高三数列知识点与题型总结(文科)

数列考点总结

第一部分 求数列的通项公式

一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书） 二、求数列的通项公式

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

一、累加法 1．适用于：1()

n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

若

1()n n a a f n +-=(2)

n ≥，

则

21321(1)(2)

()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111()

n

n k a a f n +=-=∑

例1 已知数列{}

n a 满足

11211n n a a n a +=++=，，求数列

{}

n a 的通项公式。

例2 已知数列{}

n a 满足

112313

n n n a a a +=+?+=，，求数列

{}

n a 的通项公式。

练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.

答案：1

2

+-n n

练习 2.已知数列

}

{n a 满足31=a ，

)

2()1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

n a n 1

2-

=

评注：已知a a =1,)

(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通

项

n

a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列}

{n a 中,

>n a 且

)(21n n n a n a S +=

,求数列}{n a 的通项公式.

练习3 已知数列{}

n a 满足

112,1

2n

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。

二、累乘法 1、适用于：

1()n n

a f n a +=

累乘法是最基本的二个方法之二。

若

1

()n n

a f n a +=，则

312

12(1)(2)()n n

a a

a f f f n a a a +===，，，

两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==?∏

例4 已知数列{}

n a 满足

112(1)53

n n n a n a a +=+?=，，求数列

{}

n a 的通项公式。

例

5.设{}n a 是首项为

1

的正项数列，且

()0

112

21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是

n a =________.

三、待定系数法 适用于

1()

n n a qa f n +=+

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如

(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型

（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{

n

a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n

a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

待定系数法：设)

(1λλ+=++n n a c a ,

得

λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设

,

1d ca a n n +=+比较系数得

d c =-λ)1(,所以

)0(,1≠-=

c c

d λ所以有：

)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列????

??-+1c d a n 构成以11-+

c d

a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以

11)1(1-?-+=-+

n n c c d a c d a 即：

1)1(11--?-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系d

ca a n n +=+1化为

)1(11-+=-+

+c d a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d

a n 从而

求得通项公式

)1

(1111-++-=

-+c d a c c d a n n

逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系

d

ca a n n +=+1中把n 换成n-1有

d

ca a n n +=-1,两式相减有

)

(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列

}

{1n n a a -+,进而求得通项公式.

)

(121a a c a a n n n -=-+,

再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例6、已知数列{}

n a 中，

111,21(2)

n n a a a n -==+≥，求数列

{}n a 的通项公式。

2．形如：

n

n n q a p a +?=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)

①若p=1时，即：

n

n n q a a +=+1，累加即可.

②若1≠p 时，即：n n n q a p a +?=+1，

求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1

+n p .目的是把所求数列构造成等差数列

即：

n

n

n n n q

p p q a p a )(11

1

?+

=

++,令

n n

n p a b =

，则

n n n q p p b b )

(11?=

-+,然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以1+n q . 目的是把所求数列构造成等差数列。

即：

q

q a q p q a n n n n 1

1

1

+?=

++,

令

n n

n q a b =

,则可化为

q b q p b n n 1

1+?=

+.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设

)

(11n n n n p a p q a ?+=?+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.

注意：应用待定系数法时，要求p ≠q ，否则待定系数法会失效。 例7、已知数列{}

n a 满足

1112431

n n n a a a -+=+?=，，求数列

{}n a 的通项公式。

练习3.（2009陕西卷文）

已知数列

{}n a 满足，

*

1

1212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝

.

()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；

(Ⅱ)求

{}n a 的通项公式。

答案：（1）{}n b 是以1为首项，12-

为公比的等比数列。（2）1*

521()()332n n a n N -=--∈。

总结：四种基本数列 1．形如

)

(1n f a a n n =-+型 等差数列的广义形式，见累加法。

2.形如)(1

n f a a n

n =+型 等比数列的广义形式，见累乘法。

3.形如

)(1n f a a n n =++型

（1）若d

a a n n =++1（d 为常数），则数列{

n

a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项

和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)

(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两

式相减)得)

1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项.

4.形如

)(1n f a a n n =?+型

（1）若p

a a n n =?+1(p 为常数)，则数列{

n

a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和

偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)

1(1-=?-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例8. 数列{n

a }满足01=a ,n

a a n n 21=++,求数列{an}的通项公式.

例9. 已知数列满足}{n a )(,)21(,3*

11

N n a a a n n n ∈=?=+,求此数列的通项公式.

第二部分 数列求和

一、公式法

1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1.

2．一些常见数列的前n 项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝

n n ＋1

2

；

(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n . 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法

如果一个数列{a n }，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，等差数列的前n 项和即是用此法推导的．

2．分组转化求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，等比数列的前n 项和就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

[小题能否全取]

1．(2012·沈阳六校联考)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( ) A.

n [－1

n

－1]2

B.

－1

n －1

＋12

C.－1n ＋12

D.－1n －12

2．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列?

????????

?S n n 的前10项的和为( )

A ．120

B ．70

C ．75

D ．100

3．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( ) A ．31 B ．120 C ．130

D ．185

4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为________． 5．数列12×4，14×6，1

6×8，…，

12n 2n ＋2

，…的前n 项和为________．

分组转化法求和

[例1]等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列

第二列

第三列

第三行

9

8

18

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . . .

错位相减法求和

[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3. (1)求a n ；

(2)求数列{na n }的前n 项和T n .

2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n ＋k . (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足a n ＋1

2

＝(4＋k )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

T n ＝94? ????12－12·3n －n 3n ＋1.

裂项相消法求和

[例3] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

3．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1

S n

存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．

【课后练习题】

1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2

B ．n 2－6n ＋18 C.???

6n －n 2

1≤n ≤3n 2

－6n ＋18n >3

D.???

6n －n 2

1≤n ≤3n 2

－6n n >3

2．若数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋a n －1＝2n ＋2n －1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则log 2(S 2 012＋2)＝________. 3．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝a n log 1

2

a n ，S n ＝

b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .

4．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n .

S n ＝2n ＋1－2.

2．设函数f (x )＝x 3

，在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (

3

a n ＋1)，令

b n ＝a n S n ，数列??????

???

?1b n 的前

n

项和为T n .

(1)求{a n }的通项公式和S n ； (2)求证：T n <1

3.

3．已知二次函数f (x )＝x 2－5x ＋10，当x ∈(n ，n ＋1](n ∈N *)时，把f (x )在此区间内的整数值的个数表示为a n . (1)求a 1和a 2的值； (2)求n ≥3时a n 的表达式； (3)令b n ＝4

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和S n (n ≥3)．

5－

1 n－1.

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