第三章_需求分析理论扩展

斯拉茨基方程（Slutsky Equation）

*111111p u w x x p x p x ???????????????????=??0*)()(211212p u w

x x p x p x ?????=??斯拉茨基方程的一般形式：

对于任意的和i j

0*)()(p j i u i j i j w

x x p x p x ?????=??

第三章需求分析理论扩展

3.1货币测度的效用函数

3.2可积性问题

3.3消费者福利分析

3.1货币测度的效用函数

货币测度的效用函数是支出函数分析的一个重要扩展，使得支出函数能够用于分析消费者福利评价问题。货币度量的效用函数解决的问题是：

在某一价格水平和给定的消费束条件下，消费者需p x 要多少货币才能至少与给定消费束的效用水平一样好。即x 最优化问题

z

p ?min )

()(.x u z u t s ≥其中的表示的是消费集z )}

,(,0,{u p e px p R x V n u

≥>>∈=+中的一个消费束。

将最小值记为，称为货币度量的效用函数，也),(x p w 称为最低收入函数、直接补偿函数。将其定义为：)]

(,[),(x u p e x p w ≡

（3.1）

因此，具有支出函数的性质：对价格是单调的，齐次p 的和凹的。

当价格固定时，就是一个效用函数。因为当p ),(x p w 价格固定时，支出函数对效用水平是递增的，消费者要获得更多效用，必须要支付更多货币。由此可见，是),(x p w 效用函数的单调变换。

构造货币度量的间接效用函数，定义为

（3.2）

)],(,[),;(w q v p e w q p ≡μ其中表示消费者在价格条件下需要多少货),;(w q p μp 币才能够和它在价格，财富水平情况下，所能达到的效q w 用水平相同。

实际上是关于价格和财富水平的间接),;(w q p μq w 效用函数，是一般间接效用函数的单调变换。

货币度量的直接效用函数和间接效用函数包含了可观察变量（货币支出）、价格、财富水平等。所以对消费者福利分析，可积问题分析有很好的作用。

例1.柯布—道格拉斯效用函数，可a

a x x x x u ?=12121),(写成（单调变换）。

2121ln )1(ln ),(x a x a x x u ?+=（1）求导瓦尔拉斯需求函数：2

1ln )1(ln max x a x a ?+w

x p x p t s =+2211..一阶条件为零，有

11

p x a λ=22

1p x a λ=?

整理后，可得到

2

2111x p a x p a ?=1

11122x ap x p x ap ?=1

1x p aw =于是得到瓦尔拉斯需求函数：

1

211),,(p aw w p p x =2

212)1(),,(p w a w p p x ?=（2）带入目标函数，得到间接效用函数

A

p a p a w w p p v ln ln )1(ln ln ),,(2121????=其中的11)1(1)1(???=?=a a a a

a a a a A ()w p p a a p w a p aw w p p v a a a a a a a a 11

21112121)1(1),,(???????=????????????

?????=（3）解反函数，可得：

u

p Ap u p p e a a ?=?12121),,(其中1)1(1??=a a

a a A 用替换，则有

),,(21w p p v u a a p Ap w w p p v ?=12

121),,(

（4）货币度量的效用函数，通过式（3.1）

)]

(,[),(x u p e x p w ≡和式（3.2）

)]

,(,[),;(w q v p e w q p ≡μ的结论置换得到

)

,(),(21121x x u p Ap x p w a a ?=a a a a x x p Ap ??=12

1121),,(),;(21121w q q v p Ap w q p a a ?=μw

q q p p a a a a 121121???=例2（练习）CES 效用函数的货ρ

ρρ1

2121)(),(x x x x u +=币独立的效用函数。

3.2可积性问题（还原性问题）

非常适用于对金融问题的分析。

一、问题的提出

可积性的问题：

通过可观察的需求函数得到观察不到的效用函数。可积性问题的结论对经典需求理论的意义：

它界定了理性偏好与需求对应关系的充分必要条件：零齐次性且满足瓦尔拉斯定律，替代矩阵的对称性和半负定性。结论的实践意义：

从需求行为推断出偏好，可以提供一种工具，用于检验一个需求函数是否真实反映了消费者基于偏好的需求。

二、基本思路

根据需求函数逆推出偏好问题，通常分为两个步骤：

（1）先由需求函数逆推出支出函数或间接效用函数；

（2）然后由支出函数或间接效用函数逆推偏好。

三、由支出函数逆推偏好

（1）思路

由支出函数逆推偏好实际上要说的是，所购买的消费束就是在现有收入水平下最偏好的消费束。

也就是说，对于每一个效用水平而言，找到一个至少

u 一样好的集合，，使得当时，n u R x V +∈=0>>p )

,(u p e 是购买中的一个消费束所需要的最小支出。亦即假定消费u V 者支出函数在效用上是严格递增的，在价格),(u p e u p 上是连续的、递增的额、一次齐次的、凹的和可微的，只要集合

)}

,(,0,{u p e px p R x V n u ≥>>∈=+中存在

}

,min{),(u V x px u p e ∈=即可完成从支出函数逆推偏好。

（2）过程

由支出函数的性质（对

是一次齐次的、对),(u p e p 非递减、关于

的凹函数以及当时，连续）和p p 0>p 的定义可知，是非空的、闭的、具有下界的。所以当

u V u V 时，0>>p 是存在的。从的定义可知，有},min{u V x px ∈u V 成立。如果证明了下式也},min{),(u V x px u p e ∈≤成立，即

}

,min{),(u V x px u p e ∈≥则有。而从支出函数的性},min{),(u V x px u p e ∈=质不难得证，是成立的。

},min{),(u V x px u p e ∈≥其中表示，与支出函},min{),(u V x px u p e ∈=数相对应的消费束是能够取得既定效用的最优的消费束，而且支出函数随着既定效用的增加而增加。

（3）结论

基于如上讨论，可以对一个效用水平构造一个集合u 。原因在于，支出函数在效用上是严格递增的。u V ),(u p e u 所以，如果存在，则严格包含，而定义为，u u >′u V u V ′u V 闭集、凸性和具有下限的。因此，各个这样至少一样好的集合便定义了一个以为支出的偏好关系，如图3-3。

),(u p e

四、由需求逆推支出函数

（1）思路

谢伯特定理表明，希克斯需求函数与支出函数之间存在着如下关系，

p

u p e u p h x ??==),(),(所以，由希克斯需求函数能够求解出支出函数。实际上也就是求解一个以价格

为自变量，以为因变量的微分

p ),(u p e 方程，即)),(,(),(u p e p x dp

u p de =由于效用函数分为直接效用和间接效用，所以由需求逆推支出函数也分为直接逆推和由间接效用函数逆推。

（2）有需求函数直接逆推支出函数

①两种商品的情况

为讨论方便，假设

)

,1,()(011u p e p e =)

,1,(),(11111w p x w p x x ==则问题变成在初始条件下求解001

)(w p e =（3.4）

))(,()(111p e p x dp p de =如果，则是式（3.4）的解，而且001

)(w p e =)(1p e )(1p e 实际上就是与效用水平相对应的支出函数。式（3.4）是0

u 一个常微分方程，由柯西存在定理可知，当))

(,(11p e p x 连续时，对任何初始条件定存在至少一个解。),(001w p ②种商品的情况

n 对于有种商品的情况，常微分方程变成以初始条件n 和的偏微分方程组，

0p 00)(w p e =（3.5）n i p e p x p p e i i ,,2,1))(,()(L ==??要使式（3.5）存在解，需要

)(p e i

i i i p p e p e p e p x p p e p x ????+??)()())(,())(,(矩阵存在且是对称的、半负定的，而这是斯拉茨基矩阵所具备的。所以由需求函数逆推支出函数的充要条件是斯拉茨基

矩阵的对称性和半负定性，然而需求函数肯定具有这样性质的斯拉茨基矩阵，所以从需求函数可以得到相应的支出函数。

（3）从需求函数逆推间接效用函数再推支出函数

实际上，如果从需求函数逆推出间接效用函数，然后再得出支出函数，这种方式会更简捷。

将原来省略掉的列入式（3.5）0

u n i p e p x p p e i i

,,2,1))(,()(L ==??则有（3.6）

)),(,(),(00u p e p x p u p e i i

=??假设，则式（3.6）变为),(0w q v u =))),(,(,()),(,(w q v p e p x p w q v p e i i

=??其中边界条件为

w

w q v p e =),(,(由于货币度量的间接效用函数定义为式（3.2）

)]

,(,[),;(w q v p e w q p ≡μ所以可将上述式子写成

)),;(,(),;(w q p p x p

w q p i μμ=??（3.7）

w w q p ≡),;(μ将式（3.7）称为可积方程组。求解出即可得到一个间)(?μ接效用函数，并由此描述出需求行为。

),(w p x 例1两种商品的可积性，其中商品2的价格标准化为1，并可以省略。假设存在如下对数方程组

c

w b p a x ++=ln ln ln c

b a e

w p x =则可积方程为b

c a e p dp

w q p d μμ=),;(整理后，即

c a b e p dp

w q p d =?),;(μμ

积分可得∫∫=?q p a q p

c b dt t e dt dt

d μμ1

1

11

11≠+?=?++?b e a p q b c a a q p b μ由此，有

c a a b b e a p q b

w q p w 11),;(1111+?=??++??μ从而得出货币度量的间接效用函数

b a a

c b p q e a b w w q p ?++??+?+=11

111)](1

1[),;(μ例2考虑CD 函数的情况。最大效用解为

1

11p w a x =222p w a x =由于此解满足斯拉茨基对称性和半负定性，所以可积方程有解，即→111p a p μμ=??1

11ln ln c p a +=μ→222p a p μμ=??2

22ln ln c p a +=μw

w q q q q =),,;,(2121μ其中的和均为积分常数。

1c 2c 由此有

3

2211ln ln ln c p a p a ++=μ而其中的独立于和。代入边界条件，可得

3c 1p 2p

32211ln ln ln ),;(ln c q a q a w w q q ++==μ求解出并代入即可得3c 32211ln ln ln c p a p a ++=μ出CD 效用函数的货币度量的间接效用函数，

w

q a q a p a p a w q p ln ln ln ln ln )

,;(ln 22112211+??+=μ 3.3消费者福利分析

本节讨论理性消费者在经济环境变化后其福利状态的变化问题，即消费者福利分析。

其分析方法主要有：

消费者剩余

等价变化（）和补偿变化（）。

Ev Cv 其中消费者剩余属于传统的分析消费者福利的方法，属于等价变化（）和补偿变化（）的特例。

Ev Cv 一、消费者剩余概念

市场中的每个消费者由于偏好不同、财富收入水平不同，因而对某种商品愿意支付的价格也是不同的。比如，商品市

场价格为，而在众多消费者中有一位愿意支付的价格最0

p 多为，而另一位愿意支付的价格为，且存在如01p p >2p

下关系，，以此类推，直到消费者愿意支付0

21p p p >>的价格为为止。因此定义第位消费者的剩余为，0p i 0p p i ?。n i ,,2,1L =消费者剩余：消费者因购买比自己愿意支付的价格低的

商品而得到的福利。

消费者购买商品的总剩余为:

（离散）∑∑==?=

?=n

i i n i i np p p p Cs 1

010)(（连续）

∫=p

p dp p x Cs 0)(消费者剩余的变化：

?∫=0

1)(p p dp

p x Cs

消费者剩余分析消费者因价格变化而导致的福利变化的局限性：主要是没考虑补偿效应和收入效应

二、等价变化与补偿变化方法

假设消费者的经济环境从变化到，可),(00w p ),(1

1w p 以理解为政策的变化所导致的。

一种测度消费者福利变化的方法：用间接效用之差)

,(),(0011w p v w p v ?→（直接效用）)()(0

1x u x u ?如果两者之差大于零，说明消费者福利增加了。

如果两者之差小于零，说明消费者福利下降了。

因此，可以用间接效用之差评价相关政策。但是由于效用函数是一个序数概念，为了从数量上测量两者差别，可以

采用货币度量的间接效用函数。

另一种测度消费者福利变化的方法：用货币度量的间接效用函数

其中货币度量的间接效用函数所测度的是，),;(w p q μ当面对价格时，至少需要支出多少货币才能够和面对价格q 和财富水平时的生活（效用）一样好。

p w 所以，经济环境从变化到，可以采用),(00w p ),(1

1w p 货币度量的间接效用函数加以测度，即)

,;(),;(0011w p q w p q μμ?如此面临着如何选择判别标准价格，有两种选择：

q （1）等价变化

当选择时,为等价变化，此时有0

p q =0

110000110),;(),;(),;(w w p p w p p w p p Ev ?=?=μμμ如果价格发生变化，消费者的效用水平发生变化；

如果价格不变，改变名义收入可以使消费者的效用水平发生相同的变化，名义收入的变动就是等价变化。这一货币额表示的是，价格变化对消费者福利的影响相当于消费者的名义收入发生了这样的变化，可以把它理解为消费者对价格变化的货币评价。

需要注意的是，等价性变化的符号不仅同样表示消费者福利变化的方向，而且它被定义为表示消费者收入的变化，例如等价性变化为负，就表示消费者随价格上升而福利下

降，但同时也表示等价于消费者的收入减少。

等价变化以现行价格为基础价格，寻求在现行价格下Ev 收入变化多少在效用上等价于拟定的变化。

（二）补偿变化

当选择时,为补偿变化，则有1

p q =)

,;(),;(),;(0011001111w p p w w p p w p p Cv μμμ?=?=补偿变动则以变化后的新价格为基础，寻求收入变化Cv 多少才能补偿消费者受价格变化的影响。

如果价格发生变化，消费者的福利变化，但是可以通过改变消费者的名义收入使消费者的效用水平保持不变，也就是利用收入变化抵消价格的影响。需要补偿消费者的货币量本成为补偿性变化。如果价格上升，这一补偿可以理解为为了使得消费者愿意而为这一价格政策所支付的费用。

下面的图形为补偿性变化提供了简明的几何说明。值得注意的是，能够用这两条预算约束线的纵截距的距离表示补偿性变化的绝对值，是因为把

理解为用于其他所有商品

2x 上的支付。

如果价格上升，补偿性变化为负，这表明消费者福利的下降。

但是在理解上往往存在下面的困难：为了抵消价格上升的影响不是应该增大消费者的福利么，补偿性变化又怎么能为负？

这里需要注意两点：

第一，补偿性变化定义的是计划者的收入变化，如果为负，意味着计划者收入减少，结果就是消费者得到补贴，这样的话，消费者的收入就上升为。

Cv y ?第二，补偿的特点在于收入变化后可以使得消费者维持初始的效用水平。

如何选择用哪一种方法分析消费者福利变化：取决于研究什么问题。

如果分析新价格下推行某种补偿计划，应采用补偿变动分析比较合理；

如果要对消费者“愿意支付”进行合理度量，应采用等价变动分析更为合理。原因在于，等价变动度量的是现行价格下收入的变动，相对于假设的某价格而言，决策者更容易判断货币的当前购买力。

如果比较几种政策变动的影响，由于等价变动保持基础价

格不变，所以更适用于在不同方案中进行比较。

三、拟线性效用

为了讨论消费者剩余与等价变动和补偿变动的关系，我们引入拟线性概念。

（1）概念

设效用函数存在单调变换形式，即

),,(),,,(1010k k x x u x x x x u L L +=称为拟线性效用函数。

拟线性效用函数在一种商品时是线性的，但在其他商品存在时，可能是非线性的。

（2）最优化问题

如下仅考虑两种商品的情况，即

)

(),(1010x u x x x u +=此时对应的最大化问题为

)

(:max 10x u x +w

x p x t s =+110..构造拉格朗日函数并求一阶导有

1

1)(p x u =′经济意义：