辅助角公式教学及自学
辅助角公式
sin cos )
a b θθθ?+=
+教学应注意的的几个问题
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式
sin cos a b θθ
+=)
θ?+或
sin cos a b θθ
+
cos()
θ?-,让学生在大量的训练和考试
中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复
习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.
一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下
1.引例
例1
求证：sin α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）.
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见
α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导
例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ+bcos θ
a sin θ
b cos θ),
①
=cos?
=sin?,
则
asinθ+bcosθ
θcos?+cosθsin?)
θ+?),(其中tan?=b a)
②
=sin?
=cos?,则
asinθ+bcosθ
θsin?+co sθcos?
θ-?),(其中tan?=a
b
)
其中?的大小可以由sin?、cos?的符号确定?的象限,再由tan?的值求出.或由tan?=b
a
和(a,b)所在的象限来确定.
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一
是为什么要令
a =cos ?
,
b =sin ??让学生费解.
二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式
sin cos a b θθ
+
)
θ?+来得更自然
能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法. 首先要说明，若a=0或b=0时，
sin cos a b θθ
+已经是一个角的一个三角函
数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角?,它的终边经过点P.设
由三角函数的
定义知 sin ?=b
r
=
b , cos ?
=a
a r =
.
所以asin θ+bcos θ
?
sin θ
?cos θ
)
θ?+.(其中
tan ?=b a
) 2.若在平面
直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角?的终边经过点P(b,a),设OP=r,则
由三角函数的定义知 sin ?=a r
,
cos ?=b
r
=
b .
asin θ+bcos θ
=sin cos cos ?θ?θ
+
s()
θ?-. (其中
tan ?=a
b )
例3
cos θθ
+为一个角的一
个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点
设角
?
的终边过点
P,则OP
?=1
2,cos ?=
2.
∴
cos θθ
+=2cos ?sin θ+2sin ?cos θ=2si
n(θ?+
).tan ?=3.
26k π
?π
=
+,cos θθ
+=2sin(6πθ+).
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 asin θ
+bcos θ=
(
a sin
θ+
b
cos
θ
)=
)
θ?+,(其中tan ?=b
a ).或者 asin θ
+bcos θ=
(
sin θ+
b
cos
θ
)=
cos()
θ?-,(其中
tan ?=a
b )
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解
asin
θ
+bcos
θ
凑
成
a sin θ
+
b
cos θ)的道理,
以及为什么只有两种形式的结果. 例4
化sin αα
-
为一个角的一个三
角函数的形式. 解法一:点
(1,-)在第四象限.OP=2.设角
?
过
P 点.
则
sin 2
?=-
,1
cos 2?=.满足条件的最小正角
为53π,5
2,.3
k k Z ?ππ=+∈
1sin cos 2(
sin cos )2(sin cos cos sin )
2
2
552sin()2sin(2)2sin().
3
3
k ααααα?α?α?αππαπ∴-
=-=+=+=++=+解法二:点
在第二象限,OP=2,设角?过P 点.则1sin 2?=
,cos 2
?=-
.满足
条件的最小正角为5
6π,5
2,.6k k Z ?ππ=+∈
1
sin cos2(sin cos)2(sin sin cos cos)
22
55
2cos()2cos(2)2cos().
66
k
ααααα?α?α?αππαπ
∴-=-=+
=-=--=-
三.关于辅助角的范围问题
由sin cos)
a b
θθθ?
+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
设满足条件的最小正角为
1
?,则1
2k
??π
=+.由诱导公式(一)知
1 sin cos))
a b
θθθ?θ?
+=+=+．其中
1
(0,2)
?π
∈，1
tan
b
a
?=，1?的具体位置由1
sin?与1
cos?决定，1?的大小由1
tan
b
a
?=决定．
类似地，sin cos)
a b
θθθ?
+=-，?的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件
的最小正角为2
?，则2
2.
k ??
π=+由诱导公
式有
2sin cos ))
a b θθθ?θ?+=
-=
-，
其中2
(0,2)
?
π∈，2
tan a
b
?
=
，2
?的位置由2
sin ?和2
cos ?确定，2
?的大小由2
tan a
b
?
=
确定． 注意：①一般地，1
2
?
?≠；②以后没
有特别说明时，角1
?（或2
?）是所求的辅助角．
四．关于辅助角公式的灵活应用 引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为
1sin cos )
a b θθθ?+=
+的形式或
2sin cos cos()
a b θθθ?+=
-的形式．可以利
用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．
例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
cos αα
-；
（２）
sin(
)cos(
)63
63
π
π
αα-+
-．
解：
1cos 2(
sin cos )
2
22(sin cos
cos sin
)2sin()
6
6
6
ααααπ
π
π
ααα-=-
=-=-
（２
）
sin(
)cos(
)
63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos(
)sin
]
333
3
3
2sin(
)
33
π
π
ααππααπ
π
π
π
ααπ
α-+
-=-+-=-+-=
-
在本例第（１）
小题中，a =，1b =-，
，而取
．也就是说，当a 、
b
中至少有一个是负值时．我们可以取
Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1
?（或2
?）是锐角，就更加方便．
例
6
已知向
量
(
c
o s ()
,
1
)
3
a x π
=+ ,
1(cos(),)
32
b x π=+- ,
(sin(),0)
3
c x π
=+ ,求函数()h x =
2
a b b c ?-?+ 的最
大值及相应的x 的值.
解:2
1()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ
=+--+++
=
21cos(2)
123
3
sin(2)2
2
3
2
x x ππ++
-
+
+
=1
2
1
2
cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++
=
22[
cos(2)sin(2)]2
2
2
3
2
3
x x ππ+
-
+
+
=11cos(2)2
2
12x π+
+
m ax
()
2.
2
h x ∴=+
这时11
11
22,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.
此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.
五.与辅助角有关的应用题 与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点. 例7 如图3,记扇OAB 的中心角为
45
?
,半径为1,矩形
θ
N
B
M
A
Q P
O
图3
PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM=θ
.则
MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-. 2
2
2
l M Q PQ =+
=2
2
sin
(cos sin )
θθθ+-
=3
1
(sin 2cos 2)22θθ-+
=
13sin(2)
22
θ?-
+,
其中
11t
a
n 2
?=,1
(0,
)
2
π
?
∈,1
1
arctan
2
?
=. 04π
θ<<
,1
11arctan 2arctan
.
22
2
π
θ?∴<+<
+
2m in
32
2
l
∴=
-
,m in
12
l
-=
.
所以当11
arctan 422
πθ=-时, 矩形的对角线l
的最小值为12
-.
(完整版)必修4之《辅助角公式》
?知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下: ----------- sin 来确定。通常称式子(*)为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数冋 题，最终化为y=Asin( x )+k 的形式。 二.训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 (4) -sin .3 cos ； (2) ? ，3 sin cos 2 2 高一数学期末复习 必修 4之《辅助角公式》 y=as in x+bcosx 押a 2 b 2 (sin x ? cosx ? a ------------- =cos . a 2 b 2 0, 0,则y ,a 2 b 2(sin xcos cosxs in )Va b 2 sin(x ) 由此我们得到结论: 2 2 asinx+bcosx= . a b sin(x ),(*)其中0由 cos (3) sin cos sin(- ) ^6 cos(- 6 3 6 3 (5) 5sin 12cos (6) asinx bcosx -------------=si n a
3 2 2 的两个相邻交点的距离等于 ，则f (x)的单调递增区间是 ( ) A . [k ,k A ，k Z B. [k 11 ],k Z 12 12 12 12 C . [k , k ],k Z D. [k ,k 2 ],k Z 3 6 6 3 5. 如 果函 数 y=s in 2x+acos2x 的 图象关 于直 线x=- —对称，那么 a= () (A ) 2 (B ) ,2 (C ) 1 (D ) -1 n 6.函数 y = cos x + cos x +三 的最大值是 ___________ 3 7.已知向量 a (cos(x ),1), b 3 c (sin(x ),0),求函数 h(x)=a 2的最大值及相应的x 的值. 2 . 函 数 y = n 2s in 3 x — cos ( ) A.— 3 B .—2 C 3.若函数 f(x) (1 、_3ta nx)cosx , 0 x ( ) A. 1 B .2 C 4.( 2009安徽卷理)已知函数f(x) 3sin x cos x( n ~6 + x (x € R)的最小值等于 1 D 5 -，则f(x)的最大值为 2 .,3 1 D . ,3 2 0), y f(x)的图像与直线y 2 (cos(x -),-),
辅助角公式专题练习
辅助角公式专题练习 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
辅助角公式专题训练 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数 问题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin cos 22 αα+ ； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x + 2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ?? ??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3. 若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤<，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2
4.（2009安徽卷理）已知函数 ()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212 k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212 k k k Z ππππ++∈C.[,],3 6 k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6 3 k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ?? ?? x ＋ π3的最大值是________． 7.2)cos()12 12 3x x π π + ++ = ，且 02 x π -<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos( )cos()sin()=+++--++61326132233 2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。 6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在 4 π = x 处取得最小值，则函数)4 3( x f y -=π 是 （ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 9. 若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 11.已知向量(cos(),1)3a x π=+,1 (cos(),)32 b x π=+-, (sin(),0)3 c x π =+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =）
三角函数辅助角公式化简
精选文库 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；
精选文库 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2 x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。
(完整word版)辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+ 6π）=2cos （α-3 π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?= b a )
必修4之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问 题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 2αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数 y ＝2sin ? ???? π 3－x －cos ? ?? ?? π 6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =，02 x π ≤<，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ????x ＋π3的最大值是________． 7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1 (cos(),)32 b x π=+-r , (sin(),0)3 c x π =+r ,求函数()h x =2a b b c ?-?+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =）
《辅助角公式》专题(更新版)
《辅助角公式》专题 2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 我们知道sin( )6x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+= 1 cos 22 x x - cos x x cos x x + sin π12－3cos π12 cos )x x - x x sin15cos15o o + 【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】
问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2x x ? ?+?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 其中φ (a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2 . (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝ ； (3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________； (5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________. 【当堂训练】 【求周期】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最小正周期。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专题训练 Revised by Petrel at 2021
辅 助角公式专题训练 教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 教学重点与难点辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学过程 一、复习引入 （1）两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_______________________；()sin αβ-=________________________. （2）利用公式展开sin 4πα??+ ???=___________________ αα=____________. 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+（2 ）sin αα 二、辅助角公式的推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ，我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角. 三、例题反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （1 1cos 2 αα-（2）ααcos sin + （3 αα（4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα-（2）ααsin cos -
（3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值. 例42)cos()12123 x x π π +++=，且02x π-<<，求sin cos x x -的值. 四、小结思考（1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定 （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的一个三角比的 形式？ 五、作业布置 1.3cos 66ππαα????+-+ ? ????? 化为)sin(βα+A ()0A >的形式=________________. 2.关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围. 3.已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围. 4.利用辅助角公式化简：() sin 801cos50? ?? 5.已知函数1()cos 4f x x x =-.（1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值；（2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值. 6.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62 π （1）求的?值；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到 函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π?????? 上的最值. 7.已知函数()2cos sin()3f x x x π=+-.（1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合；（2）求函数()f x 图像的对称轴方程.
辅助角公式专题练习
精品文档 辅助角公式专题训练 一．知识点回顾 sin cos ) ) a x b x x x x ?+=+ =+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ?? = ?? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1）1sin 2αα+； （2cos αα+； （3）sin cos αα- （4sin()cos()6363 ππ αα-+-． 2、 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 3、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域
精品文档 4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ =+∈-的值域 5、求5sin 12cos αα+ 的最值 6．求函数y ＝cos x ＋cos ? ???? x ＋π3的最大值 7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω= +>，()y f x =的图像与直线2y =的 两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （过程 ( ) A.5[,],12 12k k k Z π π ππ-+ ∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.[,],3 6 k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6 3 k k k Z ππππ++∈ （果 过程
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参考答案 1.（6） sin cos ) ) a x b x x x x ?+==+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ??= ? ? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 2.[答案] C [解析] y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π 6＋x ＝2cos ????π6＋x －cos ??? ?π 6＋x ＝cos ??? ?x ＋π 6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π 6∈R ，∴y min ＝－1. 3.答案：B 解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3 x π - 当3 x π = 是，函数取得最大值为2. 故选B
辅助角公式的推导讲解学习
辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角的 一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生 记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3 π ）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ是否可以化为一个角的三角函数形式呢 2.辅助角公式的推导 例2化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解:asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?=b a )
(完整版)辅助角公式专题训练
辅 助 角 公 式 专 项 训 练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数1()sin cos 44f x x x = -。 （1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。 2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62π。 (1)求的?值； (2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0, 4π??????上的最值。 3.已知函数()2cos sin()32 f x x x π =+-。 （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。 4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42 f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
5.设22()cos()2cos ,32 x f x x x R π=++∈。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ =-+-+。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ??- ????上的值域。 7.已知函数11()cos()cos(),()sin 23324 f x x x g x x ππ=+-=-。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2()sin()cos 1468f x x x πππ =--+，若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x=1对称，求当40,3 x ??∈????时，()y g x =的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-。 （1）求()3 f π 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A =r ，1)n =-r ，1m n =r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域。
三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -??? ?上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -???? 上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2 sin cos 2 f x x x x =+- . （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ?? ??? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -??? ?上的值域. 6．已知函数( )21 cos cos 2 f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间.
7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ?? ?，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数 .
辅助角公式 教案
辅助角公式2010-4-7 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)x x +++ 0360x ≤< ，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思
(完整版)辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数3 1 ()sin cos 44f x x x 。 （1）若5 cos 13x ，,2x ，求()f x 的值； （2）将函数 ()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m ， 求m 的值。2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x (0)，其图像过点1(,)62 。(1)求的 值；(2)将()y f x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，得到函数()y g x 的 图像，求函数()y g x 在区间0,4上的最值。 3.已知函数3 ()2cos sin()32f x x x 。 （1）求函数 ()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。4.已知函数23 ()2cos sin cos 2f x a x b x x ，且3 (0)2f ，1 ()42f 。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
5.设22 ()cos()2cos ,32x f x x x R 。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x 。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122上的值域。 7.已知函数1 1 ()cos()cos(),()sin 23324f x x x g x x 。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x 的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2 ()sin()cos 1468f x x x ，若函数()y g x 与()y f x 的图像关于直线 x=1对称，求当4 0,3x 时，()y g x 的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x 。 （1）求()3f 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A r ，(3,1)n r ，1m n r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos24cos sin ()f x x x A x R 的值域。
辅助角公式专题练习
辅助角公式专题训练2013.3 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终 化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 22 αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ） sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ?? ??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=- π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ? ? ?? x ＋ π3的最大值是________． 7.2)cos()12 12 3x x π π + ++ = ，且 02 x π -<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos( )cos()sin()=+++--++61326132233 2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。
辅助角公式专题训练 (2)
辅助角公式专题训练 教学目标 1、会将ααcos sin b a +(a 、b 不全为零)化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角与使用辅助角公式 教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学过程 一、复习引入 (1)两角与与差的正弦公式 ()sin αβ+=_______________________; ()sin αβ-=________________________、 (2)利用公式展开sin 4πα??+ ???=___________________; 反之 αα=____________、 尝试:将以下各式化为只含有正弦的形式,即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 1cos 2 αα+ (2)sin αα 二、辅助角公式的推导 对于一般形式ααcos sin b a +(a 、b 不全为零),如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ )sin()cos sin (cos sin 2 2222222βααααα++=++++=+b a b a b b a a b a b a 其中辅助角β 由cos sin ββ??????? ,即辅助角β(通常πβ20<≤)的终边经过点(,)a b ,我们称上述公式为辅助角公式,其中角β为辅助角、 三、例题反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式、 1cos 2 αα- (2)ααcos sin + αα (4)ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A (),[,0ππβ-∈>A )的形式、 (1)sin cos αα- (2)ααsin cos - (3)cos αα- 例3 、若sin(50)cos(20)x x +++o o 且0360x ≤ 关于辅助角公式的一个定理及其应用 定理1 设函数)0(cos sin )(2 2 ≠++=b a x b x a x f ，则 (1)当且仅当??? ?? ?? += +=2222cos sin b a b x b a a x 时，2 2max )(b a x f +=； (2)当且仅当??? ? ? ?? +- =+-=2222cos sin b a b x b a a x 时，22min )(b a x f +-=． 证法1 因为12 222 2 2=??? ? ??++???? ??+b a b b a a ，所以可设??sin , cos 2 2 2 2 =+=+b a b b a a ，得 )(sin cos sin cos sin )(22222 222?++=??? ? ??++++=+=x b a x b a b x b a a b a x b x a x f (1) (1)当且仅当∈+=+k k x (22π π?Z )即??? ?? ?? += =+==2222sin cos cos sin b a b x b a a x ??时， 22max )(b a x f +=． (2)当且仅当∈-=+k k x (22π π?Z )即??? ?? ??+- =-=+-=-=2222sin cos cos sin b a b x b a a x ??时， 22min )(b a x f +-=． 证法2 因为函数)0(cos sin )(2 2 ≠++=b a x b x a x f 可化成 )(sin )(22?++=x b a x f 的形式，所以 0x 是)(x f 的最值点0x ?是)(x f 的极值点000cos sin 0)(x a x b x f =?='? 化一公式（第一课时） 一、教材分析 化一公式在必修 4 的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为化一公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。二、教学重点 对特殊角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。知道要从系数中提出 a 2b2 . 三、教学难点 对a2b2的探究，理解为什么要提这个出来。 四、教学过程 （一）、知识回顾引入 前面我们学习了两角和的正弦公式，大家回顾一下应该等于： sin() sin cos sin cos 那我们看一下 sin=sin cos cos sin 3 cos 1 sin 33322 则那么请同学看下面两个题应该等于多少 例一：化简下面式子 （ 1）2 sin 2 cos 22 （ 2）1 sin 3 cos 22 解释：第一个式子中的2 可以看成 sin, cos, 变式后利用两角和正弦的逆应244 用课进行化简。第二个式子中的 1 和3 可以看成 cos , sin。 2233（二）、新授知识 那么现在我们来看下一个题： 例二：化简下面式子 （ 1） 2 sin 2 cos （ 2）sin 3 cos （提示学生和例一的关系，让学生自己转化到例一去） 解答：（1）22 sin 2 cos2sin 224 （2） 2 1 sin 3 cos2sin 3 22 为什么要提 2 出来呢？ 因为提出来后可以在里面创造出特殊角的三角函数，是我们想要的 那么刚才的这些题我们都比较容易看出他们和特殊角之间的关系，那么如果遇到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？例三：化简下面式子 a sin x b cosx （让学生思考并讨论） 学生讨论后指出这里应该提出 a 2b2，因为里面剩下的a,b刚好 a 2b2a2b2 可以构一个角的正弦与余弦。 所以 a sin x b cosx a2b2sin(x) ，我们把这种把两三角函数变为一个三角 函数的公式称为化一公式。 由此我们就可以处理任何类似的式子了 例三：化简下面式子 3 15 sin x 3 5 cos x 解答：先观察，把315 与3 5 的公因式 35先提出来，变为 3 sin x cos x ，再利用公式，提出32 2 ，可以变为 653sin x1cos x65 sin x 12 226练习：化简下面式子： （ 1）3 cos x 3 sin x（2） 3 sin x cos x（ 3） 2 sin x 6 cos x 2244 （让学生上来做并讲解） （三）总结 同学们你们来说说这节课你收获到了什么？ 1，化一公式 2 ，逆向思维3，化归的思想（四）作业 练习册关于辅助角公式的一个定理及其应用--(2019高考)数学考点分类解析
化一公式,辅助角公式学习教案.docx