有理数及其运算培优专题

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有理数及其运算培优专题一．选择题（共4小题） 1．a ，b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（） A ．a 2与b 2 B ．a 3与b 5 C ．a 2n 与b 2n （n 为正整数） D ．a 2n +1与b 2n +1（n 为正整数） 2．十进制数278，记作278（10），其实278（10）=2×102+7×101+8×100，二进制数101（2）=1×22+0×21+1×20．有一个k （0＜k ≤10为整数）进制数165（k ），把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数561（k ）是原数的3倍，则k=（）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7 3．已知a=（﹣）﹣，b=﹣（﹣），c=﹣﹣，判断下列叙述何者正确？（） A ．a=c ，b=c B ．a=c ，b ≠c C ．a ≠c ，b=c D ．a ≠c ，b ≠c 4．在广东省十三届人大一次会议上的政府工作报告中指出：广东全省生产总值从2012年的5.8万亿元增加到2017年的8.99万亿元，五年年均增长7.9%．将数据8.99万亿用科学记数法可表示为（） A ．89.9×1011 B ．0.899×1013 C ．8.99×1012 D ．8.99×1013 二．填空题（共2小题） 5．在数轴上，点A 表示的数是3+x ，点B 表示的数是2﹣x ，且A ，B 两点的距离为8，则x= ． 6．如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，…，按照这种移动方式进行下去，点A 4表示的数，是，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是．三．解答题（共12小题）

试卷第2页，总5页 7．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．

【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求的值．

【解决问题】

解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．

①a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则

；

②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则．

综上所述，值为3或﹣1．

【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

（1）三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求的值；

（2）若a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且，求的值．

8．如图，在单位长度为1的数轴上有，A 、B 、C 、D 四个点，点A 、C 表示的有理数互为相反数

（1）请在数轴上标出原点O ，并在点A 、B 、C 、D 上方标出它们所表示的有理数；

（2）A 、C 两点间的距离AC= ，B 、D 两点间距离BD= ；

（3）通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的有理数的绝对值来表示，如果数轴上点M 表示的有理数是x ，点N 表示的有理数是y ，那么M 、N 两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为；

（4）设点P 在数轴表示的有理数是x ，借助数轴解答下列问题：

①式子|x ﹣4|表示点P 与有理数所对应的点之间的距离：|x +1|表示点P 与有理数所对应的点之间的距离；

②当x 是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子|x ﹣4|+|x +1|的值最小？最小值是多少？

③若式子|x ﹣4|+|x +1|的值是6，那么点P 所表示的有理数是多少？．

试卷第3页，总5页 9．如图所示，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C 点．（1）求动点A 所走过的路程及A 、C 之间的距离．（2）若C 表示的数为1，则点A 表示的数为． 10．从图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数，看看你画出了什么？ 11．已知有理数a ，b ，c ，d ，e ，且a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，e 的绝对值为2，求式子的值． 12．若（a ﹣2）2+|b +3|=0，求（a +b ）2009的值． 13．计算： ①8+（﹣10）+（﹣2）﹣（﹣5） ②2﹣3﹣5+（﹣3） ③﹣81÷（﹣2）×÷（﹣16） ④﹣14﹣×[3﹣（﹣3）2] ⑤（﹣+）×（﹣36）； ⑥199×（﹣5）（用简便方法计算） 14．请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： =1﹣，=﹣，=﹣，… ①第四个等式为，第n 个等式为； ②根据你发现的规律计算：．

试卷第4页，总5页 15．计算题

（1）5

（2）17﹣8÷（﹣2）+4×（﹣3）

（3）

（4）

（5）

（6）25×．

16．计算求值：（﹣1）2015×．

17．计算：．

18．若a 、b 、c 为整数，且|a ﹣b |19+|c ﹣a |2010=1，求|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣a |．

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有理数及其运算培优专题

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．a ，b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（）

A ．a 2与b 2

B ．a 3与b 5

C ．a 2n 与b 2n （n 为正整数）

D ．a 2n +1与b 2n +1（n 为正整数）

【分析】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可．

【解答】解：A 、a ，b 互为相反数，则a 2=b 2，故A 错误；

B 、a ，b 互为相反数，则a 3=﹣b 3，故a 3与b 5不是互为相反数，故B 错误； C\、a ，b 互为相反数，则a 2n =b 2n ，故

C 错误；

D 、a ，b 互为相反数，由于2n +1是奇数，则a 2n +1与b 2n +1互为相反数，故D 正确；

故选：D ．

【点评】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数．

2．十进制数278，记作278（10），其实278（10）=2×102+7×101+8×100，二进

制数101（2）=1×22+0×21+1×20．有一个k （0＜k ≤10为整数）进制数165（k ），把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数561（k ）是原数的3倍，则k=（）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

【分析】依据定义列出关于k 的方程求解即可．

【解答】解：由题意得：3（k 2+6k +5）=5k 2+6k +1，

解得：k=7或k=﹣1（舍去）．

故选：D ．

【点评】本题主要考查的是科学记数法，依据定义列出关于k 的方程是解题的关键．

3．已知a=（﹣）﹣，b=﹣（﹣），c=﹣﹣，判断下列叙述何者正确？（）

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A．a=c，b=c B．a=c，b≠c C．a≠c，b=c D．a≠c，b≠c

【分析】根据有理数的减法的运算方法，判断出a、c，b、c的关系即可．【解答】解：∵a=（﹣）﹣=﹣﹣，b=﹣（﹣）=

﹣+，c=﹣﹣，

∴a=c，b≠c．

故选：B．

【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

4．在广东省十三届人大一次会议上的政府工作报告中指出：广东全省生产总值从2012年的5.8万亿元增加到2017年的8.99万亿元，五年年均增长7.9%．将数据8.99万亿用科学记数法可表示为（）

A．89.9×1011B．0.899×1013C．8.99×1012D．8.99×1013

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将数据8.99万亿用科学记数法可表示为8.99×1012．

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．

二．填空题（共2小题）

5．在数轴上，点A表示的数是3+x，点B表示的数是2﹣x，且A，B两点的距离为8，则x= 3.5或﹣4.5．

【分析】分两种情况：①当点A在点B左侧时，②当点A在点B右侧时，分别根据距离为8，列方程求解．

【解答】解：①当点A在点B左侧时，

2﹣x﹣（3+x）=8，

解得：x=﹣4.5；

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②当点A在点B右侧时，

3+x﹣（2﹣x）=8，

解得：x=3.5．

故答案为：3.5或﹣4.5

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的知识，解答本题的关键是读懂题意，注意分情况列方程求解．

6．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数，是7，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．

【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点A n与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．

【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2﹣2；

第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；…

则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，

A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，

所以点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．

故答案为7，13．

【点评】本题考查了规律型问题，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的

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4 变化规律是解决问题的关键．

三．解答题（共12小题）

7．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．

【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求

的值．

【解决问题】

解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．

①a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，

则

；

②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则

．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

（1）三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求

的值；（2）若a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且

，求的

值．

【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；

（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a ，b ，c 中负数有2个，正数有1个，判断出abc 的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．

【解答】解：（1）∵abc ＜0，

∴a ，b ，c 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，

①当a ，b ，c 都是负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则：=++=﹣1﹣1﹣1=﹣3； ②a ，b ，c 有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则

=++=﹣1+1+1=1．

（2）∵a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且

，

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∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，

∴abc＞0，

∴==1．

【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．

8．如图，在单位长度为1的数轴上有，A、B、C、D四个点，点A、C表示的有理数互为相反数

（1）请在数轴上标出原点O，并在点A、B、C、D上方标出它们所表示的有理数；

（2）A、C两点间的距离AC=6，B、D两点间距离BD=5；

（3）通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的有理数的绝对值来表示，如果数轴上点M表示的有理数是x，点N表示的有理数是y，那么M、N两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为|x﹣y| ；

（4）设点P在数轴表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题：

①式子|x﹣4|表示点P与有理数4所对应的点之间的距离：|x+1|表示点P与有理数﹣1所对应的点之间的距离；

②当x是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子|x﹣4|+|x+1|的值最小？最小值是多少？5

③若式子|x﹣4|+|x+1|的值是6，那么点P所表示的有理数是多少？﹣1.5或4.5．

【分析】（1）根据图示，点A、C之间的距离是6，据此求出点A、C表示的数是多少，即可求出点B和D表示的数是多少，并画数轴即可；

（2）直接由两点的坐标之差可得结论；

（3）在数轴上M、N两点之间的距离MN=||x﹣y|，依此即可求解；

（4）①根据绝对值的几何意义，进行解答；

②根据数轴上|x+3|+|x﹣4|的几何意义，进行解答．

③分情况讨论计算即可得出结论．

【解答】解：（1）∵点A、C表示的两个数互为相反数，点A、C之间的距离是6，

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∴点C表示的数是3，A表示的数是﹣3，

∴点B表示的数是﹣1，点D表示的数是4；

如图所示：

（2）由数轴得：A、C两点间的距离AC=6，B、D两点间距离BD=4﹣（﹣1）=5；

故答案为：6，5；

（3）MN=|x﹣y|

故答案为：|x﹣y|；

（4）①式子|x﹣4|表示点P与有理数4所对应的点之间的距离：|x+1|表示点P与有理数﹣1所对应的点之间的距离；

②在数轴上|x+3|+|x﹣4|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到4的距离之和，所以当﹣3≤x≤4时，它的最小值为7；

③|x﹣4|+|x+1|=6，

分三种情况：

如图1，当点P在﹣1的左边时，

得：﹣1﹣x+4﹣x=6，

x=﹣1.5，

如图2，当点P在﹣1和4之间时，

|x﹣4|+|x+1|=5，不符合题意，

如图3，当点P在4的右边时，

x﹣4+x+1=6，

x=4.5，

∴x=﹣1.5或4.5，

即点P表示的有理数是﹣1.5或4.5；

故答案为：①4，﹣1；②7；③﹣1.5或4.5．

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【点评】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，要熟练掌握．

9．如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C点．

（1）求动点A所走过的路程及A、C之间的距离．

（2）若C表示的数为1，则点A表示的数为﹣2．

【分析】（1）根据题意列出算式2+5，求出即可得出动点A所走过的路程，求出5﹣2即可得出A、C之间的距离；

（2）设点A表示的数十x，根据题意得出算式x+（﹣2）+（+5）=1，求出x 即可．

【解答】解：（1）动点A所走过的路程2+5=7，

A、C之间的距离是AC=5﹣2=3；

（2）设点A表示的数十x，

则x+（﹣2）+（+5）=1，

x=﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了数轴和有理数的运算，关键是能根据题意列出算式，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

10．从图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数，看看你画出了什么？

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【分析】根据负数比较大小，绝对值大的反而小，求出两负数的大小，根据正数都大于0，负数都小于0比较即可．

【解答】解：如图所示

：

画出的图形是一条鱼．

【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较等知识点的应用，求出﹣|﹣4.5|=﹣4.5，+（﹣1）=﹣1，﹣（﹣5）=5，|﹣10|=10，|﹣6|=6，|﹣3|=3．

11．已知有理数a ，b ，c ，d ，e ，且a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，e 的绝对值为2，求式子的值．

【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出ab ，c +d 以及e 的值，代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：根据题意得：ab=1，c +d=0，e=±2，

∴原式

=×1+0+4=4．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数，以及绝对值的定义是解本题的关键．

12．若（a ﹣2）2+|b +3|=0，求（a +b ）2009的值．

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【分析】根据非负数的性质分别求出a 、b ，根据乘方法则计算即可．

【解答】解：由题意得，a ﹣2=0，b +3=0，

解得，a=2，b=﹣3，

则（a +b ）2009=﹣1．

【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．

13．计算：

①8+（﹣10）+（﹣2）﹣（﹣5）

②

2﹣3﹣

5+（﹣3）

③﹣81÷（﹣2）×÷（﹣16）

④﹣14﹣×[3﹣（﹣3）2] ⑤（﹣+

）×（﹣36）； ⑥199×（﹣5）（用简便方法计算）

【分析】①首先根据有理数减法法则，把算式进行化简，然后应用加法交换律和结合律，即可得出结论；

②根据加法结合律将同分母的分数相加，即可得出结论；

③先确定符号，再根据有理数混合运算的运算顺序进行计算即可得出结论； ④原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算可得出结论； ⑤利用乘法的分配律进行计算．可得出结论；

⑥先将带分数化为200﹣，利用乘法的分配律进行计算即可得出结论．

【解答】解：①8+（﹣10）+（﹣2）﹣（﹣5），

=8﹣10﹣2+5，

=（8+5）+（﹣10﹣2），

=13﹣12，

=1；

②

2﹣3﹣

5+（﹣3），

=（

2﹣3）﹣（3+5），

=﹣1﹣9，

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=﹣10；

③﹣81÷（﹣2）×÷（﹣16），

=﹣81×××

， =﹣1；

④﹣14﹣×[3﹣（﹣3）2]，

=﹣1﹣×（3﹣9），

=﹣1﹣×（﹣6），

=0； ⑤（﹣+）×（﹣36）；

=﹣×36+×36﹣

×36， =﹣18+20﹣21，

=﹣19；

⑥199×（﹣5）（用简便方法计算）

=（200﹣）×（﹣5），

=200×（﹣5）+5×

， =﹣1000+，

=﹣999.8．

【点评】本题考查了有理数的混合运算，牢记有理数混合运算的运算法则是解题的关键．

14．请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题：

=1﹣，=﹣，=﹣，… ①第四个等式为

=﹣ ，第n 个等式为

=﹣ ； ②根据你发现的规律计算：

．【分析】①先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四、第n 个式子的表达式；

②把所给式子相加，找出规律即可进行计算．

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【解答】解：①∵第一个式子为：=1﹣，

第二个式子为：=﹣，

第三个式子为：=﹣，

∴第四个等式为：=﹣，第n 个等式为：=﹣．

故答案为：=﹣，=﹣；

②∵第二、第三个式子相加=﹣+﹣=，

∴++…+=﹣+﹣+…﹣=﹣=．

【点评】本题考查的是有理数的混合运算，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练掌握分数的拆分计算．

15．计算题

（1）5

（2）17﹣8÷（﹣2）+4×（﹣3）

（3）

（4）

（5）

（6）25×．

【分析】（1）先化简，再计算加减法可得；

（2）先计算乘除，再算加减可得；

（3）运用乘法分配律计算可得；

（4）首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算乘法和减法可得．

（5）第一组括号里利用乘法分配律计算，第二组括号里是﹣1的奇次方，得﹣1，并根据绝对值和乘方进行第三组式子进行计算可得；

（6）运用乘法分配律的逆运算计算可得．

【解答】解：（1）5，

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=（5+4）+（﹣5﹣），

=10﹣6，

=4；

（2）17﹣8÷（﹣2）+4×（﹣3），

=17+4﹣12，

=21﹣12，

=9；

（3）

， =60×+60×﹣60×

﹣60×，

=45+50﹣44﹣35，

=16；

（4）

， =﹣9÷

， =﹣9×

，

=4；

（5），

=×（﹣24）+×（﹣24）﹣2.75×（﹣24）﹣1﹣23，

=﹣32﹣3+66﹣1﹣8，

=22；

（6）25×

，

=25×+25×﹣25×，

=25×（

）， =25×1，

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=25．

【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

16．计算求值：（﹣1）2015×．

【分析】先计算小括号里，再计算中括号，最后计算大括号，先算乘方，再算乘除，最后算加减．

【解答】解：（﹣1）2015×

．

=﹣1×{[﹣×+0.5]×（﹣9）﹣9}． =﹣1×[﹣×（﹣9）﹣9]．

=﹣（6﹣9）．

=3．

【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算顺序和运算符号，按照运算顺序正确计算．

17．计算：．

【分析】解此题的关键在于找出每一组数值的规律，除第一组数据，每一组数值分子均为等差数列，分子为等差数列减1

，所以可以找出规律为，整理得：；由此可以整理解此题．

【解答】每一组数值均为

，所以原式

××…

=3×

=，所以最后结果为．

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】解决此类问题主要是找出每一组数据的规律，找出一个简化式，这样解题很方便．

18．若a、b、c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|2010=1，求|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|．【分析】由a、b、c为整数，所以其和差仍为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|2010=1，所以|a﹣b|和|c﹣a|必有一个为1，另一个为0，分两种情况讨论得出a、b、c的结果代入计算即可．

【解答】解：由|a﹣b|19+|c﹣a|2010=1可知

|a﹣b|=1，|c﹣a|=0或|a﹣b|=0，|c﹣a|=1，

当a﹣b=±1，c﹣a=0时，b﹣c=±1，

当c﹣a=±1，a﹣b=0时，b﹣c=±1，

即|b﹣c|=1，

则原式=|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|=1+1=2．

【点评】此题考查分类讨论思想，解题的关键是由|a﹣b|19+|c﹣a|2010=1得出两种情况，属于中档题．

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

第8讲有理数及其运算(基础)

《有理数及其运算》全章复习【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 0C

要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a · (b ≠0) ．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒 π--a 1 b 2 (3)9-=3 (3)27-=-

第二章有理数及其运算(一)

第二章有理数及其运算（一）一、选择题 1.数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为（） .A 6或6- .B 6 .C 6- .D 3或3- 2.某地区生产总值达到8600000万元,用科学记数法表示应记作（） .A 58610?万元 .B 58.610?万元 .C 68.610?万元 .D 78.610?万元 3.下列式子正确的是( ) .A 33--= .B 01020= .C 201611-=- .D ()201611-=- 4.下列四个数中，最小的数是（） .A 0 .B 2 .C ()06- .D 5- 5.若3a =，则a 的值是（） .A 3 .B 3- .C 3± .D 13- 6.已知a b 、是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示，把a a b b --、、、按照从小到大的顺序排列 ( ) 0b a .A b a a b -<-<< .B a b a b -<-<< .C b a a b -<<-< .D b b a a -<<-< 7.在数023 1.2,,-,-中，属于负正数的是（） .A 0 .B 2 .C 3- .D 1.2 8.若320a b a b =,=,-<,则a b +=( ) .A 1或5 .B 1或5- .C 1-或5- .D 1-或5 9.如果a 与3互为倒数，那么a 是（） .A 3 .B 3- .C 13 .D 13 -

10.定义一种运算规则为11a b a b ?= +，根据这个规则，则34? 的值是（） .A 712 .B 17 .C 7 .D 12 二、填空题 11.计算()()127482-?-+÷-是结果是 12.从数61352-,,-,,-中任取二个数相乘，其积最小的是 . 13.若有理数a b 、满足()2 3120a b ++-＝，则a b -的值为． 14.1231??--- ??? 的相反数是 . 15.若x 是2的相反数，3y =，则x y -= . 16.有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,……，请你探索第2016次输出的结果是．三、解答题 17.计算:()()111212362????-÷-+-?- ? ?????

初中数学有理数及其运算单元综合培优训练题1(附答案)

初中数学有理数及其运算单元综合培优训练题1（附答案） 1．若|1|2x +=，则x 的值是（） A ．1 B ．-3 C ．1或-3 D ．1或3 2．据新华社2018年3月5日报道，2018年中国国防支出将增长8.1%，约达到11096亿元人民币.将11096亿元用科学记数法表示为( ) A ．41.109610? 亿元 B ．51.109610? 亿元 C ．311.09610? 亿元 D ．50.1109610? 亿元 3．静静家冰箱冷冻室的温度为﹣3℃，调高5℃后的温度为（） A ．0℃ B ．1℃ C ．2℃ D ．8℃ 4．式子﹣2﹣（﹣1）+3﹣（+2）省略括号后的形式是（） A ．2+1﹣3+2 B ．﹣2+1+3﹣2 C ．2﹣1+3﹣2 D ．2﹣1﹣3﹣2 5．计算1 1001010 -÷?，结果正确的是（） A ．1 B ．﹣1 C ．100 D ．﹣100 6．如图，下列结论正确的个数是（ ①m+n ＞0；②m ﹣n ＞0；③mn ＜0；④|m ﹣n|=m ﹣n ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．通过估算,估计340的值应在 ( ) A ．1与2之间 B ．2与3之间 C ．3与4之间 D ．4与5之间 8．有n 个正整数的积为a ，将每一个数都扩大为原来的的3倍，则它们的积是（） A ．3n a B ．3a C ．3na D ．3n 9．最小的正整数是（）A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．不存在 10．下列四个数：1、－2、0、－3，其中最小的一个是（） A ．1 B ．－2 C ．0 D ．－3 11．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（） A ．b 表示负数，a ，c 表示正数，且|a|＞|b| B ．b 表示负数，a ，c 表示正数，且|b|＜|a|＜|c| C ．b 表示负数，a ，c 表示正数，且|a|＜|c|＜|b|

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。（2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

(完整版)有理数及其运算知识点汇总

?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。越来越大

浙教版七年级上册第二章有理数的运算培优习题测验(含有答案)

有理数的混合运算和近似数习题（七上）例1：计算：?? ? ??--+÷-21526131301 例2：计算（1）归纳：－(0.5)－(－3 41) + 2.75－(72 1) （2）凑整（对消）：--+-+-11622344551311638. （3）变序：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．（4）约简：()()61112.50.125 1.250.6215284??-??-?÷??? ?? ?

（5）分解:25×32×125 ；（24+32）×125 （6）倒序相加：1 2003 2 2003 3 2003 4005 2003 ++++ Λ （7）裂项相消法: 课堂练习(提高篇): 一、选择题: *1、一个数的平方等于它的本身，则这个数是（） A、0B、1或－1 C、0或1D、0或1或－1 *2、小慧测得一根木棒的长度为2.8米，这根木棒的实际长度的范围（） A、大于2.80米，小于2.90米 B、大于2.75米，小于2.85米 C、大于2.75米，小于2.84米 D、大于或等于2.75米，小于2.85米*3、下列各组数中，不相等的一组是（） A、3 (5) -与35- B、2 (5) -与25- C、4 (5) -与45 D、35-与35-*4、一个池塘的水浮莲，每天都在生长，且每天的面积是前一天的2倍，如果12天就能把整个池塘遮满，那么水浮莲长到遮住半个池塘需要（） A、6天 B、8天 C、10天 D、11天 *5．2009个不全相等的有理数之和为0，则这2009个有理数中（）

A ．至少有一个0 B ．至少有1005个正数 C ．至少有一个是负数 D ．至少有2008个负数 *6．设xy ＜0，x ＞|y|，则x+y 的值是（） A ．负数 B ． 0 C ．正数 D ．非负数 *7．如果a 与3互为相反数，则|a ﹣3|的倒数等于（） A. 0 B ． ﹣6 C ． D ． *8．若m 、n 取正数，p 、q 取负数，则以下式中其值最大的是（） A ． m ﹣（n+p ﹣q ） B ． m +（n ﹣p ﹣q ） C ． m ﹣（n ﹣p+q ） D ． m +（n ﹣p+q ） *9．已知a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则a 、b 、c 三数的和为（） A ． 1 B ． ﹣1 C ． 0 D ．不确定 *10．一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“﹣5”错写成“+5”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（） A ．少5 B ．少10 C ．多5 D ．多10 一、填空题: 1．数据显示，今年高校毕业生规模达到727万人，比去年有所增加．数据727万人用科学记数法表示为 _________ 人． 2.近似数 3.12×105精确到了 _____ 位． 3．近似数1.35是由数a 四舍五入得到的，那么数a 的取值范围是． 4．计算：10021)1()1()1(-+?+-+-＝__ __． 5．计算：10061005)4()25.0(-?-＝___ _． 6．甲、乙两数的和是－10.6，乙数为－3.7.则甲数比乙数大___ _． 7．4 1-的绝对值的相反数与432的相反数的差是__ __. 8．绝对值大于3而小于8的所有整数的和是__ __.

有理数及其运算复习教案

七年级（上）第二章复习有理数及其运算一、有理数的意义 1.有理数的分类知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3， 18 1 或 2.数轴知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数 3. 相反数知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。 4. 绝对值知识点：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a ＞0，则∣a ∣＝a. 若a ＝0，则∣a ∣＝0. 若a ＜0，则∣a ∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a 与b 之间的距离为：∣a －b ∣。二、有理数的运算 1. 有理数的加法知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和0相加仍得这个数。加法交换律：a+b=b+a ；加法结合律：a+b+c=a+（b+c ）多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为0的特点。 2. 有理数的减法知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a －b=a+（-b ）。注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如a －b 中的减号也可看成负号，看作a 与b 的相反数的和：a+（-b ）；一个数减去0，仍得这个数；0减去一个数，应得这个

有理数及其运算口诀

1、立体图形立体图形分三类，柱体锥体和球体，柱的上下一样粗，大小形状相同的。锥的底面是唯一，一头粗来一头细。柱体锥体真奇怪，根矩底面命名的。球体大家都认识，这里不用说别的。 2、正方体展开图中间四个一连串，上下各一随便放；二三紧连错一个，三一相连一随便；两两相连各错一，三个两排一对齐。 3、不能围城正方体的展开图：田不能，凹不能，五连六连都不能，7的形状也不能。 4、有理数加法常用技巧多数相加要记住，先看有无相反数，正加正来，负加负；再看能否凑整数；易通分的放一处，两数结合添括弧。 5、有理数加减法混合运算统成加法第一步；加号、括号都省去；再看是否有规律；运用法则值求出。 6、倒数：两数乘积等于1，互为倒数要牢记；母子颠倒练倒立，没有倒数0自己。 7、乘除混合运算口诀：乘除混合看负号，奇负偶正积牢靠；小数化分带化假，除法变乘约分掉。 8、乘法分配律：a（b+c）=ab+ac 口诀：分配公平最关键，如果漏乘就完蛋；乘以正数看加减，乘以负数“和”运算。乘法分配逆运算，相同因数仔细看；无中生有是难点，提出因数像亮剑。

9、乘方运算的符号法则正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数；奇次幂是负数； 0的任何次幂都是0. 10、规律：1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1；-1的奇次幂是-1；一个数的偶次幂是非负数。即02 n a 11、10的几次幂，一后面就有几个零。互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数。 12、乘方：乘方运算先看底，指数管底没问题；管谁给谁添括号，否则只能管脚底。 13、科学记数法科学记数很容易，a ×10的n 次幂；a ，n 取值要牢记；a 大于1小于10； n 的取值更好记，整数位数减去1。米毫微纳千倍差，一亿10的指数8。 14、近似数四舍五入到哪位，就说精确带哪位；要看精确到哪位，还成原数看末位；要求精确的范围，海阔天空退一位。 15、有理数的混合运算混合运算不用慌，加减分段帮你忙。有括号的先括号，有乘方的先乘方；乘除混合排头算，除法分配太荒唐。 16、“加号”“减号”分段法先把算式念一遍，夹子剪刀来分段；各段运算同时间，加减放在最后算。 17、代入法口诀挖去字母换上数，分数、负数带括弧。

初一数学培优专题讲义一有理数及其运算(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑初一数学培优专题讲义一有理数及其运算一、有理数的基本概念梳理与强化：（一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______；若|x |=|－4|，则x =____；若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算：（1） = ；（2） = ；（3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是；a+b 的相反数是；a-b 的相反数是；-a+b-c 的相反数是；变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）（a ＞0） |a| = （a ＝0 ）（a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a

（1）若|a|＝0，则a ；（2）若|a|＝a ，则a ；（3）若|a|＝—a ，则a ；（4），则______||=a a ；（5）0