带负顾客、启动期和反馈的M／M／1／N多重工作休假排队系统

带负顾客、启动期和反馈的M／M／1／N多重工作休假排

队系统

师宗梅;吕胜利;袁晶晶;王朋成

【摘要】研究了带有正、负顾客且顾客容量有限的M/M/1/N多重休假排队系统，引入不耐烦、空竭服务、反馈和启动期策略，同时假设服务台可能发生故障。利用马尔科夫过程理论建立系统稳态矩阵方程组，并利用矩阵几何解和分块矩阵方法得到了稳态概率的矩阵解，求出了系统稳态下的一些性能指标。最后运用M atlab

软件进行数值分析，为系统的优化设计提供参考。%This paper studies an

M/M/1/N multiple working vacation queuing system with limited capacity , in w hich customers are either “positive” or “negative” , introducing impatient strategy , exhaustive service , feedback and set-up time , simultaneously assuming desk may malfunction . The matrix form solution of steady-state probability is derived by the Markov process method , and the steady-state probability in matrix form is derived by using matrix-geometric solution and block-matrix-solution method , some reliable indices of the steady-state system are given . Finally , the corresponding numerical analysis is made by Matlab ,which would provide a basis for optimal design .

【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2014(000)003

【总页数】7页(P18-24)

【关键词】负顾客;启动时间;反馈;工作休假;矩阵几何解

【作者】师宗梅;吕胜利;袁晶晶;王朋成

【作者单位】燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004;燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004;燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004;燕山大学理学院，河北秦皇岛066004

【正文语种】中文

【中图分类】O226

0 引言

在经典休假排队系统中，休假期间内服务员完全停止服务而去执行其他的辅助工作或进行维修保养.近来，Servi和Finn［1］引入了一类半休假策略：在休假期间内服务员不是完全停止为顾客服务而是以较低的速率为顾客服务，这样的休假策略称为工作休假；若工作休假期间的服务速率退化为零，则模型归结为经典休假排队系统.这种策略一经提出就引起了国内外很多学者的极大兴趣，近年来已经取得了许多有价值的研究成果［2－4］.

1991年，Gelendbe［5］提出的负顾客排队模型，开创了负顾客排队模型的先河.若将其应用在生产制造系统或者销售系统中，此时负顾客可以看成是操作员的误操作或是其他致使顾客离开的诱因，且负顾客到达可能使服务员休假或者故障，由此负顾客排队理论得到推广.另外，反馈也是目前排队模型研究很多的一个热点，其中Bernoulli反馈已被广泛用于计算机分时操作系统和无线电通讯网络系统中.文献［6，7］分别研究了带有负顾客且Bernoulli反馈的单服务台和多服务台工作休假排队系统，得到了稳态存在条件和稳态分布向量.ATM网络IP协议下的转换式虚

通道（SVC）上的排队系统往往带有启动期和关闭期，此时启动期相当于依靠信号协议建立一个新的SVC连续所用的时间，这种带有启动期的休假排队更符合复杂通信网络排队的实际情况，文献［8－10］对此模型也作了详细介绍.

本文讨论一个等待空间有限且有正、负顾客，带启动期和不耐烦策略，可提供反馈服务的M／M／1／N多重工作休假可修排队系统.

1 模型的描述

多重M／M／1／N工作休假排队模型如下：

1）顾客到达：假定系统为带有正、负顾客的单服务台系统，正顾客以参数为λ的泊松过程到达并形成等待队列，负顾客以参数为ε的泊松过程到达.若系统中有正顾客，则负顾客一对一抵消处于队首的正顾客（忙期和工作休假期抵消处于正在接受服务的正顾客，故障期和启动期抵消处于队首将要接受服务的正顾客），若无正顾客时，到达的负顾客自动消失.

2）服务过程：当系统为空时，服务台开始一个随机长度为V的工作休假，休假时间V服从参数为θ的负指数分布.在工作休假期间，服务台以较低的服务率μv接待正顾客，若结束一次工作休假时系统中仍无正顾客，则继续一个独立同分布的工作休假；若在某次工作休假期间服务完某一个正顾客后系统中已有正顾客，则服务台终止工作休假转为正规忙期，以正常服务率μb（μb＞μv）接待正顾客，直到服务台再次变为空闲.服务台对正顾客在正规忙期和工作休假期服务时间均服从负指数分布.顾客在服务完一次后以概率p（0＜p≤1）离开系统不再回来，以概率1－p反馈到队尾等待下一次服务.

3）启动过程：当一个工作休假期结束时，若系统中无顾客，则服务台进入关闭期.在关闭期内，若有正顾客到达，则关闭期结束，但顾客不能立即得到服务，而是需要经历一个启动期，启动时间S服从一个参数为α的指数分布，启动期结束后正规忙期开始.

4）故障过程：假定服务台只在正规忙期内发生故障，发生故障后服务台立即被修理.故障时间和修理时间分别服从参数为β和γ的负指数分布.

5）退出过程：在服务台发生故障时，顾客可能因等待不耐烦而在没有接受服务的情况下离开系统（中途退出），假设顾客进入系统后直到中途退出的这段等待时间服从参数为η的负指数分布.

6）假定顾客到达过程、服务过程、启动过程、故障过程、修理过程、退出过程等都是相互独立的，服务规则为先到先服务（First In First Out，简记为FIFO）.

2 稳态概率分布

令Q（t）为时刻t系统中的正顾客数，J（t）表示时刻t服务台的工作状态，定义如下：

则｛Q（t），J（t）｝是马尔科夫过程，其状态空间Ω＝｛（0，0）｝∪｛（0，1）｝∪｛（0，3）｝∪｛（k，j）：1≤k≤N，j＝0，1，2，3｝，其中状态（k，0），0≤k≤N 表示系统处于工作休假期且系统中有k 个顾客；状态（k，1），

1≤k≤N表示系统处于启动期且有k个顾客；状态（0，1）表示系统处于关闭期；状态（k，2），1≤k≤N表示系统处于正规忙期且有k个顾客；状态（k，3），

0≤k≤N表示系统处于故障状态且有k个顾客.

定义系统的稳态概率方程

由马尔科夫过程理论可得系统稳态概率满足如下方程组：

3 稳态概率的矩阵解法

由马尔科夫过程｛Q（t），J（t）｝及其状态空间可知，过程的无穷小生成元可写成如下形式：

其中

其中A1，A2，A3，B1，D2 都是（N＋1）维方阵，A4 是N 维方阵，C1，B2，D3 都是（N＋1）×N 维矩阵，D1，B3都是N×（N＋1）维矩阵，O1是（N＋1）维全零方阵，O2是N×（N＋1）维全零矩阵.

运用分块矩阵和矩阵几何解理论求解稳态概率方程组，令

P ＝（P0，P1，P2，P3），Pi ＝（Pi（0），Pi（1），…，Pi（N）），i＝0，1，3，P2 ＝（P2（1），Pi（2），…，P2（N））.由此，可写成如下方程形式：

其中，e是元素都是1的（4 N＋3）维的列向量.

根据Q阵结构，方程组（15）可以写成如下分块矩阵形式的方程组：

式中，eN＋1，eN分别是元素全为1的N＋1，N维列向量.

运用矩阵分块理论得到如下的分块矩阵和向量形式：

其中是N 维行向量，是 N 维方阵，γ1＝γ3＝γ5＝（λ，0，0，…，0）是 N 维

行向量，γ2＝（pμv＋ε，0，…，0）T，γ4＝（ε，0，…，0）T，γ6＝（ε＋η，0，…，0）T 是 N 维列向量，01 是全零的 N 维行向量，02是全零的N维列向量，03是全零的（N－1）维列向量，O3是全零的N维方阵，O4是全零的（N－1）×N维矩阵.

引理1 设A＝（aij）是实数域上的n阶方阵，如果那么≠0.

定理1 ，A2 是可逆矩阵.

证明＝（aij）N×N.由于

由引理1可知，≠0，所以可逆.同理可知，A2也是可逆的. 】定理2 系统的稳态概率的矩阵解为

其中，εi表示第i个元素为1其余元素为0的N维列向量，

证明由方程（16）和矩阵分块形式可得

展开化简得

由方程（21）的第二式可得，

故

由方程（17）可得

展开化简可得

将方程（25）代入（24）可得

由方程（18）与分块矩阵可得

展开化简可得，

由方程（19）与分块矩阵可得

展开化简可得

由方程（27），（28）联立组成新的方程组可得

方程（29）～（31）结合分块矩阵形式进一步化简为

其中（λ＋γ4）－1.由方程（20），（23），（26），（32）～（34）式可得p0（0）＝δ，其中

综上所述，定理可证. 】

4 系统的性能指标

系统的各项性能指标如下：

1）系统的平均队长

2）系统的平均等待队长

3）服务台在工作休假期的概率

4）系统处于启动期的概率

5）服务台在正规忙期的概率

6）系统处于故障的概率

5 数值例子

下面给出系统稳态队长随负顾客到达率和服务台故障率变化的情况，取λ＝2，μv ＝4，μb＝6，N＝8，γ＝2，η＝0.5，θ＝1，α＝1.由图1可知，当β＝1时，系统稳态平均队长随着负顾客的到达率ε的增大而相应减少，同时p越大，顾客离去率越大，平均队长也越小.在图2中，当ε＝1时系统稳态平均队长随着故障率β增大而减少，同时p越大，顾客离去率越大，顾客因不耐烦而离开系统使系统顾客数减少.

图1 系统平均队长随ε的变化情况Fig 1 The relation of the expected number of customers in the system withε

图2 系统平均队长随β的变化情况Fig 2 The relation of the expected number of customers in the system wi thβ

6 结论

本文讨论了有正、负顾客，带启动期和不耐烦策略，可提供反馈服务的的M／M ／1／N多重工作休假可修排队系统，运用矩阵几何解和分块矩阵的相关理论得到了系统稳态分布以及系统稳态队长、故障率、平均等待队长和忙期概率等指标的矩阵解.最后，通过数值例子分析了负顾客的到达和服务台故障对系统的影响，为服务机构和决策者做出决策从而使系统达到最优提供了理论依据.

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