第四章习题课线性代数
第四章 向量组的线性相关性
6．设21,a a 线性无关, b a b a ++21,线性相关,求向量b 用21,a a 线性表示的表示式.
解 由于b a b a ++21,线性相关, 所以存在不全为零的数21,k k ,使得
2211212211)(0)()(a k a k b k k b a k b a k --=+?=+++.
由于21,a a 线性无关,故021≠+k k ,否则由上式得, 00212211==?=+k k a k a k , 这与21,k k 不全为零矛盾.
所以由221121)(a k a k b k k --=+得，
.
0,,,212122
12
1211≠+∈+-+-=k k R k k a k k k a k k k b
8．举例说明下列各命题是错误的:
(1) 若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由m a a ,2线性表示.
解 设T
e a )0,,0,0,1(11 ==, 032====m a a a
满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由m a a ,,2 线性表示.
(2) 若有不全为0的数m λλλ,,,21 使
01111=+++++m m m m b b a a λλλλ
成立, 则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.
解 有不全为零的数m λλλ,,,21 使
01111=+++++m m m m b b a a λλλλ
原式可化为
0)()(111=++++m m m b a b a λλ
取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 ,
其中m e e ,,1 为单位坐标向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性无关.
(3) 若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式
01111=+++++m m m m b b a a λλλλ
才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.
解 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )得
0)()(111=++++m m m b a b a λλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++?,,,2211 线性无关.
取021====m a a a ,取m b b ,,1 为线性无关组(例如单位坐标向量m e e ,,1 ),
满足以上条件,但不能说m a a a ,,,21 线性无关.
(4) 若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数m λλλ,,,21 使
0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ
同时成立.
解 T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ?
?
?
??
-=?=+-=?=+21221121221134020λλλλλλλλb b a a 021==?λλ与题设矛盾.
9．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.
证明 设有4321,,,x x x x 使得
044332211=+++b x b x b x b x
则
0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++?a x x a x x a x x a x x
(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,使得
044332211=+++a k a k a k a k .
取
141k x x =+;221k x x =+;332k x x =+;443k x x =+; 由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,又044332211=+++b x b x b x b x 所以4321,,,b b b b 线性相关.
(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则?????
??=+=+=+=+000043
322141x x x x x x x x 011000110001110014321=??
??
???
?????
???? ???x x x x 由01100011000111001=知, 此齐次方程存在非零解, 所以有不全为零的4321,,,x x x x 使得
044332211=+++b x b x b x b x ,则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.
10．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.
证明 设02211=+++r r b k b k b k 则
+
+++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k
因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故
???
?
??
?==++=+++000221r r r k k k k k k ???????
? ??=??????? ????????? ??0001001101121 r k k k
因为011
001
101
1≠= ,故方程组只有零解.
则021====r k k k , 所以r b b b ,,,21 线性无关.
12．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组表示.
(2) ????
??
? ??---140113
130********
211.
解
???
?
?
?? ??---==14011313021512012211),,,,(54321a a a a a A 14132~r r r r --??????? ??------222001512015120122114323~r r r r ?+?
????
??
??---00000222001512012211， 所以第1、2、3列321,,a a a 构成一个最大无关组．
把A 化成行最简形矩阵),,,,(54321b b b b b B =.
~A ??
?
??
?
? ?
?---0000022200
15120
12
21
1
??????
?
?
?--=00
000111001301001001~
B 由于方程0=Ax 与0=Bx 同解,所以向量54321,,,,a a a a a 之间与
向量54321,,,,b b b b b 之间有相同的 线性关系.
由于3
214301
000010300010131b b b b -+=??????
? ??-??????? ??+??????? ??=??????? ??-= 3
2501
00001001
10b b b +-=????
??
?
??+??????? ??-=??????
? ??-= 所以32143a a a a -+=,325a a a +-=.
13．设向量组
????? ??=131a a ,????? ??=322b a ,????? ??=1213a ,????
? ??=1324a
的秩为2,求b a ,.
解 由于43,a a 的对应分量不成比例,所以43,a a 线性无关,其秩为2. 从而4321,,,a a a a 的秩为2?21,a a 可由43,a a 线性表示
?0),,det(431=a a a 且0),,det(432=a a a . 因为a a a a -=2),,det(431,b a a a -=5),,det(432,所以4321,,,a a a a 的秩为2?2=a ,5=b .
14．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能
由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关.
证明 由于n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由n a a a ,,,21 线性表示,不妨设:
n nn n n n n
n n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111
所以 ()()??????
?
??=nn n n n n n n k k k
k k k k k k a a a e e e 21222
12121112121
两边取行列式，得
()()??????
?
??==nn n
n n n n n k k k
k k k k k k a a a e e e E
2122212121
112
121||,由
?=1||E ()021
≠n a a a ,
即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n ,
故n a a a ,,,21 线性无关.
15．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：
任一n 维向量都可由它们线性表示.
证明 必要性: 设b 为任一n 维向量, 则n 维向量组
b a a a n ,,,,21 线性相关
(其所含向量个数大于向量维数).
因为n a a a ,,,21 线性无关,所以b 能n a a a ,,,21 线性表示.
充分性: 因为任一n 维向量可由n a a a ,,,21 线性表示，
所以单位坐标向量组n e e e ,,,21 能
由n a a a ,,,21 线性表示.则
n
a a a R n a a a R e e e R n n n n =?≤≤=),,,(),,,(),,,(212121 ,
所以n a a a ,,,21 线性无关.
16. 设向量组m a a a ,,,21 线性相关,且01≠a ,证明存在某个向量)2(m k a k ≤≤,使得k a
可由121,,,-k a a a 线性表示.
证明 反证法,假设结论不成立.
设02211=+++m m a k a k a k , )(* 因为m a 不能由121,,,-m a a a 线性表示,所以0=m k .
)(*式变为011221
1=+++--m m a k a k a k .
因为1-m a 不能由221,,,-m a a a 线性表示,所以01=-m k .
……
同理可得, 0232====--k k k m m .
所以)(*式变为011=a k . 由于01≠a ,所以01=k .
综上可知, 021====m k k k ,所以m a a a ,,,21 线性无关,这与题设矛盾!
从而假设不成立,原命题成立.
17．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为
K a a b b s r ),,(),,(11 =，
其中K 为r s ?矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条
件是矩阵K 的秩r K R =)(.
证明 令),,(),,(11s r a a A b b B ==, 则有AK B =.
必要性: 若B 组线性无关,则r B R =)(.
由)()}(),(min{)()(K R K R A R AK R B R ≤≤=,故r K R ≥)(. 又K 为r s ?阶矩阵,则r K R ≤)(. 综上知,r K R =)(．
充分性: 设r K R =)(.
令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数,r i ,,2,1 =.
则有0),,,(121=???
?
? ??r r x x b b b ,即00=?=AKx Bx .
由于s a a a ,,,21 线性无关,所以s A R =)(,从而方程0=Ay 只有零解,故0=Kx .
由于r K R =)(,则方程0=Kz 只有零解,所以0=x . 从而021====r x x x . 所以r b b b ,,,21 线性无关.
20．求下列齐次线性方程组的基础解系: (3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .
解 系数矩阵为)1,2,),1(,( -n n ,秩是1,未知数个数是n ,所以基础解系应含有1-n 个解向量. 原方程组即为
1212)1(------=n n x x n nx x 取121,,,-n x x x 为自由未知量,令
??
????? ???
?????
? ????????? ??=??????? ??-100,,010,001121 n x x x 得n x n -=,1+-n , ,2-.
所以基础解系为???????
?
?
?-+--=-21100
010
001
),,,(121
n n n ξξξ.
21．设???
?
??--=82593122A ,求一个24?矩阵B
,使O AB =,且
2)(=B R .
解 由于A 有2阶非零子式,故2)(=A R ,所以齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中应含有2个向量.
设24?矩阵B 为),(21ξξ=B ,其中21,ξξ是4维列向量.
O AB =,且2)(=B R
?
01=ξA ,02=ξA ,且21,ξξ线性无关
?21,ξξ是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系.
对A 实施初等行变换化为行最简形矩阵:
???? ??--=82593122A ～?
????? ?
?
---8118510818101
令
???
?
??????
??=???? ??10,0143x x ,得
?????
? ??-?????? ??=???
? ??81181,858121x x .所以
???????
? ??-=???????? ??=1081181,01858121ξξ.
故所求矩阵???????
? ??-
=10
01811858181B ．
22．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为
T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.
解 显然原方程组的通解为
????
??? ??+??????? ??=?
?????
? ??01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,) 即???????=+=+==1
42132
122
13223k x k k x k k x k x ,代入3
,31241x k x k ==, 消去21,k k 得 ??
?=+-=+-0
230
32431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.
26．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：
(2)???
??-=+++-=-++=-+-.
6242,1635,113254321
43214321x x x x x x x x x x x x
解 对增广矩阵实施初等行变换化为行最简形矩阵.
???????
?
?
?
--
-
????
? ??-----=00
0002217110121
79016124211635113251~初等行变换B 由于2)()(==B R A R ,所以方程组有解.
原方程组等价于??
???
--=++-=2
21
711
2179432431x x x x x x . 取43,x x 为自由未知数,令???? ??=???? ??0043x x ,得原方程组的一个解.0021??
???
?
? ??-=η
对应的齐次线性方程组等价于??
???
-=+-=4
324
3121
712179x x x x x x . 令,20,0743???? ??????
??=???? ??x x 得其基础解系.2011,071921??
???
?
? ??-=??????? ??-=ξξ
27．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且
??????? ??=54321η，????
??
? ??=+432132ηη 求该方程组的通解．
解 由于系数矩阵的秩为3=r ，134=-=-r n ．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量.
由于321,,ηηη均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得
齐次解
齐次解齐次解=??
?
???
? ??=-+-=+-654
3)()()()()(23121321ηηηηηηη 为其基础解系向量，故此方程组的通解：????
??
? ??+??????? ??=54326543k x ，)(R k ∈.
30．设矩阵),,,(4321a a a a A =,其中432,,a a a 线性无关, 3212a a a -=,向量4321a a a a b +++=,求方程b Ax =的通解.
解 由于432,,a a a 线性无关,所以3)(≥A R .
由3212a a a -=知321,,a a a 线性相关,故4321,,,a a a a 线性相关,从而3)(≤A R .
综上可知, 3)(=A R .
所以齐次方程0=Ax 的基础解系含有4-3=1个向量.
022321321=+-?-=a a a a a a ,所以??????
? ??-=0121ξ是0=Ax 的一个非
零解,从而构成其基础解系.
又4321a a a a b +++=,故????
??
?
??=1111η是b Ax =的一个解.
所以方程b Ax =的通解是.,11110121R c c c x ∈????
??
? ??+??????? ??-=+=ηξ
31．设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1) r n -*ξξη,,,1 线性无关；
(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关. 证明
(1) 设有关系式:
0110=+++--*r n r n C C C ξξη (1)
由于*η为特解，r n -ξξ,,1 为基础解系，故得
b
C A C C C C A r n r n 00110)(==+++*--*ηξξη
而由(1)式可得
0)(110=+++--*r n r n C C C A ξξη ,
故00=b C .
而该方程组为非齐次线性方程组,得0≠b ,所以00=C . 代入(1)式得.011=++--r n r n C C ξξ
由于r n -ξξ,,1 是基础解系从而线性无关,故.01===-r n C C 所以010====-r n C C C , 故r n -*ξξη,,,1 线性无关.
(2) 设有关系式:
0)()(110=+++++-*-**r n r n C C C ξηξηη (2)
即
0)(1110=++++++--*-r n r n r n C C C C C ξξη .
由题(1)知, r n -*ξξη,,,1 线性无关,故
2110=====+++--r n r n C C C C C C 0210=====?-r n C C C C ,
所以r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.
32. 设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,,1 为
实数，满足121=+++s k k k .证明
s s k k k x ηηη+++= 2211
也是它的解.
证明 由于s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解. 故有 ),,1(s i b A i ==η 而
s s s s A k A k A k k k k A ηηηηηη+++=+++ 22112211)(
b k k b s =++=)(1
所以s s k k k x ηηη+++= 2211也是方程b Ax =的解．
33．设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为r ，11,,+-r n ηη 是它的1+-r n 个线性无关的解(由题31知它确有1+-r n 个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为
112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη （其中111=+++-r n k k ）.
证明 设x 为b Ax =的任一解．
由题设知：121,,,+-r n ηηη 线性无关且均为b Ax =的解．
取11132121,,,ηηξηηξηηξ-=-=-=+--r n r n ，则它们均为0=Ax 的解．
用反证法证明：r n -ξξξ,,,21 线性无关．
假设它们线性相关，则存在不全为零的数r n l l l -,,,21 ,使得
02211=+++--r n r n l l l ξξξ .
即
0)()()(11132121=-++-+-+--ηηηηηηr n r n l l l
? 0)(13221121=+++++++-+---r n r n r n l l l l l l ηηηη
由121,,,+-r n ηηη 线性无关知
0)(2121=====+++---r n r n l l l l l l
与r n l l l -,,,21 不全为零矛盾! 故假设不成立． r n -∴ξξξ,,,21 线性无关.
由于b Ax =的系数矩阵的秩为r ,故齐次方程0=Ax 的基础解系
应含有r n -个向量.
r n -∴ξξξ,,,21 构成0=Ax 的基础解系．
由于1,ηx 均为b Ax =的解，所以1η-x 为0=Ax 的解 1η-?x 可由r n -ξξξ,,,21 线性表示．
r n r n k k k x ---+++=-ξξξη123121
)
()()(111133122ηηηηηη-++-+-=+-+-r n r n k k k
?
1133221321)1(+-+-+-++++----=r n r n r n k k k k k k x ηηηη
令13211+-----=r n k k k k ,则11321=+++++-r n k k k k ,且 112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη ．
34．设
}
0,,),,,({211211=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足
}
1,,),,,({211212=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足
问21,V V 是不是向量空间？为什么？
证明 非空向量集V 成为向量空间只需满足条件：
若V V ∈∈βα,，则V ∈+βα; 若R V ∈∈λα,，则V ∈λα.
1V 是向量空间.
由1)0,,0,0(V T
∈ 知1V 非空.
设121),,,(V T n ∈=αααα ,121),,,(V T
n ∈=ββββ ,R ∈λ. 则021=+++n ααα ,021=+++n βββ .
由于
T n n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+ 且
)()()(2211n n βαβαβα++++++ 0)()(2121=+++++++=n n βββααα
故1V ∈+βα.
又
T n ),,,(21λαλαλαλα =
且
00)(2121=?=+++=+++λαααλλαλαλαn n
故1V ∈λα.
2V 不是向量空间.
若221),,,(V T n ∈=αααα ,221),,,(V T
n ∈=ββββ , 则121=+++n ααα ,121=+++n βββ . 由于
T n n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+ 且
)()()(2211n n βαβαβα++++++
211)()(2121=+=+++++++=n n βββααα 故2V ?+βα. 又
T n ),,,(21λαλαλαλα =
且
λλαααλλαλαλα=?=+++=+++1)(2121n n
故当1≠λ时，2V ?λα.
35．试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321===所生成的向量空间就是3R .
证明 设),,(321a a a A =.
111011
10,,321==a a a A 02≠=
于是3)(=A R ,故321,,a a a 线性无关.由于321,,a a a 均为三维向量,且秩为3,
所以321,,a a a 是三维向量空间3R 的一组基, 故由321,,a a a 所生成的向量空间就是3R .
36．由T T a a )1,1,0,1(,)0,0,1,1(21==所生成的向量空间记作1L ,由
T T b b )1,1,1,0(,)3,3,1,2(21--=-=所生成的向量空间记作2L ,试证21L L =.
证明 因为21,a a 的对应分量不成比例,所以21,a a 线性无关,故2),(21=a a R .
因为21,b b 的对应分量不成比例,所以21,b b 线性无关,故2),(21=b b R .
???????
??---=1310131011010211),,,(2121b b a a ～????
??
? ??--000000001310021
1 所以2),,,(2121=b b a a R ,从而),,,(),(),(21212121b b a a R b b R a a R ==. 所以21,a a 与21,b b 等价,因此21L L =.
37．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3R 的一个基,并把
T T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==用这个基线性表示.
解 设),,(321a a a A =,),(21v v V =.
对),(V A 实施初等行变换化为行最简形矩阵.
????? ??----=1372308011195321),(V A ～???
?
? ??---211003301032
001
由于A ～E ,所以3),,(321=a a a R ,
故321,,a a a 线性无关，则321,,a a a 为3R 的一个基. 因为
????
? ??---==-213332),,(),,(),(3211
32121a a a V A a a a v v
所以321132a a a v -+=, 3212233a a a v --=.
38．已知3R 的两个基为
????? ??=1111a , ???
?
? ??-=1012a , ????? ??=1013a 及 ????? ??=1211b , ????? ??=4322b , ????? ??=3433b ,
求由基321,,a a a 到基321,,b b b 的过度矩阵P .
解 设),,(321a a a A =, ),,(321b b b B =.
因为321,,a a a 与321,,b b b 是3R 的基,所以B A ,是3阶可逆矩阵.
B A P P a a a b b b 1321321),,(),,(-=?=.
对),(B A 实施初等行变换化为行最简形矩阵.
??
?
?? ??-=341111432001321111),(B A ～
????
? ??---101100010010432
001 所以????
? ??---==-1010104321
B A P .
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =，元素ij a 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则 （二）基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵 （一）要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵A 与B 相乘，有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。 注：矩阵乘积不一定符合交换 （2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ， 规定I A =0 ,其中I 为单位阵 .
(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ，A 为方阵，矩阵A 的 多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。 （4）n 阶矩阵A 和B ，则B A AB =. （5）n 阶矩阵A ，则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ， 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 （二）要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 （1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 （2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如n m A ?，l n B ?，将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =，其中j b （l j 2, ,1=）是矩阵B 的第j 列， 则 又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =，其中j p （n j 2, ,1=）是矩阵P 的第j 列. （3）设对角分块矩阵
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择 1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ） 第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A.32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000 a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222a d b c - D.2222 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 8751----= D ，则5A 14 + A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 1 5751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1111 )(32 1 3213 21321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 第四章 二 次 型 练习4、1 1、写出下列二次型的矩阵 （1）),,(321x x x f =32312 221242x x x x x x -+-； （2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。 解：（1）因为 ),,(321x x x f =),,(321x x x ????? ??---01211020 2??? ?? ??321x x x , 所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：??? ? ? ??---01211020 2。 （2）因为 ),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ?? ? ?? ?? ??010********* 1110 ?????? ? ??4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：?? ? ? ? ? ? ? ?010********* 1110。 2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： （1）??? ??? ?? ??--- - 22 2 12021 212 11； （2）?????????? ? ??---1212102102112121 12101210。 解：（1）设T 321),,(x x x X =，则 ),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ?????? ? ? ?? --- - 22 2 12021212 11????? ??321x x x =3231212 32142x x x x x x x x -+-+。 （2）设T 4321),,,(x x x x X =，则 ),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ????????? ? ? ? ?---121210 210211************??????? ??4321x x x x =43423231212 4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。 练习4、2 1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。 （1）),,(321x x x f =32212 221442x x x x x x --+； （2）),,(321x x x f =322122x x x x -； （3）),,(321x x x f =32212 322214432x x x x x x x --++。 线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似 二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。 第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得 第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）???? ????? ???71 10 025********* 4； （2）????????????-26 52321121314 1 2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+ 2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分 WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 第一章 行列式和Cramer 法则 第一章知识清单 1.行列式定义： () ()() 121211********* 21 212 1,n n n n n i i i j j j n i j i j i j i j n n nn a a a a a a a a a a a a ττ? +=-∑ 说明1）()()()12 1 , n n n k i k k i i i t k t i τ=== =∑∑ ()k k k t i i i ：在左边比打的数的个数. 说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法 基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：10 n i k jk k D i j a A i j ==?=? ≠?∑ 常用方法： 利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。 特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。 3.行列式性质（5条） 行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则 ?????? ?=++=++=++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222212111212111 .n A x b =即： 解：12,, , T n D D D x D D D ?? = ??? ，.n D A = 推论：0.n n A x o A =?=有非零解 基本作业建议 A 组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B 组：一 （1），（6）；二（3），（4） 一（A ）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): () ()() 24531452131ττ+-. 一（A ）5： ()( ) ()()() () ()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--. 一（A ）6(5)：32 1 42 2 222222223234 21 21 21 21 21212121 044444444222269696969 6 6 6 6 ,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++=== ==== =++++++++ 一（A ）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法： 1 1123,,,n i i i c r r i n D D =-=∑=========提公因式方法一：上三角式； 1 23,,,i r r i n D -=====方法二：箭形行列式 12312 3 1231231 2 3 10 n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a D a a a b ------=== --加边 方法三： 1231,2,311000100010001 n i r r i n a a a a b b b b +=------===== -- ()123 2312323 1 23231 2 3 2 3 000 n n n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c D ------=-=拆解 方法四：略. 一（A ）7（3，5，6，7）同类型，见课件和课本例题1.9：。 《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式................................................................... - 2 - 02、主对角线............................................................................. - 2 - 03、转置行列式........................................................................... - 2 - 04、行列式的性质......................................................................... - 3 - 05、计算行列式........................................................................... - 3 - 06、矩阵中未写出的元素................................................................... - 4 - 07、几类特殊的方阵....................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则....................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式........................................................................... - 6 - 10、对称矩阵............................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块........................................................................... - 6 - 12、矩阵的初等变换....................................................................... - 6 - 13、矩阵等价............................................................................. - 6 - 14、初等矩阵............................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵......................................................... - 7 - 16、逆矩阵............................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题............................................................... - 8 - 18、伴随矩阵............................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形：....................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩：........................................................................... - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论............................................................. - 9 - 22、线性方程组概念....................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）......................................... - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念................................................. - 11 - 25、线性方程组的向量形式................................................................. - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念.......................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关............................................ - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题................. - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念.......................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理................................................. - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩........................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构................................................................... - 12 -昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
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