．

（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△

PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由．

8、如图，在六边形ABCDEF 中，已知AB//DE,AF//CD,BC//FE,AB=DE,AF=CD,BC=FE ，对

角线F D ⊥BD,FD=24cm ，BD=18cm ，你能求出六边形ABCDEF 的面积吗？ A

B C

D M

N

N

A B C D M

9、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”着称于世，着名的大峡谷A和世界级风景保护区星斗山

B 位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A,B到直线X的距离分别为10km，40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A,B两景区运送游客。小民设计了两种方案，

方案一：如图一，

AP于直线X垂直，垂足为P，P到A,B的距离之和为S1

=PA+PB

方案二：如图二，点A关于直线X的对称点是D,连接BD交直线X于P,P到A,B距离之和为S2=PA+PB.

（1）求S1，S2，并比较大小（2）请说明S2=PA+PB的值最小。

（3）如图三，拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立图形的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各建一服务区P,Q，使P,A,B,Q组成的四边形的周长最小，并求最小值。

10、如图（1），已知△ABC是边长为2的等边三角形，D,E,F分别为AB,AC,BC边上的中点，连接DE,DF,EF.将△ADE 向下平移，使得A点与C点重合，将△BDF向右平移，使得B点与C点重合，（如图2）。

（1）设△ADE, △BDF, △EFC的面积分别为S1,S2,S3,则，S1+S2+S3_______3.（用>,=,<填空）

（2）如图3，已知∠AOB=∠COD=∠EOF=60°,AD=CF=BE=2,设△ABO, △CDO, △EFO的面积分别为S1,S2,S3。问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由。

图2 图3

11AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。

巩固练习

B

C

A

B

D

E

F

S1

S2

S3

1、△ABC 平移到△DEF 的位置，（即点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F ，是对应点）有下列说法：①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF 其中说法正确个数有……( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2、（2003，河南）把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A ′B ′C ′D?′的位置，它们的重叠部分（如图1中的阴影部分）的面积是正方形ABCD?面积的一半，?若AC=2，则正方形移动的距离是AA ′是_______． （1） （2） （3）

3．（2004，南宁）如图2是两张全等的图案，它们完全重合在叠放在一起按住下面的图案不动，将上面图案绕点O 顺时针旋转，至少旋转_______度角后，?两张图案构成的图形是中心对称图形． 4、如图，两个全等的正六边形ABCDEF 、PQRSTU ，其中点P 位于正六边形ABCDEF

的中心，如果它们的面积均为1，则阴影部分的面积是__________。

5、如图11-2所示，Rt △A ′B ′C ′是△ABC 向右平移3cm 所得，已知∠B ＝60°，

B ′

C ＝5cm ，则∠C ′＝_____________，B ′C ′＝_____________cm ．

6.如图所示，直角△AOB 顺时针旋转后与△COD 重合，若∠AOD ＝127°，则旋转角度是

7．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别在D ′、C ′位置，若∠EFB=65°，则∠AED ′=_________.

8．四边形ABCD 为长方形，△ABC 旋转后能与△AEF 重合，旋转中心是点

旋转了多少度 ；连结FC ，则△AFC 是 三角形。

9． 如图11-5，O 是等边△ABC 内一点，将△AOB 绕B 点逆时针旋转，使得B 、O 两点的对应点分别为C 、D ，则旋转角为_____________，图中除△ABC 外，还有等边三形是_____________．

12．如图11-6，Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，以P 为中心，把这个三角形按逆时针

方向旋转90°得到△DEF ，图中通过旋转得到的三角形还有_____________．

13、(青岛市)如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若

将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P 与点P' 之间的距离为多少，∠APB ？

13、如图①，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，

AF =2

1AB ， （1）求证：△ABE ≌△ADF 。 （2）阅读下列材料：如图②，把△

ABC 沿直线平移线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置；如图③，以BC

为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图④，以点A 为中心，

把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样其中一个三角形是由

另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不

改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换。

请回答下列问题： <1>在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到△ADF 的位置？

<2>指出图①中线段BE 与DF 之间的关系. 图9B P P C