其中θ是未知参数，X 1,X 2,?X n 为来自总体X 的简单随机样本，若
E(c ∑X i
2n i=1)=θ2
,则c = 。 【答案】2
5n
【解析】
E(c ∑X i 2n i=1)=c ∑EX i 2n i=1=cnEX 2=cn ∫2x 3θ2
dx =cn 5
2
2θθ
θ2=
θ2, 解得c =
25n
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)求极限
lim
x→+∞
∫[t 2
(e 1t ?1)?t]dt
x 1
x 2ln (1+1x
)
【解析】 【方法1】
lim x→+∞∫[t 2(e 1
t ?1)?t]dt x 1
x 2ln(1+1
x )
=
=lim
x→+∞∫[t 2(e 1
t ?1)?t]dt x 1
x 2?1x (等价无穷小代换)
=lim x→+∞
[x 2(e 1x
?1)?x] (洛必达法则) =lim t→0
+
e t ?1?t
t (变量代换 1
x
=t )
=lim t→0
+e t ?12t
(洛必达法则)
=1
2
【方法2】 lim
x→+∞
∫[t 2(e 1
t ?1)?t]dt x 1
x 2ln(1+1
x )
=
=lim
x→+∞
∫[t 2(e 1
t ?1)?t]dt x
1
x 2?1x
(等价无穷小代换)
=lim x→+∞
[x 2
(e 1
x ?1)?x] (洛必达法则)
=lim x→+∞[x 2(1x
+12!x
+o(1
x
))?x] (泰勒公式) =1
2
【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开
(16)设平面内区域D ={(x,y)|1≤x 2+y 2≤4,x ≥0,y ≥0},计算
?xsin(π√x 2+y 2)D
dxdy
【解析】
【方法1】令x =r cos θ,y =r sin θ, ?xsin(π√x 2+y 2)
x+y D dxdy =∫cos θcos θ+sin θ
dθ∫rsin πrdr 2
1
π
2
=∫cos θ
cos θ+sin θdθπ
2
?1π
(?rcos πr |12
+∫cos πrdr 2
1
) =?3
π∫
cos θcos θ+sin θπ
2
0dθ
又I =∫cos θ
cos θ+sin θ
π
2
dθ=∫sin θcos θ+sin θ
π2
0dθ 令θ=π
2
?t )
=1
2∫
cos θ+sin θcos θ+sin θ
π
2
0dθ=π
4
所以?xsin(π√x 2+y 2)
x+y
D
dxdy =?3π
?π4
=?3
4
【方法2】
显然积分区域D 关于x,y 有轮换对称性，于是 ?xsin(π√x 2+y 2)
x+y
D
dxdy =?ysin(π√y 2+x 2)
y+x
D
dxdy
=12
[?xsin(π√x 2+y 2)
x+y
D
dxdy +?ysin(π√y 2+x 2)
y+x
D
dxdy]
=12?xsin(π√x 2+y 2)D dxdy =1
2∫dθ∫rsin πrdr 2
1π2
=1
2∫dθπ
20?1π(?rcos πr |12+∫cos πrdr 2
1) =?3π
?π4
=?3
4
【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分
(17)设函数f(μ)具有连续导数，且z =f(e x cos y)满足
cos y ez ex ?sin y ez ey
=(4z +e x cos y)e x
若f (0)=0,求f(μ)的表达式。 【解析】
利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。 因为
ez
ex =f ′(e x cos y )e x cos y ,ez
ey
=?f ′(e x cos y )e x sin y 所以
cos y ez ex ?sin y ez ey
=cosyf ′(e x cos y )e x cos y +sinyf ′(e x cos y )e x sin y
=f ′(e x cos y )e x
因此cos y
ez ex
?sin y
ez ey
=(4z +e x cos y)e x 化为
f ′(e x cos y )e x =(4z +e x cos y)e x 从而函数f(μ)满足方程
f ′(μ)=4f (μ)+μ 一阶线性非齐次微分方程 可得方程通解为 f (μ)=Ce 4μ?μ
4?
116
由f (0)=0,解得 C =1
16
故 f (μ)=
116
e 4μ?μ4
?
1
16
【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解
(18)求幂级数∑(n +1)(n +3)x n
∞n=0的收敛域及和函数
【解析】 【方法1】
因为几何级数∑x n
∞n=0=
11?x
,且收敛域为x ∈(?1,1)
又∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0
=∑(n +1)(n +2)x n ∞
n=0
+∑(n +1)x n ∞
n=0
=(∑x n+2∞
n=0)′′
+(∑x n+1∞
n=0
)′
=(x 21?x )′′
+(x 1?x
)′=[2x ?x 2(1?x )2]′
+
1
(1?x )2 =3?x
(1?x )3
， x ∈(?1,1)
由幂级数的逐项求导性质知∑(n +1)(n +3)x n
∞n=0的收敛域为
(?1,1)，和函数S (x )=3?x
(1?x )3
,x ∈(?1,1)
【方法2】
幂级数∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0
的系数a n =(n +1)(n +3), 又 lim n→∞a n+1
a n =lim n→∞(n +2)(n +4)(n +1)(n +3)
=1 所以收敛半径 R =1
当x =1时，∑(n +1)(n +3)x n
∞n=0=∑(n +1)(n +3)∞n=0发散； 当x =?1时，∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0=∑(n +1)(n +3)∞n=0(?1)n
发散；
故收敛域为x ∈(?1,1)
设 S (x )=∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0，x ∈(?1,1) 则
∫S(t)dt x
=∑(n +3)x n+1∞n=0
=∑(n +2)x n+1∞n=0
+∑x n+1∞
n=0
=[∑∫(n +2)t n+1dt x
∞
n=0]′
+
x =(∑x n+2
∞
n=0
)′+x =2x ?x 2(1?x )2+x 1?x =3x ?2x 2
(1?x )2
故和函数 S (x )=[3x?2x 2(
1?x
)2
]′
=3?x
(1?x )3
,x ∈(?1,1)
【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和
(19)设函数f (x ),g(x)在区间[a,b]上连续，且f (x )单调增加，0≤g(x)≤1。证明：
(I)0≤∫g(t)dt x
a
≤x ?a,x ∈[a,b ];
(II)∫f (x )dx a+∫g(t)dt b
a
a
≤∫f (x )g(x)dx b
a
. 【解析】
(Ⅰ)由0≤g(x)≤1得
得0≤∫g(t)dt x
a ≤∫1dt x
a ≤x ?a,x ∈[a,
b ]； (Ⅱ)令F (u )=
∫f (x )g(x)dx u
a
?
∫f (x )dx a+∫g(t)dt u
a
a
显然F (a )=0,只要证明F (u )单调增且F (b )≥0,
F ′(u )=f (u )g (u )?f (a +∫g (t )dt u
a )g(u)
=g (u )[f (u )?f(a +∫g (t )dt u
a )] 由(Ⅰ)的结论0≤
∫g(t)dt x
a
≤x ?a 知，a ≤a +
∫g(t)dt x
a
≤x 即
a ≤a +∫g(t)dt u
a
≤u
又f(x)单调增加，则f(u)≥f(a +∫g (t )dt u
a
),因此，F ′(u)≥0, F(b)≥0. 故
∫f (x )dx a+∫g(t)dt b
a
a
≤
∫f (x )g(x)dx b
a
. 【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题 (20)设A =[1
?20
11
2 3?4
?110?3
]，E 为三阶单位矩阵 (I)求方程组Ax =0的一个基础解系； (II)求满足AB =E 的所有矩阵B 。 【解析】
(Ⅰ)对矩阵A 做初等行变换，得 A =[1?20112 3?4?110?3
]→[1?20
100 3?4?111?3]→[100100 01
0?21?3
]
因n ?r (A )=4?3=1,令x 4=1求出x 3=3，x 2=2，x 1=?1 故基础解系为η=(?1,2,3,1)T （Ⅱ）考察3个非齐次线性方程组
Ax =[100], Ax =[010], Ax =[001
]
由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令A =(A ?E)做初等行变换
A =(A ?E )=[1?20112 3?4 ?110?3|100
010001
]
→[1?20104 3?4 ?11?31|100
010?101]
→[1?20100 3?4 ?111?3|100
010?1?41]
→[1?20100 0 5 0?21?3|412?3
?1?31?1?41]
→[100100 0 1 0?21?3|261
?1?31?1?41]
由此得三个方程组的通解：
(2,?1,?1,0)T +k 1η (6,?3,?4,0)T +k 2η (?1,1,1,0)T +k 3η
故所求矩阵为B =[2?k 16?k 2?1?k 3?1+2k 1?3+2k 21+2k 3
?1+3k 1?4+3k 21+3k 3k 1 k 2k 3],k 1,k 2,k 3为
任意常数。
【考点】高等数学—线性方程组—非齐次方程组的求解 (21)证明n 阶矩阵[
1?11
1
?11????1?11]与[0?010?02????0?0n
]相似 【解析】 证明：记
A =[1?11
1?11
????1?11]，B =[
0?01
0?02????0?0
n
] 因为A 是实对称矩阵必与对角矩阵相似
由|λE ?A |=λn ?nλn?1=0,知A 的特征值为n,0,0?,0(n ?1个)。 故A~Λ=[n ?000?00
????0?00
]
又由|λE ?B |=(λ?n)λn?1=0, 知B 的特征值为n,0,0?,0(n ?1个)。
当λ=0时，r (0E ?B )=r (B )=1,那么n ?r (0E ?B )=n ?1,即齐次方程组(0E ?B )x =0有n ?1个线性无关的解，亦即λ=0时，矩阵B 有n ?1个线性无关的特征向量，从而矩阵B 必有对角矩阵相似，即
B~Λ=[
n ?000
?00
????0
?00
]
从而A 和B 相似。
【考点】高等数学—特征值与特征向量—相似与相似对角化 (22)设随机变量X 的概率密度为
f (x )={2?x ln2,x >0
0 , x ≤0
对X 进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数 (I)求Y 的概率分布 (II)求EY 【解析】
(Ⅰ)令A ={对X 进行一个观测得到的值大于3}。 显然P (A )=P {X >3}=∫f(x)dx +∞3
=∫2?x ln2+∞
3
dx =1
8
,
记事件A 发生的概率P (A )=18
=p Y 的可能取值应为k =2,3,?,
P {Y =k }=C k?11p(1?p)k?2p =(k ?1)p 2(1?p)k?2,k =2,3,?
所以Y 的分布为
P {Y =k }=(k ?1)p 2(1?p )k?2，p =1
8，k =2,3,?
（Ⅱ）
EY =∑k (k ?1)p 2(1?p )
k?2∞2 记1?p =q EY =p 2
∑k (k ?1)q k?2=p 2
∞
2
d
dq
(∑kq k?1∞
2
) =p 2
d dq (∑kq
k?1∞
1
?1)=p 2d dq (∑kq k?1)∞
1=p 2
(d dq
)2
(∑q k )∞
1
=p 2(d )2
(∑q k ?1)=p 2(d )2
(∑q k )=∞
∞
p 2
(d )2
(1)
=p 2
d dq [1(1?q )2]=p 2?2(1?q)3=p 2
?2p 3=2p
=16 【考点】高等数学—随机变量的数字特征—数学期望
(23)设随机变量X,Y 的概率分布相同，X 的概率分布为P {X =0}=1
3
,
P {X =0}=23
，且X,Y 的相关系数ρxy =1
2
(I)求(X,Y)的概率分布； (II)求P{X +Y ≤1} 【解析】
ρxy =
√DX √DY
. EX =EY =23
, DX =DY =23?13
=
29
Cov (X,Y )=EXY ?EXEY =d ?2?2=d ?4
ρxy =
Cov(X,Y)√DX √DY
=d ?4
929
=12 解得
d =59
由此可得 b =c =2
3
?d =1
9
,a =1
3
?b =2
9
所以
（Ⅱ）
P{X+Y≤1}=1?P{X+Y>1}=1?d=4 9
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—概率分布，相关系数
2014考研数学三真题及解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim a n a, 且a 0, 则当n 充分大时有（） （A）a （B）a 1 （C）a n a n 1 （D）a n a n （2）下列曲线有渐近线的是（） （A）y x s in x （B）y x2 s in x （A）当f '(x) 0时，f x( ) g x( ) （B）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )
（C）当f '(x) 0时，f x( ) g x( ) （D）当 f '(x) 0时，f x( ) g x( ) 0 a a 0 （5）行列式0 c c 0b d b 0 d （A）(ad bc)2 （B） (ad bc)2 （C）a d22 b c2 2 （D）b c2 2 a d2 2 （6）设a a1,2,a3 均为3 维向量，则对任意常数k,l ，向量组 1 k 3, 2 l 3 线性无关是向量组 1, 2, 3 线性无关的（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 （8）设X X X1, , 为来自正态总体N (0, 2) 的简单随机样本，则统计量X 1 X 2 服从的分布为 2 3 2 X （A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2) 二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为Q 40 2P （P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D是由曲线xy 10 与直线y x 0及y=2 围成的有界区域，则D 的面积为_________。 a (11)设xe2x dx ，则a _____. 2
2014年考研数一真题及答案解析(完整版)
2014年考研数一真题与答案解析
数学一试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）A （7）（B） （8）（D）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）012=---z y x （10）11=-)(f （11）12+=x x y ln （12）π （13）[-2,2] （14）25n 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】 2 1211111111102 0221 121 2112=-=--=--=--=--=+ --++→→+∞→+∞ →+∞→+∞→???u e lim u u e lim x )e (x lim ,x u x )e (x lim x tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x x x x x x 则令 （16）【答案】 20 20 2232222=+=+='++'?++')x y (y xy y y x xy y y x y y y x y )(y 20-==或舍。 x y 2-=时，
2 110 660 62480 62480 633333223223-==?==+-=+-+-=+-?+?+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y 04914 190 141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''?+'?+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。 （17）【答案】 y cos e )y cos e (f x E x x '=?? )y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f y E )y sin (e )y cos e (f y E y cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x E x x x x x x x x x x -'+''=??-'=??'+''=??22222222 y cos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y E x E x x x x x x x +=''+=''=??+??44222 222 令u y cos e x =， 则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214 -+=- 由,)(f ,)(f 0000='=得 4 161622u e e )u (f u u --=- （18）【答案】 补{}∑=1 1z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，
2014年全国考研数学三真题及答案.doc
2014年考研数学三真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设且≠0，则当充分大时有 (A) (B) (C)(D) 【答案】A。 【解析】 【方法1】直接法： 由且≠0，则当充分大时有 【方法2】排除法： 若取显然,且(B)和(D)都不正确； 取显然，且(C)不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C。 【解析】 【方法1】
由于 所以曲线有斜渐近线，故应选(C) 解法2 考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限 则直线是曲线的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设当时，若是比 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当时，知，的泰勒公式为 又 则
显然，， 由上式可知，,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。 故 综上所述，本题正确答案是(D)。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数具有二阶导数，,则在区间 [0,1]上 (A)当时， (B)当时， (C)当时， (D)当时， 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于则直线过点和(),当时，曲线在区间[0,1]上是凹的，曲线应位于过两个端点和的弦的下方，即
令,则 ,, 当时，。则曲线在区间上是凹的，又， 从而，当时，,即 【方法3】 令, 则, = 当时,单调增，，从而，当时，,即 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明 (5)行列式 (A) (B) (C) (D) 【答案】B。 【解析】灵活使用拉普拉斯公式
2014年考研数学一真题与详细解答
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则=? ?---y y dy y x f dy 1110 2 ),(（ ） （A ）? ?? ?---+2 100 11 010 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）? ?? ? ----+0 101 1 10 1 2 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ）? ?? ? +++θθππθθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1 2 10 20 dr r r f d dr r r f d （D ）? ?? ? +++θθππ θθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10 2 10 20rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{ } ??-∈---=--π π ππ dx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000 000 0等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014年考研数学三真题及解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3） （A ） （B ） （C ） （D ） （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2 2 22 a d b c - （D ）22 2 2 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ 服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a = (12)二次积分2 21 1 0( )________.x y y e dy e dx x -=?? （13）设二次型22 123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是_________
2014年考研数学三真题与答案解析
2014年考研数学三真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设0≠=∞ →a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ） （A ）2 a a n > （B ）2 a a n < （C ）n a a n 1- > (D)n a a n 1+< 【详解】因为0≠=∞ →a a n n lim ，所以0>?ε，N ?，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ， εε+≤<-a a a n ，取2 a = ε，则知2 a a n > ，所以选择（A ） 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1 sin += （D ）x x y 12 sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设3 2 dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3 x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6 1 = d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++ =，显然3 1 010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两
2014年考研数学三真题及答案
2014年考研数学三真题 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设limn→∞an=a,且a≠0，则当n充分大时有 (A)an>a2 (B) ana-1n(D) ana2 【方法2】排除法： 若取an=2+2n,显然a=2,且(B)和(D)都不正确； 取an=2-2n,显然a=2，且(C)不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是 (A)y=x+sinx (B)y=x2+sinx (C) y=x+sin1x (D) y=x2+sin1x 【答案】C。 【解析】 【方法1】
由于limx→∞f(x)x=limx→∞x+sin1xx=1=a limx→∞fx-ax=limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0=b 所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x，故应选(C) 解法2 考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0 则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设px=a+bx+cx2+dx3.当x→0时，若px-tanx是比x3高阶的无 穷小，则下列选项中错误的是 (A)a=0 (B)b=1 (C)c=0 (D)d=16 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当x→0时，tanx-x ~ 13x3知，tanx的泰勒公式为 tanx=x+ 13x3+o(x3) 又limx→0px-tanxx3=limx→0a+b-1x+cx2+d-13x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13 【方法2】
2014年考研数三真题和解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）2 3 ()()x o x o x ?= （B ）23 ()()()o x o x o x ?= （C ）2 2 2 ()()()o x o x o x += （D ）2 2 ()()()o x o x o x += （2）函数||1()(1)ln || x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （3）设k D 是圆域2 2 {(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()k k D I y x dxdy =-??()1,2,3,4k =， 则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若1 11 ,(1) n n n n n a a a ∞ -+=>-∑则 收敛 （B ）1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑若 收敛，则1n n a a +>
（C ）1 n n a ∞ =∑若 收敛，则存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在 （D ）若存在常数1P >，使lim P n n n a →∞ 存在，则 1 n n a ∞ =∑收敛 （5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 （6）矩阵1a 1a b a 1a 1?? ? ? ???与2000b 0000?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为 （A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2= （7）设123X X X ，，是随机变量，且22 123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X , {22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ） （A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >> （8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为， 则{2}P X Y +== ( )
2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2 阶无穷小，由题意可知?? ? ??>>121αα 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是
2000年-2014年考研数学一历年真题1
2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 1 20 2x x dx -? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当 a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑
2014年考研数学一真题及详细解答
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则 =??---y y dy y x f dy 11102),(（ ） （A ） ????---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ） ????----+010*******x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d （D ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{} ??-∈---=--πππ πdx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000000 00等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014考研数学全部真题(数一二三)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）（数三） 若a a n n =∞ →lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ） （A ）2 a a n > （B ）2 a a n < （C ）n a a n 1- > （D ）n a a n 1 +< （2）（数二） 当0x +→时，若ln (12)x α +，1 (1cos )x α -均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是 （ ） （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2 （3）（数一、二、三） 下列曲线中有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2 sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x =+ （4）（数三） 设2 3 ()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3 x 高阶的无穷小，则下 列选项中错误．． 的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6 1 =d
（5）（数一、二、三） 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （6）（数二） 曲线22 7,41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A （B （C ）（D ） （7）（数二） 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2 2 lim x x ξ→=（ ） （A ）1 （B ）23 （C ）12 （D ）13
2014年考研数三真题及答案解析(完整版)
2014年考研数三真题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1 n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16 d = （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量12 3 2X X X -服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a =
2014年考研数学二真题与解析
推荐：考研数字题库和资料 2014年考研数学二真题和分析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当
