北师大数学7下第一章1幂的运算知识讲解及其试题
幂的运算（基础）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
+?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即m
n
p
m n p
a a a a
++??=（,,m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数
与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则 ()=m n
mn
a a
(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p
mnp
a a
(0≠a ，,,m n p 均为正整数)
（2）逆用公式： ()()n
m
mn
m n a
a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘
方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：()=??n
n
n
n
abc a b c (n 为正整数).
（2）逆用公式：()n n n
a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其
是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010
101122 1.22????
?=?= ? ?????
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
（1）2
3
4
444??；（2）3
4
5
2
6
22a a a a a a ?+?-?； （3）1
1211()()()()()n
n m n m x y x y x y x y x y +-+-+?+?+++?+．
【答案与解析】
解：（1）原式234944++==． （2）原式34526177772222a
a a a a a a +++=+-=+-=．
（3）原式11
211222()
()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：
（1）5
3
2
3(3)(3)?-?-； （2）221()
()p
p
p x x x +?-?-（p 为正整数）；
（3）232(2)(2)n
?-?-（n 为正整数）． 【答案】
解：（1）原式5
3
2
5
3
2
532
103(3)333333++=?-?=-??=-=-．
（2）原式22122151()p
p
p p p p p x x x x x +++++=??-=-=-． （3）原式525216222(2)22n
n n +++=??-=-=-．
2、已知22
20x +=，求2x 的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=? 【答案与解析】 解：由2
2
20x +=得22220x ?=．
∴ 25x
=．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n
m n a
a a +=?．
类型二、幂的乘方法则
3、计算：
（1）2
()m a ；（2）34
[()]m -；（3）32
()m a
-．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【答案与解析】
解：（1）2
()m a 2m
a =．
（2）34
[()]m -1212
()m m =-=．
（3）32
()m a
-2(3)62m m a a --==．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
4、（湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +
2y 的值．
【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案． 【答案与解析】
解：∵a x =3，a y =2， ∴a x +
2y =a x ×a 2y =3×22=12．
【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：
【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b
x +的值．
【答案】 解：32323
232()()238972a b
a
b a b x
x x x x +===?=?=．
【变式2】已知84=m
，85=n
，求328+m n
的值．
【答案】 解：因为3338
(8)464===m
m , 2228(8)525===n n .
所以32328
8864251600+=?=?=m n
m n .
类型三、积的乘方法则
5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）2
2
()ab ab =； （2）3
33
(4)64ab a b =； （3）32
6
(3)9x x -=-． 【答案与解析】
解：（1）错，这是积的乘方，应为：2
22
()ab a b =． （2）对．
（3）错，系数应为9，应为：32
6
(3)9x x -=．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：
【变式】（铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555． 【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×
]=﹣64．
【巩固练习】 一.选择题
1.（杭州模拟）计算的x 3×x 2结果是（ ） A ．x 6 B ．6x
C ． x 5
D ．5x
2．2
n
n a a
+?的值是( )． A. 3
n a
+
B. ()
2n n a
+
C. 22
n a
+
D. 8
a
3．（淮安）下列运算正确的是（ ） A ．a 2?a 3=a 6 B ．（ab ）2=a 2b 2
C ．（a 2）3=a 5
D ．a 2+a 2=a 4
4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).
A. 100×2
10＝3
10 B. 1000×10
10＝30
10 C. 100×3
10＝5
10 D. 100×1000＝4
10 5．下列计算正确的是( )． A.()3
3
xy xy =
B.(
)
2
22455xy
x y -=- C.(
)
2
24
39x
x -=-
D.(
)
3
23628xy
x y -=-
6．若(
)
3
91528m n a b
a b =成立，则( )．
A. m ＝6，n ＝12
B. m ＝3，n ＝12
C. m ＝3，n ＝5
D. m ＝6，n ＝5
二.填空题
7.（大庆）若a m =2，a n =8，则a m+n = ． 8. 若()
319x
a
a a ?=，则x ＝_______． 9. 已知35n
a
=，那么6n a =______．
10．若3
8
m
a a a ?=，则m ＝______；若31
3
81x +=，则x ＝______．
11. ()3
22??-=??______； ()3
3n ??-=??
______； ()5
2
3-＝______．
12.若n 是正整数，且210n
a =，则3222()8()n n a a --＝__________.
三.解答题
13.（莱芜校级期中）计算：（﹣x ）3?x 2n ﹣
1+x 2n ?（﹣x ）2．
14.（1） 38
43
()()x x x ?-?-； （2）233322
1()()3
a b a b -+-；
（3）3
5
10(0.310)(0.410)-?-???； （4）()
()
3
5
22b a a b --；
（5）()()2
3
63353a a a -+-?；
15. （1）若33
35n
n x x
x +?=，求n 的值．
（2）若(
)
3
915n m
a b b a b ??=，求m 、n 的值．
一.选择题 1. 【答案】C ；
【解析】解：原式=x 3+2=x 5，故选C ． 2. 【答案】C ； 【解析】2
222n n n n n a a a a ++++?==.
3. 【答案】B ；
【解析】解：A 、a 2?a 3=a 2+
3=a 5，故本选项错误；
B 、（ab ）2=a 2b 2，故本选项正确；
C 、（a 2）3=a 2×
3=a 6，故本选项错误；
D 、a 2+a 2=2a 2，故本选项错误．故选B ．
4. 【答案】C ；
【解析】100×2
10＝4
10；1000×10
10＝13
10；100×1000＝5
10. 5. 【答案】D ；
【解析】()3
3
3
xy x y =；(
)2
22
4
525xy
x y -=；()
2
2439x
x -=.
6. 【答案】C ； 【解析】(
)
3
33915288,39,315m n m n a b a b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.
二.填空题 7. 【答案】16；
【解析】解：∵a m =2，a n =8，∴a m+n =a m ?a n =16，故答案为：16. 8. 【答案】6； 【解析】31
19,3119,6x a
a x x +=+==.
9. 【答案】25； 【解析】()2
632525n
n a
a ===.
10.【答案】5；1； 【解析】3
38,38,5m
m
a a a
a m m +?==+==；3143813,314,1x x x +==+==.
11.【答案】64；9
n -；10
3-；
【解析】()()
3
2
322222()8()81000800200n n
n n a a a
a
--=-=-=.
三.解答题 13.【解析】
解：（﹣x ）3?x 2n ﹣
1+x 2n ?（﹣x ）2
=﹣x 2n+2+x 2n+2 =0． 14.【解析】
解：（1）38
43
24
12
37()()x x x x x x x ?-?-=-??=-；
（2）233322
69
641
1()()3
27
a b a b a b a b -+-=-
+； （3）3
5
3
5
8
10(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-?-???=????=?； （4）()()
()()()3
5
358
22222b a a b a b a b a b --=---=--；
（5）(
)()
2
3
6331293125325272a a a a a a a -+-?=-?=-.
15.【解析】 解：（1）∵33
35n
n x x x +?=
∴ 43
35n x
x +=
∴4n ＋3＝35 ∴n ＝8 （2）m ＝4，n ＝3 解：∵(
)
3
915n m
a b b a b ??=
∴ 333333915n
m
n m a b
b a b a b +??=?=
∴3n ＝9且3m ＋3＝15 ∴n ＝3且m ＝4
幂的运算（提高）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 3. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
+?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即m
n
p
m n p
a a a a
++??=（,,m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数
与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则 ()=m n
mn
a a
(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p
mnp
a a
(0≠a ，,,m n p 均为正整数)
（2）逆用公式： ()()n
m
mn
m n a
a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘
方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：()=??n
n
n
n
abc a b c (n 为正整数).
（2）逆用公式：()n n n
a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其
是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010
101122 1.22????
?=?= ? ?????
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
(1)3
5
(2)(2)(2)b b b +?+?+； (2)2
3
(2)(2)x y y x -?- ． 【答案与解析】
解：（1）3
5
351
9(2)(2)(2)(2)
(2)b b b b b +++?+?+=+=+．
（2）2
3
2
3
5
(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -?-=-?--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
()()(),n n n a n a a n ??-=?-??为偶数,为奇数 ()()()()()
n
n
n
b a n a b b a n ?-?-=?--??为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则 2、计算：
（1）23
[()]a b --； （2）32
23
5()()2y y y
y +-；
（3）224
12()()m m x
x -+?； （4）3234()()x x ?．
【答案与解析】
解：（1）23
[()]a b --23
6()
()a b a b ?=--=--．
（2）32
23
5
()()2y y y y +-?6
6
6
6
6
2220y y y y y =+-=-=． （3）22412()()m m x
x -+?4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=?=?=．
（4）32
34
()()x x ?6
12
18x x
x =?=．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．
3、（南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣
9，求x+2y 的值．
【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解． 【答案与解析】 解：根据2x =23
（y+2）
，32y =3x ﹣
9，
列方程得：，
解得：，
则x+2y=11．
【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三： 【变式】已知322,3m
m
a
b
==，则()()()
3
6
322
m
m m m a
b a b b +-?＝ ．
【答案】－5；
提示：原式()
()()()2
3
2
2
3232m m m m a
b a b =+-?
∵
∴ 原式＝23222323+-?＝－5.
类型三、积的乘方法则
4、计算：
（1）24
(2)xy - （2）2
4333
[()]a a b -?-
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】
解：（1）24
4
4
24
4
8
(2)(1)2()16xy x y x y -=-???=-．
（2）2
4333
[()]a a b -?-23
1293
6
36
27
4227()()()a a b a a b
a b =-?-=-?-?=．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：
【变式1】下列等式正确的个数是( )．
①(
)
3
2
36926x y
x y -=- ②()3
26m m a a -= ③()3
6933a a =
④()()
57355107103510???=? ⑤()
()
100
100
1010.520.522-?=-??
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 【答案】A ；
提示：只有⑤正确；(
)
3
2
36928x y
x y -=-；()3
26m m a a -=-；()3
618327a a =；
()()5
7
12
135107103510
3.510???=?=?
【变式2】（泗阳县校级月考）计算： （1）a 4?（3a 3）2＋（﹣4a 5）2 （2）（2）20?（）21． 【答案】
（1）a 4?（3a 3）2＋（﹣4a 5）2
=a 4?9a 6＋16a 10 =9a 10＋16a 10 =25a 10；
（2）（2）20?（）21．
=（×）20? =1× =．
5、（济源校级期中）已知x 2m =2，求（2x 3m ）2﹣（3x m ）2的值．
【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果． 【答案与解析】解：原式=4x 6m ﹣9x 2m
=4（x 2m ）3﹣9x 2m =4×23﹣9×2 =14．
【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．
【巩固练习】 一.选择题
1．下列计算正确的是( )． A. ()
3
25x
x = B.()5
315x x =
C. 4
5
20
x x x ?= D.(
)
2
36x x --=
2．()()2
5
52a
a -+-的结果是( )．
A.0
B.7
2a - C.10
2a D. 10
2a - 3．下列算式计算正确的是( )． A.()
3
3336a
a a +== B.()22n
n x x -=
C.(
)()
3
6
26
y y y -=-= D.()3
3
333327c c c ????==????
4．31
n x
+可以写成( )．
A.()
1
3n x
+ B.()
31
n x
+ C.3n
x x ? D.()
21
n n x
+
5．下列计算中，错误的个数是( )． ①()2
3636x
x = ②()2551010525a b a b -=- ③3328
()327
x x -=-
④(
)
4
2
367381x y
x y = ⑤235x x x ?=
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个 6．（盐城）计算（﹣x 2y ）2的结果是（ ） A ．x 4y 2 B ．﹣x 4y 2
C ．x 2y 2
D ．﹣x 2y 2
二.填空题
7．化简：(1)33331)31(b a ab +-＝_______；(2)()
()3
2
2
223a
a a +?＝_______．
8.直接写出结果：
(1)()_____n ＝233n n n
a b ； (2)10
11
x y ＝()5
_____y ?；
(3)若2,3n n
a b ==，则6n
＝______．
9.（靖江市期末）已知2m +5n +3=0，则4m ×32n 的值为 ． 10.若23,25,290a
b
c
===，用a ，b 表示c 可以表示为 ． 11.（杭州模拟）已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是 ．
12.若整数a 、b 、c 满足50189827258a
b
c
??
????
??= ?
? ???
??
??
，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．
三.解答题
13.若2530x y +-=，求432x y
?的值．
14.（吉州区期末）已知a x =﹣2，a y =3．求： （1）a x+y 的值；（2）a 3x 的值；（3）a 3x+2y 的值．
15. 已知200080,200025==y
x
，则=+y
x 1
1 .
【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B ； 【解析】()3
26x
x =；459x x x ?=；()2
36x x --=-.
2. 【答案】A ； 【解析】(
)()
2
5
5210100a a a a -+-=-=.
3. 【答案】D ； 【解析】()
3
333
9
a
a
a ?==；()
222()()
n n
n x n x
x
n ??-=?-??为偶数为奇数；(
)
3
26y
y -=-.
4. 【答案】C ； 【解析】()
1
333n n x
x ++=；()
31
4n n x x +=；()
2
21
2n n n
n
x x ++=.
5. 【答案】B ； 【解析】①②④错误.
6. 【答案】D ；
【解析】解：∵a?a 3=a 4，∴选项A 不正确；
∵a 4+a 3≠a 2，∴选项B 不正确； ∵（a 2）5=a 10，∴选项C 不正确； ∵（﹣ab ）2=a 2b 2，∴选项D 正确． 故选：D ．
二.填空题
7. 【答案】33
827a b ；628a ； 【解析】3
3333333311198()33272727
ab a b a b a b a b -+=-+=；
()()
3
2
22266632728a
a a a a a +?=+=.
8. 【答案】23
3a b ；2
2
x y ；ab ；
【解析】（3）()62323n
n
n
n
ab =?=?=.
9. 【答案】；
【解析】4m ×32n =22m ×25n =22m +
5n ，∵2m +5n +3=0，∴2m +5n=﹣3，∴4m ×32n =2﹣
3=．
10.【答案】21c a b =++； 【解析】
()2
221903252222221c a b a b c a b ++=??=??==++∴∴
11.【答案】b ＞c ＞a ＞d ；
【解析】解：a=255=3211，b=8111，c=6411，d=2511，
∵81＞64＞32＞25， ∴b ＞c ＞a ＞d ． 故答案为：b ＞c ＞a ＞d ．
12.【答案】a ＝6，b ＝6，c ＝3；
【解析】22232232233235018925233
235227258352a
b
c
a a
b b c
a b c b c a a b a b c +-+--??????????=??=??= ?
? ???
??
??
336
223062203a b c a b c a b a b c +-==????
+-==????-==??
∴∴.
三.解答题 13.【解析】 解：()
()2525254322
2222x
y
x
y
x y x y +?=?=?=
∵2530x y +-=， ∴253x y += ∴原式＝3
28=. 14.【解析】
解：（1）a x+y =a x ?b y =﹣2×3=﹣6；
（2）a 3x =（a x ）3=（﹣2）3=﹣8；
（3）a 3x+2y =（a 3x ）?（a 2y ）
=（a x ）3?（a y ）2 =（﹣2）3?32
=﹣8×9 =﹣72．
15.【解析】
解：∵252000,802000,
20002580x
y
===?
∴()
()25
25200025802580252000y
y
x xy y y y y ===?=?=?；
252525200025x y
x y
y +?==?
∴25
25xy
x y +=；
∴xy x y =+，111x y
x y xy
++==