自考线性代数(经管类)重点总结与串讲及考点突破

线性代数（经管类）重点总结

行列式 4

1、1.1.1 二阶行列式： 4

2、三阶行列式 4

3、定理1.2.1： 4

4、三角形行列式： 4

5、行列式的性质： 5

6、范德蒙二阶行列式 5

7、范德蒙三阶行列式 5

8、行列式解法总结 6

9、定理1.4.1 ： 6

10、定理1.4.2（克拉默Cramer法则）（前提条件：未知数个数和方程个数相等）： 6

11、定理1.4.3： 6

矩阵（矩阵不能做分母，只有方阵才可以取行列式）7

1、各种类型的矩阵7

2、矩阵的同型8

3、矩阵的加减法8

4、矩阵的数乘运算8

5、矩阵的乘法9

6、方阵的幂9

7、矩阵的转置10

8、对称阵和反对称阵10

9、方阵的行列式（只有方阵才可以取行列式）10

10、方阵多项式10

11、方阵的逆矩阵（充分必要条件是只有方阵才有可逆矩阵，可逆矩阵是惟一的，是数的倒数的推广）11

12、分块矩阵（表示法：（Aij）r×s）12

13、矩阵的初等变换（包括行、列的变换）（求解线性方程组，只能行变换，不能列变换）14

14、初等方阵（初等方阵都是可逆阵）15

15、用初等变换法求逆矩阵16

16、用初等变换法求解矩阵方程16

17、矩阵的秩（用初等行、列变换将矩阵化成阶梯形矩阵，其秩就等于该阶梯形矩阵的非零行的行数。）16

向量空间18

1、n维向量的概念18

2、n维向量的线性运算（即向量的加法运算及数乘运算的统称）（与矩阵的运算性质完全一样）18

3、向量的线性组合19

4、线性相关与线性无关（实质上是其对应的齐次线性方程组是否有非零解，有非零解即线性相关）19

5、极大无关组20

6、向量组的秩21

7、向量空间23

线性方程组（齐次方程组必有0解，而非齐次方程组未必有解）25

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：25

齐次线性方程组解的性质：25

齐次线性方程组AX=0的基础解系：（非常重要）25

求方程组的基础解系、通解的步骤：26

非齐次线性方程组有解的充要条件27

非齐次线性方程组解的性质28

非齐次方程组AX＝β的通解的结构 29

求非齐次线性方程组通解的方法29

特征值与特征向量（只有方阵才有特征值和特征向量）29

定义和充分必要条件（Ap=λp，其中P为非零的n维列向量，充要条件）29

关于特征值和特征向量的若干结论：30

求特征值和特征向量的一般方法32

相似矩阵的定义则A～B （其中P为可逆阵）33

相似矩阵的性质：34

方阵与对角阵相似（对角阵，其中P必须可逆，且P称为变换矩阵）（n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。）（对角阵的转置仍是对角阵）

判断是否与对角阵相似、求变换矩阵P、求相似标准形Λ的方法：35

向量内积的定义（α与β的的内积（α,β）是一个实数，所以内积也称数量积。） 36

向量内积的性质37

向量的长度的定义37

向量的长度的性质37

向量的单位化（把一个向量单位化为单位向量）37

向量的正交（若（α,β）=0，则称向量α与β正交，记为α⊥β）38

正交向量组（不含零向量，且任意两个向量都正交（两两正交））38

标准正交向量组（正交向量组中的每一个向量都是单位向量）38

施密特正交化手续（将一个线性无关向量组，转化成与它等价的正交向量组）（掌握）38 正交矩阵的定义（充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组，即：所有向量两两正交，每一个向量都是单位向量。）39

正交矩阵的性质（都是正交阵，正交阵必有相同的特征值。）39

判断矩阵是否为正交矩阵（看是否：矩阵中所有向量两两正交，每一个向量都是单位向量）

正交相似（其中P为正交阵，称A为B的正交相似标准形）40

实对称矩阵的性质（实对称阵又称对称阵）（实对称阵一定正交相似于对角阵）40

求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形41

实二次型与矩阵合同43

实二次型及其矩阵43

二次型的标准形（只含平方项，不含交叉项的二次型）44

用正交变换化二次型成标准形（x=Py (其中P是正交阵)，使）44

用正交变换法将二次型化为标准形的方法、步骤：44

矩阵的合同（，则A与B合同（其中P为可逆阵））47

判断两个同阶实对称矩阵是否合同的方法（看它们的正惯性指数和负惯性指数的个数是否相等）47

用配方法化二次型成标准形47

二次型的规范形48

二次型的标准型化为规范形的方法48

二次型的惯性定理（对称矩阵A与B合同的充分必要条件是它们有相同的秩、正惯性指数、负惯性指数。）（秩= 正惯性指数+ 负惯性指数；符号差= 正惯性指数--负惯性指数）

正定二次型、正定矩阵定义（如果，且，则称该二次型正定，称此二次型的矩阵A为正定矩阵，正定矩阵首先必须是实对称阵）49

二次型正定的充分必要条件49

判断二次型是否正定的方法（先看对称矩阵A主对角线上的元素是否都大于0，如果都大于0，则看各阶顺序主子式是否都大于零）（出题多）50

正定阵的相关结论51

二次型的分类51

对于一般二次型如何判断它正定，半正定，负定，半负定，还是不定，有以下结论: 51 常考的题目类型52

第一章52

第二章54

第三章60

第四章65

第五章67

第六章70

行列式

1、1.1.1 二阶行列式：

二阶行列式的值=

x1、x2的分分母都是，x1的分子是由的第一列换成原方程组的常数列；x2的分子是由的第二列换成原方程组的常数列。

2、三阶行列式

：M11为a11的余子式

A11为a11的代数余子式

Aij = （-1）i+j Mij

3、定理1.2.1：

n 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即：

的余子式为Mij，代数余子式（i代表元素a所在的行，j表示其所在的列）

4、三角形行列式：

主对角线：上三角行列式：，下三角行列式：

只要是三角形行列式，不管是上三角还是，下三角，它的值都等于主对角线元素的乘积。如果是副对角线的，要将各列进行互换后变成主对角线的三角，换几次就乘以（-1）的几次方。

5、行列式的性质：

性质1：转置的行列式与原行列式相等。即

将第1行改为第1第，第2行改为第2列……所得的新行列式称为D的转置行列式或

性质2：用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。

推论1 ：若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。

推论2 ：若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。

推论3 任意一个奇数阶反对行列式必为零（偶数阶的没有任何性质！）。（反对称行列式指的是：其中主对角线上的元素全为0，而主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号）性质3：行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。

性质4：若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

推论4 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。

性质5：若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和

性质6 ：把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以k 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。

（行的变化写在= 上面，列的变化写在= 下面。）

行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零.（但是如果该两行、两列的元素相等，则等于行列式的值）

方阵行列式的性质（每年必考）

6、范德蒙二阶行列式

7、范德蒙三阶行列式

三阶范德蒙行列式的值都等于所有xi –xj的乘积，但是i的脚标号大于j

范德蒙行列式就是第一行都是1，第二行是x1，x2，x3，...，xn，第三行是第二行的平方，第四行是第二行的立方，...第n行是第二行的n-1次方。

8、行列式解法总结

（1）有公因式一定要先提公因式，这样就简单多了。

（2）低阶的数字行列式和简单的文字行列式，想办法造0；

（3）各行元素之和为相同的值的情况，把各列加到第一列；各列元素之和为相同的值的情况，把各行加到第一行

（4）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况，按这一行这一列进行展开。

（5）展开时：列的变化写在= 下面，行的变化写在= 上面。

9、定理1.4.1 ：

对于n阶行列式以下关系：

即：如果行列式的某一行乘以这行元素所对应的代数余子式的和，就等于行列式的值。

如果行列式的某一行乘以其它行元素所对应的代数余子式的和，那么就等于0.

列是同理的。

10、定理1.4.2（克拉默Cramer法则）（前提条件：未知数个数和方程个数相等）：

如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有惟一的解，这个

唯一的解的公式为：

其中

Dj就是将系数行列式D中第j列元素对应地换为方程组的常数项b1,b2,...bn得到的行列式。运用克拉默法则的条件是该方程组的系数行列式D=0，如果D=0，那么就有非零解；如果D ≠0，那么就只有零解。

同时，运用克拉默法则求解线性方程组时，要求方程的个数与未知量的个数相等。

11、定理1.4.3：

如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。

推论：如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。

即：系数行列式等于0，是n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件。

零解就是表示x1=0，x2=0，x3=0，...，xn=0 ，

非零解就是上式n个解至少有一个不为0 。

矩阵（矩阵不能做分母，只有方阵才可以取行列式）

1、各种类型的矩阵

1) 系数矩阵（将方程组的系数排列成矩阵）

2) 增广矩阵（将方程组的系数、常数项排列成矩阵），给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，亦同。

3) m×n阶矩阵记为，为mn个数排成的m行n列的数表

4) 零矩阵：所有元素都为零的矩阵，

5) 行矩阵（n维行向量）：A的行数m=1，则称

6) 列矩阵（m维列向量）：A的列数n=1，则称

7) n阶对角矩阵：，对角矩阵必须是方阵

8) 数量矩阵：以上n阶对角矩阵中的对角元都相同时，即，记为aEn

9) n阶单位阵：以上数量矩阵中λ=1，，称为n阶单位阵。

一般情况下单位矩阵就是指主对角线的元素都为1，其他的都为0。

单位矩阵是对称阵，所以单位矩阵的转置还是单位矩阵。

单位矩阵的行列式等于1（在做题时，要充分利用这条性质）；

n个单位矩阵相乘，结果仍等待单位矩阵。

10) 上(下)三角矩阵：三角矩阵必须是方阵

2、矩阵的同型

如果矩阵A、Ｂ的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵Ａ与B同型；

若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。

注意：两个矩阵相等和两个行列式相等是不一样的

3、矩阵的加减法

前提条件：矩阵同型。即

只有一阶方阵才是一个数，阶数大于1的方阵与数不能相加，但是n阶方阵与数量矩阵aEn 可相加。

计算方法：A元素和对应的B元素相加/相减

加法运算的性质：（和数的运算的性质一样）

1、交换律A+B=B+A。

2、结合律(A+B)+C=A+(B+C)。

3、A + 0 = 0 + A = A

4、消去律 A + C = B + C A = B

5.负矩阵-A：A+(-A)= (-A) +A =O；A-B=A+(-B)

4、矩阵的数乘运算

数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ

与行列式的区别：矩阵要用数乘以行列式里的每一个元素；行列式则只要乘以某一行或某一列的元素。

数乘运算的性质：

1、1?A=A

2、设k,l是任意实数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A=klA

3、分配律k(A+B)=KA+kB；(k+l)A=kA+lA

5、矩阵的乘法

充分必要条件：A的列数＝B的行数

乘积矩阵C的行数=A的行数；其列数=B的列数。

乘积矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和：

C11，等于A的第一行的每一个元素乘以B的第一列的对应的元素的和，

C12，等于A的第一行的每一个元素乘以B的第二列的对应的元素的和，

C13，等于A的第一行的每一个元素乘以B的第三列的对应的元素的和，

C21，等于A的第二行的每一个元素乘以B的第一列的对应的元素的和。C22，等于A的第二行的每一个元素乘以B的第二列的对应的元素的和，

C31，等于A的第三行的每一个元素乘以B的第一列的对应的元素的和……

矩阵乘法的性质：

（1）矩阵乘法没有交换律，AB不一定等于BA。（要特别注意，这是矩阵乘法和数的乘法最大的区别）

但对于某些特殊的矩阵（方阵）是乘法可交换的：

①EnA = AEn（单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积可交换）

②（aEn）A = A（aEn）（数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换）

（2）结合律(AB)C=A(BC)

（3）分配律(A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC

（4）数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)

（5）单位矩阵的作用

两个单位矩阵相乘，还是等于单位矩阵，N个单位矩阵相乘，仍然等于单位矩阵。

（6）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵（与数的区别：两个非零数的乘积不可能为零）。

当AB = 0时，不能推出A=0或B=0

（7）对于方阵，可能可能，…

重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.

6、方阵的幂

A0 = E

方阵的幂有下列性质：

（1）

（2）

（3）因为矩阵的乘法没有交换律，因此：不一定等于

一般不等于。

当AB = BA时，必有等于

当A = B时，在满足可乘条件下，必可推出AC = BC，CA = CB，但未必有AC = BC，CA = BC

（4）n阶方阵A与n阶单位阵就可交换，即AE=EA，所以

因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：

（1）由A = 0，A≠0，不能推出B=0

（2）由A2=0，不能推出A=0

（3）由AB = AC，A≠0，不能推出B = C

（4）由A2 = B2不能推出（A+B）（A-B）=0和A=±B。

7、矩阵的转置

1. ；（先转置，再转置会等于原来的矩阵）

2. ；（和的转置，等于转置的和，即：先相加减再转置，等于先转置再相加减）

3. ；（先数乘后转置，等于先转置后数乘）

4.反序律：。

5. 单位矩阵是对称阵，所以单位矩阵的转置还是单位矩阵。

8、对称阵和反对称阵

如果，则称A为实对称(反对称)阵。

任意n阶方阵A都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。

任何一个n阶方阵A加上A的转置的和，一定是对称阵；A减去A的转置，一定是一个反对称阵。

9、方阵的行列式（只有方阵才可以取行列式）

1. ；不是满秩的方阵的行列式就等于0，因为如果不是满秩，则经过几次化简后肯定会有一行为0

2. ；（每年必考）

3. 。（先乘积后起行列式，等于先起行列式后乘积）虽然AB不一定等于BA，但。

4.∣aEn∣= a^n ∣En∣=1 （上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积）

5. ∣AB∣= ∣A∣*∣B∣= 0，则必有∣A∣= 0或∣B∣= 0，但未必有A = 0或B = 0 10、方阵多项式

任意给定多项式和一个n阶方阵A。

定义，称f(A)为A的方阵多项式。

注意：末项必须是数量矩阵a0En，而不是常数a0

11、方阵的逆矩阵（充分必要条件是只有方阵才有可逆矩阵，可逆矩阵是惟一的，是数的倒数的推广）

1）可逆矩阵（也称非异，非奇异，满秩）是惟一的，而且只有方阵才有可逆矩阵。

2）方阵A可逆的充分必要条件是.当A可逆时，.

3）方阵A的伴随阵的定义（第一行为原来矩阵第一列的代数余子式）

4）重要公式；与A -1的关系：当方阵A可逆时，

（重中之重，每年必考）

5）重要结论：A、B互为可逆矩阵，则，要求一个矩阵的逆矩阵，只要找出一个矩阵与它相乘等于En；证明两个矩阵是否互为逆矩阵，只要看是否。如：证明A^-1=B，只要证明A^-1 * B = E就好。

6）可逆矩阵的基本性质：

1. 可逆，且 A = En

2.AB可逆，（反序性）。

3.A可逆，则也可逆，且。

4.kA也可逆，且。

5.消去律设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。（但PA=BP不能推出A=B）(矩阵消去律的条件是：P为可逆矩阵；数的消去律的条件是：P不等于0)

6. ，

7. ，.

8. 因为AB=E，故，所以。故A，B都可逆。

9.记住以下二阶矩阵逆矩阵的结论，可当公式用：

（除这个式子外，其余同以下15的结论一样）

10.记住以下分块矩阵的逆矩阵的结论（以下的E均指单位矩阵）

以下结论和以上14的结论一样：

11.初等方阵的逆矩阵：

12、分块矩阵（表示法：（Aij）r×s）

分块矩阵的定义：，这时可记为

分块矩阵的加减：同型矩阵A，B采用相同分块法，则

分块矩阵的数乘：设，则。

分块矩阵的转置：设，则（不但各元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置）

分块矩阵的乘法（与矩阵的乘法一样）：设矩阵A的列数=B的行数，如果对A，B适当分块，使

。则

其中。

方阵的特殊分块矩阵：（共有三类）

准对角矩阵定义：，其中，均为方阵，阶数可以是不一样的，除这个以外，其它的都是0矩阵。

两个准对角（分块对角）矩阵的乘积：（前提条件：A和B为同阶方阵）跟普通的两个对角矩阵乘法一样

设，则

准对角矩阵的逆矩阵：若A1、A2……可逆，则分块对角矩阵可逆，则

。

准上（下）三角矩阵的行列式：若。

则（等于主对角线上的每一个主对角块的乘积）

分块矩阵求逆矩阵的方法：设则

例15设3阶矩阵，则（A T）-1=_____________.

解：

13、矩阵的初等变换（包括行、列的变换）（求解线性方程组，只能行变换，不能列变换）

定义2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；

（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；

（3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。

定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。（只是等价，不是相等）

等价具有：反身性：即对任意矩阵A，有A与A等价；

对称性：若A与B等价，则B与A等价

传递性：若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。

等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价。

两个矩阵等价是不是必须要同时具备以下两个条件：

1、两个矩阵的阶数一样（即：是同型矩阵）

2、两个矩阵的秩一样。

定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。（只能是行变换，不能是列变换）（解线性方程组：只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换。）

矩阵的阶梯形：行最简形：等价标准形：

定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。

初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩.

14、初等方阵（初等方阵都是可逆阵）

定义2.5.4 对n阶单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。

以三阶方阵为例

第一种：（包括行变换、列变换）

第二种：（包括行变换、列变换）

第三种: （包括行变换、列变换）

定理2.5. 3 （1）Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j行（列），即：

（A）对A做一次初等行变换，相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A；

（B）对A做一次初等列变换，相当于用一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵右乘A；

（一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵是指：这个初等矩阵和A做一样的变换）（2）Di(k)左（右）乘A就是用非零数k乘A的第i行（列）

（3）Tij(k)左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上

（4）Tij(k)右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上

以上定理演示如图：

推论1 方阵经初等变换其奇异性不变。

定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得推论2n阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。

定理2.5.5n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。

推论3任意可逆阵A（非奇异阵）只经过有限次的初等行（列）变换就能化成单位阵。

15、用初等变换法求逆矩阵

可以利用以上公式求逆矩阵的原因是：当A是n阶可逆矩阵时，一定可以仅用有限次初等行变换就能把它化成单位矩阵,即，而用同样的实等行变换又可把单位En化为

注意：用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！而且在求出A^-1以后，最好验证式子AA^-1=En，以避免在计算中可能发生的错误。

例6 求方阵的逆矩阵。

16、用初等变换法求解矩阵方程

矩阵方程的三种标准形：矩阵方程与普通一元一次方程的差别是：左乘还是右乘，因为矩阵没有交换律。

（1）第一类矩阵方程：AX=B

（2）第二类矩阵方程：XA=B

（3）第三类矩阵方程：AXB=C则

（1）对第一类矩阵方程的解法：作分块矩阵对A作初等行变换，变为[E,A^-1B]

（将A变换为单位阵，B即变成，即为X）。

（2）对第二类矩阵方程的解法：先转化为第一类，即由得，求出进而求出X

（3）对第三类矩阵方程的解法：设Y=XB，得方程AY=C，解出Y，进一步解方程XB=Y 例7求解矩阵方程

变换成：--

17、矩阵的秩（用初等行、列变换将矩阵化成阶梯形矩阵，其秩就等于该阶梯形矩阵的非零行的行数。）

A的每个元素都是它的一阶子式，

A的二阶子式，是指随便选两行两列交叉的四个元素构成的行列式；

A的三阶子式，是指随便选三行三列交叉的九个元素构成的行列式。

定义2.6.1 矩阵A的非零子式的最高阶阶数称为该矩阵的秩。记为r（A），有时也记为秩（A）。

关于矩阵的秩，有以下结论：

（1）设A=a(ij)m×n，则r（A）≦min{m,n}

（2）R（A^t）=r（A）。实际上，A与A的转置中的最高阶非零子式的阶数必相同。（3）n阶方阵A为可逆矩阵∣A∣≠0r(A)=n，所以可逆矩阵常称为满秩矩阵。秩为m的m×n矩阵为行满秩矩阵。秩为n的m×n矩阵称为列满秩矩阵。（即n阶方阵A满秩的充分必要条件是A可逆，即。∣A∣≠0）

（4）矩阵的秩、矩阵行向量的秩、矩阵列向量的秩，这三者是相等的。

（5）0矩阵的秩就是0，它没有非零的子式。非零矩阵的秩一定大于等于1。

定理2.6.1 初等变换不改变矩阵的秩。

推论设A为m×n阶矩阵，P，Q分别为m，n阶可逆矩阵，则：

r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A），r（PAQ）=r（A）。

定理2.6.1 对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等变换把它化成阶梯形矩阵。

求矩阵的秩的方法：

（1）对于只有2行或2列的矩阵：只要看它是否有一个二阶子式是不是不为0，如果有，则秩为2，因为它只有2行或2列，所以它的秩必须小于等于2. 如：的秩等于2. （2）对于阶数比较高的矩阵可以用初等变换法求矩阵的秩：任意非零矩阵，只要经初等变换化成阶梯形矩阵，其秩就等于该阶梯形矩阵的非零行的行数。（注：在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，只要化简成阶梯形，而不必化成行最简形式。）例5求矩阵的秩。

向量空间

1、n维向量的概念

定义3.1.1 由n个有顺序的数组成的数组，称为一个n维向量，数称为该向量的第i个分量（向量的维数指的是向量中的分量个数）

，我们分别称它们为行向量，列向量。

定义3.1.2 称所有分量都为零的向量0=（0,0,…0）为零向量。

称为的负向量。

定义3.1.3 如果n维向量的对应分量都相等，即则称向量α,β相等，记为α=β。

2、n维向量的线性运算（即向量的加法运算及数乘运算的统称）（与矩阵的运算性质完全一样）

定义3.1.4（向量的加法）（前提条件是：二者的维度一样，都是n维）

定义3.1.4（向量的数乘）ka = ak

向量线性运算的性质（与矩阵的运算性质完全一样）：设α,β,γ都是n维向量，k、1是数：（1）加法交换律α+β=β+α

（2）加法结合律（α+β）+γ=α+（β+γ）

（3）零向量满足α+0 = 0+α=α

（4）负向量满足α+（-α）=0

（5）1?α=α

（6）数乘分配律k （α+β）=kα+kβ

（7）数乘分配律（k+1）α=kα+1α

（8）数乘结合律k（1α）=（k1）α=1（kα）

3、向量的线性组合

定义3.1.6 设β是一个n维向量，若存在一组数使得则称β是的线性组合，也称β能由线性表出（或线性表示）。称为组合系数或表出系数。

是任意n维向量。则（记住这个公式）

即任意n维向量组都能由基本单位向量组线性表示。

4、线性相关与线性无关（实质上是其对应的齐次线性方程组是否有非零解，有非零解即线性相关）

定义3.2.1设是一组n维向量。如果存在一组不全为零的数（其中至少有一人不等于0）使得（这个0指n维0向量）则称向量组线性相关（其实是指这个等式所对应的齐次方程组有非零解）。否则，称向量组线性无关。

10月自考线性代数经管类试卷及答案

10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A* 表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中正确的是

A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n 矩阵，且r(A)=r 1，r(A，b)=r 2 ，则下列结论中正确的是 A．若r 1 =m，则Ax=O有非零解 B．若r 1 =n，则Ax=0仅有零解 C．若r 2 =m，则Ax=b有无穷多解 D．若r 2 =n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值= 第二部分非选择题二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij 的代数余子式为 A ij (i,j=1,2)，则a 11 A 21 +a 12 +A 22 =__________． 7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________．

8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a 1=(1，2,1)T，a 2 =(-1，1，0)T， a 3 =(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为若该方程组无解，则数k=_________．12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________． 13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a 1=(1，-l，0)T，a 2 =(4，0，1)T，则 =__________． 15．二次型f(x 1，x 2 )=-2x 1 2+x 2 2+4x 1 x 2 的规范形为

线性代数(经管类)-阶段测评1,2,3,4

线性代数（经管类）-阶段测评1 1.单选题 1.1 5.0 设矩阵 $A=((a_11,a_12),(a_21,a_22)),B=((a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11 ,a_12)),P_1=((0,1),(1,0)),P_2=((1,0),(1,1))$，则必有（）您答对了a a $P_1P_2A=B$ b $P_2P_1A=B$ c $AP_1P_2=B$ d $AP_2P_1=B$ 考点：矩阵的行列变换，左乘行变，右乘列变。 1.2 5.0 设$A$为四阶矩阵，且$|A|=-3$，则$|A^(**)|$=（）您答对了 c ? a $-3$ ?

?b $9$ ? ?c $-27$ ? ?d $81$ ? $|A^(**)|=|A|^(n-1)=-3^3=-27$. 1.3 5.0 设$A，B$为$n$阶方阵，满足$A^2=B^2$，则必有（）您答对了 d ?a $A=B$ ? ?b $A=-B$ ? ?c $|A|=|B|$ ? ?d $|A|^2=|B|^2$ ? 方阵行列式的性质，特别是$|AB|=|A||B|$ 解1：因为$A^2=B^2$，故$|A^2|=|B^2|$，而因为$|AB|=|A||B|$，故$|A^2|=|A|^2，|B^2|=|B|^2$，所以$|A|^2=|B|^2$ 解2：取

$A=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)),B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$，显然$A^2=B^2=E$，但选项A,B,C都不对，应用排除法知正确答案为D。 1.4 5.0 设3阶矩阵$A$的行列式$|A|=(1)/(3)$，则$|-3A^T|=$（）您答对了 d ?a 9 ? ?b 1 ? ?c -1 ? ?d -9 ? $|-3A^T|=(-3)^3|A^T|=-27|A|=-9$. 1.5 5.0 设矩阵$A=[[a,b],[c,d]]$，且已知$|A|=-1$，则$A^-1$=（）您答对了 b ?a $[[d,-b],[-c,a]]$ ? ?b $[[-d,b],[c,-a]]$ ? ?c $[[d,-c],[-b,a]]$

(完整版)自考本科线性代数(经管类)知识汇总

自考高数线性代数笔记第一章行列式 1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆

方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：. 解得0

自学考试线性代数经管类资料重点考点

线性代数（经管类）考点逐个击破第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1．二阶行列式由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子： 11122122 a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为 2112221122 211211a a a a a a a a -= 2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33 323123222113 1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3．余子式及代数余子式设有三阶行列式 33 323123222113 12113a a a a a a a a a D = 对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M 例如 33 32232211a a a a M = ，33 32131221a a a a M = ，23 22131231a a a a M = 再记 ij j i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常 31 312121111133 323123222113 12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==

线性代数经管类——重点难点总结

4184线性代数（经管类）——重点难点总结 1、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为_K(1,1,1….1)T 2、设A 是n m ?矩阵，已知0=Ax 只有零解，则以下结论正确的是（A ） A ．n m ≥ B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C ．m A r =)( D ．0=Ax 存在基础解系解：αααααααααααααααα 100 101 101)())(()())(()(T T T T T T T T ==，由于)13(23)2,3(=??? ? ??=T αα，所以10010010113)13()(==ααααT T ??? ? ??=???? ??=466913)2,3(2313100 100ααT （标准答案）． 6、已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关．证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ，即0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ，

因为4321,,,αααα线性无关，必有??? ?? ??=+=+=+=-000043322141 k k k k k k k k ，只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关． 7、设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0/A/=0? B.A =E C.r (A )=n D.0

线性代数(经管类)串讲试卷式

《线性代数》（经管类）第四部分考点串讲（按标准试卷题序串讲）一、单项选择题： 1、行列式的计算本题型为历年必考题型，其有两种形式一种直接解答，考查其运算能力，其次是考查如何利用性质求行列式解，应掌握这两种方法： 1）利用传统的计算方法直接计算； 2）利用性质巧计算，主要性质有： ①行列式和它的转置行列式相等； ②行列式可以按行列提出公因数； ③互换行列式中的任意两行（列），行列式的值改变符号； ④如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 ⑤行列式或以按行（列）拆开 ⑥把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，所得行列式值不变。 2、字母型行列式计算本题型主要考查考生利用矩阵行列式公式能力，主要涉及公式有： 1）|KA|=K n |A| 2）||||||B A AB

3）||||A A T = 45）1 |||*|-=n A A 3、考查方阵的性质及公式，主要是会灵活运用公式，主要有以下公式： 1）A A =--1 1)( 23）1 11)( ---=A B AB 4）T T A A )()( 11 --= 5）k k A A )()( 11 --= 4、考查伴随矩阵的求法 1）求件随机矩阵先求出各元素的代数佘子式，再把每行对应的代数佘子代换成对应的例。 25、求方阵的逆距阵：求方阵的逆矩阵也有两种方法，根据实际情况选定： 1A* 2）利用初等行变换求逆矩阵

6、向量组线性相关与线性无关的考查这种题型有两种考法 1）利用线性相关这一已知条件可实数：如若向量组)1,0,0()0,2,1()0,1,1(2 3 21+==+=t a a t a 线性相关，则实数t 为多少？解：因为已知向量组线性相关所以有 1=∴t 2）根据线性相关与线性无关性质关断某些推断的正确与否如：已知量组4324321,,,,,,:α αααααα中A 线性相关，那么 4321,,,:ααααA 线性无关，B 、4321,,,αααα线性相关 C 、4 321,,αααα可由线性表示 D 、43αα，线性无关根据线性相关组的扩充向量组必为相关组，所以造B 7）考查A 与B 相似性质：设立A 和B 是两个n 阶方阵，如果存在某个n 阶可逆矩阵P 使得 AP P B 1-=则称A 和B 是相似的，记为B A ~ A 与B 相似有：① trA=trB ②|A|=|B|

自学考试试卷线性代数(经管类)

2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中正确的是 A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则下列结论中正确的是 A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解 C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=

第二部分非选择题二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________． 8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为若该方程组无解，则数k=_________． 12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________． 15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________．三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。 16. 计算行列式的值． 17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X．

线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。 15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

自考04184线性代数(经管类)自考核心考点笔记自考重点资料

第一章行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则第二章矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组第三章向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间第四章线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵 … … (中间部分略) 完整版15页请—— QQ：1273114568 索取第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。 1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。解：应用消元法得当时。得同理得定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当

消去。得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为 ; 类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例3 计算例4 （1）

自考线性代数(经管类)试题及答案解析2020年1月

1 全国2018年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A*表示A 的伴随矩阵；秩（A ）表示矩阵A 的秩；|A|表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为三阶方阵且,2-=A 则=A A T 3（） A.-108 B.-12 C.12 D.108 2.如果方程组?? ???=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（） A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（） A.AB=BA B.()111---+=+B A B A C.B A B A +=+ D.()T T T B A B A +=+ 4.设A 为四阶矩阵，且,2=A 则=*A （） A.2 B.4 C.8 D.12 5.设β可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是 A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0） 6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s 2≥)的充分必要条件是（） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量

2 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量 C. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量 7.设A 为m n ?矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（） A.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性相关 8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（） A.B A = B.秩（A ）=秩（B ） C.存在可逆阵P ，使P -1AP=B D.λE-A =λE-B 9.与矩阵A =???? ??????200010001相似的是（） A.???? ??????100020001 B.??????????200010011 C.??????????200011001 D.???? ??????100020101 10.设有二次型,x x x )x ,x ,x (f 232221321+-=则)x ,x ,x (f 321（） A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.若,02 11=k 则k=___________. 12.设A=???? ??????411023,B=,010201??????则AB=___________.

山东省自学考试线性代数(经管类)

线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设D==M≠0，则D1== ( B )． A.－2M B.2M C.－6M D.6M 2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则 A应满足 ( D )． A. A≠ O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|≠0 3.设A，B均为n阶方阵，则( A )． A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2 C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-1 4.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )． A. B. C. D. ，则下列说法正确的是( B )． A.若两向量组等价，则s = t .

B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价. D.若r()=r()，则两向量组等价. 6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )． A.中至少有一个零向量 B.中至少有两个向量对应分量成比例 C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D.可由线性表示 7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )． A. r与s未必相等 B. r + s = m C. r = s D. r + s > m 8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )． A. Ax = o有解时，Ax = b必有解. B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C. Ax = b无解时，Ax = o也无解. D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9.设方程组有非零解，则k = ( D )． A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．

《线性代数(经管类)》综合测验题库

《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题 1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是() A.A-1正定 B.A没有负的特征值 C.A的正惯性指数等于n D.A合同于单位阵 2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是() A.是正定的 B.其矩阵可逆 C.其秩为1 D.其秩为2 3.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则()未必是正定二次型。 A.X T（A+B）X B.X T A-1X C.X T B-1X D.X T ABX 4.设A，B为正定阵，则() A.AB，A+B都正定 B.AB正定，A+B非正定 C.AB非正定，A+B正定 D.AB不一定正定，A+B正定 5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B() A.一定合同 B.一定相似 C.即相似又合同 D.即不相似也不合同

— 6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为() A.r B.t-r C.2t-r D.r-t 7.设 8.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是() 9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论()不成立。 A.A与B相似 B.A与B等价 C.A与B有相同的特征值

— D.A与B有相同的特征向量 10.下列命题错误的是() A.属于不同特征值的特征向量必线性无关 B.属于同一特征值的特征向量必线性相关 C.相似矩阵必有相同的特征值 D.特征值相同的矩阵未必相似 11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是() 12.已知矩阵有一个特征值为0，则() A.x=2.5 B.x=1 C.x=-2.5 D.x=0 13.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=() A.2 B.-6 C.6 D.24 14.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为() A.3，1，1 B.2，-1，-2 C.3，1，-1

2018年4月线性代数(经管类)试题

2018年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设2阶行列式 121 21a a b b =-，则12 1212 12 a a a a b b b b +-=+- A. 2- B. 1- C. 1 D.2 2. 设A 为3阶矩阵，且||=0A a ≠，将A 按列分块为123(,,)A a a a = ，若矩阵122331(,,),B a a a a a a =+++则||=B A. 0 B. a C. 2a D.3a 3. 设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 A. 123,2,3a a a C. 122331,,a a a a a a --- B. 1123,2,a a a a - D.1223123,,2a a a a a a a +-+- 4. 设矩阵300 00 00000120 02 2B ?? ? ? = ?- ??? ，若矩阵,A B 相似，则矩阵3E A -的秩为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 5. 设矩阵120240001A -?? ?=- ? ??? ，则二次型T x Ax 的规范型为 A. 222123z z z ++ B. 222123z z z +- C. 2212z z - D.2212z z + 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 6. 设3阶行列式11 1213 21 222312 2 2 a a a a a a = ，若元素ij a 的代数余子式为ij A ，则

313233++=A A A . 7. 已知矩阵(1,2,1),(2,1,1)A B =-=- ，且,T C A B = 则C = . 8. 设A 为3阶矩阵，且1||=3A -，则行列式1 * 132A A -??+= ??? . 9.2016 2017 001123010010456100=100789001?? ???? ? ??? ? ??? ? ????? ???? . 10. 设向量 (1 ,T β= 可由向量组 123(1,1,)(1,,1)(,1,1)T T T a a a ααα===，，线性表示，且表示法唯一，则 a 的取值应满足 . 11. 设向量组123(1,2,1)(0,4,5)(2,0,)T T T t ααα=-=-=，，的秩为2，则 t = . 12. 已知12(1,0,1)(3,1,5)T T ηη=-=-，是3元非齐次线性方程组Ax b = 的两个解，则对应齐次线性方程组Ax b =有一个非零解=ξ . 13.设2=3 λ- 为n 阶矩阵A 的一个特征值，则矩阵2 23E A - 必有一个特征值为 . 14.设2阶实对称阵A 的特征值为2,2- ，则2 A = . 15.设二次型22111211(,)4f x x x x tx x =+- 正定，则实数t 的取值范围是 . 三、计算题：本大题共有7小题，每小题9分，共63分。 16. 计算4阶行列式23001230 01230012 D --=-- .

自学考试线性代数经管类试卷及答案

自学考试线性代数经管类试卷及答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184 线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设行列式D 1= 22 11 b a b a ，D 2=2 22 111 3232a b a a b a --，则D 2= 【】 2、若A=???? ??1x 1021，B =??? ? ??y 24202，且2A =B ，则【】 =1，y=2 =2，y=1 =1，y=1 =2，y=2 3、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是【】 A.????? ??000000001 B.????? ??000010001 C.????? ??100000001 D.???? ? ??100010001

4、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E +A ）x =0的基础解系所含解向量的个数为【】 5、矩阵??? ? ??--3113有一个特征值为【】二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = . 7、设A =??? ? ??5312，则A * = . 8、已知A =???? ??1201，B =??? ? ??-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = . 9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数 k= .

2018年10月全国自考线性代数(经管类)真题及答案

2014年10月全国高等教育自学考试线性代数（经管类）试卷及答案课程代码：04184 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式111 2322 21131211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21- 得到单位矩阵E ，则A =【】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中【】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵???? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特

征向量为【】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为【】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设131 2)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 7.设矩阵??? ? ??=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21- =A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵???? ??=4321B ,??? ? ??=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k 12.3元齐次线性方程组?? ?=-=+0 03221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为 13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A

自考线性代数(经管类)公式汇总(精髓版)

第一章行列式一．行列式的定义和性质 1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义 2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1 1 ,1,2, ;(,1,2, )n n ij ij ij ij ij ij n n i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑ 2）11 ; 00 n n ij ik ij kj i j k j k i A A a A a A k j k i ====??==??≠≠??∑∑ 测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 3．行列式的性质 1）.T A A = 2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. 例设行列式22 11 b a b a =1，22 11 c a c a =2，则2 22 1 11 c b a c b a ++=（ 3 ）二．行列式的计算 1．二阶行列式和三角形行列式的计算. 2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5. 范德蒙行列式的计算公式例(性质4) (1)(1)(2) (2)(1)(3) 123233 100 233 100203249 4992004992004090.367677 300677 300607 +-+-= = = 例（各行元素之和为常数的行列式的计算技巧）

自考线性代数(04184)经管类复习提纲内含经典例题分类讲解

线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式 1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A|

自考04184线性代数(经管类)讲解第二章矩阵

第二章矩阵 2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i 称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为 A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n

当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用O m×n或者O（大写字）表示。特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。它是1×n矩阵。当n=1时，称为m维列向量。它是m×1矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。例如，（a，b，c）是3维行向量，

是3维列向量。几种常用的特殊矩阵： 1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。 2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵

自考线性代数(经管类)笔记-重点解析

《线性代数（经管类）》考试笔记，重点解析武汉大学出版社 2006年版第一章行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则第二章矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义 2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组第三章向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间第四章线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。 1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式

例1.求二元一次方程组的解。解：应用消元法得当时。得同理得定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程若，能解出