第四章气体动理论

第四章气体动理论

4.1 关于理想气体的基本假设是什么?

【答】理想气体是气体分子运动论和热学所研究的，由大量做无规则热运动的分子组成的最简单的系统，它是客观实际存在的许多真实气体的理想化的物理模型。关于理想气体的基本假设如下：

(1)气体的密度很小，因而气体分子问的平均距离比，分子本身的几何线度大很多’

(2)气体分子之间的相互作用力随分子间距离的增大，而急剧地减小，当分子问的距离超过分子本身的几何线度很。多时，分子间的相互作用力变得非常小，以至于可以忽略不-计；

(3)气体分子是完全弹性的刚性球，因此，气体分子之间的相互碰撞以及气体分子与容器壁的碰撞都是完全的弹-性碰撞；

(4)气体分子之间的相互碰撞很少，即在绝大部分时间内，气体分子都是自由运动的。也就是说，气体分子的运动轨道是由许多直线段组成的不规则的折线，各直线线段的长度比分子本身的几何线度大很多；

(5)气体分子的运动速度很大，因此单位时间内气体分子之间的相互碰撞次数很多，在标准状态下，一般气体分子的运动速度为500米／秒左右，一个分子在1秒内所经历的碰撞

次数为大约8

10次。

上述五条即是关于理想气体的基本假设，做了这样的基本假设后，气体的许多主要性质被突出了，例如，理想气体服从状态方程： PV=nRT

这就为我们研究气体各状态参量——压强P、体积V和温度T之间的关系提供了方便。做了上述基本假定之后，这样的理想气体虽然并不真实存在，它只是客观存在的真实气体的理想模型，但它与一般状态下的气体，例如，氢气、氨气和氧气等非常接近。实际上，在压强不太高，温度不特别低的情况下，很多种真实气体都可以用理想气体来近似。换句话说，由于对理想气体的基本假设是抓住了问题的本质，忽略了次要因素，因此，理想气体具有很好的普遍性和适用性，成为气体分子运动论和热学的典型的研究对象。

4.2 什么是动力学规律性?什么是统计规律性?

【答】动力学规律性是从经典力学、经典电磁场理论以及其他物理学科的研究中总结出来的。在经典力学的研究中，我们知道，它的基本任务是在已知作用力和初始条件的情况下，解力学的运动微分方程求出运动的轨道。或者说，在一定的外界条件下，根据动力学规律性，可由物体运动的初始状态求出以后任一时刻的运动状态。动力学规律性能够以抽象的形式反映出由力学体系(物体)运动的初始状态决定力学体系以后任一时刻运动状态之间的联系关系。在经典力学和经典电磁场理论的学习中，我们知道，动力学规律性往往是忽略了某些次要因素，抓住了影响力学体系运动状态的主要因素而获得的，它的正确性是由大量的实验事实证明了的。

气体分子运动论和热学的研究对象是由大量的分子组成系统，由于系统中包括的分子数太多，以致于我们不能靠研究一个一个分子服从的动力学规律来寻找系统的初始状态与以后任一时刻系统状态之间的联系关系。而在由大量分子所组成的系统中存在一种特殊类型的规律性，它是单个分子或由少数分子所组成的系统所没有的规律，这种特殊类型的规律就是统计规律性。

与动力学规律性相类似，统计规律性也是以一定的形式反映出各种物理现象和过程之间的客观联系。由于系统是由大量的微观粒子组成的，而这些微观粒子又在不停地相互碰撞，经过足够长的时间后，每个确定的粒子都可能经历了它所可能的所有轨道。换句话说，对于由大量微观粒子组成的系统必须考虑它们之间的相互作用。对于气体，由于组成系统的大量的微观粒子都在做无规则的热运动，粒子之问的相互作用是随机的，这就决定了由大量微观粒子组成的系统必然服从统计规律性。所以，我们要用统计的方法，求出大量微观粒子的一些物理量的统计平均值，而整个系统这些物理量的取值相对于统计平均值还会有偏离，它称为起伏或涨落。用统计平均值和起伏或涨落来描写系统状态的方法就是统计方法，对于服从统计规律性的系统都用这种方法描述。

当然，对于构成系统的个别粒子所服从的动力学规律性和由大量粒子组成的系统所服从的统计规律性之间必然存在着不可分割的联系。由于系统中的每个粒子都服从它的动力 学规律性，而系统就是由这些粒子组成的，因此系统所服从的统计规律性与构成系统的粒子所服从的动力学规律性必然存在某种联系。但是，由于构成系统的粒子数太多，以致于不可能逐一研究每个粒子所服从的动力学规律。又由于系统服从的统计规律完全可以用统计方法求出来，因此也没有必要一个一个研究粒子的动力学规律。也就是说，对于同一个系统来说，粒子所服从的动力学规律与系统所服从的统计规律是有联系。但做为两种截然不同的规律性，它们是分别用不同的方法求出来的。

4.3 试问速率1v 到2v 之间分子的平均速率是否是()dv vf v v v ?2

1?若是，其原因是什么?若不是，

则正确答案是什么?

【答】 不是．因为介于某一速率范围内的分子的平均速率应是所有介于这一范围内分子的速率之和再除以该范围内的总分子数．显然，速率从1v 到2v 范围内分子的速率之和为

()dv v Nf v v v ?2

1速率从1v 到2v 范围内的总分子数是()dv Nf v v v ?21，故速率从1v 到2v 之间的所有分

子的平均速率是

()()()()???

?=21

212121

v v v v v v v v v v v v dv f dv vf dv Nf dv Nvf 4.4 两容器分别贮有气体A 和B ，温度和体积都相同，试说明在下列各种情况中它们的分子的速度分布是否相同：(1)A 为氮，B 为氢，而且氮和氢的质量相等，即21m m =；(2)A 和B 均为氢气，但21m m ≠；(3)A 和B 均为氢气，而且21m m =，但是使A 的体积等温地

膨胀到原体积的二倍．

【答】化学纯理想气体分子的速度分布是麦克斯韦分布，气体的温度不同或者气体的摩尔质量不同其速度分布是不同的．在(1)中相互比较的是两种不同种类的气体，虽然它们的温度是相同的，但是速度分布不同．在(2)中相互比较的是同种气体(虽然气体质量不同)，它们的温度也相同，所以速度分布相同．在(3)中相互间比较的是同种气体,它们的温度也相同,所以速度分布相同。

4.5 恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速度大的氢分子具备与氧分子化合的条件(如只有当速率大于某一数值的两个氢分子和一个氧分子碰撞后才能结合为水)而化合成水，同时放出热量．问瓶内剩余的氢分子的速率分布改变吗?(一种观点认为，因为氢气分子中速率大的分子减少了，所以分子的速率分布应该向温度低的方向变化；另一种观点认为，因为这是放热反应，气体温度应该升高，速率分布应该向温度高的方向变化．您认为如何?)若氢气瓶为一绝热容器，情况又如何?

【答】在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什么速率分布的．、平衡态建立以后，混合气体中氢分子和氧分子的速率分布决定于它们自己的温度．若容器为桓温器，则速率分布不变；若为绝热容器，由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变．

4.6 空气中含有氮分子和氧分子．试问哪种分子的平均速率较大?这个结论是否对空气中的任一氮分子及氧分子都适用?

【答】由于氮分子质量小于氧分子，在温度相同的情况下，氮分子的平均速率大于氧分子的平均速率．但是对于任一分子来说，其速度的大小与方向瞬息万变，是个随机变量，无法进行比较．

4.7 解释为什么混合理想气体处于平衡状态时，每种气体分子的速率分布情况与在容器体积、温度不变情况下该种气体单独存在(而其他气体分子全部排除)时分子的速率分布情况完全相同．

【答】根据道尔顿分压定律，混合理想气体第i组元的分压就是在温度与体积不变情况下，把其他组元的分子全部排除仅留下第i组元的全部分子以后，这种气体所呈现的压强．道尔顿分压定律指出，混合理想气体的压强就是所有各种组元的分压之和．这说明混合理想气体在温度与体积不变情况下，任一组元气体的分压与是否存在其他组元气体无关，因而与该种气体单独存在时完全一样．显然，在上述两种(即该种气体单独存在以及这种气体与其他气体构成混合理想气体)情况下的速率分布也应相同．

4.8 麦克斯韦分布中并未考虑分子之间相互碰撞这一因素．实际上由于分子之间碰撞，气体分子速率瞬息万变，但只要是平衡态已经建立，麦克斯韦分布总能成立，为什么?

【答】．麦克斯韦分布适用于平衡态理想气体，这是一种在统计平均基础上的动态平衡．任一分子随时都可能由于与其他分子相碰而改变速度的大小和方向，但是从统计平均上来说，若有一分子由于碰撞而改变速度的大小和方向，则必然有另一个速度大小和方向相同的分子来替代它，使得其速度分布不变．

4.9 泻流分子的速率分布，与麦克斯韦速率分布的主要区别在哪里?为什么？

【答】麦克斯韦速率分布适用于平衡态气体，所以它是一种“静态”(因为平均说来每一分子都是静止不动的)的分布，设它的分布公式为()dv

．泻流分子却在宏观上处于运

f

v

动状态，它形成分子流，是一种非平衡态，它的速率分布是一种“动态”的分布，其速率分布可以用在逸出面积为A

?的小孔以前向小孔运动的气体分子的速率分布来描述，实际上这就是单位时间内碰撞在A

?器壁上所有分子的速率分布．注意到在教科书中已经介绍了“分子(原子)束技术和分子(原子)束速率分布”，其中的分子(原子)束速率分布

()()()dv vf v dt dA v n

dt

dA dv vf n

dv F v v v 144=????= (1)

处于“静态”的气体分子速率分布为 ()dv f v (2)

注意到(1)式、(2)式都是无量纲的，对于理想气体来说(2)式是麦克斯韦速率分布，但是(1)式中作为随机变量的函数()dv F v 比(2)式()dv f v 的多了一个因子“v ”，这个“v ”是因为“动态”的分布才多出来的．

4.10为什么速率较大的分子逸出小孔的概率较大?

【答】从上题的分析可知逸出小孔的分子是一种在柱体中的“分子流”．在dt 时间内，一种速度的大小和方向对应于一个柱体，在这一柱体中所有向小孔运动的分子形成这种“分子流”，并且在dt 时间内“分子流”中的所有分子都能够逸出小孔．由于柱体是和这种分子的速率有关的，速率大的所对应的柱体体积大．因而“分子流”也大．所以逸出小孔的概率也大．

4.11 麦克斯韦分布和玻尔兹曼分布有什么区别?

【答】麦克斯韦分布即麦克斯韦速度分布是研究理想气体在平衡状态，在没有外力场作用下气体分子的速度分布情况。这时，理想气体分子在空间各处的分布是均匀的，气体分子在空间各种的密度也是均匀的。

麦克斯韦在研究气体分子速度分布时，首先把速度按大小分成若干个相等的区间，然后找出理想气体在平衡状态下，在各速度区间的分子数，以及它们占气体分子总数的百分比。 为了讨论问题方便，设所研究的理想气体共有N 个分子，在速度为v →v+△v 内的分子数为△N ，则△N／N 就是该区间内的分子数占气体分子总数的百分比。或者说，这就是 分子速度在v v v ?+→内的几率。而v N

N

??就是单位速度区间的分子速度分布几率。麦克斯韦用f(V)表示气体分子速度分布： ()dv dN

N v N N

f v v ?=??=→?1lim 0

如果f(v)的值比较大就说明在相应的单位速度区间内，分布的分子数比较多；反之，如果f(v)的值比较小就说明在相应的单位速度区间内，分布的分子数比较少。由于f(v)给出了一定气体的分子在一定的温度下按速度大小的具体分布情况，因此称f(v)为麦克斯韦速度分布律。

玻尔兹曼分布是研究理想气体在平衡状态下，在有外场，例如有重力场、电场或磁场的作用下，气体分子按速度的分布情况。

实际上，玻尔兹曼是把麦克斯韦速度分布律推广到有外力场的情况。在这种情况下，应该考虑气体分子的总能量：

p k E E E +=

式中：k E 是气体分子的动能；p E 是气体分子在外力场中的势能。麦克斯韦速度分布律没

有考虑外力场，因此，气体分子密度是均匀的；而玻尔兹曼分布律考虑了外力场，因此，气

体分子密度是不均匀的。所以，在研究玻尔兹曼分布时，考虑的气体分子不仅限定在一定的速度空间，也要限定在一定的空间位置。玻尔兹曼计算表明，在平衡状态和一定温度情况下，气体分子在速度分量区间(z z z y y y x x x v v v v v v v v v ?+→?+→?+→,,)和坐标区间

(z z y y y x x x ?+→?+→?+→,,)内的分子数为： z y x v v v kT E E kT n n z y x p k ?????????

? ??+-??? ??=?exp 2230πμ 式中：0n 表示势能0=p E 时，单位体积内具有各种速度的分子总数。这就是玻尔兹曼分布

律。

4.12 试确定下列物体的自由度数：(1)小球沿长度一定的直杆运动，杆又以一定速度在平面内作定轴转动．(2)长度不变的棒在平面内既平动又滚动．

【答】 (1)这里没有交代小球的线度和直杆的“半径”分别是怎样的，也没有交代直杆的柱面是什么形状的(圆的、方的、还是任意形状的)．

①若小球可看做质点，而杆的“半径”很小可予忽略，则小球在直杆上运动有一个自由度，直杆在平面内做定轴转动又有一个转动自由度，这样小球共有2个自由度．

②若小球可看做质点，而杆的形状是圆柱形的，其半径不可忽略，则小球在直杆上运动有2个自由度，另外直杆在平面内作定轴转动又有一个自由度，这样小球共有3个自由度． ③若小球可看做质点，杆的形状不是圆柱形而是方柱形，甚至是任意形状的柱面，并且其横截面的大小不可忽略，则小球在直杆上运动仍然只有2个自由度．这是因为一个质点在三维空间中应该有三个自由度，如果它被约束在某一曲面上运动，就会附加上一个曲面方程．多一个方程就减少一个独立变量，所以仍然只有2个自由度．可以估计到，若此杆不是直的，而是任意弯曲的，只要其形状不改变，则质点在该柱面上运动也是只有2个自由度． ④若小球不能看作质点，还应在上述各种情况中附加上小球绕它自己的质心运动的转动自由度．若小球只能作定轴转动，则只有1个转动自由度，其自由度数是3个．

(2)长度不变的直圆棒在平面内既平动又滚动可看为棒的中心轴在平面上的平动与棒绕自己的中心轴转动这两种运动的叠加．中心轴的平动有3个自由度(中心轴在平面上的平动可看为位于中心轴上的质心的平动与棒绕通过质心的竖直轴作定轴转动这两种运动的叠加．质心在平面上的平动有两个平动自由度，再加上一个作定轴转动的转动自由度，故中心轴的平动有3个自由度)，而棒绕它自己的轴转动又有1个转动自由度，所以其总自由度数是4个．

4.13 试确定小虫的自由度：(1)小虫在平面上爬，分两种情况讨论：小虫可看作质点’纠≮虫不可看做质点．(2)小虫在一根直圆棒上爬，棒的直径比小虫大得多／也分两种情况讨论：小虫可看做质点及小虫不可看做质点．(3)小虫在一根弹簧表面上爬，弹簧丝的直径比小虫的线度大得多，小虫不可看做质点．分弹簧在振动与弹簧不在振动两种情况讨论．

【答】 (1)小虫在平面上爬，若小虫可以被看做质点，它有2个平动自由度．若小虫不可看做质点，小虫还有一个作定轴转动的转动自由度，其自由度数为3个．

(2)小虫在一根直圆棒上爬，棒的直径比小虫大得多．若小虫可看做质点，则小球在直杆上运动有2个自由度(沿柱面圆周运动有1个自由度，沿直杆纵轴上运动又有1个自由度)．若小虫不可看做质点，则还应该附加上小虫在圆柱面上做定轴转动的自由度，总共有

3个自由度．

(3)小虫在一根弹簧表面上爬，弹簧丝的直径比小虫的线度大得多，小虫不可看做质点．若弹簧不在振动，小虫在弹簧丝上爬与在直圆棒上爬的自由度数是相同的，都是2个平动自由度再加上1个转动自由度．若弹簧在振动，则还应该附加上弹簧振动而具有的振动自由度，其总的自由度数是4个．

4.14 微观上如何理解分子与分子及分子与器壁间的碰撞是非弹性的?并举出分子与分子及分子与器壁做非弹性碰撞的实例．

【答】从力学上理解，弹性与非弹性碰撞的主要区别是前者机械能守恒，后者机械能不守恒，因而在非弹性碰撞中会发生机械能与非机械能间的转换．在热学中如何理解弹性与非弹性碰撞呢?假如单纯考虑两刚性分子(所谓刚性分子是指不会发生形变的分子)之间的碰撞，这本身是个力学问题，因而必然是弹性碰撞．因为刚性分子只有平动动能和转动动能，它们都是机械能．我们可以把这种描述气体分子空间位置的平动自由度和转动自由度均称为“分子的外部自由度”．气体分子还具有“内部自由度”，如构成分子的原子之间由于相对运动所具有的振动自由度，描述原子内部电子跃迁所具有的自由度，以及与原子核结构有关的自由度等，这些都称为内部自由度．由于内部自由度不表示分子作为一个整体的空间位置，所以它的能量不属于机械能的范畴．在分子之间发生碰撞时，若发生分子外部自由度与内部自由度能量之间的转换，则应该是非弹性碰撞．例如：(1)气体化学反应是由分子间碰撞而发生的，化学反应中的反应热的吸放是由于原子中电子壳层能量的改变而导致的，这是内部自由度能量的释放或吸收，所以在气体化学反应中分子间的碰撞是非弹性碰撞．(2)由于粒子之间的碰撞而致使光线的发射，这类现象也是非弹性碰撞．常见的例子如在日光灯管中发生的在电场中加速的电子去碰撞水银分子，使水银分子中的电子发生能级跃迁，因而发射出紫外光(以后，紫外光又照射到日光灯管的荧光粉上导致二次发光，其光谱覆盖了可见光范围，这样日光灯管就发出白光)．(3)在发生核反应或粒子反应时的粒子之间的碰撞等．以上这些都是非弹性碰撞的实例．

同样，分子与器壁间的碰撞也有弹性与非弹性之分．例如若室内温度与室外温度不同时，热量从室内传递到室外．这是先通过室内气体分子与器壁作非弹性碰撞，气体分子把能量从室内传递给器壁，然后室外气体分子与兹毽又发生非弹性碰撞，器壁又把能量传递给室外气体．分子与器壁间的非弹性碰撞类似于作直线运动的某刚球与床垫中的弹簧发生的碰撞，刚球与床垫中一个弹簧的碰撞导致床垫中所有弹簧都振动起来，这时刚球的一部分定向运动动能转换为床垫中弹簧的整体的杂乱无章的动能(它相当于热运动动能)．在室内气体的温度高于器壁的温度时，平均说来气体分子在与器壁发生碰撞时总是将能量从气体分子传递给器壁，因而这种碰撞是非弹性碰撞．

但是当气体的温度与器壁温度相同时，平均说来气体分子与器壁之间没有热运动能量的传递，因而它们之间的碰撞是弹性碰撞．

又如真空喷镀，在玻璃上喷镀上一薄层金属．它是通过从真空加热炉中的金属蒸发出气体分子，这些气体分子去碰撞其温度远低于气体温度的玻璃．这时金

属原子被粘附在玻璃表面上．显然金属原子与玻璃器壁之间的碰撞是完全非弹性碰撞．在上述例子中都可以看到，在气体分子与器壁发生非弹性碰撞时，同样发生气体分子的外部自由度的能量与器壁的内部自由度能量之间的转换．

总之，在热学中判别弹性碰撞与非弹性碰撞的标准是看是否发生内部自由度能量与外部自由度能量之间的转换．

4.15 推导理想气体压强公式时，曾假设分子与器壁间的碰撞是完全弹性的．实际上器壁

可以是非弹性的．只要器壁和气体的温度相同，弹性和非弹性的效果没有什么不同，为什么?

【答】从上题的解答中就可以知道，在气体分子与器壁作弹性碰撞时不会发生分子的外部自由度与器壁的内部自由度之间能量的转换，因而没有热量的传递．显然，它们的温度应该是相同的．而发生非弹性碰撞时，总是有气体分子与器壁间能量转换，也即有热量的传递，这只有在温度不相同时才能发生．所以即使器壁是非弹性的，只要器壁和气体温度相同，分子与器壁间的碰撞是弹性还是非弹性的，其效果没有什么不同．

4.16 怎样理解分子之间的相互作用既有吸引力又有排斥力?

【答】为了简单，我们先讨论单原子分子的情形。在这种情况下，分子间的相互作用实际上是原子间的相互作用。原子的中间是直径为13

10厘米左右的带正电的原子核，核外是带负电的电子云，直径为8

10厘米左右。当两个原子的电子云没有接触时(如图所示)，因为两个原子整体上看都是中性的，所以它们之间没有电力的相互作用。如果两个原予进一步接近，二原子的电子云已发生重叠(如图所示)，这时一个原子的电子不仅受自己原子的核作用，也要受另一个原子的原子核作用，因而两原子之间产生吸引力。如果两个原子更进一步接近，二原子的电子云重叠的更多(如图所示)，这时两个原子的原子核相互排斥起主要作用，因此，两原子间的相互作用主要表现为排斥力。

实际上，电子、原子核、原子和分子都是微观粒子，它们都服从量子力学的规律，它们之间的相互作用并不象上面谈到的那么简单。我们知道，电子在原子核外的空间可以分成许多壳层。据泡利不相容原理，每个壳层只能容纳一定数量的电子，电子是从离原子核最近的内壳层排起，排满，个壳层后，依次向外排布。一般元素(惰性气体除外)最外层都未排满电子，但它们有使它充满电子的倾向，这个倾向表现出来的就是二原子问相互吸引。如果原子的最外层已被电子排满(惰性气体)，但由于电子分布的不对称性，原子将具有电偶极矩。由于原子的电偶极矩将在原子的周围造成不均匀的电场，这时，原子间也表现为相互吸引。但当两原子接近到外壳层相接触时，排斥力将随二原子间距离的减小而急剧的增大，这时二原子之间的相互作用表现为排斥力。

总之，对于单原子分子来说，无论从简单的原子模型还是比较细致地考虑，都可以看出，当二个分子距离比较远时，它们之间的相互作用为吸引力；当二个分子距离比较近时，它们之间的相互作用为排斥力。这个结论对于由两个原子构成的分子或多个原子构成的分子也是适用的，不过分析起来复杂一些罢了。鉴于进一步的分析讨论涉及理论物理知识过多，这里就不讨论了，待到读者学过量子力学等理论物理课程后，自己也就清楚应该怎样分析讨论了。

注:参考书目:

〔1〕马德录.普通物理疑难解答手册.沈阳.辽宁教育出版社.1987

〔2〕秦允豪.热学习题思考题解题指导.北京.高教出版社.2004

〔3〕王青戴剑锋李维学.普通物理学知识结构与学习指南.北京.国防工业出版社.2007 〔4〕陈中华阎明宋青.大学物理学学习指导与能力训练.上海.同济大学出版社.2008