弹塑性力学总复习

《弹塑性力学》课程

第一篇 基础理论部分

第一章 应力状态理论

1.1 基本概念

1． 应力的概念

应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力s

P

F s ??=→?

0lim ν

由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力ν

σ和微分面上的剪应力ντ。

注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。

2． 一点的应力状态

（1）一点的应力状态概念

凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。

（2）应力张量

物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为

?????

?

?

?=z zy zx yz y

yx xz xy x ij στττστττσσ

若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面ν上的应力矢量p

就可以由以下公式求出：

n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=

（1-1’b ）

n m l p z zy zx z σττν++=

（1-1’c ）

由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力p 、正应力νσ和剪应力v τ： 2

22z y x p p p p ++=

（1-2a ）

nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=

（1-2b ）

22ννστ-=p

（1-2c ）

（3）主平面、主方向与主应力

由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。

主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：

}{}]{[i n i ij n n σσ=

（1-3）

式中，][ij σ为该点应力张量分量构成的矩阵，n σ为主应力，}{i n 为主方向矢量。 由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）必定存在实数的特征值，即主应力n σ必然存在。求解主应力n σ的特征方程如下：

032213=---I I I n n n σσσ

（1-4a ）

式中，I 1、I 2和I 3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且，

3211σσσσσσ++=++=z y x I

（1-4b ）

)

(1332212

222σσσσσστττσσσσσσσττσσττσσττσ++-=+++---=-

--

=zx yz xy x z z y y x x

zx zx

z z yz yz y y xy xy x I （1-4c ）

3213σσσστττστττσ==z

zy zx yz y yx xz

xy x I

（1-4d ）

应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。 （5）最大剪应力

在与主方向成450角的微分面内，剪应力取极值。若规定321σσσ≥≥，则最大剪应力出现在过2σ主应力轴而平分1σ和3σ轴的微分面上，并且

2

3

1max σστ-=

（1-5）

（6）应力球量与应力偏量——应力张量的分解

ij ij s +=σσ

（1-6）

式中，???

??

?

?=m m

m

σσσσ0

000

00

和?????

? ??---=m z zy zx yz m y yx xz xy m x ij s σστττσστττσσ分别称为应力球量和

应力偏量，并且 3/)(3/1z y x m I σσσσ++==。

对应力偏量，可以类似于应力张量那样，得到其主值及其三个不变量： 032213=---J s J s J s n n n

（1-7a ）

033211=-++=++=++=m z y x z y x s s s s s s J σσσσ

（1-7b ）

)](6)()()[(])()()[(2/)()(2222226

12132322211332211332212222zx yz xy x z z y y x zx

yz xy x z z y y x s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s J τττσσσσσσσσσσσσ+++-+-+-=-+-+-=++=++-=+++---= （1-7c ）

3213s s s J m

z zy zx yz m y yx xz xy m x =---=σστττσστττσσ

（1-7d ）

（7）八面体上正应力和剪应力

3/)(8z y x σσσσ++= （1-8a ）

2

32

2

222223

18)]

(6)()()[(J zx yz xy x z z y y x =

+++-+-+-=

τττσσσσσστ （1-8b ）

1.2 静力平衡方程

0=+??+??+??X z

y x xz yx x ττσ （1-9a ）

0=+??+

??+

??Y z

y

x

yz y yx τστ （1-9b ）

0=+??+??+??Z z

y x z

zy zx σττ （1-9c ）

1.3 静力边界条件 三类边界：位移边界、应力边界和混合边界。尤其应注意应力边界条件的表示形式：

X n m l xz xy x =++ττσ （1-10a ）

Y n m l yz y xy =++τστ （1-10b ）

Z n m l z zy zx =++σττ

（1-10c ）

第二章 应变状态理论

2.1 基本概念

1．位移、变形与应变

位移：物体内各点位置的变化。变形：刚体位移+形状的改变。描述物体内微元体形状改变的物理量，称为应变。

应变分为两种不同的定义：正应变和剪应变。正应变用于描述微分平行六面体棱边的相对伸长量，剪应变用于描述棱边间夹角的变化。

2．一点的应变状态 （1）应变张量

与一点的应力状态概念类似，为了描绘一点的应变状态，需要引进应变张量的概念。在直角坐标系里，应变张量可表示为

??

??

?

?

?

?=z zy zx yz y yx

xz xy x ij εεεεεεεεεε

（2）应变主方向、主应变与应变张量的不变量

对物体内任一点，至少都可以找到3个相互垂直的方向，沿这些方向的微分线段在物体变形后仍相互保持垂直，具有这种性质的方向称为应变主方向，把这样方向的微分线段的正应变，称为主应变。

与求解主应力、主方向一样，主应变、应变主方向的求解在数学上也归结为求解一个特征问题：

}{}]{[i n i ij n n εε=

（2-1）

求解主应变n ε的特征方程如下：

0'3'22'13=---I I I n n n εεε

（2-2a ）

式中，'1I 、'2I 和'3I 分别称为应变张量的第一、第二和第三不变量。并且，

321'

1εεεεεε++=++=z y x I

（2-2b ）

)

(1332212

22'2

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε++-=+++---=---=zx yz xy x z z y y x x

zx zx z z yz yz y y xy xy x I （2-2c ）

321'3εεεεεεεεεεεε==z

zy zx yz y yx xz xy x I

（2-2d ）

（4）应变球量与应变偏量——应变张量的分解

ij ij e +=εε

（2-3）

（5）体积应变θ

'1

I z y x =++=εεεθ （2-4）

2.2 几何方程（Cauchy 方程） x u x ??=

ε，y v y ??=ε，z w

z ??=ε x v y u xy ??+??=

γ，y w z v yz ??+??=γ，x

w

z u zx ??+??=γ （2-5）

应注意工程剪应变ij γ与应变张量分量ij ε之间的区别：ij ij εγ2=

2.3 应变协调方程（Saint Venant 方程）——保证物体连续性的必要条件 y

x x

y

xy y x ???=

??+

??γεε22

22

2 （2-6a ）

z

y z z yz z y ???=??+

??γεε22222 （2-6b ）

x z z

x zx x

z

???=??+??γεε22222 （2-6c ）

z

y z y x x x xy zx yz ???=??+??+??-??εγγγ22)( （2-6d ）

x z x z y y y yz xy zx ???=??+??+??-??εγγγ22)( （2-6e ）

y

x y x z z z zx yz xy ???=??+??+??-??εγγγ22)( （2-6f ）

第三章 本构方程

3.1 基本概念

1．线弹性体的广义Hooke 定律

ij ijkl ij c εσ=

（3-1）

2．弹性应变能的概念

由于弹性体的变形而储存在物体内部的势能称为弹性应变能。单位体积的弹性应变能称为应变能密度，用0u 表示。

对弹性体，应变能密度函数可表示为以下的一般形式：

ij ij ij d u ij

εσεε?=00)(

（3-2a ）

对线弹性体，应变能密度函数的形式如下：

zx zx yz yz xy xy z z y y x x ij ij ij u γτγτγτεσεσεσεσε+++++==)(2

1

21)(0

（3-2b ）

3．几种常见的弹性体的基本概念 （1） 各向异性弹性体

（2） 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 （3） 正交各向异性弹性体 （4） 横贯各向同性弹性体 （5） 各向同性弹性体

以上各种弹性体的概念，应注意结合实际工程背景去理解。 4．各向同性弹性体的本构方程 （1）用应力表示应变的形式 )]([1

z y x x E

σσνσε+-=

)]([1

z x y y E

σσνσε+-= （3-3a ）

)]([1

y x z z E

σσνσε+-=

G

xy

xy τγ=

，G

yz

yz τγ=

，G

zx

zx τγ=

，剪切模量)

1(2ν+=

E

G 。

（2）用应变表示应力的形式 )(2z y x x x εεελμεσ+++= )(2z y x y y εεελμεσ+++=

（3-3b ）

)(2z y x z z εεελμεσ+++=

xy xy μγτ=，yz yz μγτ=，zx zx μγτ=

式中，λ、μ称为拉梅常数，而且)21)(1(νννλ-+=

E ，)

1(2νμ+==E

G 。

5．体变能与畸变能的概念——弹性应变能的分解

体变能 →应力球量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，体变能ov u 可表示为2

1181I K

u ov =

，)21(3ν-=

E K 为体积模量。 畸变能 →应力偏量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，畸变能od u 可

表示为282214321τG

J G e s u ij

ij od === 6．屈服、屈服条件、屈服函数、屈服面与加载条件、加载函数和加载面的概念

屈服：首次由弹性变形状态进入塑性变形状态的界限。屈服概念可以从低碳钢试件的拉伸试验去理解。

屈服条件一般是指物体内任一点首次由弹性变形状态进入塑性变形状态，该点的应

力状态所满足的条件。它是判断材料受力到什么程度才开始出现塑性变形的准则。 若把屈服条件用数学函数形式表示，则相应的函数即称为屈服函数，屈服函数在应力空间中对应的曲面，称为屈服曲面。

加载条件、加载函数和加载面都是对应于物体发生屈服之后的“屈服”概念——后继屈服概念。

7．几种常见的弹塑性体模型

（1） 理想弹塑性模型 （2） 理想刚塑性模型 （3） 弹塑性线性强化模型 （4） 刚塑性线性强化模型 （5） 幂次强化模型 8．塑性理论的基本假设 9．Druck 公设与加卸载准则 （1）强化模型

0)(??ij ij

d f

σσ 加载 （3-4b ） 0)(=ij f σ，0

d f

σσ 卸载 （3-4c ）

0)(=ij f σ，

0=??ij ij

d f

σσ 中性变载 （3-4d ）

（2）理想弹塑性模型 0)(

d f

σσ 加载 （3-5b ）

0)(=ij f σ，

0

d f

σσ 卸载 （3-5c ）

10．主应力空间中的屈服面形状 11．常用的几个屈服条件

（1）Tresca 屈服条件：一般形式为s s τστ==2

1

m ax 。

在主应力大小已知情况下，Tresca 屈服条件应用起来最为简便。即若假设

321σσσ≥≥，则有2

3

1m ax σστ-=

，此时Tresca 屈服条件可改写为s σσσ=-31或

s τσσ=-2

3

1。

（2）Mises 屈服条件：一般形式为223

1

s J σ=或22s J τ=。

（3）Coulomb —Mohr 屈服条件 12．Mises 的塑性位势理论 13．简单加载定理 3.2 弹塑性本构方程 1．增量形式 ij ij ij s d ds G

de λ+=

21

（3-6）

2．全量形式

ij i i p ij

s σεε23= （3-7a ）

ij i

i

ij s e σε23=

（3-7b ）

第四章 弹塑性力学问题的提法和基本解法

4.1 弹塑性力学问题所满足的三个基本关系

1． 平衡关系——参见式（1.9）

2． 几何关系——参见式（2.5）和式（2.6） 3． 本构（物理）关系——参见式（3.3）、式（3-6）和式（3.7）

任何一个弹塑性力学问题都要同时满足以上三个基本关系，这三个基本关系和边界条件构成了弹塑性力学问题的严格完整的提法。从弹塑性力学问题对应的数学问题看，这是一组偏微分方程组+边值条件的数学问题。因此，一个弹塑性力学问题的求解，就归结为求解一组偏微分方程组的边值问题。

4.2 弹塑性力学问题的基本解法

通常求解一个弹性力学问题，是要确定15个基本的未知量，它们分别为：6个应力分量和6个应变分量，以及3个位移分量。求解塑性力学问题，通常也要确定这15个基本的未知量，但由于材料进入塑性状态后的非线性性，加上所服从的加载和卸载规律不一样，所以求解过程远较弹性力学问题复杂，往往需要采用数值解法。以下仅介绍一般的求解策略。

1． 位移解法

（1） 基本思想

以3个位移分量作为基本未知量，并首先求出；在求出3个位移分量后，由几何方程确定6个应变分量，再利用本构方程确定6个应力分量。

（2） 定解方程及边界条件

位移解法的定解方程为以位移分量表示的平衡方程（L-N 方程），边界条件应表述为位移分量表示的形式。

2． 应力解法

（1）基本思想

以6个应力分量作为基本未知量，并首先求出；在求出6个应力分量后，由本构方程

确定6个应变分量，再利用几何方程确定3个位移分量。

（3） 定解方程及边界条件

应力解法的定解方程为静力平衡方程 + 以应力分量表示的协调方程（B-M 方程），边界条件应表述为应力分量表示的形式。

3． 混合解法

以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，并首先求出；然后利用几何方程和本构方程确定其它未知量的方法。

4． 逆解法和半逆解法

第二篇 应用部分

第五章 简单弹塑性平面问题

5.1 两类平面问题

1．平面应力问题和平面应变问题的概念 2．平面问题的基本方程

5.2 平面问题的应力函数解法

无体力或常体力情况下，平面问题采用应力解法时，其定解方程为

（1）平衡方程：0=+??+

??X y

x

yx x τσ

0=+??+

??Y y

x

y yx στ

+ （2）B-M 方程：0)(2=+?y x σσ

若设Airy 应力函数?满足：x X y x ?-??=22?σ，y Y x

y ?-??=22?

σ，y x xy ???-=?τ2，则平

衡方程自动恒满足，协调方程（B-M 方程）化为022=???。可见，平面问题采用应力函数解法时，仅有一个基本未知量?，相应的定解方程为022=???。

5.3 梁的弹塑性平面弯曲问题的解

5.4 厚壁圆桶问题的解——轴对称问题的位移解法

5.5 半无限平面问题及圆孔应力集中问题的解——在极坐标系里求解

第六章 柱体扭转问题

6.1 柱体扭转问题的基本假设 6.2 柱体扭转问题的应力函数解法 6.3 解决柱体扭转问题的比拟方法

1．薄膜比拟法——仅适用于柱体的弹性扭转问题，尤其注意它在薄壁杆件扭转问题中的应用。

2．沙堆比拟法——仅适用于受扭柱体整个截面都进入塑性的情况。

3．薄膜—玻璃屋顶比拟法——适用于柱体的弹塑性扭转问题。

第七章 薄板小挠度弯曲问题

7.1 基本概念与基本假设

7.2 薄板小挠度弯曲问题的位移解法

7.3 薄板小挠度弯曲问题的经典解法——级数解法

第三篇 能量原理及其应用

第八章 基本的能量原理

8.1 真实状态与可能状态

8.2 弹性体的应变能与应变余能

1．总应变能的表达式

线弹性体的应变能密度函数0u 的表达式：

zx zx yz yz xy xy z z y y x x ij ij ij u γτγτγτεσεσεσεσε+++++==)(2

1

21)(0

总应变能dV U zx V zx yz yz xy xy z z y y x x ])(2

1

[γτγτγτεσεσεσ?+++++=

直杆在拉伸、弯曲情况下以及圆杆扭转的应变能表达式为：

????

? ????==l l dx x u EA EA dx x N U 02

0221)(21拉伸

?????

?

??==l l dx dx w d EI EI dx x M U 02

220221)(21弯曲

????

? ??==l p l p t dx dx d GI GI dx M U 02

02

2121?扭转

2．总应变余能的表达式

对线弹性体，应变余能U ≡应变能U 。

8.3 基于位移可能状态的能量原理——虚位移原理和最小势能原理 8.4 基于应力可能状态的能量原理——虚应力原理和最小余能原理

第九章 能量原理的应用

9.1 李兹（Ritz ）法

1．基于最小势能原理的李兹解法 2．基于最小余能原理的李兹解法

9.2 迦辽金法

1．基于最小势能原理的迦辽金解法 2．基于最小余能原理的迦辽金解法

《弹塑性力学》复习提纲

1. 弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？

研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状结构则在弹性力学里研究

研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。

2. 弹性力学有哪些基本假设？

（1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的

3. 弹性力学有哪几组基本方程？试写出这些方程。

(1)平面问题的平衡微分方程:

平面问题的几何方程：

平面应力问题的物理方程：

(在平面应力问题中的物理方程中将E换为，换为就得到平面应变问题的物理方程)

(2)空间问题的平衡微分方程;

空间问题的几何方程;

空间问题的物理方程：

4. 按照应力求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？

(1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。

(2)应力法是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。

5. 掌握以下概念：应力边界条件和位移边界条件；圣文南原理；平面应力与平面应变；逆解法与半逆解法。

位移边界条件：若在部分边界上给定了约束位移分量和,则对于此边界上的每一点，位移函数u和v和应满足条件=，=（在上）应力边界条件：若在部分边界上给定了面力分量(s)和(s),则可以由边界上任

一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。

圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向无

变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：=0 ,=0,=0,注意到剪应力互等关

系，可知=0,=0,这样只剩下平行于xy面的三个应力分量，即，

，它们是x和y的函数，不随z而变化

平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，所受的荷载都垂直于z轴且沿z方向没有变化，则所有一切应力分量，变形分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束，使之在z方向无位移，则任何一个横截面在z方向都没有位移，所有变形都发生在xy面里。

逆解法：就是先设定各种形式的，满足相容方程的应

力函数的Ф，并由式求的应力分

量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。

半逆解法：就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相容方程，求出

应力函数的具体表达式；在按式)

由应力函数求的应力分量；并考察这些应力分量能负满足全部应力边界条件

6. 什么是各向同性体？横观各向同性体？正交各向异性体？极端各向异性体？他们各有多少弹性常数？

各向同性体：假定物体是各向同性的，既物体的弹性在所有各个方向都相同。

7. 什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？应力函数与应力分量间的关系？如何求解双谐方程？

称为平面问题的应力函数。

是用应力函数表示的相容方程。

8. 由直角坐标下的多项式解可以获得哪些有意义的弹性力学解？如何计算应力、应变和位移？

9. 由弹性力学所获得的受集中荷载的悬臂梁、受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解答，与材料力学所得到的解答有哪些共同之处和哪些不同之处？由此可以说明哪些问题？

在弯应力的表达式中，第一项是主要项，和材料力学的解答相同，第二项则是弹

性力学提出的修正项，对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计，对于较深的梁，则必须注意修正项。

弹性力学和材料力学解答的差别，是由于各自的解法不同。简而言之，弹性力学的解答是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程，物理方程，以及在边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是较精确的。而在材料力学的解法中，没严格考虑上述条件，因而得出的解答时近似的。一般来说，材料力学的解法只适用解决杆状构件的问题，这时他它的解答具有足够的精度，对于非杆状构件的问题，不能用材料力学的解法来求解，只能用弹性力学的解法来求解。

9. 如何推导出极坐标下弹性力学的基本方程？极坐标下弹性力学的基本方程与直角坐标下的方程有哪些区别？

只需将角码x和y分别换成为。区别：在直角坐标系中，xy都是直线，有固定的方向，xy坐标的量纲都是L，在极坐标中在不同的点有不同的方向，坐标线是

直线，量纲是L，是圆弧曲线，坐标为量纲一的量，这些都引起弹性力学基本方程的

差异。

10. 极坐标下弹性力学基本方程的通解可以解答哪些问题？受均布压力的圆环、带圆孔的无限大板、半平面体在边界上受集中力、对径受压的圆盘，以及布辛捏斯克解，是如何获得的？这些解答可以解决哪些工程问题？

11. 什么是解析函数？复变函数的积分与实函数的积分有哪些共同之处和哪些不同之处？泰勒级数与罗伦级数有哪些共同之处和哪些不同之处？什么是保角映射？什么条件下一个映射是保角映射？

若函数在点的某个领域内可导，则称它在点解析。

复积分的基本思想是在一元实函数积分中，把实函数换成复函数，把实轴上的积分区间换成复平面内逐段光滑的有向曲线，偏得到复函数积分

凡在某区域内处处具有保角性和伸缩率不变形的映射都称为第一类保角映射

对于相交于的任意两条有向曲线，其夹角大小和方向经过映射后

都保持不变，这时，称映射在点具有保角性。

12. 如何使用复变函数来表示应力函数、应力和位移？如何使用复变函数来求解弹性力学问题？

13. 如何获得带圆孔和带椭圆孔无限大板的解答？它们的映射函数各是什么？通过哪些步骤求解？带矩形孔口的问题如何获得解答？

14. 空间（3维）问题弹性力学的基本方程与平面（2维）问题的基本方程有哪些区别？空间问题如何求解？

15. 什么是轴对称问题？轴对称问题有哪些特点？轴对称问题弹性力学的基本方程与空间问题相比有哪些不同之处？

所谓轴对称：是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。

16. 什么塑性？塑性力学研究的内容与弹性力学有哪些不同？为什么在塑性状态下应力与应变间不再有一一对应关系？塑性力学的特点和基本假设各是什么？

塑性：是材料的一种变形性质或变形的一个阶段，材料进入塑性的特征是当荷载卸载后以后存在不可恢复的永久变形。

塑性力学研究问题可以分为两个方面：一是根据实验观察所得结果为出发点，建立塑性状态下变形的基本规律既本构关系，二是应用这些理论和关系求解具体问题，既求物体在荷载等外来因素作用下的应力和变形的分布。

塑性力学远比弹性力学来的复杂，首先塑性力学没有统一的本构方程，因为塑性变形是一个非常复杂的过程，它是随不同的材料和外界条件而改变的啊，其次是方程是非线性的啊，变形是和加载的历史有关，再此是求解问题是，在物体中弹性区和塑性区往往是共存的，需要决定这两个区域的交界面。

塑性力学的特点：（1）应力---应变关系的多值性（2）本构关系的复杂性

塑性力学的假设：（1）材料是均匀的啊，连续的。（2）各向均匀的应力状态，既静水应力状态不影响塑性变形而产生弹性的体积变化。（3）在温度不高，时间不长时，可以忽略蠕变和松弛的效应，在应变率不大的情况下，可以忽略应变率对塑性变形的影响。

17. 金属材料的应力应变曲线有哪些类型？岩石的应力应变曲线有哪些类型？这些应力应变曲线之间有哪些共同之处和哪些不同之处？根据这些应力应变曲线可以总结出哪些力学模型？

18. 什么是求和约定？求和约定有什么意义？用什么方法表示导数？如何根据求和约定来简化公式的书写？

求和约定;在同一项中，重复出现两次的字母标号为求和标号，它表示将该标号依次取为1,2,3,时所得各项取和。例如：;

求和约定的意义;因为求和标号不再是区分分量的标号，而只是一种约定求和的标志，所以不论选用哪一个字母都不会改变其含意，即求和标号可以任意变换字母都不会

改变其含意。例如：

导数表示方法：,,并用?,i表示，这里的逗号表示逗号后的字母标号所代表的变量求导。

用求和约定简化公式的书写;例如：表示一线性代数方程组

19. 什么是张量？张量是如何定义的？什么是零阶张量？一阶张量？二阶张量？

张量：在数学上，如果某些量依赖于坐标抽的选择，并在坐标变换时，其变换具有某种指定形式，则这些量的总称为张量。

零阶张量：由定义可知绝对标量（与坐标系选择无关）是零阶张量。（标量：指完全由一个正值或负值的数量所确定的物理量）

一阶张量：矢量是一阶张量，（矢量是指由三个分量所确定的物理量或几何量，它是和坐标系的选择有关，当坐标变换时，服从一定的规律）

二阶张量：设在给定的坐标系内有具有两个标注的九个分量,当坐标变换时，

它们在新坐标系内的九个分量变为,若这些量满足变换关系式

则由此九个量的集构成二阶张量。

20. 什么是Bauschinger效应？对于强化材料，正向加载屈服极限提高后再反向加载，会出现什么现象？由Bauschinger效应可以获得哪些结论？

Bauschinger效应：如果在完全卸载后施加相反方向的应力，比如由拉改为压，则曲线沿的延长线下降，即开始是成直线关系（弹性变形），但至一定程度（点）

又开始进入屈服，并有反方向应力的屈服极限降低的现象（<，这种现象称为Bauschinger效应。

结论：即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形后，就带各向异性。

21. 什么是Bridgman 试验？由Bridgman 试验可以获得哪些结论？

Bridgman 试验：Bridgman试验结果指出，弹簧钢在10000个大气压体积缩小约2.2% ，而且这种体积变化是可以恢复的（在各向均匀压缩的情况下），他又用各种钢试件作出轴向拉伸时的应力—应变曲线及轴向拉伸与静水压力同时作用下的应力_应变曲线。两者加以比较，发现各向均压对初始屈服的影响很小，可以忽略不计。

结论:在静水应力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。

22. 什么是理想弹塑性？应变硬化？应变软化？理想弹塑性、弹性-线形应变硬化和弹性-应变软化模型各可以代表哪些不同类型的材料？

理想弹塑性体：忽略硬化。

应变硬化：材料在屈服以后，必须继续增大应力才能使它产生新的塑性变形，这种现象称为应变硬化。

应变软化：应力降低，应变增加的现象称为应变软化。

23. 什么是应力张量？应力球张量？应力偏张量？主应力偏张量？把表示一点应力状态的应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，有什么意义？

应力张量：九个应力分量的整体是一个二阶张量，并写成下面的形式

=+

应力球张量：它代表的应力状态为三个主应力相等且等于的应力状态，既表

示各个方向受相同的压应力或拉应力,上式右边第一个部分。

应力偏张量：反映一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，上式右边第二部分。

，则应力偏张量可表示为：

意义：由于应力球张量主要是和单元体的体积变化有关，至于应力偏张量则主要是和单元体的形状改变有关，既主要是和物体的塑性变形有关。

24. 什么是应力张量的第一不变量？第二不变量？第三不变量？什么是应力偏张量的第一不变量？第二不变量？第三不变量？

)

则此三次方程的（）系数应与坐标

轴选择无关，所以，，是三个不变量，分别称为应力张量的第一，第二，第三不变量。

=

如果取主轴为坐标轴，上式可用主应力表示为

)=（

这里，，，就分别称为应力偏张量的第一，第二，第三不变量。

25. 什么是等倾面上的应力？八面体剪应力？应力强度？等效应力？

设已知物体内某点的主应力及主方向，通过该点作一特殊平面，使此平面的外法线N与三个主方向成相等的夹角。取主方向为坐标轴，这时从物体内取出的四面体，每个象限有一个，他们形成一个封闭的正八面体，这些面上的应力就称为八面体应力，即八

面体正应力为(

八面体剪应力为

八面体剪应力为了使用方便将它乘以，并称之为应力强度，用符号来

表示，即=

在某种意义上来说，就将原来的一个复杂应力状态化作成一个具有相同“效应”的单向应力状态，所以又称为有效应力。

26. 什么是屈服准则？为什么需要有屈服准则？金属材料常用的屈服准则有哪几个？Tresca准则和Mises准则的主要差别是什么？岩土材料常用的屈服准则有哪几个？

首先要有一个判断材料是处于弹性阶段还是已进入塑性阶段的判断式，即屈服条件（准则），应用屈服条件可以充分发挥材料的性能

金属材料常用的屈服准则：Tresca准则和Mises准则

Tresca准则和Mises准则的主要差别是：应力空间内，Tresca条件表示的屈服曲面是

一个以L为轴线的正六棱柱体，其在π平面上的投影即屈服曲面为一个正六边形，而Mises条件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱体的圆柱体，在π平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。

岩土材料常用的屈服准则：Mohr-Coulomb条件，广义Mises条件和广义Tresca条件。

27. 什么是主应力空间？什么是屈服面？金属材料和岩土材料常用屈服准则的屈服面各有什么样的几何形状？Tresca准则和Mises准则屈服面的形状有哪些差别？Koulumb准则和Druck-Prager准则屈服面的形状有哪些差别？

主应力空间：如果我们将取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空

间直角坐标系，则该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体中某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说，该空间中的一点对应于物体中某点的应力状态，我们把这个空间称为应力空间。

屈服面：屈服函数在应力空间中表示一个曲面。

Tresca准则和Mises准则屈服面的形状主要差别是：应力空间内，Tresca条件表示的屈服曲面是一个以L为轴线的正六棱柱体，其在π平面上的投影即屈服曲面为一个正六边形，而Mises条件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱体的圆柱体，在π平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。

28. 在塑性状态下区分加载与卸载有什么意义？如何区分加载与卸载？理想弹塑性材料和应变硬化材料的加载与卸载有什么差别？什么是中性变载？

（1）理想塑性材料(（）=0）的加载和卸载准则：在荷载改变的过程中，应

力点如保持在屈服面上，则,此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力

点从屈服面移动到屈服面内，则d?<0,表示状态从塑性退回到弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载。

（2）硬化材料（,K）=0）的加载和卸载准则：如果应力变化d使应力点从此时瞬时状态所处的后继屈服面向内移，则变化的结果使材料从一个塑性状态退

回到一个弹性状态，即为卸载过程。如果应力变化d使应力点沿后继屈服面变化，实验证明此过程也不产生新的塑性变形，所以参数K也不变，dK=0，此过程称为中性变载。如果应力和参数K都变化，使材料从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态，应力

点从原来的后继屈服面外移到相邻的另一个后继屈服面时即为加载。

29. 什么是后继屈服面？等向（各向同性）硬化？运动（随动）硬化？混合硬化？根据Bauschinger效应，应该采用什么硬化模型？为什么等向（各向同性）硬化更为普遍？