北师大版数学高二-选修2试题 1-4数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1
A ．1＋12<2
B ．1＋12＋13<2
C ．1＋12＋13<3
D ．1＋12＋13＋14<3
【解析】 ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2.
此时12n 0－1
＝13.故选B. 【答案】 B
2．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，则可归纳
出1＋122＋132＋142＋…＋1n 2＋
1(n ＋1)2
小于( ) A.2n ＋1n ＋1 B.2n n ＋1
C.2n ＋1n ＋2
D.2n ＋1n ＋3
【解析】 由所给式子归纳可知A 成立．
【答案】 A
3．某同学回答用数学归纳法证明n 2＋n (1)当n ＝1时，显然命题是正确的；(2)假设n ＝k 时有k (k ＋1) A ．当n ＝1时，验证过程不具体 B ．归纳假设的写法不正确 C．从k到k＋1的推理不严密 D．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设 【解析】由n＝k到n＝k＋1时，仅对不等式进行了放缩，而没有使用归纳假设． 【答案】 D 4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为() A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.2k＋1 k＋1 D. 2k＋3 k－1 【解析】当n＝k时，左边＝(k＋1)·(k＋2)·…·2k，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)·…·(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)与当n＝k时左边比较增乘2(2k＋1)．【答案】 B 5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2”成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立，那么，下列命题成立的是() A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k) D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 【解析】由题意，命题“若f(k)≥k2，则f(k＋1)≥(k＋1)2”为真命题，故其逆否命题为真命题，即“若f(k＋1)<(k＋1)2，则f(k) 【答案】 D 二、填空题 6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)＝f(n)＋________. 【解析】凸n边形有f(n)条对角线，若凸n边形增加一点A n＋1，则对角线 增加了A n ＋1A 2，A n ＋1A 3，…，A n ＋1A n －1和A 1A n ，一共(n －1)条，故答案为n －1. 【答案】 n －1 7．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N)能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________． 【解析】 应变形为34k ＋1＋4＋52k ＋1＋2 ＝34·34k ＋1＋52·52k ＋1 ＝25(34k ＋1＋52k ＋1)＋56·34k ＋1 【答案】 25(34k ＋1＋52k ＋1)＋56·34k ＋1 8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________. 【解析】 f (2n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋1， f (2n )＝1＋12＋13＋…＋12n ， 则f (2n ＋1)－f (2n )＝12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1. 【答案】 12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 三、解答题 9．用数学归纳法证明 11×2＋13×4＋…＋1(2n －1)·2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n (n ∈N *)． 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12 ，右边＝12，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立， 即11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)·2k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 则当n ＝k ＋1时， 11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)·2k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2) ＝ 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2) ＝ 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋(12k ＋1－12k ＋2)＋1k ＋1 ＝ 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2 ＝1 (k ＋1)＋1＋1 (k ＋1)＋2＋…＋1 (k ＋1)＋k ＋1 (k ＋1)＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式成立． 10．(2013·湛江高二检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n . (1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式a n . 【解】 (1)∵a 1＝1，∴a 2＝2a 1＝2，a 3＝2S 2＝6，a 4＝2S 3＝18. (2)当n ≥2时，a 2＝2×32－2，a 3＝2×33－2，a 4＝2×34－2， 可猜想a n ＝????? 1，n ＝1，2×3 n －2，n ≥2. 下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝2×3n －2. ①当n ＝2时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ≥2)时命题成立，即a k ＝2×3k －2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2S k ， 又a k ＝2S k －1，则a k ＋1－a k ＝2S k －2S k －1＝2a k ， 则a k ＋1＝3a k ＝3(2×3k －2)＝2×3k ＋1－2， 所以当n ＝k ＋1时，命题成立， 所以当n ≥2时，a n ＝2×3n －2. 综上可得a n ＝????? 1，n ＝1，2×3n －2，n ≥2. 11．是否存在常数a 、b 使等式121×3＋223×5＋…＋n 2 (2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对于一切n ∈N *都成立． 【解】 若存在常数a 、b 使等式成立，将n ＝1，n ＝2代入上式，有 ????? 13＝a ＋1b ＋213＋415＝4a ＋22b ＋2?????? a ＝1 b ＝4， 即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2 . 对于n 为所有正整数是否成立，再用数学归纳法证明． 证明：(1)当n ＝1时， 左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2 ＝13， 左边＝右边，∴等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，那么n ＝k ＋1时 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(k 2＋k ＋12k ＋3)＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3)＝ k＋1 2k＋1· (2k＋1)(k＋2) 2(2k＋3) ＝ (k＋1)(k＋2) 4k＋6 ＝ (k＋1)2＋(k＋1) 4(k＋1)＋2 ， 这就是说，当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)可知等式对任意n∈N*都成立. §1.4 数学归纳法(3)教案 【教学目标】了解数学归纳法的原理及使用范围， 初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论，会用数学归纳法证明一些简单的等式问题；通过对归纳法的复习，体会不完全归纳法的弊端，通过实例理解理论与实际的辨证关系；在学习中感受探索发现问题、提出问题的，解决问题的乐趣. 【教学重点】数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设 【教学难点】数学归纳法的原理 一、课前预习：（阅读教材69页，完成知识点填空） 1．数学归纳法的证题步骤 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取 时命题成立； (2)(归纳递推)假设当k n =（ ）时命题成立，推出当 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法． 2．用框图表示数学归纳法的步骤 思考： (1)在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值0n 是否一定为1? (2)所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？ (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？ 二、课上学习： 例1：用数学归纳法证明：2 3333] 2)1([...321+=++++n n n 例2：设n ∈N*，n>1，用数学归纳法证明1＋ 12＋13＋ (1) >n. 例3:用数学归纳法证明(3n ＋1)· n 7－1(n ∈N*)能被9整除． 例4:自学教材71页例2，探究72页练习B 第2题. 三、课后练习： 1．若)*(121...31211)(N n n n f ∈+++++ =，则1=n 时，)(n f 是( ) A ．1 B.13 C ．1＋12＋13 D ．非以上答案 2．一个关于自然数n 的命题，如果验证1=n 时命题成立，并在假设1,≥=k k n 时命题成立的基础上，证明了2+=k n 时命题成立，那么综合上述说法，可以证明对于( ) A ．一切自然数命题成立 B ．一切正奇数命题成立 C ．一切正偶数命题成立 D ．以上都不对 3．利用数学归纳法证明不等式14131 (2) 111>++++++n n n n 时，由k 递推到1+k 左边应添加的因式A.)1(21+k B. )1(21121+++k k C. )1(21121+- +k k D. 121 +k 4．用数学归纳法证明 2121)1(1...3121222+->++++n n (*N n ∈)，假设当k n =时不等式成立，则当 1+=k n 时，应推证的目标不等式是________． 5.用数学归纳法证明：a a a a a n n --=++++++11...1212 (1*,≠∈a N n )，在验证1=n 成 立时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．21a a ++ C ．a +1 1.4 数学归纳法 教学过程： 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？ 以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐. 情境二：华罗庚的“摸球实验” 1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？ 启发回答: 方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性． 方法二：一个一个拿，拿一个看一个． 比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程． 2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？ 情境三: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程： 11 213143123(1)n a a a a d a a d a a d a a n d ==+=+=+=+- 设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔. 二、师生互动，探究问题 承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？ 学生回答以上问题，得出结论： 1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般； 2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法； 3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法. 在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法． 4. 引导学生举例： 温馨提示： 此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word 文档返回原板块。 课时提升作业(四十一) 一、选择题 1.在用数学归纳法证明凸n 边形内角和定理时，第一步应验证( ) (A)n ＝1 时成立 (B)n ＝2 时成立 (C)n ＝3 时成立 (D)n ＝4 时成立 2.已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k ≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明( ) (A)n ＝k ＋1 时命题成立 (B)n ＝k ＋2 时命题成立 (C)n ＝2k ＋2 时命题成立 (D)n ＝2(k ＋2)时命题成立 3.某个命题与正整数n 有关，若n ＝k(k ∈N +)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( ) (A)n ＝6时该命题不成立 (B)n ＝6时该命题成立 (C)n ＝4时该命题不成立 (D)n ＝4时该命题成立 4.用数学归纳法证明不等式n 1111127124264 -?>＋＋＋＋(n ∈N +)成立，其初始值至少应取( ) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 5.(2013·宝鸡模拟)用数学归纳法证明：112n 112123n n 1 + +?+=++++?++时，由k 到k+1左边需增添的项是( ) (A)() 2 k k 1+ (B) () 1 k k 1+ (C) ()() 1 k 1k 2++ (D) ()() 2 k 1k 2++ 6.用数学归纳法证明n 112n 2 n n n C C C n +++?+＜(n ≥n 0,n 0∈N *)，则n 的最小值等于 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7.(2013·南昌模拟) 北师大版高中数学必修一 ·第一章集合 · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算 ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性 · 4、二次函数性质的再研究 · 5、简单的幂函数 ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数 · 4、对数 · 5、对数函数 · 6、指数函数、幂函数、对数函数增·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图 · 3、直观图 · 4、空间图形的基本关系与公理· 5、平行关系 · 6、垂直关系 · 7、简单几何体的面积和体积 · 8、面积公式和体积公式的简单应用·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征 · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性 · 9、最小二乘法 ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计 · 3、排序问题 · 4、几种基本语句 ·第三章概率 · 1、随机事件的概率 · 2、古典概型 · 3、模拟方法――概率的应用 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数 · 2、角的概念的推广 · 3、弧度制 · 4、正弦函数 · 5、余弦函数 · 6、正切函数 · 7、函数的图像 · 8、同角三角函数的基本关系 ·第二章平面向量 · 1、从位移、速度、力到向量 · 2、从位移的合成到向量的加法· 3、从速度的倍数到数乘向量 · 4、平面向量的坐标 · 5、从力做的功到向量的数量积· 6、平面向量数量积的坐标表示· 7、向量应用举例 ·第三章三角恒等变形 · 1、两角和与差的三角函数 · 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数 · 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用 北师大版高中数学必修五 ·第一章数列 · 1、数列的概念 · 2、数列的函数特性 · 3、等差数列 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 容易猜想出a n ＝2n －12n －1? ????或a n ＝2－12n －1. 答案：D 4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324 的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( ) A ．增加 12(k ＋1) B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1) C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1 D ．增加 12(k ＋1)，减少1k ＋1 解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－? ????1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1 . 答案：C 5．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：凸k ＋1边形在凸k 边形的基础上增加了一条边，同时内角和增加了一个三角形的内角和即π. 答案：π 6．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋ 11－2＝2k ＋1－1， 第一章 §4 1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设当n ＝2k ＋1时正确，再推当n ＝2k ＋3时正确 B ．假设当n ＝2k －1时正确，再推当n ＝2k ＋1时正确 C ．假设当n ＝k 时正确，再推当n ＝k ＋1时正确 D ．假设当n ≤k (k ≥1)时正确，再推当n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋) 解析：因为n 为正奇数，所以用数学归纳法证明的第二步应先假设第k 个正奇数成立，即假设当n ＝2k －1时正确，再推第(k ＋1)个正奇数即当n ＝2k ＋1时正确． 答案：B 2．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1 (n ∈N ＋)，则f (1)为( ) A ．1 B ．15 C ．1＋12＋13＋14＋15 D ．非以上答案 解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…16n －1 ， ∴f (1)＝1＋12＋13＋…＋16×1－1 ＝1＋12＋13＋14＋15. 答案：C 3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12 n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12 ＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案：B 4．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n － 1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k － 1＝2k －1， 北师大版高二数学选修2-2第二章 §4数学归纳法 江西省南昌市第十中学罗红霞【教材分析】 1.教材背景 数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式.《数学归纳法》是北师大版数学选修2-2第二章继学习完归纳与类比，证明方法中的综合法与分析法、反证法的基础上，在学生已具备归纳的思想，进一步学习证明方法的过程中学习本节知识的。 2.数学归纳法的地位和作用 人类对问题的研究，结论的发现，到结论的认同，思维的流程通常是观察—归纳—猜想—证明.猜想的结论对不对,证明尤为关键,数学归纳法在这起着非常重大的作用.在运用数学归纳法解题时,学生通常用到等式的恒等变形、不等式的放缩、数式形的构造与转化等，加强了对知识的掌握及能力的训练.而对数学归纳法原理的理解,蕴含着归纳与推理、特殊到一般、有限到无限、递推等数学思想和方法，对思维的发展起到完善和推动的作用。 【教学目标】 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确． （2）初步理解数学归纳法原理． （3）理解和掌握用数学归纳法证明数学命题的两个步骤． （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式． 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力． （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力．3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神． （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学．（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神． 【教学重点】 （1）初步理解数学归纳法的原理． （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤． （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式． 【教学难点】 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性． （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确． 【教学方法】类比启发探究式教学方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，提出问题 情境一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字，当老师教他写字的时候，告诉他写一、二、三时，财主的儿子很高兴，告诉老师他会写字了…． §1.4 数学归纳法(1)教案 【学情分析】： 数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。 【教学目标】： （1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。 （2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。 （3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】： 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。 【教学难点】： 如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。【教学过程设计】： 【练习与测试】： 1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A. n=1时成立 B. n=2时成立 C. n=3时成立 D. n=4时成立 答案：C 解：由于多边形最少是三角形，故选C 。 2. 某个与正整数n 有关的命题，如果当*()n k k N =∈时该命题成立，则一定可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知n=5时，该命题不成立，那么应有（ ） A. 当n=4时，该命题成立 B. 当n=6时，该命题成立 C. 当n=4时，该命题不成立 D. 当n=6时，该命题不成立 答案：C 解：n=6时命题成立与否不能确定，排除B 、D ；假设n=4时，该命题成立，由已知得n=5时该命题成立，与已知条件矛盾，故选C 。 3．用数学归纳法证明：2 21 11(1)1n n a a a a a a ++-++++=≠-，在验证n=1时，左端计算所得的 项为_______________________________。 答案：1+a+a 2 解：由题意可知等式左端共有n+2项，∴当n=1时，左端有3项为1+a+a 2 。 4. 数列{a n }中，已知n n n a a a a +==+1,211（n=1,2,……），计算432,,a a a ，猜想n a 的表达式并用数学归纳法证明。 解：7252152 ,5232132,3 243 2=+==+==a a a 猜想：1 22 -= n a n 证明：（1）当n=1时，,21 22 1=-= a 猜想式成立 一、选择题 1．设f (n )＝1＋12＋1 3＋…＋1 3n －1 (n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.13n ＋2 B ．13n ＋13n ＋1 C. 13n ＋1＋13n ＋2 D ．13n ＋ 13n ＋1＋13n ＋2 【解析】 因为f (n )＝1＋12＋1 3＋…＋ 13n －1 ，所以f (n ＋1)＝1＋12＋1 3＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 .故选D. 【答案】 D 2．(2013·新乡检测)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1 2n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 【解析】 边数最少的凸n 边形是三角形． 【答案】 C 3．已知a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，猜想a n 等于( ) A.3n ＋2 B ． 3n ＋3 C.3n ＋4 D ． 3n ＋5 【解析】 a 2＝3a 1a 1＋3＝3 7， a 3＝3a 2a 2＋3 ＝38， a4＝3a3 a3＋3＝1 3 ＝3 9 ， 猜想a n＝3 n＋5 . 【答案】 D 4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上 () A.π 2B．π C．2πD．3 2π 【解析】n＝k到n＝k＋1时， 内角和增加π. 【答案】 B 二、填空题 5．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________． 【解析】∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， ∴n＝k＋1时为使用归纳假设， 应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 又考虑到目的， 最终应为2k＋1－1. 【答案】1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 6．用数学归纳法证明“n∈N*，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法如下： (1)n＝1时1×2×3＝6能被6整除， ∴n＝1时命题成立． (2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时， 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 C．从k到k＋1的推理不严密 D．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设 【解析】由n＝k到n＝k＋1时，仅对不等式进行了放缩，而没有使用归纳假设． 【答案】 D 4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为() A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.2k＋1 k＋1 D. 2k＋3 k－1 【解析】当n＝k时，左边＝(k＋1)·(k＋2)·…·2k，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)·…·(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)与当n＝k时左边比较增乘2(2k＋1)．【答案】 B 5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2”成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立，那么，下列命题成立的是() A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k) 一、选择题 1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，这一步证明中的起始值n0应取() A．2B．3 C．5D．6 【解析】当n≤4时，2n A ．a ＝12，b ＝c ＝14 B ．a ＝b ＝c ＝14 C ．a ＝0，b ＝c ＝14 D ．不存在这样的a ，b ，c 【解析】 ∵等式对任意n ∈N ＋都成立， ∴当n ＝1,2,3时也成立． 即????? 1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ， 1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c . 解得????? a ＝12， b ＝ c ＝14. 【答案】 A 二、填空题 5．用数学归纳法证明：设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，则n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ∈N ＋，且n ≥2)第一步要证明的式子是________． 【解析】 n ＝2时，等式左边＝2＋f (1)，右边＝2f (2)．∴第一步要证明的式子是：2＋f (1)＝2f (2)． 【答案】 2＋f (1)＝2f (2) 6．用数学归纳法证明“n ∈N ＋，n (n ＋1)(2n ＋1)能被6整除”时，某同学证 法如下： (1)n ＝1时1×2×3＝6能被6整除， ∴n ＝1时命题成立． (2)假设n ＝k 时成立，即k (k ＋1)(2k ＋1)能被6整除，那么n ＝k ＋1时， (k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)[k ＋(k ＋3)] ＝k (k ＋1)(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． ∵k 、k ＋1、k ＋2和k ＋1、k ＋2、k ＋3分别是三个连续自然数． ∴其积能被6整除．故n ＝k ＋1时命题成立． 学业分层测评(十二) (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、选择题 1．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有() A．当n＝4时该命题成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝6时该命题不成立 【解析】当n＝4时命题成立，由递推关系知， n＝5时命题成立，与题中条件矛盾． 所以n＝4时，该命题不成立． 【答案】 C 2．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是() A．n2－1B．(n－1)2＋1 C．2n－1 D．2n－1＋1 【解析】由a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1得 a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3， a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7， a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15. 猜想a n＝2n－1. 【答案】 C 3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用 归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开() A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3，且展开式中除k3以外的各项和也能被3整除． 【答案】 A 4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋() A.π 2B．π C．2πD．3 2π 【解析】n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π. 【答案】 B 5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是() A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(其中k∈N＋) B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(其中k∈N＋) C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(其中k∈N＋) D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(其中k∈N＋) 【解析】∵n为正奇数，∴n＝2k－1(k∈N＋)． 即假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确． 【答案】 B 二、填空题 6．探索表达式A＝(n－1)(n－1)！＋(n－2)(n－2)！＋…＋2·2！＋1·1！(n>1且n∈N ＋ )的结果时，第一步n＝__________时，A＝__________. 陕西省高中数学 第一章 推理与证明 数学归纳法教案 北师大版选修2-2 【教学目标】 知识与技能： 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤； 过程与方法： 经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归 纳、猜想和发现的能力； 情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品 质与数学理性精神。 【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。 【教学难点】 运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 【教后反思】 【教学过程】 一、创设情景 1. 摸球实验 已知盒子里面有5个兵乓球，如何证明盒子里面的球全是橙色？ 2. 今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。 （1） 是完全归纳法，结论正确（2）是不完全归纳法，结论不一定正确。 问题：这些问题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对其一一验证，那么如何证明一个与自然数有关的命题呢？例如对于数列{}n a ,已知111,1n n n a a a a +==+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为1 n a n = 。这个猜想是否正确，如何证明？数学中常用数学归纳法证明。 二、探索新知 1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考：条件（1）（2）的作用是什么？北师大版数学高二-1.4 数学归纳法(3)教案
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