第五章 隧道应力集中系数与矢跨比的数值模拟研究

第一章隧道应力集中系数与矢跨比的数值模拟研究

3.1引言

矢跨比是指隧道高度与宽度的比值，现有的公路隧道，在两车道情况下，矢跨比约为0.85；在三车道情况下约为0.65；四车道隧道矢跨比约0.55。随着矢跨比的减小，开挖后的应力重分布状态变差，需要对大断面隧道洞室的次生应力场进行深入研究，以确定隧道设计时的应力场分布。对于大断面隧道，降低矢跨比会带来直接的经济效益，但对结构的设计和施工会出现新的技术问题，即隧道开挖后围岩拱部土体在自重应力场作用下向洞内移动，并导致两侧土体受压，反映在洞周位移上,拱顶下沉要远大于水平收敛位移，由此而导致支护结构体系的破坏，与矢跨比较大的单线隧道、双线隧道有所不同。因此，四车道公路隧道的荷载条件是相当复杂的。

由于四车道公路隧道在我国尚处于起步研究阶段，因此在设计理论与施工工艺上只是借鉴三车道公路隧道的建设方法，目前没有统一的标准执行。过去的隧道设计大多数是建立在反复的计算反演分析的基础上，大断面隧道的设计，因为考虑到经济效益，大断面隧道一般都做成宽度加大，高度不变的扁平拱形结构，这样使得围岩开挖应力的重分布变化复杂了，因此对支护参数的要求相对较严格，如何来控制隧道合理的矢跨比成为大断面隧道设计中关键的问题之一。

由于上覆岩石的重量和可能的原始构造应力使深层岩石总是处于受力状态之下。当在其中修建地下洞室时，会使围岩产生应力重分布，而当应力超过其强度时，岩体就会破坏。从这个角度考虑，可以把洞室的设计问题归结为计算洞室的应力集中及其对围岩特性的影响，而矢跨比对洞室的应力集中会产生很大的影响。张丙强错误！未找到引用源。基于弹塑性有限元原理，对大断面隧道硐室在简单二维应力场下的应力集中系数的分布进行了分析，并对硐室周边最大应力集中系数随矢跨比的变化进行了讨论，得出应力集中系数的分布情况。本章首先对几个经典的断面形状进行比较，再对五心圆断面隧道的应力集中系数作进一步的分析。3.2断面形状比较

3.2.1圆形断面洞室线弹性分析

如图3—1所示的圆孔周围的应力已由Panck(1951)、Denkhaus(1958)和

Obert(1960)等人进行了详细的研究。他们所得出的双向荷载下的应力公式如下错误！未找到引用源。：

图3—1 圆形洞室计算图 ()()θλλσ2cos 341121112144022002200⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=r R r R p r R p r ()()θλλσθ2cos 31121112144002200⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=r R p r R p （3－1） ()θλτθ

2sin 3211214402200⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=r R r R p r 式中：0p 、()10<λλp ——分别为竖向荷载、横向荷载；

0R

、r ——分别为圆孔半径、距圆孔中心的距离。

下图3—2为半径为6m 的圆形洞室在竖向为1Mpa 压力，水平方向为0.3Mpa 压力的二维应力场下的次生等效应力有限元解等值图，洞周水平方向最大次生等效应力为2.54Mpa ，解析解为2.7 Mpa ，两者计算结果比较接近。

图3—2 圆形隧道断面等效应力场

从图中以及计算结果可以看出：

（1）洞室两侧的次生等效应力最大，顶部和底部的次生等效应力相对较小，并且随着远离圆心，次生等效应力逐渐减小。

（2）次生等效应力在洞周附近变化很快，其变化率随着远离洞室边界的距离的增大而逐渐减小。

（3）0度至60度方向范围内洞室附近应力集中系数K 值大于1，当0/R r 大于2时，次生等效应力接近初始值；60度至90度方位上应力集中系数值小于或接近于1，并且随着0/R r 变化也比较缓慢，见下图3—3。

（4）从式（3－1）可以看出次生等效应力不受圆形洞室半径的影响，也就是说圆形断面半径不会影响洞室周边的应力分布。

03.2.2 圆形断面洞室弹塑性分析

卡斯特纳、芬纳推导出了轴对称圆形洞室的库仑模型的理想弹塑性解析解。弹性区应力为错误！未找到引用源。：

()()()2

0sin sin 1000cos sin 1cos sin cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=⎭⎬⎫-r R c c p p c p e r e φφ

θφφφφφσσ （3－2） 塑性区应力：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1cot sin sin 10φφφσR r c p r ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-1sin 1sin 1cot sin sin 10φφθφφφσR r c p （3－3） 塑性区半径：

()()φφφφφsin 2sin 100cot sin 1cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=c c p R R p （3－4）

下图3—4为半径0R ＝6m 时II 类围岩在顶面为1Mpa ，水平方向为0.3Mpa 压力的二维应力场下的次生等效应力有限元解等值图。从图中可以看出它的应力

分布和圆形断面洞室的弹性分析有着相同的规律。

图3—4 圆形洞室等效应力场

从式（3－3）可以看出，塑性区的应力大小只与材料强度参数指标 、c 以及距圆心的距离r 有关。由圆形洞室的弹性析解可知，圆形洞室周边的应力值是最大的，也就会最先达到屈服，而理想塑性理论指出，材料一旦屈服也就破坏了，此时材料不能再承受力的作用，所以塑性区的应力大小只与材料的强度指标有关。随着围岩压力的增大，只是塑性区范围不断的扩大，而其应力大小不再增加。那么，由上面的分析过程可以得出：

(1) 塑性区的应力集中系数与开挖面半径无关。那么，开挖断面的增减，对圆形洞室周围的应力集中系数分布基本是没有影响的，单纯地加大圆形洞室的开挖断面积，洞室稳定性是不会改变的。

(2) 洞室周边的等效应力系数的变化的弹塑性分析比线弹性分布要平缓，而且其最大应力集中系数也相对要小，还处于弹性部分的围岩的应力集中系数是相等的，见下图3

—5。

图3—5 线弹性和弹塑性分析最大应力集中系数变化图

(3) 从以上圆形断面洞室的弹性和弹塑性分析结果可以得出，大断面的圆形隧道的受力特性和普通圆形隧道的受力特性基本是一致的。

但是，随着隧道宽度的增大，圆形断面隧道的开挖面积却与半径0R 的平方成倍的增加。所以，对于大断面隧道，采取圆形断面形式开挖是很不经济的，为了减小开挖面积，常设计成三心圆或五心圆断面形式。

3.2.3 椭圆形断面洞室弹塑性分析

与圆形隧道相同围岩级别下，椭圆形隧道断面洞室围岩应力计算图如图3—6示错误！未找到引用源。。

则：

⎪⎩⎪⎨⎧==+-++-+=0cos sin )]cos sin )12[(]sin cos )2([22222222θθτσθθθθλθθσr r

m m m p m m p （3－5） 式中：m ＝b/a 为椭圆轴比，θ为计算偏心角。

由上式知，椭圆形洞室周边应力的两个应力极值仍然在水平轴（θ＝0、π）和垂直轴（θ＝π/2、3π/2）上。

图3—6 均布地应力场中的椭圆形洞室示意图

当θ＝0、π时，可得洞室两边中点的切向应力。则有

⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-+===0,0|)12()]2([|0

220θθθθτσλλσr r b a p m pm m m p （3－6） 当θ＝π/2、3π/2时，可得洞室顶底板中点处的切向应力。则有

⎪⎩⎪⎨⎧==-+=++-===0,0|]1)12[(1)12(|90

90θθθθτσλλσr r b a p m p p （3－7）

从式（3－6）和（3－7）中，当原岩应力（p 、p λ）为定值时，切向应力θσ值的大小是随轴比m 而变化的，即轴比m 是影响应力分布的唯一因素。

根据在Ⅱ级围岩中长轴2a ＝24 m ，短轴2b ＝12 m 的椭圆洞室，受均布压力：顶面和底面为1 MPa ，水平方向为0.2 MPa ，二维应力云图如图3—7（a ～d ）（a>b ）和图3—8（a ～d ）（b>a ）示。

a 最大主应力图

b 中主应力图

c 最小主应力图

d 等效主应力图

图3—7 水平轴大于竖直轴（a>b ）

a 最大主应力图

b 中主应力图

c 最小主应力图

d 等效主应力图

图3—8 竖直轴大于水平轴（b>a）

从图3—7和图3—8可以看出，最大主应力与长轴方向一致，且当椭圆形洞室的水平轴大于竖直轴时，有拉应力在顶部和底面出现，这不利于洞室稳定。故一般情况下，一次开挖的高度必须大于水平距离。

3.3应力集中系数与矢跨比的关系

根据表×××，可以绘出两种围岩情况下的应力集中系数与矢跨比的关系如图××和图××所示。

3.3.1Ⅴ级围岩应力集中系数分析

图3—9 Ⅴ级围岩应力集中系数与矢跨比的关系曲线

根据表2—3和图3—9，随着矢跨比的增大，Ⅴ级围岩隧道的拱顶和仰拱底点的应力集中系数对矢跨比的变化不敏感，拱腰处的应力集中系数逐渐增大，仰拱连接处的应力集中系数逐渐减小，拱脚附近围岩等效应力集中系数对矢跨比的变化较为敏感。

3.3.2Ⅲ级围岩应力集中系数分析

图3—10 Ⅲ级围岩应力集中系数与矢跨比的关系曲线

根据表2—3和图3—10，随着矢跨比的增大，Ⅲ级围岩隧道的拱顶和仰拱底点的应力集中系数基本上不随矢跨比的改变而改变，拱腰处的应力集中系数逐渐增大，拱脚附近围岩等效应力集中系数对矢跨比的变化较为敏感，水平最大跨度处和仰拱连接处的应力集中系数逐渐减小。说明拱顶和仰拱的应力集中系数不起控制作用，拱脚处的应力集中系数控制要求高。

3.4本章小结

在不同矢跨比的情况下，洞室边界上的应力集中都是最大。当向外移到围岩深部，应力集中显著下降，对于较小的矢跨比，随着远离边界，应力集中趋近于1。距离洞室边界越近应力集中受矢跨比变化的影响越显著，在边界上，应力集中与矢跨比近似于直线关系，并随矢跨比的减小应力集中急剧增大。在围岩深部，矢跨比在1～0.3之间时，围岩应力集中随矢跨比的变化显著。目前，在实际工程中，交通隧道矢跨比的变化范围基本在1～0.3之间，可见，在交通隧道断面的优化设计中，矢跨比对坑道的稳定性以及开挖的经济性都是至关重要的错误！未找到引用源。。

通过理论分析和计算可以得出以下结论：

(1)对圆形洞室而言，开挖断面的增减，对洞室周围的应力分布基本没有多大影响，也就是说，单纯地加大开挖断面面积而不改变断面的形状，洞室稳定性不会发生改变。

(2)五心圆洞室的最大等效应力集中系数随隧道矢跨比的减小而增大，二者接近于直线关系。各个方位上五心圆洞室的最大应力集中系数为相同跨度圆形洞室的1.5倍左右。

(3)矢跨比的变化对隧道洞室的拱顶到拱底各处应力集中系数影响不同，拱

脚最为敏感，而拱顶和仰拱底点基本不随矢跨比的改变而变化。同时，矢跨比越大，相同跨度的洞室拱顶、拱腰和拱底处最大应力越小。底脚处的应力集中过大，要求较大的地基承载力。

(4)当隧道洞室断面矢跨比过小时，在拱顶和仰拱处甚至可能出现拉应力，这对洞室围岩的稳定是相当不利的。

(5)数值计算发现，各种形式的洞室，其洞周最大应力集中均发生在最大跨度处的水平方向，且随远离洞室边界距离的增大逐渐减小，当上述距离大于2倍洞跨时，其应力接近初始值。