导数与微分(经典课件)
导数与微分
引 言
导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；
3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。
§1 导数的概念
教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。
教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义
出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。
一、导数的定义：
1．引入（背景）：
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确
定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)
()(t t t s t s v --=
，
当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0
0)
()(lim
t t t s t s v t t --=→。
问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0
0)
()(tan x x x f x f k --=
=α，
当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0
0)
()(lim
x x x f x f k x x --=→.
2．导数的定义：
以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0
0()(lim
x x x f x f x x --→）
存在，则称函数f 在点0x
处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或
.0
x x dx dy
= 定义1'
令0x x x -=?，)()(00x f x x f y -?+=?，则上述定义又可表示为： )('0x f ＝
.)()(lim lim 00000x
x f x x f x y
dx dy x x x x ?-?+=??=→?→?= 即：函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。
例1．已知函数2)(x x f =，求).1('f
解：2)1(lim 11lim 1
)1()(lim
)1(1211'
=+=--=--=→→→x x x x f x f f x x x ； 或2)2(lim 1
)1(lim )1()1(lim
)1(0200'
=+?=?-?+=?-?+=→?→?→?x x
x x f x f f x x x 。 例2．已知函数?????=≠=0
01sin
)(2
x x x
x x f ，求).0('f
解：.01
s i n lim 0)0()(lim
)0(00
'
==--=→→x
x x f x f f x x 例3．已知函数x x f =)(，求).0('f
解：??
?<->==--0
10
10)0()(x x x x x f x f
，0)0()(lim 0--∴→x f x f x 不存在 故函数x x f =)(在点0=x 处不可导。
例4．已知函数3)(x x f =，求).0('f
解：+∞===--→→→32
03
001
lim lim 0)0()(lim x x x x f x f x x x ，故函数3)(x x f =在点0=x 处不可导。
二、导数的几何意义：
通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程)(x f y =，若)(x f 在点0x 可导，那么曲线)
(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，并且切线斜率为)(0'
x f 。
注：若曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，那么)(x f 在点0x 可导吗？（不一定，如3
x y =在0点）。
y=f(x)
0'
切线方程（点斜式）：))((00'0x x x f y y -=-； 法线方程（点斜式）：)()
(1
00'
0x x x f y y --
=-。 例5．求曲线3x y =在点)1,1(P 处切线与法线方程。
解： 3)1(lim 11lim 1
)1(lim 213111=++=--=--=→→→=x x x x x y y dx dy x x x x ，
∴ 切线方程：)1(31-=-x y ，即：023=--y x ；
法线方程：)1(3
11--=-x y ，即：.043=-+y x
三、可导与连续的关系：
1．定理5.1 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续。 证明：函数f 在点0x 可导，由导数定义知00)(lim lim lim
lim 0'0
000
=?=????=????=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x ，
所以f 在点0x 连续（P69最下式）。 2．若函数f 在点0x 连续，则f 在0x 不一定可导。
如例3中，函数x x f =)(在点00=x 连续，但是不可导。 y
x x f =)(
0 x
例6．证明函数)()(2
x D x x f =仅在点00=x 处可导。 其中)(x D 为狄利克雷函数：??
?=为无理数
当为有理数
当x x x D 01)(。
证明：当00≠x 时，由归结原则可得函数)()(2
x D x x f =在点0x x =不连续，所以由定理5.1便知它在
0x x =处不可导；
当00=x 时，0)(lim 0
)
0()(lim
)0(00
'
==--=→→x xD x f x f f x x ，说明它在00=x 处可导； 综上便知函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导。
四、单则导数：
若只研究函数在某一点0x 右邻域（左邻域）上的变化率，只需讨论导数定义中极限的右极限（左极限），于是我们引入单则导数的概念。
1．定义：
定义2 若函数)(x f 在)(0x U +有定义，定义右导数为： x
x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--=+
+
→?→+)
()(lim )()(lim )(000000'
； 若函数)(x f 在)(0x U -有定义，定义左导数为： .)()(lim )()(lim )(000000'
x
x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--=--
→?→- 右导数和左导数统称为单则导数。
2．由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系：
定理5.2 函数)(x f 在点0x 可导，且a x f =)(0'?函数)(x f 在点0x 即左可导又右可导，且 .)()(0'0'a x f x f ==-+
例7．设函数?
??<≥-=00
cos 1)(x x x x x f ，讨论函数)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数。
解：由于
??
?
?????-=?-?+0
10cos 1)0()0(x x x x
x f x f ，
所以022sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim )0(2
0200'=???????? ??
???=??=??-=+++
→?→?→?+x x x x
x x x f x x x ， 11l i m )0(0
'
==-
→?-x f . 由定理5.2可知函数在点0=x 处不可导。
五、导函数：
1．可导函数：
若函数f 在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f 为I 上的可导函数。 2．导函数：
区间I 上的可导函数f ，对每一I x ∈，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在I
f在区间I上的导函数，简称为导数，记作
,
,
,
),
('
'
dx
dy
dx
df
y
x
f
即：I
x
x
x
f
x
x
x
f
x
∈
?
-
?
+
=
→
?
,
)
(
)
(
lim
)
(
'（求解时只需将x看作固定常量即可）。
例8．求以下函数的导数（以下结果需熟记）：
（1）常函数C
x
f=
)
(，（其中C为常数）；
（2）三角函数x
x
f
x
x
f cos
)
(
,
sin
)
(=
=；
（3）对数函数)0
,1
,0
(
log
)
(>
≠
>
=x
a
a
x
x
f
a
.
解：（1）()0
lim
)
(
lim
'=
?
-
=
?
?
+
=
→
?
→
?x
x
x
x
f
C
x
x
，即：()0
'=
C；
（2）()x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x?
?
?
+
=
?
-
?
+
=
?
-
?
+
=
→
?
→
?
→
?
2
sin
)
2
cos(
2
lim
sin
)
sin(
lim
)
(
)
(
lim
sin
'
x
x
x
x
x
x
cos
)
2
cos(
2
2
sin
lim
=
?
+
?
?
?
=
→
?
，
即：()x
x cos
sin'=；类似可求出：()x
x sin
cos'-
=.
（3）())
1(
log
1
lim
log
)
(
log
lim
)
(
lim
log
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
a
x
a
a
x
x
a
?
+
?
?
=
?
-
?
+
=
?
?
+
=
→
?
→
?
→
?
e
x
x
x
x a
x
x
a
x
log
1
)
1(
log
1
lim
=
?
+
=
?
→
?
，
即：().
1
ln
,
log
1
log'
x
x
e
x
x
a
a
=
=
六、函数极值：
1．极值定义：
定义3 若函数f在点0x的某邻域)
(
x
U内对一切)
(
x
U
x∈有)
(
)
(
x
f
x
f≥（)
(
)
(
x
f
x
f≤），则
称函数f在点
x取得极大（小）值，称点
x为极大（小）值点，称)
(
x
f为极大（小）值，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。
y
a
1
x
2
x0
3
x
4
x b x
说明：①极值为局部概念，极值与极值点均可以有多个；最值为整体概念，若存在则必唯一；
②极值不可能在一区间端点取得，只能在区间内部取得；最值无此限制；
③若f 在点0x 取得最值，当0x 为区间端点时，则此最值不是极值，但当0x 为区间内部的点时，
则此最值一定是极值。
2．费马（Fermat ）定理：
从图象上可以看到，若点0x 为函数f 的极值点，且点())(,00x f x 处曲线的切线存在（f 在0x 点可导），那么此切线应平行于x 轴（0)(0'=x f ）。从而有：
定理5.3 (费马定理) 若点0x 为函数f 的极值点，且f 在0x 点可导，则必有0)(0'=x f . 证明：这里以极大值的情形给予证明，对极小值情形类似可证之。
设0x 为函数f 的极大值点，则对一切)(0x U x ∈都有)()(0x f x f ≥，于是， 当0x x >时：
0)()(00≤--x x x f x f ；当0x x <时：.0)
()(0
0≥--x x x f x f
由函数极限的保不等式性有： 0)()(lim )(000'
≤--=+
→+x x x f x f x f x x 且0)
()(lim )(000'0
≥--=-
→-x x x f x f x f x x ， 又知)(0'x f 存在，故由定理5.2便知0)(0'=x f 。
说明：①稳定点：称满足0)(0'=x f 的点0x 为函数f 的稳定点（求法：解方程0)(=x f ）；
②稳定点不一定是极值点（如函数3
x y =，点0=x 为稳定点但不是极值点）；
③极值点不一定是稳定点，只有加上可导条件极值点才是稳定点（如函数x x f =)(，点0=x 为极值点但不是稳定点）。
y y
3x y = x y = 0 x 0 x
3．达布（Darboux ）定理：
定理5.4 (达布定理，导函数的介值定理) 若函数f 在[]b a ,上可导，且)()(''b f a f -+≠，k 为介于)
('
a f +与)('
b f -之间的任一实数，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使得.)('
k f =ξ
y
)('
a f + )('
b f -
a 0
b x
证明：不妨设)()(''b f a f -+>，则)()(''a f k b f +-<<（此处介于指不等式严格成立）
引入函数[]b a x kx x f x F ,,)()(∈-=
)(x f 在[]b a ,上可导，由定理5.1知)(x f 在[]b a ,上连续，)(x F ∴在[]b a ,上连续，
由闭区间上连续函数的最值定理则：存在一点[]b a ,∈ξ，使得)(ξF 为)(x F 在[]b a ,上的最大值， 欲利用费马定理来证0)('=ξF ，需证以下两个方面： （ⅰ）ξ为)(x F 在[]b a ,上的极大值，只需证a ≠ξ且b ≠ξ； （ⅱ）)(x F 在点ξ=x 可导；
为此：[][]a
x ka a f kx x f a x a F x F a F a x a x ----=--=++
→→+)()(lim
)
()(lim )('
[][])1(0)(lim )()(lim )()()(lim ' >-=---=----=+
→→→+++k a f k a
x a f x f a x a x k a f x f a x a x a x
同理：[][]b
x kb b f kx x f b x b F x F b F b x b x ----=--=--→→-)()(lim )()(lim
)('
[][])2(0)(lim )()(lim )()()(lim ' <-=---=----=-
→→→---k b f k b
x b f x f b x b x k b f x f b x b x b x
[][]x kx x f x x k x x f x x F x x F x F x x ?--?+-?+=?-?+=→?→?)()()(lim )()(lim
)(00'
[])3()()()(lim
'0 k x f x
x k x f x x f x -=??--?+=→?
（1）式说明：[]b a a U ,)(??+，对一切)(a U x +∈都有
0)
()(>--a
x a F x F ，所以)()(a F x F >，于是a 不是)(x F 在[]b a ,上的最大值点，即a ≠ξ； （2）式说明：[]b a b U ,)(??-，对一切)(b U x -∈都有
0)
()(<--b
x b F x F ，所以)()(b F x F >，
于是b 不是)(x F 在[]b a ,上的最大值点，即b ≠ξ；
（3）式说明：对一切()b a x ,∈，)('
x F 都存在，则对()b a ,∈ξ，)('
ξF 当然存在，且有
k f F -=)()(''ξξ。
从而，由费马定理便知0)()('
'
=-=k f F ξξ，即有)).,(()('
b a k f ∈=ξξ
导数与微分(经典课件)
导数与微分 引 言 导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。 求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念； 3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。 §1 导数的概念 教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。 教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义 出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。 一、导数的定义： 1．引入（背景）： 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确 定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→.
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
高等数学导数与微分练习题
作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。
高等数学考研大总结之四导数与微分知识讲解
第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限
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【最新整理，下载后即可编辑】 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二 阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 （4）解：][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x
(完整版)同济版《高等数学》稿WORD版导数与微分
第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系. 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数. 4、 会求分段函数的导数. 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数. 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数. 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数. §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
高数第二章导数与微分的知识点总结
2015考研数学:导数与微分的知识点总结 来源：文都教育 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面都教授给出该章的知识点总结，供广大考生参考。 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'000000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---?→→+?--==?-. 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）'1()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）21 (arcsin )'1x x =- （12）21(arccos )'1x x =-- （13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+
微积分第二章 导数与微分
第二章导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分，作为研究分析函数的工具和方法，其主要包含两个重要的基本概念导数与微分，其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，即变化率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1．记住导数和微分的各种术语和记号； 2．知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系； 3．知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义； 4．记住常数及基本初等函数的导数公式； 5．知道双曲函数与反双曲函数的导数公式； 6．知道高阶导数的定义； 7．知道隐函数的定义； 8．记住反函数的求导法则； 9．记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式； 10．知道对数求导法及其适用范围； 11．知道相关变化率的定义及其简单应用； 12．记住基本初等函数的微分公式； 13．知道微分在近似计算及误差估计中的应用； 14．记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 （二）领会 1．领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义； 2．领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系； 3．领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 4．领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系； 5．领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系； 6．领会微分形式的不变性； 7．领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系； 8．领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等。 （三）运用 1．会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等； 2．会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在； 3．会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程； 4．会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在； 5．会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数； 6．会求反函数的导数； 7．会求复合函数的导数； 8．会求隐函数的一阶、二阶导数； 9．会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数； 10．会求函数的高阶导数； 11．会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数； 12．会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。 13．会用微分定义和微分法则求微分； 14．会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数； 15．会用微分求函数的近似值。 （四）分析综合 1．综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数； 2．综合运用函数导数的定义，左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性；