五年级 连续自然数
第22讲
连续自然数
在数学问题中，连续自然数（包括连续偶数，连续奇数，连续质数）是一类特殊的数列。它与自然数的性质、运算性质有着广泛的联系，可以提出很多问题，是课外活动及数学竞赛中常见的题目。
例1在1~1999这1999个数中，有个数与4567相加时，至少有一个数位发生进位。
分析和解我们从不发生进位的情况入手，从0~1999这2000个数减去不发生进位的情况即为所求。
将0~1999这2000个数都看成“四位数”（如1看成0001,18看成0018,344看成0344），如果与4567相加不发生进位，个位数字只有0、1、2这三种情况；十位数字只有0、1、2、3这4种情况；百位数字只有0、1、2、3、4这5种情况；千位数字只有0、1这两种情况（因为在0~1999这2000个数中千位数只有0、1两种情况）。
所以，与4567不发生进位的数有
3×4×5×2 = 120（个）
从而1~1999中与4567相加至少发生一次进位的数有
2000－120 = 1880（个）
随堂练习1
在2~2007这2006个数中与1234相加时，至少有一个数位上发生进位的数有个。
分析：不发生进位的分四种情况讨论。1.一位数的情况有4种 2.两位数的情况有36种3.三位数的情况有294种 4.四位数情况有342种所以2006个数中，有676个数是不发生进位的，则至少发生一位数上的进位的数有1330个。
例2三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么，符合条件的最小的三个连续数是。
分析与解设中间数为a，则三个数之和为3a。由3a能被13整除推知a能被13整除，再由（a + 1）除以9余4，得a最小是39，所以这三个数是38，39，40。
随堂练习2
有些是既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数之和，还能表示成5个连续自然数之和。例如30满足以上要求，30 = 9 + 10 + 11 = 6 + 7 + 8 + 9 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8。请你在700至1000之间找出所有满足上述条件要求的数。（提示：3个连续自然数之和可被3整除，4个连续自然数之和可被2整除，5个连续自然数之和可被5整除）
分析：因为3个连续自然数之和可被3整除，4个连续自然数之和可被2整除，5个连
续自然数之和可被5整除。所以这个数是3、5、2的公倍数。所以这些数是750、810、870、930、990。
例3（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？
（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的数字和能被4整除？
分析与解
（1）由于每连续4个自然数中必有一个数能被4整除。而3998÷4 = 999余2，余下的两个数为3997、3998，这两个数不能被4整除。所以在1~3998中共有999
个数能被4整除。
（2）为了方便，将0到3999这4000个数中都看作四位整数abcd（不是4位，则在前面补零，如18 = 0018），由于在abcd中，数字b、c、d各有10种选择（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）。为满足a + b + c + d能被4整除，在a = 0，1，2，
3中a必唯一确定。事实上，若b + c + d = 4k,则a = 0；若b + c + d = 4k + 1,则a = 3；若b + c + d = 4k + 3，则a = 1.（k为整数）
综上所述，在0~3998这4000个整数中有1000个数的数字和能被4整除。因为3999的数字和=3 + 9 + 9 + 9 = 30不是4 的倍数。0课看为4的倍数，因此在1~3998中，有1000－1 = 999（个）数的数字和能被4整除。
例4 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整除，1号做了一一验证，只有编号相邻的两个同学说的不对。问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数。（2）如果告诉你，1号写的是五位数，请求出这个数。
分析与解
（1）首先可以断定编号是2、3、4、5、6、7的同学说的一定都是对的。不然，其中说得不对的编号乘以2后所得的编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两个同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2、3、4、5、6、7、整除，从而也能被2×5、3×4、2×7整除，即编号为10、12、14的同学说得也对，于是可以断定编号为11、13、15的同学说得不对，不然，说的不对的编号不是连续的两个自然数。
因此，说得不对的两个同学的编号只能是8号和9号。
（2）这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数，由于上述12个数的最小公倍数是【2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15】=60060 因为60060是一个五位数，二12个数的其他公倍数均不是五位数，而且显然这个数不是8、9的倍数。所以1号同学写的数就是60060.
随堂练习
在1,2，……，1994这1994个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么，这样的数最多能选出77 个。
分析：要使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么，所选的数是26的公倍数。又因为676中有两个26，所以在所选的数中可随意添加一个不是26的公倍数，所以这样的数可以选出77个。
例5
在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？
分析与解
2~16这15个连续自然数中有6个质数：3、5、7、11、13、17.
3~17这15个连续自然数中有6个质数：3、5、7、11、13、17
15个连续自然数中最多有6个质数，理由如下：可设这15个连续自然数中最小的一个不是2、3.这时，这15个连续自然数中的偶数都不是质数，剩下的奇数至多有8个，而3个连续奇数中必有一个是3的倍数，因而这8个奇数中至少有两个不是质数，从而至多有6个质数。在15个连续自然数中可以没有质数（质数个数为0），例如
16！+2，16！+3,16！+4，……16！+16（16！=1×2×3×4×5……×14×15×16 16！读作16的阶乘，他表示从1到16个数的连乘积）。
随堂练习
五个连续自然数，每个数都是和数，这五个连续自然数的和最小是130 。
分析：把质数从小到大排列3、5、7、11、13、17、19、23、29、31……，由此可以发现，在23到29之间刚好有5个数，所以这五个自然数的和最小为130.
练习题
1.请在下列（A）~（E）中找出3个连续两位数的积。B
A.1321
B.12144
C.980100
D.5812
E.44568
分析：设这个数为a-1，a，a+1，那么三个数的积为a(a2-1)
2.有四个学生，他们年龄是四个连续自然数，这四个数相乘得3024.这四个学生中
年龄最大的是9 岁。
分析：设这个数为a-1，a，a+1，a+2，所以4a+2=3024，所以a=7，所以年纪最大的学生为9.
3.四个连续自然数积为1680，这四个数中最小的是 5 。
分析：1680=16×3×5×7=5×6×7×8，所以这四个数中，最小的数是5.
4.用1、2、3、4、5、6、7七个数组成三个两位数，一个一位数，并且使这四个数
的和等于100，我们要求最大的两位数尽可能小，那么这三个数的和是42。
分析：要使两位数尽量小，所以个位数尽量大，所以100-7=93。所以这三个两位数为42,36,15。
5.三个连续自然数的后面两个数的积与前面两个数的积之差是114，那么这三个数
的和是171。
分析：设这个数为a，则这三个数为a-1，a，a+1，有因为a(a+1)-a(a-1)=2a,所以2a=114，所以a=57,所以三个数的和是171。
6.数2,4,6,8,10,12，……是连续偶数，若五个连续偶数的和是320.问这5个数中最
小的一个数是多少？
分析：设这5个数为2a,2(a+1),2(a+2),2(a+3),2(a+4),所以10a+20=320，a=30，所以最小的一个数是60。
7.将1、2、3、4、5、6、7、8分成三个组。分别计算各组的和，已知这三个和互
不相等，且最大的和是最小的和的两倍。问在最小的和是多少？
分析：1+2+3+4+5+6+7+8=45，最大的和是最小的和的两倍，3a+b=45,所以通过带入数字计算可以得出b=8.
8.有若干个连续奇数1,3,5,7,9,11，……，擦去其中的一个奇数后，剩下的奇数之和
为1998.那么擦去的奇数是27 。
分析：设一共有n个奇数相加，那么（1+n）n÷2所得的数与1998最相近的数为2025,2025-1998=27，所以减去的数是27。
9.从1~9这9个数字中取出三个可以组成六个不同的三位数。如果六个三位数的和
是3330，那么这六个三位数中最大的是951。
分析：假设这三个数是a,b,c,那么这六个数为abc,acb,bac,bca,cab,cba,所以个位上，十位上，百位上都是2（a+b+c）,所以2（a+b+c）+20(a+b+c)+200(a+b+c)=3330,由此可以求出a+b+c=15，要使这个数字最大，那么在百位上取9，所以这个数字为951。
10.某个自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示为10个连续自然
数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是495 。
分析：因为这个数可以表示成9个连续的自然数，所以能被9整除，同理，也可以被5和11整除，所以求9，11,5的最小公倍数，即495。
11.n个连续自然数相加，和能否等于1991，如果能，有几种不同的答案；如果不能，
说明理由。
分析：当n等于2是，1991=995+996,1991=181×11，所以1991=176+177+……
+186=80+81+82 (101)
12.把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数1,2,3，……，9,10,11,12，……。
把这串两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1,2,3,4， (9)
1,0,1,1,1,2，……。第一串数中100的个位数字0，在第二串数中是第192 个数。
分析：从1到100这100个数中，有9一一位数，有90个两位数，所以从1到99一共有189个数，所以100的个位数上的0在第192个数。
13.在两位数10,11，…，99中，将每个被七整除余2的数的个位与十位之间添加一
个小数点，其余的数不变。问：经过这样改变后，所有数的和是4316.4 。
分析：从10到99这些数中，满足条件的数是满足7n+2这个式子的。由等差数列求和公式可知，这些数的和为654，加上小数点后为65.4，所有数的和为：（10+99）×90÷2-654+65.4=4316.4。
求连续自然数平方和的公式
求连续自然数平方和的公式 前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式： 12＋22＋32…＋n 2＝6 ) 12)(1(++n n n 这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… 1＋2＋3＋…＋n 1 3 6 10 15 21 …… 12＋22＋32＋…＋n 2 1 5 14 30 55 91 …… 然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数 A n ＝n n ++++++++ 3213212 222， 再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… A n 1 35 37 3 311 313 …… 观察发现，A n 的通项公式是3 1 2+n 。 既然A n ＝n n ++++++++ 3213212222，而它的通项公式是3 1 2+n ，于是大胆猜想 n n ++++++++ 3213212222＝3 1 2+n 。 因为分母1＋2＋3＋…＋n ＝2 ) 1(+n n ， 所以 2)1(3212222+++++n n n ＝31 2+n 。 由此得到 12＋22＋32…＋n 2＝ 2)1(+n n ×312+n ＝6 ) 12)(1(++n n n 。 即 12＋22＋32…＋n 2＝ 6 ) 12)(1(++n n n 。
用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。 这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。 这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。
连续自然数的和
题目描述 对一个给定的自然数M，求出所有的连续的自然数段，这些连续的自然数段中的全部数之和为M。例子：1998+1999+2000+2001+2002 = 10000，所以从1998到2002的一个自然数段为 M=10000的一个解。 输入格式 包含一个整数的单独一行给出M的值（10 <= M <= 2,000,000）。 输出格式 每行两个自然数，给出一个满足条件的连续自然数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空 格隔开，所有输出行的第一个按从小到大的升序排列，对于给定的输入数据，保证至少有一个解。样例输入 样例输出 试验程序： multimap
if(k==n) { nn.push_back(*temp.begin()); nn.push_back(*(--temp.end())); mm.insert(pair 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+... +n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) 连续自然数立方和的公式 “图形法“ 早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非 常简单的方法推导过这个公式。 奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证： 请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端： 第1个等式左端，结束于第1个奇数； 第2个等式左端，结束于第3个奇数； 第3个等式左端，结束于第6个奇数； 第4个等式左端，结束于第10个奇数； 第5个等式左端，结束于第15个奇数； …… 结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连 续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5 项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n ＋1)/2个奇数。 然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和： 右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。 左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。 这样就得到求连续自然数立方和的公式： 这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的 宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。 “列表法” 这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。 第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。 第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。 显然，所有乘积的和等于 这5块依次是： 1 2 自然数幂次方和的另一组公式 3 摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任 4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给 5 出了相应的系数完整表达式。这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数 6 至今仍是递推公式表达。 7 8 9 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而 10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出 11 来。 12 假设自然数幂次方和可以写成以下形式 13 ∑∑=++===p k k n k n k p n C A k S 1 111 。。。。。。（1） 14 那么同理可应有： 15 ∑∑=++--=-==p k k n k n k p n C A k S 1 11)1(1 1 1 16 那么： 17 ∑∑=+=++--=-=p k k n k p k k n k n n p C A C A S S n 1 1 1 11 1 18 [ ]∑∑==+++=-=p k k n k p k k n k n k p C A C C A n 1 1 111 19 20 ∑== p k k n k p C A n 1 21 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中： 23 )1).....(1(k n n n C k n -+-= 24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。 25 分别令n=1,2,3， 。。。。p-1时就有： 26 01 1 1 1 +=+ ==∑∑∑∑=+===t k k t k p t k k t k t k k t k p k k t k p C A C A C A C A t 27 ∑==t k k t k p C A t 1 )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 28 （2) 29 ∑-=-=1 1t k k t k p t C A t A )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 30 （3） 31 这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。 34 其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下35 面给出这个结论。 36 第16讲巧妙求和 一、知识要点 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？ 杭州青少年活动中心11年春季五年级“1+1”数学俱乐部练习 (7)《连续数问题》 教室；学号 ；姓名 ；成绩 [讨论2]在2至2011这2010个数中，与1234相加时，至少有一个数位发生进位的数有多少个？ [讨论3].三个小于5000连续自然数，它们从小到大依次是9、10、11的倍数，这三个连续自然数中（除10外），是11的倍数的最大是多少？ [讨论4]. 已知三个连续自然数，它们都小于2011，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除，那么最小的一个自然数是多少？ [讨论5]在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和13的数共有多少个？ [讨论6]有15位同学，每位同学都有一个编号，依次是1至15号.1号的同学写了一个五位数，2号的同学说："这个数能被2整除"，3号的同学说："这个数能被3 整除"；4号的同学说："这个数能被4整除"；……15号的同学说："这个数能被15整除".1号的同学一一作了验算，只有编号连续的两位同学说的不对，其他同学都说得对. （1）说得不对的两位同学的编号个是多少？ （2）这个五位数最小是多少？ [讨论1]有些数既能表示成3个连续自然数量的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。请你在700至1000之间找出所有满足上述条件的数。 试一试：把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？ 【小试身手】 1.★84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？ 2.★三个连续自数数的后面两个数的积与前面两个数的积之差是114 ，那么这三个数的和是多少？ 3.★★在15个连续自然数中最多有多少个素数，最少有多少个素数？ 4.★★有四个连续自然数，它们都小于2005，第一个数（四个数中最小的数）是5的倍数；第二个数是7的倍数；第三个数是9的倍数；第四个数（四个数中最大的数）是11的倍数。请问这四个数中最小的数是多少。 5.★★★已知三个连续自然数，它们都小于3000，其中最小的能被11整除，中间的能被16整除，最大的能被21整除。写出这样的最小的三个连续自然数。 6.★★★甲有三个连续自然数，从小到大依次分别能被17，15，13整除，写出一组这样的三个连续自然数。 7.★★★有10个连续的两位数，按从小到大的顺序从左到右排成一行，其中每一个两位数的两个数字的和都能被它所排的序号整除(即序号n能整除第n个两位数的数字和)。那么，这10个两位数中，最大的两位数的两个数字的和是多少？ 本科毕业论文 自然数幂求和公式的存在与规律探讨 SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY 学院（部）：理学院 专业班级：08-2数学与应用数学 学生姓名：张兴刚 指导教师：范自强 2012年6 月1 日 自然数幂求和公式的存在与规律探讨 摘要 自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。 关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间 Sum formula of power of natural number 's existence and regularity Abstract Natural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural linear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rule; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural number power sum problem brought a new perspective. Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free linear space 下面是常用的一些求和公式： a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数) 称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数. 通项公式 前n项和 等差中项 a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数) 称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数. 通项公式 前n项和 等比中项 无穷递减等比级数的和 更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数) 等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 在数字问题中，连续自然数（包括连续偶数，连续奇数，连续质数）是一类的数列。它与自然数的性质、运算性质有着广泛的联系，可以提出很多问题，是课外活动及数学竞赛中常见的题目。 在1~1999这1999个数中，有个数与4567相加时，至少有一个数位上发生进位。 试一试 在2~2007这2006个数中与1234相加时，至少有一个数位上发生进位的数有个。 三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么，符合条件的最小的三个 连续自然数是 试一试 有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个自然数的和。例如30满足以上要求，30=9+10+11=6+7+8+9=4+5+6+7+8.请在700至1000之间找出所有满足上述条件要求的数。（提示;3个连续自然数之和可被3整除，4个连续自然数之和可被2整除，5个连续自然数之和可被5整除。） （1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？ （2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的数字之和能被4整除？ 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整数，1号作了一一验证，只有编号相邻的两个同学话说的不对。问：（1）说的不对的两位同学，他们编号是哪两个连续自然数。 （2）如果告诉你，1号写的是五位数，请求出这个数。 试一试 在1、2、……、1994这1994个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么，这样的数最多能选出个。 在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？ 试一试 五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是 用1到9这9个数字组成三个3位数（每个数字都要用到），每个数都是4的倍数，这三个三位数中最小的那个三位数最大的数是多少？ 推导213)1(21??????+=∑=n n k n k 的两种方法 通化市第一中学校 刘天云 邮编 134001 方法一：拆项累加相消求和 已知：)12)(1(6 112++= ∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4 1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1 )3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n k n k n k n k k k k k k k 1 1121323)]2)(1([ )1(2 12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21?? ????+=n n 另外：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4 1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n )(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4 1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导 构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / …… 我们用两种方法研究前n 群的所有数的和. 1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2 1+n n 项，而且该项为 11)1(2 122)1(21 -+=-+?=+n n n n a n n 那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2 1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21 +-=-?? ????+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2 1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n k k 13. 2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2 )1(21??????+n n 因此：2 13)1(21??????+=∑=n n k n k 第4课连续自然数求和 在运用VB6.0进行程序设计时，经常会发现某一段代码是需要反复执行的，我们把用以实现此种需求的程序结构称为循环结构。在VB6.0中提供的循环结构有两种，一种是For…Next循环；另一种是Do…Loop循环。本节课中，我们将依托一个“连续自然数求和”小程序来引出For...Next循环，并针对其进行简单讨论。 编写意图 流程控制语句是VB6.0程序设计中极其重要的一环，可以说理解并掌握了VB6.0编程中流程控制语句的使用方法，就相当于打开了一扇通往计算机程序设计世界的大门。流程控制语句的学习其实更是一种逻辑思维模式的学习，是一种较为复杂的因果判定思想的形成过程，这种思想在所有的编程语言中也都是通用的。 初中四年级的学生经过多年的学习生活，已经具备了较好的逻辑思维能力和自学能力，所以，本节课我们设计了制作“连续自然数求和”小程序这样一个学习任务，通过这个任务的完成，引出流程控制语句中的For...Next循环结构，同时学习了列表框控件属性的修改方法。 内容分析 课文中出示的“连续自然数求和”小程序共主要涉及到了：修改控件属性、For...Next 循环结构以及简单循环程序的编写、卸载当前窗体四个知识点，其中隐含当前窗体，本节侧重修改控件属性的方法和循环程序的编写这两个知识点地学习。 教学目标 1.知识与技能 ◆理解For...Next循环结构的作用，掌握其语法形式和使用其进行简单循环程序的编写地方法，进而初步形成程序设计中循环程序的概念； ◆列表框控件的属性设置方法。 2.过程与方法 ◆通过学生自读教材和上机对比操作演练，结合前面学习过的控件属性知识，使其能够自行发现并总结出控件属性的修改方法； ◆通过学生自读教材，使学生在对“连续自然数求和”小程序进行分析的过程中理解并掌握For...Next循环结构及运用For...Next语句进行循环程序设计地方法。 3.情感态度与价值观 ◆使学生因自行探究并总结出了控件属性的修改方法而感受探究成功的快乐的同时，进一步增强其自学能力、树立自信心、克服其对计算机编程的恐惧心理； ◆使学生通过对连续自然数进行传统的累加运算与应用循环程序设计“连续自然数求和”程序的对比中认识到计算机程序设计在生活中的作用和意义。 涉及三个连续自然数的整除问题 陕西省小学教师培训中心王凯成赵熹民 题1 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。 题2 有三个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数。 题1、题2都是涉及三个连续自然数的整除问题。如何解决这类问题呢？ 例1见题1 解：能够被5整除数的特征是：个位数字是0或5。以中间数的个位数字是0或5为突破口。 谁乘以7的个位数是1或6呢？只有□3×7或□8×7的个位数是1或6。 100÷7=14……2，因为14＞13，用23试验。 23×7=161, 161－1=160是5的倍数，160－1=159是3的倍数。 故159、160、161是符合条件的一组数。 在100至200之间还有没有其它符合条件的三个连续自然数呢？ 3、5、7的最小公倍数是105，而100＜159+105k＜200与100＜161+105k＜200的k只能取0，故159、160、161是唯一符合条件的一组数。 例2 见题2 0或5。 解：能被 随便取一个数试验。 88×19=1672，因最小的数要被3整除，但3不整除1670，调整，给1672增加190的若干倍(因1672+190m，仍然能被19整除)，1672+190=1862，3整除1860，但17不整除1861。再调整，给1862增加190×3=570的若干倍(因1862+570k能被19整除，而1860+570k能被15整除)。 1862+570=2432，此时恰好17整除2431。 故2430、2431、2432是符合条件的一组数。 由15、17、19的最小公倍数是4845知：2430+4845k、2431+4845k、2432+4845k (k=0,1,2，……) 是符合条件的任意一组数。 例3 有大于400的三个连续自然数，其中最小的能被6整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出一组这样的三个连续自然数。 解：由被5整除数的特征知，最小数、中间数、最大数的个位数依次是4、5、6(为什 数列的求和问题 知识点一：数列的前项和的相关公式 1.任意数列的第项与前项和之间的关系式： 2.等差数列的前项和公式： （为常数） 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0； 当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式. 3.等比数列的前项和公式： 当时，，， 当时，或 知识点二：求数列的前项和的几种常用方法 1.公式法： 如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和； 2.分组转化法： 把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和。例如对通项公式为a n=2n+3n的数列求和。 3.倒序相加法： 如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可以采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.例如等差数列前项和公式的推导。对 通项公式为的数列求和。 4.错位相减法： 如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应 项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为 （其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”） 的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和。 一般步骤： ，则 所以有 注意： ①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法。一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公 比q后，再错位相减求出其前项和； ②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法 会不成立. 5.裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法. 例如对通项公式为的数列求和。 常见的拆项公式： ①； ②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则； ③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时， 则. ④；. 五年级期中考试数学试题 一、填空。(30分)(每空1分) 1.已知两个数的积是1 2.8，其中一个乘数是2，另一个乘数是()。 2.1～20的自然数中奇数有()个，偶数有()个，质数有()个，合 数有()个，()既不是质数又不是合数。 3.5.4是1.8的()倍，0.48是()的24倍。 4.327至少加上()，才是2的倍数，至少减去()，才是5的倍数。 5.在15、18、20、30、45这五个数中，是3的倍数是()。有因 数5的数是()，既是3的倍数，又是5的倍数有()。 6.在三位数42的“”中可以填上()、()、()和()后组成的数都 是3的倍数。 7.一个平行四边形面积是38平方厘米，底是9.5厘米，高是()。 8.一个平行四边形的底扩大3倍，要让面积不变高应该()。 9.9.925保留一位小数约是()，2.445保留两位小数约是()。 10.一个平行四边形的面积是50平方厘米，和它等底等高的一个三角形面积是()。 11.一个两位小数取近似值是 5.8，那么这个两位小数最大是()，最小是()。 12.把1.2111…,1.212121…,1.211这三个数按从小到大的顺序 排列 ()<()<() 13.根据2072÷37=56直接写出得数 207.2÷37=()2.072÷0.037=()2072÷0.37=() 二、下列说法对吗?请你来当小法官。(5分)(对的涂“A”，错的涂“B”) 1.两个连续奇数的积一定是合数。() 2.一个数的倍数总比这个数的因数大。() 3.5是因数，15是倍数。() 4.长方形的面积和平行四边形的面积相等。() 5.是轴对称图形。() 三、火眼金精(把正确答案的序号涂黑)(10分) 1.一个质数() A没有因数B只有一个因数C只有2个因数D有3个因数 2.下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是() A13、14、15B7、8、9C14、15、16 3.既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数是() A、999 B、995 C、990 D、950 4、与36相邻的两个偶数是() A、35和37 B、34和38 C、36和38 D、34和36 5.一个奇数如果()，结果是偶数。() A加上一个偶数B乘1C加上一个奇数D除以1 6.一个不等于0的数除以0.75，商一定()这个数。 A大于B等于C小于 7.下面各数中是9的倍数的是()。 A3B6C9 8.计算7.5÷0.016时必须先把被除数和除数同时扩大()倍。 斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式 将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。 例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法： )}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。 所以，6)3,4(=S 。 斯特林数),(k n S 的值列表如下： 容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1 -=-n n S ，2 )1,(2 = =-C n n S n 。定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。 把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。 两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 如果规定当1 小学数学解题方法：连续自然数求和 一、解题方法归纳： １．连续自然数求和的方法：头尾两数相加的和×加数的个数÷2 ２．连续自然数逢单时求和的方法：中间的加数×加数的个数。 二、范例解析 例1 比一比，看谁算得快。 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = ？ 解法1 4个10加上5等于45。 解法2 5个9等于45。 解法3 得到9个10，即90，它是和数的2倍，即90÷2 = 45。 说明解法1是利用“凑整”技巧进行简算； 解法2是利用“0”的神奇性配对进行速算； 解法3是常说的高斯求和法速算。 你听说过数学家高斯小时候的故事吗？有一次老师出了一道数学题： “求1＋2＋3＋4＋……＋100的和”。老师的话音刚落，高斯就举手说：等于5050。 高斯是怎样算的？他将这100个数倒过来，每相对两数的和等于101，共有100个101，将101乘以100后再除以2，结果等于5050。 我们由此得到启发，一组连续自然数相加时，可用下面的公式求和。 头尾两数相加的和×加数的个数÷2 例2 计算下面两题。 ⑴4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 = ？ ⑵21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =？ 解⑴4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 =（4＋13）×10÷2 = 17×10÷2 = 170÷2 = 85 ⑵21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =（21＋28）×8÷2 = 49×8÷2 = 392÷2 = 196 说明只要的连续自然数求和，不一定要从1开始，均可用此法计算。 例3 求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 解法1 53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 =（53＋59）×7÷2 = 112×7÷2 = 784÷2 = 392 解法2 53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 = 56×7 = 392 说明如果相加的连续自然数的个数逢单时，也可用下式计算和： 中间的加数×加数的个数。 例4 求和。 ⑴1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ⑵24＋26＋8＋30＋32 解⑴1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 = 9×9 = 81 我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和 接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用 如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢 注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……， 最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法 一、（43分） 1、三个连续的自然数总和是150，这三个连续的自然数分别是（）（）（）。 2.（）54÷5，要使商是三位数，（）里最小能填几( ). 1.小明6分钟走了358米，每分钟大约走（）米。 2.一个数除以6，商是32，余数最大是（），这时被除数是（）。 3.被除数与除数的和是320，商是7，被除数是（）。 4.甲书架有76本书，乙书架有44本书，从甲书架拿( )本书放到乙书架上，两个书架的书一样多。 5.甲乙两数的平均数是91，甲数是80，乙数是（）。 6.要使664÷（）的商是三位数，（）里最大填（）。 7.妈妈今年39岁，她出生于（）年。 8.阳阳每天早上六点起床，她应该晚上（）时睡觉才睡足9小时。 9.纺织工人晚上11时30分上班，第二天上午7时30分下班。他们工作了（）小时。 10.某超市促销活动于6月13日举行，6月25日结束，本次促销活动共经历了（）天。 11.一页书有21行，每行28个字，一页大约有（）个字。 12.一个正方形花圃的周长是80米，这个花圃的面积是（）。 13.一条长12米，宽6米的走廊，要在地面铺面积是4平方分米的方砖。需要（）块这样的方砖。 14.一个长方形，如果长增加4厘米，面积就增加32平方厘米，如果宽增加1厘米，那面积就增加9平方厘米，这个长方形原来的面积是（）。 15.在（）里填上适当的单位。 一张邮票的面积是6（）课桌的面积约42（） 小华家住房面积是98（）黑板的周长是8（） 一个果园的面积约15（）中国的领土面积大约是960万（）18.680平方厘米=（）平方分米（）平方厘米 5日=（）时17时是下午（）时 19.小李叔叔身高178厘米，写成小数是（）米。 20.与7.5相邻的两个一位小数分别是（）、（）。 21.小民读一个数时，由于粗心没有看到小数点，结果读成了四万一千零九，读原来小数时也要读出一个零，这个小数时（），读作（）。 22.一个游泳池长25米，小明有了2个来回，他共游了（）米。 23.三（1）班参加语文兴趣小组的有18人，参加数学小组的有16人，其中有5人两个兴趣小组都参加了，三（1）班共有（）人参加兴趣小组。 24. + =80 = + + =（）=（） 25. - =40 = + + + + =（）=（） 26.丽丽的今年7岁，爷爷的年龄是她的9倍，明年爷爷的年龄是她的（）倍。 27.用5个边长是1厘米的小正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（），面积自然数平方数列和立方数列求和公式
连续自然数的立方和
最新自然数幂次方和公式
小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案
7.连续数问题
自然数幂求和公式的存在与规律探讨
常用的一些求和公式
小五奥数-连续自然数
推导自然数立方和公式两种方法
VB 第4课 连续自然数求和
涉及三个连续自然数的整除问题
数列的求和问题(规律总结)
五年级期中考试数学试题
斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式
小学数学解题方法：连续自然数求和的解题技巧
自然数平方和公式推导
三个连续的自然数总和是150