一次函数动点问题
一次函数动点问题
1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
∴CB= ，C′B=
∴AC+CB=AC+CB′=．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三
点共线）．
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值
分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D 关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是．
如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．
2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，
①求此一次函数的解析式；
②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．
③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与
点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．
3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上
（1）求此一次函数的表达式和m的值？
（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．
4．已知：一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP=2，求点P的坐标．
5．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；
（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）
6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；
（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的
坐标；
（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．
一次函数动点问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共6小题）
1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
∴CB= CB' ，C′B=C'B'
∴AC+CB=AC+CB′=AB' ．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．
求EF+FB的最小值
分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D 关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE 的长度，EF+FB的最小值是．
如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，
求：PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．
【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
∴CB=CB'，C′B=C'B'
∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
故答案为：CB'，C'B'，AB'；
（2）模型应用
①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于
直线AC对称，连结ED交AC于F
则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．
在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°
∵点E是AB中点，
∴AE=1，
根据勾股定理得，DE=，
即：EF+FB的最小值，
故答案为：DE，；
②如图⑤，
由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB 的最小值就是线A'BE的长度，
∴∠AOD=∠A'OD=60°
∵点B是的中点，
∴∠AOB=∠BOD=∠AOD=30°，
∴∠A'OB=90°
∵⊙O的直径为4，
∴OA=OA'=OB=2，
在Rt△A'OB中，A'B=2，
∴BP+AP的最小值是2．
故答案为2，
③如图⑥，
由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，
∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴C（1，0），D（1，2），
∵C与C'关于直径y轴对称，
∴C'（﹣1，0），
∴C'D==2，
∴PC+PD的最小值为2，
∵C'（﹣1，0），D（1，2），
∴直线C'D的解析式为y=x+1，
∴P（0，1）．
2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，
①求此一次函数的解析式；
②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．
③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与
点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．
【解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，
依题意，得，
解得，
∴一次函数解析式为y=2x﹣1；
②将点（a，2）代入y=2x﹣1中，得2a﹣1=2，
解得a=；
③由y=2x﹣1，令y=0得x=，
∴C（，0），
又∵点P（m，n）在直线y=2x﹣1上，
∴n=2m﹣1，
∴S=××|n|=|（2m﹣1）|=|m﹣|．
3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上
（1）求此一次函数的表达式和m的值？
（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．
【解答】解：（1）∵函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，
∴，解得：，
∴一次函数的表达式为y=x﹣1．
当x=2时，m=x﹣1=2﹣1=1，
∴m的值为1．
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB 取最小值，如图所示．
∵点B的坐标为（2，1），
∴点B′的坐标为（2，﹣1）．
设直线AB′的表达式为y=ax+c，
将（2，﹣1）、（4，3）代入y=ax+c，
，解得：，
∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5．
当y=0时，2x﹣5=0，
解得：x=，
∴当点P的横坐标为时，PA+PB的值最小．
4．已知：一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP=2，求点P的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，
所以一次函数解析式为y=﹣x+1；
（2）当y=0时，﹣x+1=0，解得x=1，则A（1，0），
设P（t，﹣t+1），
因为S△OAP=2，
所以×1×|﹣t+1|=2，解得t=﹣3或t=5，
所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
5．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；
（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）
【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表
达式为y=﹣x+b，
把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，
则过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，
对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，
∴A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB==4，且ON为斜边上的中线，
∴ON=AB=2，
则l1和l2两平行线之间的距离为2；
（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，
设直线B′P的解析式为y=mx+n，
把B′和P坐标代入得：，
解得：m=，n=，
∴直线B′P的解析式为y=x+，
令x=0，得到y=，即Q（0，）；
故答案为：Q（0，）；
（4）如图2所示，分三种情况考虑：
当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；
当PM2=BM2时，M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点，
∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（2.5，1.5），
∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，
令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；
当PB=M3B==3时，OM3=OB+BM3=4+3，此时M3（4﹣3，0），M 3（4+3，0）．
综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣3，0）或（4+3，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；
（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．
【解答】解：
（1）设直线l的解析式为y=kx+b，
∵直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，
∴﹣k=﹣1，解得k=2，
∵直线l的图象过点P（﹣1，4），
∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，
∴直线l的解析式为y=2x+6；
（2）如图1，过O作OC⊥AB于点C，
此时线段OC的长度最小，
在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=﹣3，
∴A（0，6），B（﹣3，0），
∴OA=6，OB=3
∴AB==3，
∵AB?OC=OA?OB，
∴3OC=3×6，
∴OC=，
即线段OC长度的最小值为；
（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G⊥x轴于点G，
则PQ=P″Q，
∴PQ+BQ=BQ+QP″，
∵点B、Q、P″三点在一条线上，
∴BQ+PQ最小，
∵P（﹣1，4），
∴P″（1，4），
∴P″G=4，OG=1，
∴BG=BO+OG=4=P″G，
∴∠OBQ=45°，BP″=4，
∴OQ=BO=3，
∴Q点坐标为（0，3），
又BP==2，
此时△BPQ的周长=BP+BP″=4+2；（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQ B=45°，∴∠PQA=∠P″QA=45°，
∴PQ⊥BQ，
一次函数之动点问题(作业及答案)
一次函数之动点问题 （作业） y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y=-x+b过点x轴交于点C． （1）求直线BC的表达式． （2）动点P从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A运动（点P不与点A，C重合），动点Q从点A同时出发，沿折线AB-BC以每秒个单位长度的速度向点C运动（点Q不与点A，C重合），当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．设△CPQ的面积为S，运动的时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【思路分析】 1．研究背景图形，如图 （把函数信息转为几何信息） 2．分析运动过程 3．画图，设计方案计算 当时， 当时， 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形AOBC是正方形，已知 点A的坐标为(0，2)，点D在x轴正半轴上，B是OD的中点，连接 CD．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 O→A→C→B的方向匀速运动，动点Q从点O同时出发，以相同 的速度沿O→B→D→B的方向匀速运动．过点P作PE⊥x轴于点 E，设△PEQ的面积为S，点P运动的时间为t秒（）．求S与t之间 的函数关系式．
2. 如图，直线y=-x+与x轴交于点A，与直线y=x交于点B． （1）求点B的坐标． （2）判断△AOB的形状，并说明理由． （3）动点D从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿OA向终点A运动（不与点O，A重合），过点D作DC⊥x轴，交线段OB或线段AB于点C，过点C作CE⊥y轴于点E．设运动的时间为t秒，矩形ODCE与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 3. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．动点 E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O运动，动 点F从原点O同时出发，以相同的速度沿折线OC-CA向终点A运 动，设点F运动时间为t秒． （1）设△EOF的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定线段是面积为0的三角形） （2）当时，是否存在某一时刻，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 【参考答案】 1． 2．（1） （2）△OAB是等腰直角三角形，理由略 （3） 3．（1） （2）存在，t的值为2，或
一次函数动点问题(整理好的)
龙文教育学科教师辅导讲义 学生： 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师： 课 题 一次函数的应用——动点问题 教学目标 1．学会结合几何图形的性质，在平面直角坐标系中列函数关系式。 2．通过对几何图形的探究活动和对例题的分析，感悟探究动点问题列函数关系式的方法，提高解决问题的能力。 重点、难点 理解在平面直角坐标系中，动点问题列函数关系式的方法。 教学内容 例题1：已知：在平面直角坐标系中，点Q 的坐标为（4，0），点P 是直线y=-2 1x+3上在第一象限内的一动点，设△OPQ 的面积为s 。 （1）设点P 的坐标为（x ，y ），问s 是y 的什么函数，并求这个函数的定义域。 （2）设点P 的坐标为（x ，y ），问s 是x 的什么函数，并求这个函数的定义域。 （3）当点P 的坐标为何值时，△OPQ 的面积等于直线y=-2 1x+3与坐标轴围成三角形面积的一半。 练习：已知：在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（6，0），另有一动点B 的坐标为（x ，y ），点B 在第一象限，且点B 的横纵坐标之和为8，设△OAB 的面积为s ，求： （1）s 与点B 的横纵坐标x 之间的函数关系式，并写出定义域。 （2）当△OAB 的面积为20时，求B 点的坐标。 例题2：在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动, 当点P 运动到点B 时，点Q 也随之停止。如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设△PAD 的面积为s ，运动时间为t ，求s 与t 的函数关系式？运动到何时△PBQ 为等腰三角形？ 例题3：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
(完整word版)一次函数的动点问题简单练习题
一次函数动点问题练习题 1、如果一次函数y=-x+1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 点、B 点，点M 在x 轴上，并且使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的点M 有（ ）。 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．7个 2、直线与y=x-1与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）. A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 3、直线64 3+-=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ?B ?A 运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t （秒），△ OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； 4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334 y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标． （2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标． A y x D C O B
x y O B A 5、如图：直线3+=kx y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， 43=OA OB ，点C(x ,y)是直线y ＝kx ＋3上与A 、B 不重合的动点。 （1）求直线3+=kx y 的解析式； （2）当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6； （3）过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，是否存 在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由。 6、如图，点A 、B 、C 的坐标分别是（0，4），（2，4），（6，0）.点M 是折线ABC 上一个动点，MN ⊥x 轴于N ，设ON 的长为x ,MN 左侧部分多边形的面积为S. ⑴写出S 与x 的函数关系式； ⑵当x =3时，求S 的值. 7、如图，已知在平面直角坐标系中，直线l ：y =-2 1x +2分别交两坐标轴于A 、B 两点，M 是线段AB 上一个动点，设M 的横坐标为x ,△OMB 的面积为S ； ⑴写出S 与x 的函数关系式； ⑵若△OMB 的面积为3，求点M 的坐标； ⑶当△OMB 是以OB 为底的等腰三角形时,求它的面积； ⑷画出函数s 图象. l M y x O B A
一次函数及动点问题(有难度)
一次函数及动点问题 1、如图，在长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点 B 出发，沿路线 B→C→D 做匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致为（ ） A B C D 2、如图，正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 与原点重合，点D 的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P 坐标为（3，3）时，设一直角边与x 轴交于点E ，另一直角边与y 轴交于点F ．在三角板绕点P 旋转的过程中，使得△POE 成为等腰三角形，请写出满足条件的点E 的坐标为________________
3、已知在矩形ABCD中，AB=4，BC= 25/2，O为BC上一点，BO= 7/2，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点． （1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标； （3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）
4、如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC． （1）求点A、C的坐标； （2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）； （3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数动点问题(一)
一次函数动点问题（一） 1.一次函数y=ax+b （a 为整数）的图象过点（98，19），交x 轴于（p,0）,交y 轴于（0，q ）,若p 为质数，q 为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为_________个。 2.过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作_______条 3、一次函数y=ax+b ，若a+b=1，则它的图象必经过点_______________ 7．当－1≤x ≤2时，函数6+=ax y 满足10 线段AB上（包括端点A、B）横、纵坐标都是整数的点有________________ 10、如图, 直线1 y x =+与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰RtΔABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有 一点P（a，1 2），且ΔABP的面积与ΔABC的面积相等，求a的值 初中八年级数学动点与函数图像问题2018.6 一、单选题（共8题；共16分） 1.如图，将平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转40°，得到平行四边形AB′C′D′，若点B′恰好落在BC 边上，则∠DC′B′的度数为（ ）A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 1题图2题图4图 2.如图，点E 为菱形ABCD 边上的一个动点，并沿 的路径移动，设点E 经过的路径长为 x ，△ADE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图2，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、D 匀速运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所 示，则△ABC 的面积是（ ） A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 4.如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，AB=2，BC=4，一动点P 从点B 出发，沿着B ﹣A ﹣D ﹣C 在矩形的边上运动，运动到点C 停止，点M 为图1中某一定点，设点P 运动的路程为x ，△BPM 的面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示．则点M 的位置可能是图1中的（ ）A. 点C B. 点O C. 点E D. 点F 5.如图，点 的坐标为（ ， ），点 是 轴正半轴上的一动点，以 为边作等腰直角 ，使 ，设点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，能表示 与 的函数关系的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 6.如图，点 、 、 在直线 上，点 ， ， ， 在直线 上，若 ， 从如图 所示的位置出发，沿直线 向右匀速运动，直到 与 重合时停止运动．在运动过程中， 9 4x y O P D C 图2 一次函数之动点问题（讲义） 一、知识点睛 动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向： ①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点： ①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程； ②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息． 二、精讲精练 1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3 34 y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ， B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒． （1）求OA ，OB 的长． （2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由． y x O B A 2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ， ∠ABC =60°． （1）求直线BC 的解析式． （2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． C A B O x y C A B O x y S S 3 1 O 1 3 x O 3 x O t 动点问题专项训练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2， BC = 1，动点 P 从点 B 出发，沿路线 B → C → D 作匀速运动，那么△ABP 的 面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是（ ） S S 3 2 D C 1 P 1 A B O 1 3 x A ． B ． O 1 3 x C ． D ． 2. 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC ，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的路程为 x ，△ABP 的 面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 C P A B O 图 1 2 5 x 图 2 3. 如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点 B 与点 D 重合，点 A,B(D),E 在同一条直 线上，将△ABC 沿 D → E 方向平移，至点 A 与点 E 重合时停止．设点 B,D 之间的距离为 x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的 面积为 y ，则准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是（ ） 4. 如图，点 G 、D 、C 在直线 a 上，点 E 、F 、A 、B 在直线 b 上，若 a ∥b ，Rt △GEF 从如图所示的位置出发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合．运动过程中△GEF 与矩形 ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象 大致是（ ） G D C a F A B b （ 第 4 题 A B C D D s O t s O t s O t s E 一次函数动点问题 1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答． （1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上 ∴CB=，C′B= ∴AC+CB=AC+CB′=． 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． （2）模型应用 如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点． 求EF+FB的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关 于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是． 如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标． 一次函数与动点问题提高训练 1.已知：在平面直角坐标系中，点Q 的坐标为（4， 0），点 P 是直线 y=- 1 x+3 上在第一象限内的一动2 点，设△OPQ 的面积为s。 （1）设点 P 的坐标为（ x， y），问 s 是 y 的什么函数，并求这个函数的定义域。 （2）设点 P 的坐标为（ x， y），问 s 是 x 的什么函数，并求这个函数的定义域。 1 （ 3）当点 P 的坐标为何值时，△OPQ的面积等于直线y=- x+3 与坐标轴围成三角形面积的一半。 2 2.已知：在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 6， 0），另有一动点 B 的坐标为（ x， y），点 B 在第一象限，且点 B 的横纵坐标之和为 8，设△ OAB 的面积为 s，求： （1） s 与点 B 的横纵坐标 x 之间的函数关系式，并写出定义域。 （2）当△OAB 的面积为 20 时，求 B 点的坐标。 3.在矩形 ABCD 中 ,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B 移动 ,点 Q 从点 B 开始以2cm/s 的速度沿B C 边向点 C 移动 , 当点 P 运动到点 B 时，点别从 A 、 B 同时出发，设△PAD的面积为s，运动时间为t，求 s 与△PBQ 为等腰三角形？ Q 也随之停止。如果P、 Q 分 t 的函数关系式？运动到何时 4.如图，直线l1的解析表达式为y3x 3 ，且l1与 x 轴交于点 D ，直线 l2经过点A， B ，直线 l1， l 2交 于点 C． （1）求点D的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）求△ADC的面积； （4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得 △ ADP 与△ ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标． APCD 的面积等于 动点问题专题练习 1、如图，已知在平面直角坐标系中，直线 I : y= X-2分别交两坐标轴于A 、B 两点， M 是线段AB 上一个动点，设M 的横坐标为X ,三角形OMB 的面积为 S; （1） 写出S 与x 的函数关系式，并画出函数图象； （2） 若厶OMB 的面积为3,求点M 的坐标； （3） 当厶OMB 是以OB 为底的等腰三角形时，求它的面积。 2、在边长为2的正方形ABCD 的边BC 上，点P 从B 点运动到C 点，设PB=x 四 边形APCD 的面积为y , （1）写出y 与自变量x 的函数关系式，并画出它的图象。 精品文档 四边形 3、如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC CD DA运动至点A停止， 设点P运动的路程为x，A ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示， （1）求厶ABC的面积。 （2）求Y关于x的函数解析式。 D C A B 4、如图①在梯形ABC中，AD// BC / A=60°,动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着LB-C^D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止?已知APAD 的面积S （单位：cm2与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了多少秒（结果保留根号） 5、如图，A B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2,p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2）,直线PB交y轴于点D, S A A0P=6. （1）求厶COP勺面积 （2）求点A的坐标及P的值 （3）若SAAOP=SBOP求直线BD的函数解析式 1 1、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运 动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得15 32104 x x =+?， 解得803x =秒．∴点P 共运动了80 3803 ?=厘米．∵ ∴经过80 3秒点P 与8022824=?+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，点Q 第一次在边AB 上相遇 2解（1）A （8，0）B （0，6）（2）86OA OB == ，10AB ∴= 点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是 610 28 +=（单位/秒） 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t = 当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865 t PD -=， 21324255S OQ PD t t ∴=?=-+ （3）82455P ?? ???，12382412241224555555I M M 2?????? -- ? ? ??? ????，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． x A O Q P B y 动点产生的一次函数关系 题型一：点运动的路程与面积之间的一次函数关系 此类问题的两个难点： 一、分类讨论思想，需要求出动点运动到不同位置时路程与所形成图形的面积之间的关系； 二、用动点运动的路程来表示所需线段的长度． 另外，需要注意自变量的取值范围． 【引例】 如图，在矩形 ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发， 沿路线B C D →→作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ） D. C. B. A. 【解析】 B 【解析】 P D C B A 【例1】 如图，正方形ABCD 的边长是1，E 是CD 边上的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动 点，动点P 从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E ，若点P 经过的路程为x ， APE △的面积为y ，求y 与x 的关系式；并求当1 3 y =时，x 的值等于多少？ 【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，长方形OABC 的顶点，A C 的坐标 分别为()()3005，，，． ⑴ 直接写出点B 的坐标； ⑵ 若过点C 的直线CD 交AB 边于点D ，且把长方形OABC 的周长分为1:3两部分，求直线CD 的解析式； ⑶ 设点P 沿O A B C →→→的方向运动到点C （但不与点，O C 重合），求△OPC 的面积y 与点P 所行路程x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围． 【例3】 如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，沿 A → B → C → D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请写出y 与x 之间的函数关系式 ． D 一次函数动点问题 1如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积； （4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得 ADP △与ADC △的面积相等，请直接．． 写出点P 的坐标． 2如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止. ① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________; ③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式; ④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，若能找到请求出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。 3如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm ，OB=4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标 x y O A B x y O A B x y O A B 系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4） （1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示） （2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？ （3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？ （4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形。若点P运动速度不变改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值。 4己知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC 所在直线的解析式为 1 y x =-+。 （1）求线段AC的长和ACO D的度数。 （2）动点P从点C开始在线段CO 单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始 在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A （P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒。 ①设BPQ D的面积为S，求S与t之间的函数关系式， 并求出当t为何值时，S有最小值。 ②是否存在这样的时刻t，使得OPQ D与BCP D相似，并说明理由？ （3）在坐标平面内存在这样的点M，使得MAC D为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标。（直接写出结果，每漏写或写错一点坐标扣一分，直到扣完为止。） 5如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始 第33题 一次函数动点问题整理 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 1、(06年树人期末，14分) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC为直角 梯形，OA∥BC，BC＝14，A（16，0），C（0，2）。（单位：厘米）若点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s速度由C向B运动，点Q以4cm/s速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动。设运动时间为t s(0≤t<≤=4)。(1)求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形； (2)求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1：2， 求出此时直线PQ的解析式； (3)点P、Q为线段BC、AO上任意两点（不与线段BC、AO的端点重合），且 四边形OQPC的面积为102 cm，试说明直线PO一定经过一定点，并求出定点坐标 2、 (07年树人期末，14分) 如图①，在矩形 ABCD中，AB＝10cm，BC＝ 8cm．点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿 D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P出发x秒后上 △APD的面积S 1（2 cm）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后 △AQD的面积S 2（2 cm）与x（秒）的函数关系图象．⑴参照图②，求a、b 及图②中c的值； 3、⑵求d的值；⑶设点P离开点A的路程为y 1 （cm），点Q到点A还需走的 路程为y 2（cm），请分别写出动点P、Q改变速度后y 1 、y 2 与出发后的运动时 间x（秒）的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值． 4、⑷当点Q出发秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为 25cm． 一次函数中的动点问题 一次函数是最基础的函数，也是初中数学中的重要内容之一,是中考中必考内容之一,下面以一次函数动点问题为例进行分析,希望对同学们学习这部分知识有所帮助. 一. 动点与最值问题 例1 如图1，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动， 当线段AB 最短时，点B 的坐标为 A ．（0，0） B ．（12，－12 ） C ． （2 ，－2） D ．（－12，12 ） 解析:如图2,过点A 向直线y=-x 作垂线段,垂足为点M ，则当点B 运动到点M 的位置时,线段AB 最短.再作MN ⊥OA 于点N,正比例函数y=-x 的图象是二、四 象限的角平分线，∴△OAM 和△OMN 均为等腰直角三角形.∵OA=1, ∴ON=12 ,即M 点的横坐标为12，代入y=-x 中，∴y=-12,∴点M 的坐标为(12,-12 ),∴故选B. 评注：解答本题涉及四个知识点;(1)正比例函数y=-x 的图象是二、四象限夹角平分线；（2）根据“垂线段最短”确定动点B 的位置；（3）利用等腰三角形“三线合一”的性质求得M 点的横坐标；（4）把求得的横坐标代入y=-x 中，求得纵坐标. 二. 动点与图形面积 例2 如图2，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所 示，则△ABC 的面积是（ ） A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 解析:动点从点出发,沿边运动到点的过程中，的值逐渐 增大,到达点时,面积最大,当动点在边上由点运动到点时,的值不变,的面积为故选 评注:解决本题的关键是找出图象与题中运动过程相对应的阶段,分析对应部分的变化情况,找到解题突破口.同学们在解决此类题中，应培养自己通过特殊点分析函数图象与题中情境的关系的能力. 三. 动点与函数图象 例3在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分 . 图1 94x y O P D 图2 一次函数中的运动问题 一、函数图像的平移 例：已知一次函数y=2x-3 (1)该函数图像向上平移4个单位，求平移后的图像的解析式； (2)该函数图像向左平移4个单位，求平移后的图像的解析式. 方法归纳：1、牢记结论： 2、掌握推导方法： 练习：已知直线经过点（0 , 2），（-2 , -4）. (1)求这条直线的解析式； (2)该直线向下平移2个单位，求平移后所得的直线的解析式； (3)该直线向右平移2个单位，求平移后所得的直线的解析式； 二、动点问题与分段函数 例2：如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是CD 的中点，动点P 从点A 出发，沿 A B C E 运动，到达E 点即停止运动，若点P 经过的路程为x ，△APE 的面积为y ， 试求出y 与x 之间的函数解析式，并求出当y = 31时，x 的值. 练习：在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP=x ，四边形APCD 的面积为y. (1) 写出y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； (2)说明在BC 上是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5？ 综合：在直角坐标系中，有以A(-1，-1)，B(1，-1)，C(1，1)，D(-1,1)为顶点的正方形，设正方形 在直线y=x 上方及直线y = -x+2a 上方部分的面积为S. (1)求a =2 1时，S 的值； (2)当a 在实数范围内变化时，求S 关于a 的函数关系式. 巧用一次函数的最值解决方案设计问题 一次函数的图象是一条直线，好像与最值“无缘”，如果给出自变量的一定取值范围，由一次函数的增减性可知，存在最值.一次函数的最值可以解决实际生活中一些最大利润问题、最低费用问题等，解题的过程中，要将实际问题转化为数学问题，建立函数模型，利用函数的性质解决问题. 训练角度1 最大利润问题 例1 为了迎接“十?一”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋 用一次函数解决问题 ——动点问题中的一次函数图像 【学习目标】 1、从变换的角度来研究动点问题中的函数图像，渗透空间观念和合情推理，培养解决问题的能力； 2、在解决问题的过程中体会数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、转化思想。 【重点、难点】 重点：综合运用一次函数图像中的信息和其它知识解决动点问题 难点：从变换的角度来研究函数图像 一、课前尝试练习： 问题：如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，在矩形的边上沿A→B→C→D方向运动至点 D处停止. (1)设点P运动的路程为x，△ADP的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则图2中的 点N的横坐标为_________. 二、尝试探究（基本尝试题的提高）： (2)如图1，在(1)的条件下，已知点P从A点出发开始以每秒a个单位长度的速度匀速运动， 第5秒时点P改变速度，以每秒2个单位长度向D运动．设点P运动的时间为t(s)，△APD的面 积为S，S与t的函数图象如图3所示. ①a=_________； ②点M的坐标为_________，I的坐标为__________； ③求t为何值时，△APD的面积为2？ (3)点P按（2）中方式运动，若点P从点A出发的同时，点Q从点D出发，在矩形边上沿D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止．图3是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程y与时间t(s)之间的函数图象． ①请解释图中点H的实际意义； ②求Q点的运动速度； ③将图4补充完整； 三、尝试成功（自我测评）： 1.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=7时，点E应运动到（） A.点C处 B.点D处 C.点B处 D.点A处 图1 图2 2、如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿 B→C→A运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则图（2）中点M的纵坐标为（） 一次函数动点问题_精心总 结版 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点， 运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 15 3210 4 x x =+?， 解得 80 3 x=秒．∴点P共运动了 80 380 3 ?=厘米．∵ 遇，∴经过 80 3 秒8022824 =?+，∴点P、点Q在AB边上相 点P与点Q第一次在边AB上相遇 2解（1）A（8，0）B（0，6）（2）86 OA OB == ，10 AB ∴= 点Q由O到A的时间是 8 8 1 =（秒）∴点P的速度是 610 2 8 + =（单位/秒） 当P在线段OB上运动（或03 t ≤≤）时，2 OQ t OP t == ，2 S t= 当P在线段BA上运动（或38 t<≤）时，6102162 OQ t AP t t ==+-=- ，, 如图，作PD OA ⊥于点D，由 PD AP BO AB =，得 486 5 t PD - =， 2 1324 255 S OQ PD t t ∴=?=-+ （3） 824 55 P ?? ? ?? ， 123 82412241224 555555 I M M 2 ?????? -- ? ? ? ?????? ，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． x A O Q P B y 中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目?解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题? “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、 推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容?动点问题反映的是一种函数思想，由 于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函 数关系? 例1 (2015?兰州)如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不 变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( ） A.B. C. D. 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论. 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： (1)当点P在A→B 段运动时，PB=1-t , S=π( 1-t ) (0≤t V 1); (2)当点P在B→A 段运动时，PB=t-1 , S=π( t-1 ) (1≤t ≤2). 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π( t-1 ) 2(0≤t ≤2), 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线?结合题中各选项，只有B符合要求. 故选B. 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象?解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择. 12015?白银)如图O的圆心在定角0180的角平分线上运动，且O与的两边相切，图 中阴影部分的面积S关于Θ O的半径r (r >0)变化的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 1. C 考点二：动态几何型题目 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题?它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点 为一体，集多种解题思想于一题?这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力? 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中, 特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运 动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 A. B. C. D.初中数学一次函数与动点问题201806
一次函数之动点问题
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