高考数学总复习教案：3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数

(对应学生用书(文)、(理)40～41页)

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1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．

答案：四

解析：由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．

2. 角α终边过点(－1，2)，则cosα＝________．

答案：－

5 5

3. 已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．答案：1或4

4. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－3

5

5. (必修4P 15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－5

13，则sin θ＝____________，

tan θ＝____________．

答案：－1213 12

5

解析：cos θ＝

－x x 2＋36

＝－513，解得x ＝5

2

.sin θ＝

－6???

?－522

＋（－6）2

＝－1213，tan θ＝12

5

.

1. 任意角

(1) 角的概念的推广

① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角

终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k ∈Z )． (3) 弧度制

① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l

r ，l 是以角α作为圆

心角时所对圆弧的长，r 为半径．

③ 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ④ 弧长公式：l ＝|α|r ．

扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1

2|α|r 2．

2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数定义

设P(x ，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x ，它们都是以

角为自变量，以比值为函数值的函数．

(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．

3. 三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

[备课札记]

题型1 三角函数的定义

例1 α是第二象限角，P(x ，5)为其终边上一点，且cos α＝2

4

x ，求sin α的值． 解：∵ OP ＝

x 2＋5，∴ cos α＝

x

x 2

＋5

＝

2

4x.又α是第二象限角，∴ x<0，得x ＝－3， ∴ sin α＝5

x 2

＋5＝104.

变式训练

已知角α终边上一点P(－3，y)，且sin α＝2

4y ，求cos α和tan α的值． 解：r 2＝x 2＋y 2＝y 2＋3，由sin α＝y

r

＝

y y 2＋3

＝

24

y ，

∴ y ＝±5或y ＝0.当y ＝5即α是第二象限角时，cos α＝x r ＝－64，tan α＝－15

3；当y ＝－5即α

是第三象限角时，

cos α＝x r ＝－64，tan α＝15

3；当y ＝0时，P(－3，0)，

cos α＝－1，tan α＝0.

题型2 三角函数值的符号及判定

例2 (1) 如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限； (2) 若θ是第二象限角，试判断sin(cos θ)的符号． 解：(1) 因为点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ<0，2cos θ<0，

即?????sin θ>0，cos θ<0，

所以θ为第二象限角． (2) ∵ 2k π＋π

2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴ －1

∴ sin(cos θ)<0.∴ sin(cos θ)的符号是负号． 备选变式（教师专享）

已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限． 答案：四

解析：由题意，得tan α＜0且cos α＞0，所以角α的终边在第四象限． 题型3 弧长公式与扇形面积公式

例3 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.

(1) 若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓． ∵ α＝60°＝π3，R ＝10，∴ l ＝10

3

π(cm)．

S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－1

2×102·sin60°＝50? ??

??π3－32 cm 2.

(2) ∵ 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴ R ＝C

2＋α

，∴ S 扇＝12α·R 2

＝12α? ????C 2＋α2＝C 22·α4＋4α＋α2

＝C 22·14＋α＋

4α

≤C 216，当且仅当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C 2

16. 备选变式（教师专享）

已知2rad 的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．

解：如图，∠AOB ＝2rad ，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB ︵

于D.∠AOD ＝∠BOD ＝1rad ，且AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1

，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2

sin1.

1. 若α角与8π5角终边相同，则在[0，2π]内终边与α

4角终边相同的角是________．

答案：2π5，9π10，7π5，19π

10

解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．又α4∈[0，2π]，所以k ＝0，1，2，3，α4＝2π

5，

9π10，7π5，19π

10

. 2. 已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P ?

??

?sin

2π3，cos 2π

3，则α＝__________． 答案：11π

6

解析：将点P 的坐标化简得????

32

，－12，它是第四象限的点，r ＝|OP|＝1，cos α＝x r ＝32.又0≤α≤2π，

所以α＝11π

6

.

3. 已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案：4

解析：设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝1

2r ×(8－2r)＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，

所以S max ＝4(cm 2)．

4. 若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α＜0，又P(m ，n)是角α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n ＝________．

答案：2

解析：依题意知?????n ＝3m ，

m 2＋n 2＝10.

解得m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3. 又sin α＜0，∴ α的终边在第三象限， ∴ n ＜0，∴ m ＝－1，n ＝－3，∴ m －n ＝2.

1. 设集合M ＝?

???

??

α?

?α＝kπ2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________． 答案：?

?????????－56π，－π3，π6，23π

解析：由－π＜kπ2－π3＜π，得－43＜k ＜8

3

.∵ k ∈Z ，

∴ k ＝－1，0，1，2，故M ∩N ＝??????

????－56π，－π3，π6，23π.

2. 已知α＝π

3，回答下列问题．

(1) 写出所有与α终边相同的角；

(2) 写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角； (3) 若角β与α终边相同，则β

2是第几象限的角？

解： (1) 所有与α终边相同的角可表示为 ????

??

θ??θ＝2kπ＋π3，k ∈Z .

(2) 由(1) 令－4π＜2kπ＋π

3＜2π(k ∈Z )，

则有－2－16＜k ＜1－1

6

.

∵ k ∈Z ，∴ 取k ＝－2、－1、0.

故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－11π3、－5π3、π

3.

(3) 由(1) 有β＝2kπ＋π3(k ∈Z )，则β2＝kπ＋π

6(k ∈Z )．

∴ β

2

是第一、三象限的角． 3. 已知角α的终边经过点P(x ，－2)，且cos α＝x

3，求sin α和tan α.

解：因为r ＝|OP|＝

x 2＋（－2）2，所以由cos α＝x

3

，得

x

x 2＋（－2）

2＝x 3，解得x ＝0或x ＝±5. 当

x ＝0时，sin α＝－1，tan α不存在；当x ＝5时，sin α＝－23，tan α＝－25

5；当x ＝－5时，sin α＝－

23，tan α＝25

5

. 4. 已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1) 求弦AB 所对的圆心角α的大小；

(2) 求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S.

解：(1) 由圆O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴ α＝∠AOB ＝π

3

.

(2) 由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴ 弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴ S 扇形＝12lr ＝12×10π

3×10＝50π3

，而S △AOB

＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝503

2，∴ S ＝S 扇形－S △AOB ＝50? ??

??π3－32.

1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．

(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．

2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．

3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．

4. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤

(1) 用边界值定出角的终边位置．

(2) 根据不等式(组)定出角的范围．

(3) 求交集，找单位圆中公共的部分．

(4) 写出角的表达式．

请使用课时训练（B）第1课时（见活页）. [备课札记]