经典24点算法

经典24点程序算法

一、概述

算24点：任意给定四个整数，用加、减、乘、除以及适当的括号连接，无论顺序，使计算结果为24，也可能根本就无解。如何用程序简单实现找到算式是程序初学者关注的问题，百度上可以搜到许多这样的文章，有递归法、回溯法、穷举法。但穷举法最为简单、易于理解。

二、算法

穷举法就是把四个数字的所有运算式进行尝试计算，要设法把所有排列一点不差地穷举出，一、是四个整数位置的排列，用0,1,2,3表示位置，排列是不能重复的，所以有P(4,4)种情况，即4！=4*3*2*1=24种；二、是三个运算符的变化，每个运算符为+-*/ ，可以相同，所以，有4*4*4=64种; 三、三个运算符的优先级，就是括号位置的变化，可能性为P(3,3)-1=6-1=5种；所以，表达式的可能性为：24*64*5=7680种，C语言程序把这么多表达式都计算一遍，几乎不到1毫秒毫不费劲, 可见电脑的运行速度之快。

四个数位置的排列，可用四重循环实现，四个循环变量i1,i2,i3,i4对应数组下标的变化, 不许它们之间相等，四个数放在数组v[0]、v[1]、v[2]、v[3]:

for (int i1=0;i1<4;i1++)

for (int i2=0;i2<4;i2++)

if (i2!=i1) // 循环变量不许相同

for (int i3=0;i3<4;i3++)

if (i3!=i2 && i3!=i1) // 循环变量不许相同，&& 是“并且” for (int i4=0;i4<4;i4++)

if (i4!=i3 && i4!=i2 && i4!=i1) // 循环变量不许相同

{

// v[i1],v[i2],v[i3],v[i4] 就是排列的结果，共有4!=24 种

｝

三个运算符的变化，可用三重循环实现，三个循环变量 f1,f2,f3对应位置的变化,允许相同，运算符放在数组op[0]、op[1]、op[2]、op[3]中:

for (int f1=0;f1<4;f1++) // 三重循环对运算符穷举

for (int f2=0;f2<4;f2++)

for (int f3=0;f3<4;f3++) // 运算符 f1,f2,f3

{

// op[f1],op[f2],op[f3]就是排列结果，共有4*4*4=64 种

}

上面两种排列组合后，四个数及运算符排列顺序就是形如：a ① b ② c ③ d v[i1],op[f1],v[i2],op[f2],v[i3],op[f3],v[i4]

但运算符有优先级，一般是用括号表示。我们可以规定运算符的优先级来代替括号。设四张牌为a、b、c、d，运算符为①、②、③，表达式为a ① b ② c ③ d。这3个运算符的运算顺序有3！=6种，分别是：

1．①②③ 2.①③② 3.②①③ 4.②③① 5.③①② 6.③②①

等价的表达式分别是：

1.((a①b②)c③)d

2.(a①b)②(c③d)

3.(a①(b②c))③d

4.a①((b②c)③d)

5.(a①b)②(c③d)

6. a①(b②(c③d))

显然，2和5是相同的，因此只考虑5种情况。这样，括号的问题就解决了。为了简单起见，这五种情况未用循环，大大减化了程序的复杂性，更易于理解。

对这组排列逐一进行运算，看是否是24，就可以得到最终所有式子了。在运算过程中除法的特殊性——除数不能为零。因为可能会用到除法，所以要考虑精度问题，这里通过结果减去24取绝对值与一个接近0的小数(如0.001)比较，如小于它，即可判定结果是24。

三、程序

有了上面的算法分析，这个程序很简单，只用了最简单的基本语句，你可以改成任何程序语言：

/*------------------------------------------------------------*

| 24点(穷举法)算法程序 V1.0 |

| By 叶宏 2012.6.27 |

*------------------------------------------------------------*/

#include "stdio.h" // 输入输出定义

double cal(double a,double b,int op) // op: 0:+,1:-,2:*,3:/

{

switch (op) // +-x/ 运算

{

case 0: return(a+b);

case 1: return(a-b);

case 2: return(a*b);

}

if (b==0.0) // 分母为0

return(999.0);

else

return(a/b);

}

bool isEqual(double d1,double d2) // 两个浮点数是否近似相等

{

double d=d1-d2;

if (d<0)

d=-d; // 求绝对值

return(d<=0.001);

}

void D24(int v0,int v1,int v2,int v3) // 穷举法求24点

{

char op[4]={'+','-','*','/'}; // +:0 -:1 *:2 /:3

int v[4]; // 输入四整数

v[0]=v0; v[1]=v1;

v[2]=v2; v[3]=v3;

//-----------四重循环开始穷举四个数字的位置: 4!=24 种--------------------------

int count=0; // 计数成功次数

for (int i1=0;i1<4;i1++)

for (int i2=0;i2<4;i2++) // 四重循环对四个数穷举

if (i2!=i1)

for (int i3=0;i3<4;i3++)

if (i3!=i2 && i3!=i1)

for (int i4=0;i4<4;i4++)

if (i4!=i3 && i4!=i2 && i4!=i1)

{

//-----------三重循环开始穷举三个运算符: 4X4X4=64 种--------------------------- for (int f1=0;f1<4;f1++) // 三重循环对运算符穷举

for (int f2=0;f2<4;f2++)

for (int f3=0;f3<4;f3++) // 运算符 f1,f2,f3

{ // 对运算优先级直接列举(5种) //-----------未用循环，直接穷举三个运算符的优先级: 3!-1=5种-------------------- double t1,t2,t3; // 存放计算的中间值

// 第1种情况 ((a 。b)。c)。d ：

t1=cal(v[i1],v[i2],f1);

t2=cal(t1,v[i3],f2);

t3=cal(t2,v[i4],f3);

if (isEqual(t3,24)) // 运算后是否为24

{

char *fs="((%d%c%d)%c%d)%c%d=24\n";

printf(fs,v[i1],op[f1],v[i2],op[f2],v[i3],op[f3],v[i4]);

count++;

}

// 第2种情况(a 。b)。(c。 d) 开始计算：

t1=cal(v[i1],v[i2],f1);

t2=cal(v[i3],v[i4],f3);

t3=cal(t1,t2,f2);

if (isEqual(t3,24)) // 运算后是否为24

{

char *fs="(%d%c%d)%c(%d%c%d)=24\n";

printf(fs,v[i1],op[f1],v[i2],op[f2],v[i3],op[f3],v[i4]);

count++;

}

// 第3种情况 (a。(b。c))。d 开始计算：

t1=cal(v[i2],v[i3],f2);

t2=cal(v[i1],t1,f1);

t3=cal(t2,v[i4],f3);

if (isEqual(t3,24)) // 运算后是否为24

{

char *fs="(%d%c(%d%c%d))%c%d=24\n";

printf(fs,v[i1],op[f1],v[i2],op[f2],v[i3],op[f3],v[i4]);

count++;

}

// 第4种情况 a。((b。c)。d ) 开始计算：

t1=cal(v[i2],v[i3],f2);

t2=cal(t1,v[i4],f3);

t3=cal(v[i1],t2,f1);

if (isEqual(t3,24)) // 运算后是否为24

{

char *fs="%d%c((%d%c%d)%c%d)=24\n";

printf(fs,v[i1],op[f1],v[i2],op[f2],v[i3],op[f3],v[i4]);

count++;

}

// 第5种情况 a。(b。(c。d)) 开始计算：

t1=cal(v[i3],v[i4],f3);

t2=cal(v[i2],t1,f2);

t3=cal(v[i1],t2,f1);

if (isEqual(t3,24)) // 运算后是否为24

{

char *fs="%d%c(%d%c(%d%c%d))=24\n";

printf(fs,v[i1],op[f1],v[i2],op[f2],v[i3],op[f3],v[i4]);

count++;

}

}

}

//-------------- 穷举结束：共 24*64*5=7680 种表达式 --------------------------- if (count==0)

printf("\n%d,%d,%d,%d 不能算出24.",v0,v1,v2,v3);

else

printf("\n共找到算式 %d 条.",count);

}

void main()

{ int v0,v1,v2,v3;

printf("输入四个整数: ");

scanf("%d %d %d %d",&v0,&v1,&v2,&v3);

D24(v0,v1,v2,v3);

getchar();

getchar();

}