数理统计试题及答案

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；

2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(2

01.0=χ,则

}8{16

1

2∑=≥i i X P =________；

3、设总体),(~2

σμN X ，若μ和2

σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为

α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；

4、设n X X X ,..,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2

σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；

5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ

拒绝域是________。

1、)2

1

0(，N ； 2、0.01； 3、n

S n t )

1(2

-α； 4、2

02σσ<； 5、05.0z z -≤。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（

）。

（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211

X X X α

（D ）23

1)(31α-∑=i i X

2、设n X X X ,...,,2

1为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，21

2

)(1X X n S i n i n -=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。 （A ）

σμ）

-X n ( （B ）n S X n )(μ- （C ）σ

μ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--

3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2

)(σ=X D 存在， 21

2

)(11X X n S i n

i --=∑=, 则（ ）。

（A ）2S 是2σ的矩估计

（B ）2S 是2σ的极大似然估计

（C ）2S 是2σ的无偏估计和相合估计

（D ）2S 作为2σ的估计其优良性与分布有关

4、设总体),(~),,(~2

2

2211σμσμN Y N X 相互独立，样本容量分别为21,n n ，样本方差分别为2

221,S S ，在显著性水平α下，检验2221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为（ ）。

（A ）

)1,1(122

122

--≥n n F s s α （B ）

)1,1(122

12

122

--≥-

n n F

s s α

（C ）

)1,1(212

122

--≤n n F s s α （D ）

)1,1(212

12

122

--≤-

n n F

s s α

5、设总体),(~2σμN X ，2

σ已知，μ未知，n x x x ,,,21 是来自总体的样本观察值，已

知μ的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平05.0=α时，检验假设0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是（ ）。

（A ）不能确定 （B ）接受0H （C ）拒绝0H （D ）条件不足无法检验 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B.

三、（本题14分） 设随机变量X 的概率密度为：?????<<=其他θ

θx x x f 0,

0,

2)(2，其中未知

参数0>θ，n X X ,,1 是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。 解：(1) θθθ32

2)()(0

2

2

===??∞

+∞-x d x

x d x f x X E ，

令θ32

)?(==X X

E ，得X 23

?=θ为参数θ的矩估计量。 (2)似然函数为：),,2,1(,022),(1

212n i x x x x L i n

i i n

n

n

i i

i =<<==∏∏

==θθθθ，

， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{?21n

X X X =θ。 四、（本题14分）设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x 是样本观察值，样本方差22=s ， （1）求2

σ的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知)1(~2

2

2

χσX Y =

，求???

?

??32σX D 的置信水平为0.95的置信区间；（70.2)9(2975.0=χ，023.19)9(2

025.0=χ）

。 解：

（1）2

σ的置信水平为0.95的置信区间为???

? ??)9(18,)9(182975.02025.0χχ，即为（0.9462，6.6667）

；

（2）???? ??32σX D =22

2

2222)]1([11σχσσσ==???

? ??D X D ；

由于2322σσ=???? ??X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为?

??

? ??222,2σσ， 即为（0.3000，2.1137）。

五、（本题10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1 为取自总体X 的样本， 若已知)2(~2

21

n X U n

i i χθ

∑==

，求： （1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；

（2）某种元件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。

)585.42)32(,985.44)31((210.0205.0==χχ。

解：(1) ,1)2(2,1)2(222αχθαχθαα-=??

????????>∴-=??????

即θ的单侧置信下限为)

2(22

n X n αχθ=

；（2）706.3764585.425010162=??=θ。 六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是

否正常？（22

0.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）

解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：2

2

2

)1(σχs n -=；

拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.022

1χχ

α

=--

n =2.70或χ2

≥2025.022

)1(χχα=-n =19.023，

经计算：96.121

2.19)1(22

2

2

=?=-=

σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，

故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。

（2）检验假设101010

≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10

/10S X t -=~ )9(2

αt ；

拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210

/2.1108.10=-=

t <2.2622 ，所以接受0

H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。

综上，认为工厂生产正常。

七、（本题10分）设4321,,,X X X X 为取自总体)4,(~2μN X 的样本，对假设检验问题

5:,5:10≠=μμH H ，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若μ=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率β。 解：(1) 拒绝域为96.12

5

4

/45025.0=≥-=

-=

z x x z ; （2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当μ=6时，接受0H 的概率为

921.02608.12692.8}92.808.1{=??

?

??-Φ-???

??-Φ=<<=X P β。 八、（本题8分）设随机变量X 服从自由度为),(n m 的F 分布，(1)证明：随机变量X

1

服从 自由度为),(m n 的F 分布；(2)若n m =，且05.0}{=>αX P ，求}1

{α

>X P 的值。

证明：因为),(~n m F X ,由F 分布的定义可令n

V m

U X //=，其中)(~),(~22n V m U χχ，U 与V 相互独立，所以

),(~//1m n F m U n V X =。 当n m =时，X 与X 1服从自由度为),(n n 的F 分布，故有=>}{αX P }1

{α>X P ，

从而 95.005.01}{1}1

{1}1{}1{=-=>-=>-=<=>ααααX P X

P X P X P 。