必修4数学知识点
必修4数学知识点
第一章：三角函数 §1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角α终边相同的角的集合：
{}Z k k ∈+=,2παββ.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、 r
l =
α
. 3、弧长公式：R R
n l απ==
180
. 4、扇形面积公式：lR R n S 2
1
3602==
π. §1.2.1、任意角的三角函数
1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x
y x y =
==αααtan ,cos ,
sin
2、 设点(),A
x y 为角α终边上任意一点，那么：（设22
r x y =
+）
sin y r α
=
，cos x r α=，tan y x α=，cot x y
α= 3、 αsin ，α
cos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT
5、三角函数值表
角度
0°
15°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
弧度
sin
cos
tan
-
-
cot -
-
T
M
A O
P
x y
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 2
2
=+αα.
2、 商数关系：α
α
αcos sin tan =
. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）
α -α π+α π-α α-π π/2+α
π/2-α
α-π/2 3π/2+α 3π/2-α α-3π/2 S -S -S S -S C C -C -C -C C C C -C -C -C -S S S S -S -S T
-T
T
-T
T
-CT
CT
-CT
-CT
CT
-CT
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π2
3π2π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2ππ-π
o
y x
1-1y=cosx -3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π
2
3π2
π2-π2
-4π-3π-2π4π
3π2ππ-πo
y x
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调
性、周期性. 3、会用五点法作图.
sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202
2
π
π
ππ（，
）（，，）（，，）（，，）（，，）. §1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
2、记住余切函数的图象：
y=tanx
3π2
π
π2
-
3π2
-π
-
π2
o
y
x y=cotx
3π2
π
π2
2π
-π
-
π2
o
y
x
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
x y sin =
x y cos =
x y tan =
图象
定义域 R
R
},2
|{Z k k x x ∈+≠
ππ
值域
[-1,1] [-1,1]
R
最值
max min 2,1
2
2,1
2
x k k Z y x k k Z y π
ππ
π=+
∈==-
∈=-时，时，
max min 2,12,1
x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，
无
周期性 π2=T
π2=T
π=T
奇偶性
奇
偶
奇
单调性 Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增
在3[2,2]2
2
k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增
在
[2,2]k k πππ+上单调递减
在(,)22k k ππππ-+上单调递增
对称性 Z k ∈
对称轴方程：2
x k π
π=+
对称中心(,0)k π
对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2
k ππ
+
无对称轴 对称中心,0)(
2
k π
§1.5、函数
()?ω+=x A y sin 的图象
1、对于函数：
()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T π
ω
=
，初相?，相位?ω+x ，频率
π
ω
21=
=T f .
2、能够讲出函数
x y sin =的图象与
()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩：
sin y x = 平移||
?个单位
()sin y x ?=+ (左加右减) 横坐标不变
()sin y A x ?=+ 纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变
()sin y A x ω?=+
平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++
(上加下减)
② 先伸缩后平移：
sin y x = 横坐标不变 sin y A x =
纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变 sin y A x ω=
横坐标变为原来的1
||ω
倍
平移
?ω
个单位
()sin y A x ω?=+
(左加右减) 平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++
(上加下减)
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数
cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||
T π
ω=
；函横坐标变为原来的1
|
|ω
倍
数
tan()y x ω?=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||
T πω=
. 对于
sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数
sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2
x k k Z π
ω?π+=+
∈与()x k k Z ω?π+=∈
解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：
max min
2
y y A -=
，max min
2
y y B +=
.
ω要根据周期来求,?要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 记住15°的三角函数值：
α
α
sin αcos
α
tan
12
π 4
26-
4
26+
32-
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin
+=+
2、()βαβαβαsin cos cos sin sin
-=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、(
)βαβαβαsin sin cos cos cos +=-
5、()tan tan 1tan tan tan αβ
αβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan
αβαβαβ-+-=. §3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、ααα
cos sin 22sin =，
变形： 12sin cos sin 2ααα
=. 2、ααα
22sin cos 2cos -= 1cos 22-=α α2sin 21-=.
变形如下：
升幂公式：2
2
1cos 22cos 1cos 22sin αα
αα
?+=??-=??
降幂公式：221cos (1cos 2)2
1sin (1cos 2)2
αααα=+=-?????
3、α
αα
2tan 1tan 22tan -=.
4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα
-=
=+
§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式
)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y
(其中辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?=
). 万能公式：
sin α=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cos α=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tan α=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式：
sin α·cos β=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cos α·cos β=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式：
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
2、 向量
AB 的大小，也就是向量AB 的长度(或称模)，记作
AB
；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单
位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、
b
a +≤
b
a +.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴
a a λλ=,
⑵当0>λ
时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量()
0≠a a
与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，
使2211e e a
λλ+=.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a
,=+=.
§2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a
==，则：
⑴()2121,y y x x b a ++=
+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，
⑶()11,y x a
λλλ=，
⑷1221//y x y x b a =?.
2、 设
()()2211,,,y x B y x A ，则：
()1212,y y x x AB --=.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设
()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则
⑴线段AB 中点坐标为(
)2
2
2
121,y y x x ++，
⑵△ABC 的重心坐标为(
)333
213
21,y y y x x x ++++.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、 θcos b a b
a =?.
2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .
3、 2
2
a
a =.
4、
2
a
a =.
5、 0=??⊥b a b a .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a
==，则： ⑴2121y y x x b a +=?
⑵
2
121y x a +=
⑶121200a b a b x x y y ⊥??=?+=
⑷1221//0a b a b x y x y λ?=?-=
2、 设
()()2211,,,y x B y x A ，则：
()()212212y y x x AB -+-=
.
3、 两向量的夹角公式
1212222
2
1
1
22
cos x x y y a b
a b
x y x y θ+?==
+?+
4、点的平移公式
平移前的点为(,)P x y (原坐标)，平移后的对应点为(,)P x y '''(新坐标)，平移向量为(,)PP h k '= ， 则.x x h
y y k '=+??'=+?
函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =
平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-
§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例
知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A 、B
是直线l 上的任意两点，则AB
为直线l 的一个方向向量；与AB
平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥ ，如果n α⊥ ，那么向量n
叫做平面α的法向量.
⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．
②设平面α的法向量为(,,)n x y z =
．
③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==
．
④根据法向量定义建立方程组0
n a n b ??=???=?? .
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.
(如图)
2、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行
设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈
.
即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①(法一)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥ ，即0a u ?=
.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外
②(法二)要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
⑶面面平行
若平面α的法向量为u
，平面β
的法向量为v
，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=
.
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线12,l l 的方向向量分别是a b
、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥ ，即0a b ?= .
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①(法一)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ= .
②(法二)设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0
,.0
a m l a n α??=?⊥??=??
则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线
直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面α的法向量为u
，平面β
的法向量为v
，要证αβ⊥，只需证u v ⊥ ，即证0u v ?=
.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角
已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，
则cos .AC BD
AC BD
θ?=
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u
，直线与平面所成的角为θ
，a 与u
的夹角为?，
则θ为?的余角或?
的补角
的余角.即有：cos s .in a u
a u
?θ?==
⑶求二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角β
α--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线
l BO l AO ⊥⊥,，则A O B
∠为二
面角β
α
--l 的平面角.
如图：
O
A
B
O
A
B
l
②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n
、的夹角为?，二面角l αβ--的平面角为θ，
则二面角θ为m n 、的夹角?或其补角.π?-
根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：
◆如果θ是锐角，则cos cos m n
m n
θ??==
，
即arccos m n
m n
θ?= ；
◆
如果θ是钝角，则cos cos m n
m n
θ??=-=-
， 即arccos m n m n θ??
? ?=- ???
.
5、利用法向量求空间距离 ⑴点Q 到直线l 距离
若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a
为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为
22
1(||||)()
||
h a b a b a =-?
⑵点A 到平面α的距离
若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，
平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP
在法向量n 方向上的投影的绝对值.
即cos ,d MP n MP =
n MP MP n MP ?=?
n MP n
?=
⑶直线a 与平面α之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
即.n MP
d n
?=
⑷两平行平面,αβ之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
即.n MP d n
?=
⑸异面直线间的距离
设向量n
与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d
就是MP
在向量n 方向上投影的绝对值。
即.n MP
d n
?=
6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈?
?
=?⊥???⊥?
概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈?
?
=?⊥???⊥?
概括为：垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理
设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.
8、 面积射影定理
已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原
，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射
，平面α与平面β所成的二面角的大
小为锐二面角θ，则
'cos =.S S S S θ=射
原
9、一个结论
长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有
2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++= 222123sin sin sin 2θθθ?++=.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
α
θ
θ2
θ1
A B
D C
a
P
α
O
A
高一数学必修1知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
高一数学必修四知识点
基本三角函数 Ⅰ Ⅱ ◆ 终边落在x 轴上的角的集合： {}z ∈=κκπαα, ? 终边落在 y 轴上的角的集合： ??????∈+=z κπκπαα,2? 终边落在坐标轴上的角的集合：? ?????∈=z κπ καα,2 ? 2 21 21 r r l S r l αα=== 弧度 度 弧度弧度弧度 度 180180 11801 2360. ππ π π====? ? 倒数关系：1 11 cot tan == =ααααααSec Cos Csc Sin 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1 平方关系：α αααα α222 222111tan Csc Cot Cos Sin Sec =+= +=+乘积关系：αααCos Sin tan = ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积 Ⅲ 诱导公式◆ 终边相同的角的三角函数值相等 ()()()z k , tan 2tan z k , 2z k , 2∈=+∈=+∈=+απααπααπαk Cos k Cos Sin k Sin ? 轴对称关于与角角x αα- ()()()α αααα αtan tan -=-=--=-Cos Cos Sin Sin ? 轴对称关于与角角y ααπ- ()()()α απααπα απtan tan -=--=-=-Cos Cos Sin Sin ? 关于原点对称 与角角ααπ+()()()α απααπααπtan tan =+-=+-=+Cos Cos Sin Sin
?对称关于与角角 x y = -ααπ 2 ααπααπααπcot 2tan 22=??? ??-=??? ??-=??? ??-Sin Cos Cos Sin ααπα απααπcot 2tan 22-=?? ? ??+-=??? ??+=?? ? ??+Sin Cos Cos Sin 上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限” Ⅳ 周期问题 ◆ ()()()()()()ω π ω?ωω π ω?ωω π ω?ωωπ ω?ωωπ ω?ωωπ ω?ω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , = ≠>>++== ≠>>++== >>+== >>+== >>+== >>+=x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y ? ()()()()ω π ω?ωωπ ω?ωω π ω?ωωπω?ω= >>+== >>+==>>+== >>+=T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan x A y x A y x A y x A y Ⅴ 三角函数的性质
高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
高中数学必修4知识点总结归纳
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
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高一数学必修1知识网络 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=???????
高中数学必修4知识总结(完整版)
高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．
高中数学必修四第一章知识点梳理-
高中数学必修四第一章知识点梳理 一、角的概念的推广 ●任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 二、弧度制 ●角度定义制 规定周角的 360 1 为一度的角，记做1°， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。 2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r （0r = >） ，那么 1、比值 y r 叫做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=。
高一数学必修1知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是
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高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
①角度化为弧度： 180180ππ n n n o o o = ? =，②弧度化为角度：o o 180180?? ? ??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180 （用度表示的）π n l = ② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇（用弧度表示的） 5、三角函数: （1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时， x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O
高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题
高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一：任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 112 2 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22 r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系： 22 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 , 正弦 | 余弦 [ 正切 < 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x
2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图：五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数 sin()y A x ω?=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 基础练习： / 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= cm 2. 3、设a <0,角α的终边经过点P （－3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4 、函数 y =的定义域是_____ __ 5、 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------（ ） （A ）向左平移个6π单位 （B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ，那么θ是 。 8.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 9、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π = x 对称的是（ ） 》 A ．sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D.sin()23 π=+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是（ ） A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型：1、已知角α终边上一点P （－4，3），求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值
高中数学必修1知识点、考点、题型汇总
集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。
高一数学必修1各章知识点复习总结
高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性： 元素的确定性如：世界上最高的山 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 列举法：{a,b,c……} 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x -3>2} ,{x| x -3>2} 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} Venn 图: 4、集合的分类： 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集 B A ?? /?/
高中数学必修4知识点整理
高中数学必修4知识点自测题 一、填空题（每空1分,共100分） 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =__________，C=_________，S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是r ，则r=__________sin α=_______，cos α=________，tan α=________． 3、三角函数在各象限的符号：第一象限________为正，第二象限__________为正，第三象限___________为正，第四象限______________为正． 4、三角函数线：sin α=________，cos α=____，tan α 5、同角三角函数的基本关系：(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________． 6、三角函数的诱导公式： (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____（_____）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的_______倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；
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新人教版高中数学必修4知识点总结经典
新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
人教版高中数学必修1知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或 B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
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高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关 系
高一数学必修四知识点总结
高一数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 一、任意角 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； 2．象限角的概念： ①定义：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 1弧度记做1rad. 弧度来度量角的单位制叫做弧度制． 2、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 3.弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为 ;ππ=r r ②整圆所对的圆心角为 .22ππ=r r ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度： π2360=?； π=?180；rad 01745.0180 1≈=?π ；rad n n 180 π = ?． ②将弧度化为角度： 2360π=；180157.3π?? =≈ ??? 5．常规写法： ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 211 22 S lr r α==． 三、任意角的三角函数 1、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 3、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 4、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα =
高一数学必修1知识点总结及练习题
期中考复习 第一章集合与函数概念（10，11班） 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山(P1,1) (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（解题时， 最后注意检验是否满足互异性）研究p3,7、8; (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 2，集合的表示法（研究P2，8；） 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法： M={y|y=x2-2x+1,x∈ R} M={x|y=x2-2x+1,x∈ R}(注意代表元 素！)(P5,2) 3）Venn图:（研究P5，4/7/9） 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝（研究P3，2） 二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）(P3、10) 1.“包含”关系—子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与0的关系） 注意：B A? 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算（ p3,6;P4，4/7/10,P5，10;P6,5/8） 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的 B（读作‘A交B’），即 B=｛x|x∈ A，且x∈B｝． 由所有属于集合A或属于集 B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x ∈B})． 设S是一个集合，A是S的一 记作A C S ，即 C S A=} , | {A x S x x? ∈且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 性 质 A A=A A Φ=Φ A B= B A A B?A A B?B A A=A A Φ=A A B= B A A B?Ａ A B?B (C u A) (C u B) = C u (A B) (C u A) (C u B) = C u(A B) A (C u A)=U A (C u A)= Φ． 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是（） A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有个 3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 . 4.设集合A=} {12 x x <<，B=} {x x a<，若A?B，则a的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。 7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值(注意：解不等式时，乘以除以一个数时，注意讨论它的符号，如果是负数，记住变号。) 二、函数的有关概念定义(P9，1/;P10，1) 1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 （1）具体函数的定义域时列不等式组的主要依据是(P30,9;P37,2/4) (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. S A