判定线性代数中矩阵相似关系的原理和方法

一[收稿日期]２０１８Ｇ０９Ｇ２８;一[修改日期]２０１８Ｇ１２Ｇ０４一[基金项目]国家自然科学基金青年项目(１１６０１４７０);云南省高等学校卓越青年教师特殊培养计划项目(C ６１５２７０４)

;云南大学校级教改项目(WX １６２０７２);云南大学校级本科教材建设项目(WX １６２０７２

)一[作者简介]李源(１９７８－),男,硕士,副教授,从事计算数学和大学数学课程的教学和研究．E m a i l :l i y u a n ＠y n u ．e d u ．c n 第３５卷第２期大一学一数一学V o l ．３５,?．２２０１９年４月C O L L E G E MA T H E MA T I C S A p

r ．２０１９判定线性代数中矩阵相似关系的

原理和方法

李一源１,一郝小枝２(１．云南大学数学与统计学院,昆明６５０５００;一２．云南中医药大学信息学院,昆明６５００２１

)一一[摘一要]指出教育部考试中心２０１９版考研数学考试分析中关于矩阵相似试题解答中的一个错误．

系统梳理了高等代数和线性代数课程中关于相似矩阵刻画的角度和方法,明确了在线性代数课程体系中３类可以作出相似判定的矩阵类别及其对应的判别方法,给出不能一般判定相似关系的第４类矩阵的基本特征,并结合实例给出在特殊情形下解决第４类矩阵相似关系判定的方法．[关键词]线性代数;相似矩阵;相似对角化;特征多项式[中图分类号]O １７７．５一一[文献标识码]C 一一[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１９)０２Ｇ０１２２Ｇ０５

１一引一一言

矩阵相似的判定是近年考研数学命题的热点问题,也是线性代数教学中的难点之一．由于所需方法

具有较高的综合性,学生在判定矩阵相似时的各种错误逻辑频现,甚至在教育部考试中心２０１９年版的数学考试分析中对２０１８年全国硕士研究生招生考试数学科考试(

数学一二二二三)中的一道试题的解答均出现疏误!为明确起见,将其摘录如下:

下列矩阵中,与矩阵１１００１１００１?è?????÷÷÷相似的为[１](一一)(A )１１－１０１１００１?è?????÷÷÷．一(B )１０－１０１１００１?è?????÷÷÷．(C )１１－１０１０００１?è?????÷÷÷．一(D )１０－１０１０００１?è?????

÷÷÷．解一易知矩阵１１００１１００１?è?????÷÷÷的特征值为λ＝１(３重),其线性无关的特征向量只有１个,即ξ１＝１００?è?????

÷÷÷．对于选项中的４个矩阵,都是以λ＝１为３重特征值的矩阵．选项(A )中的矩阵１１－１０１１００１?è?????÷÷÷只有１个线性无关的特征向量ξ１＝１００?è?????

÷÷÷;

选项(B )中的矩阵１０－１０１１００１?è?????÷÷÷有２个线性无关的特征向量ξ１＝１００?è?????÷÷÷和ξ２＝１１０?è?????÷÷÷;选项(C )中的矩阵１１－１０１０００１?è?????÷÷÷也有２个线性无关的特征向量ξ１＝１００?è?????÷÷÷和ξ２＝０１１?è?????

÷÷÷;选项(D )中的矩阵１０－１０１０００１?è?????÷÷÷也有２个线性无关的特征向量ξ１＝１００?è?????÷÷÷和ξ２＝０１０?è?????

÷÷÷．因为相似矩阵有相同的特征值和特征向量,所以只有选项(A )符合要求．故正确选项为(A )．

上述解答的根本错误在于,其判定矩阵相似的依据是基于 相似矩阵有相同的特征值和特征向量 这一典型的假命题!

事实上,设A ,B 是n 阶矩阵,且A 相似于B ,即?可逆矩阵P ,有P －１A P ＝B ．

又设矩阵A 的属于特征值λ的特征向量为α,即A α＝λα,

且α?０．从而有P －１A P ()P －１α＝λ(P －１α),即B (P －１α)＝λ(P －１α),且P －１α?０．

这表明:矩阵A 相似于B 时,二者必有相同的特征值,但未必有相同的特征向量．且,如果A 的属于

特征值λ的特征向量为α,则α也是B 的属于特征值λ的特征向量的充分必要条件是P －１α＝α,其中矩阵P 是从矩阵A 到B 的相似变换矩阵．例如:

令A ＝１１－１０１０００１?è?????÷÷÷,取初等矩阵E １３＝００１０１０１００?è?????

÷÷÷为相似变换矩阵,由于E －１１３＝E １３,故E －１１３A E １３＝００１０１０１００?è?????÷÷÷１１－１０１０００１?è?????÷÷÷００１０１０１００?è?????÷÷÷＝１０００１０－１１１?è?????÷÷÷＝B ．由矩阵相似定义可知矩阵A 相似于矩阵B ,但A 的属于３重特征值λ＝１的特征向量为ξ１＝１００?è?????

÷÷÷和ξ２＝０１１?è?????÷÷÷,而B 的属于３重特征值λ＝１的特征向量为η１＝００１?è?????÷÷÷和η２＝１１０?è?????

÷÷÷．显然二者的特征向量并不相同．

由于上述错误在线性代数的教学中具有典型性,而考研数学作为为国选拔人才的招生考试的重要组成部分,其指导思想是既有利于国家对高层次人才的选拔,又有利于高等学校各类数学课程教学质量的提高．通过考试这根 指挥棒 正确引导高等学校的数学教学向培养应用数学能力的方向发展,使得学生学而有用,学而会用,从而对数学教学质量的提高起到积极的促进作用．如何在考研数学大纲划定的考试内容范围内解决两个矩阵是否相似的问题,对于本科线性代数的教学有重要的参照意义,本文对此做一些讨论．２一高等代数与线性代数刻画矩阵相似的角度和方法

２．１一高等代数和线性代数关于矩阵相似刻画方法的差异

在高等代数中,矩阵的相似关系刻画了线性空间中的线性变换在两组不同基下对应矩阵的关联．寻求一组基使线性变换在这组基下的矩阵尽可能简单是线性变换的一个重要主题,而问题的解决最终归

３

２１第２期一一一一一一李源,等:判定线性代数中矩阵相似关系的原理和方法

结为矩阵间的相似关系．为了得到矩阵相似的充要条件,不得不突破数字矩阵的研究范畴,通过λＧ矩阵的工具最终得到如下定理．

定理１[２]一设A ,B 是数域K 上的n 阶矩阵,

则A 相似于B 的充要条件是:(i )特征矩阵λE －A 与λE －B 等价;

(i i )A 与B 的行列式因子相同;

(i i i )A 与B 的不变因子相同;

(i v )A 与B 的初等因子相同．尽管定理１中给出的充要条件已经在理论上解决了如何判定矩阵相似的问题,但这些条件无一例

外的突破了本科线性代数课程(本文中所谈的线性代数课程指为理工类和经管类等非数学本科专业开

设的公共基础课)的教学基本要求[３],同时也超出了考研数学大纲[４]界定的考试范围和要求．实际上,在线性代数课程的本科教学基本要求内并不涉及线性变换在不同基下的矩阵关系,课程的相似关系通常由矩阵的相似对角化问题引入,其基本的知识脉络如下:

(i

)为解决方阵高次方幂A n 的计算,提出A 相似于对角矩阵Λ(称为A 可相似对角化)的构想,即利用P －１A P ＝Λ,得出A ＝P ΛP －１,进而有A n ＝PΛn P －１．(i i )为寻求相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,引入矩阵特征值与特征向量的定义．(i i i )为实现矩阵的相似对角化,依次展开对特征值与特征向量的性质二矩阵相似关系和性质的讨论,并给出了矩阵可相似对角化的充分必要条件．(i v )由于一般方阵未必相似于对角矩阵,为此课程着重讨论了一类必定可以相似对角化的矩阵实例,即实对称矩阵的相似对角化问题．这同时也为二次型利用正交变换化为标准形提供了理论依据．

２．２一线性代数课程体系中与相似判定有关的概念和性质

２．２．１一矩阵相似的定义．

定义１[５,P ２３１]一设A ,B 是n 阶矩阵,若存在n 阶可逆矩阵P ,使得P －１A P ＝B ,

则称矩阵A 与B 相似,记为A ~B ．２．２．２一矩阵相似的必要条件．

定理２[５,P ２３２]一若A ~B ,则λE －A ＝λE －B ．

这表明,若A ~B ,则A 和B 有相同的特征值．进而有相似矩阵有相同的迹二相同的行列式．此外,由

矩阵相似的定义可知,相似矩阵有相同的秩．

２．２．３一矩阵相似的性质．定理３[５,P ２３１](传递性)一若A ~B ,B ~C ,则A ~C ．定理４一A ~B 的充分必要条件是λE －A ~λE －B ,其中λ为A ,B 的特征值．

证(必要性)一若A ~B ,则?可逆矩阵P ,使得P －１A P ＝B ,进而有λE －P －１A P ＝λE －B ,即P －１(λE －A )P ＝λE －B ,故λE －A ~λE －B ．

(充分性)一若λE －A ~λE －B ,则?可逆矩阵P ,使得P －１(λE －A )P ＝λE －B ,进而有λE －P －１A P

＝λE －B ,即有P －１A P ＝B ,故A ~B ．这表明,两矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵相似．

２．２．４一矩阵可相似对角化的充分必要条件

定义２一设A 是n 阶矩阵,若存在n 阶可逆矩阵P ,使得P －１A P 为对角矩阵,

则称A 可相似对角化．定理５[５,P ２３３]一设A 是n 阶矩阵,则A 可相似对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．

根据矩阵特征值和特征向量的性质,进一步可知:

定理６[５,P ２３７]一设A 是n 阶矩阵,则A 可相似对角化的充分必要条件是A 的k i 重特征值λi 恰有k i

个线性无关的特征向量,即n －r λi E －A ()＝k i ,其中r λi E －A ()是矩阵λi E －A 的秩,i ＝１,２, ,s ,且k １＋k ２＋ ＋k s ＝

n ．４２１大一学一数一学一一一一一一一一一一一一一一第３５卷

３一线性代数课程体系中矩阵相似关系判定的策略

３．１一利用矩阵相似的必要条件判定某些矩阵不具有相似关系．由于A ~B 时,必有t r (A )＝t r (B ),|A |＝|B |,r (A )＝r (B ),λE －A ＝λE －B ．

这表明,两个矩阵的秩二迹二行列式二特征多项式对应相等是它们相似的前提条件．换言之,只要上述条件其中之一不相等的矩阵必然不相似．

３．２一利用相似对角化理论对满足相似必要条件的矩阵作进一步讨论．

定理７一设A ,B 均为n 阶矩阵,若λE －A ＝λE －B ,且A 为对角矩阵,则A ~B 的充要条件是B 有n 个线性无关的特征向量．

定理７表明:在两个矩阵的特征值对应相同,且其中之一为对角矩阵时,二者相似的充要条件是另一矩阵可相似对角化．

定理８一设A ,B 均为n 阶矩阵,若λE －A ＝λE －B ,且A ,B 都不是对角矩阵．(i )若A ,B 均可相似对角化,则A ~B ;(i i )若A ,B 仅有其中之一可相似对角化,则A ,B 不相似．证一(i )由于λE －A ＝λE －B ,即A ,B 的特征值相等,不妨设为λ１,λ２, ,λn ．又A ,B 均可相似对角化,即A ~Λ,B ~Λ,其中Λ＝d i a g (λ１,λ２, ,λn )

．由传递性知:A ~B ．(i i )(反证法)倘若A ~B ,且A ~Λ,则由传递性可知B ~Λ,矛盾．当然,上述所考虑的情形并不完善．事实上,可能有λE －A ＝λE －B ,且A ,B 均不可相似对角化时,此时如何判断A ,B 是否相似?在笔者看来,

在线性代数的教学内容中对此情形尚无一般有效的方法,但通常可从以下角度考虑:

(i )由定理４可推知:A ~B 的充分必要条件是特征矩阵λE －A ~λE －B ．如果特征矩阵λE －A ,λE －B 不相似,必有矩阵A ,B 不相似．(i i )用定义证明矩阵A ,B 相似,即寻找适当的可逆矩阵P ,使得P －１A P ＝B ．４一应用实例

下面给出前述引例的两种解法．

为讨论方便,分别记A ＝１１００１１００１?è?????÷÷÷,B １＝１１－１０１１００１?è?????÷÷÷,B ２＝１０－１０１１００１?è?????÷÷÷,B ３＝１１－１０１０００１?è?????÷÷÷,B ４＝１０－１０１０００１?è?????

÷÷÷．问题为在B １,B ２,B ３,B ４中找出与A 相似的矩阵．容易看出:上述５个矩阵都是以λ＝１为３重特征值的矩阵,且都不能相似对角化．方法１一考虑特征矩阵λE －B i 与λE －A 相似的必要条件．注意到r (E －A )＝２,而r (E －B ２)＝r (E －B ３)＝r (E －B ４)＝１,故E －A 与E －B i (i ＝２,３,４)不相似,进而可知A 与B ２,B ３,B ４不相似,由排除法可知A 与B １相似．由于r (E －A )＝r (E －B １)＝２,在高等代数中根据定理１中的充要条件(i )可判定A 与B １相似．但在线性代数中这只是E －A 与E －B １相似的必要条件,

因而也只是A 与B １相似的必要条件．因此它只能否定相似,而不能肯定相似,故这种逻辑通常只能在单项选择题中奏效．

方法２一用定义证明A 与B １相似．注意到A 和B １,B ２,B ３,B ４的元素特征,

利用初等矩阵与初等变换的关系．令P ＝E ２１(１)＝１１００１０００１?è?????÷÷÷,则P －１＝E ２１(－１)＝１－１００１０００１?è?????÷÷÷,且５２１第２期一一一一一一李源,等:判定线性代数中矩阵相似关系的原理和方法

P－１A P＝１－１０

０１０

００１

?

è

?

??

?

?

÷

÷÷

１１０

０１１

００１

?

è

?

??

?

?

÷

÷÷

１１０

０１０

００１

?

è

?

??

?

?

÷

÷÷＝

１１－１

０１１

００１

?

è

?

??

?

?

÷

÷÷＝B１,

这表明A与B１相似．

应当指出,利用定义证明两矩阵的相似关系,需要直接构造出满足要求的可逆矩阵P,对于形式较复杂的矩阵而言这种构造并不具有一般地可操作性．

５一结束语

在线性代数的本科教学基本要求和考研数学的考试要求范围内,可以解决３类矩阵相似关系判别,即

第１类一特征多项式不相等的矩阵必不相似;

第２类一特征多项式相等,且仅其中之一可相似对角化的矩阵必不相似;

第３类一特征多项式相等,且二者均可相似对角化的矩阵必相似．

而对于特征多项式相等,且二者均不可相似对角化的第４类矩阵,分两种情形:

情形１一当二者不相似时,必定有二者特征矩阵不等秩,进而由二者特征矩阵的不相似得出二者不相似;

情形２一当二者相似时,只能设法直接构造出二者之间的相似变换矩阵,利用定义证明二者的相似关系,但这通常不是一般可行的．这表明:在线性代数的知识体系内,尚不能一般有效地解决这类矩阵相似关系的判定．

[参一考一文一献]

[１]一教育部考试中心．全国硕士研究生招生考试数学考试分析(２０１９年版)[M]．北京:高等教育出版社,２０１８:１３．[２]一邱岫岩．两矩阵相似充要条件定理浅释[J]．辽宁师范大学学报(自然科学版),１９９０,１３(１):６２－６５．

[３]一教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会．大学数学课程教学基本要求(２０１４年版)[M]．北京:高等教育出版社,２０１５:８－１０．

[４]一教育部考试中心．２０１９年全国硕士研究生招生考试数学考试大纲[M]．北京:高等教育出版社,２０１８:１４－１７．[５]一居余马,胡金德,林翠琴,等．线性代数[M]．２版．北京:清华大学出版社,２００２．

T h eP r i n c i p l e a n dM e t h o dw i t h I d e n t i f i c a t i o nS i m i l a r

R e l a t i o n s h i p s o fM a t r i c e s i nL i n e a rA l g e b r a

L IY u a n１,一HA OX i a oＧz h i２

(１．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s,Y u n n a nU n i v e r s i t y,K u n m i n g６５０５００,C h i n a;

２．S c h o o l o f I n f o r m a t i o n,Y u n n a nU n i v e r s i t y o fT r a d i t i o n a l C h i n e s eM e d i c i n e,K u n m i n g６５００２１,C h i n a)

A b s t r a c t:T h i s p a p e r p o i n t so u ta m i s t a k ei nt h ea n a l y s i so fs i m i l a r m a t r i xt e s t q u e s t i o n si nt h ee x a m i n a t i o no f M a t h e m a t i c s f o r p o s t g r a d u a t e e n t r a n c e e x a m i n a t i o n o f t h e e x a m i n a t i o n c e n t e r o f t h eM i n i s t r y o f E d u c a t i o n i n２０１９e d i t i o n．

I t s y s t e m a t i c a l l y c o m b s t h e a n g l e s a n dm e t h o d s o f d e s c r i b i n g s i m i l a rm a t r i c e s i n t h e c o u r s e s o f a d v a n c e d a l g e b r a a n d l i n e a r

a l g e

b r a a n dd e f i n e s t h r e ek i n d s o fm a t r i

c e sw h i c hc a nm a k e s i m i l a r j u

d g m

e n t s i n t h e c o u r s e s y s t e mo

f l i n e a r a l

g e b r a．T

h e

b a s i

c c h a r a c t e r i s t i c s o f c l a s s４m a t r i c e sw h i c hc a n?t j u

d g

e t h e s i m i l a r i t y r e l a t i o n i n g e n e r a l a r e g i v e nb y t h e c o r r e s p o n d i n g

d i s c r i m i n a n tm

e t h o d,a n d t h em e t h o d s t o d e t e r m i n e t h e s i m i l a r i t y r e l a t i o n o

f c l a s s４m a t r i c e s i n s p e c i a l c a s e s i s

g i v e n b y a n

e x a m p l e．

K e y w o r d s:l i n e a r a l g e b r a;s i m i l a rm a t r i x;s i m i l a r d i a g o n a l i z a t i o n;c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l

６２１大一学一数一学一一一一一一一一一一一一一一第３５卷