高一数学辅导精讲：指数函数典型例题解析

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y 3

(2)y (3)y 12x

＝＝＝-+---213321x x

解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，

∴值域是≤＜．0y 3

【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是

[ ]

A ．a ＜b ＜1＜c ＜d

B ．a ＜b ＜1＜d ＜c

C ． b ＜a ＜1＜d ＜c

D ．c ＜d ＜1＜a ＜

b

解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小：

(1)2(2)0.6

、、、、的大小关系是：．

2481632

358945

12--()

(3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491

2

28416212313525838949

3859=====

解 (2)0.6110.6∵＞，＞，

∴＞．

-

---

45

12

451

232

32

()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6

∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．

【例4】解

比较大小与＞且≠，＞．

当＜＜，∵＞，

＞，

a a a a

a

n n n n n n n

n n n

n n -+-+-=-111

1

1

11

1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()

()

∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n a

a a n n n n n n n n n n n n 1111

1111

1

1()

()

()--+--+-1a 1n 101

【例5】作出下列函数的图像：

(1)y (2)y 22x ＝＝－，()

12

1

x +

(3)y ＝2|x-1| (4)y

＝|1－3x |

解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．

是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．

()()121

2

12

1x x

+

解 (2)y ＝2x －2的图像(如图2．6－5)是把函数y ＝2x 的图像向下平移2个单位得到的．

解 (3)利用翻折变换，先作y ＝2|x|的图像，再把y ＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y ＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解 (4)作函数y ＝3x 的图像关于x 轴的对称图像得y ＝－3x 的图像，再把y ＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)

【例6】解求函数＝的单调区间及值域．

令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5x

x 25x 6

22()()34

3

4u

＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数

＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．

－＋6x x y x 25x 6(][)()(][)-+-+525

2

345252

又∵＝－＋＝≥，

函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．

－＋u x 5x 6y u y 2x 25x 6()()[)()(]x u ----+52141

4

341

4

340108

3

24

【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．

＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()141

2

121211212341

2

121

2

222

x x x x x x x u --+=-+-

+

-3401212121

2

1212141

2

在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u 1)0x 110x 1y 11)[01]

(][()()()()[x x x x

当x ＝0时，函数y 有最大值为1．

【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+1

1

(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ．

f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+111

1

∴函数f(x)为奇函数．

(2)y y 1a 1y 1x

函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-?11

11110

即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)

＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．

a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l x

x x x x -+-+--++112121*********()

()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212