线性代数课后习题解答第四章习题详解

第四章 向量组的线性相关性

1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+. 解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=

32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=

T )01203,41213,30213(-?+?-?+?-?+?= T )2,1,0(=

2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a . 解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得

)523(61321a a a a -+=

])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[6

1

T T T --+=T

)4,3,2,1(=

3. 已知向量组

A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;

B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ?????

??-=3121

23111012421301

402230

) ,(B A ????

? ??-------971820

751610

402230421301

~r ?????

?

?------5314

00251552000751610

4213

01 ~r ????

?

??-----000000

531400751610421301

~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由

????

? ?

?-????? ??---?????

??-=000000110

20

1

110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.

4. 已知向量组

A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;

B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由

???

?

??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,

知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.

5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.

证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示. (2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.

6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为

???

?

??-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A ,

所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为

0222

000430

12||≠=-=B ,

所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.

7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由

)1)(1(11111

1||+-=--=a a a a

a a A

知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.

8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.

解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使 λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,

由此得 2

211

121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-

=, 设2

11

λλλ+-

=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .

9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.

例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.

10．举例说明下列各命题是错误的:

(1) 若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.

(2) 若有不全为0的数

m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 成立, 则

m a a ,,1

线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3) 若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式

01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 才能成立,则

m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.

(4) 若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使

.0 ,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.

解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a , 032====m a a a

满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由

,,,2m a a 线性表示.

(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ

原式可化为 0)()(111=++++m m m b a b a λλ

取 m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 . 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而

m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关.

(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )

m m b a b a b a +++?,,,2211 线性无关

取021====m ααα , 取m b b ,,1 为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是m ααα,,,21 线性无关的.

(4) T

a )0,1(1= T

a )0,2(2= T

b )3,0(1= T

b )4,0(2=

??

??

?

-=?=+-=?=+21221121221143

020λλλλλλλλb b a a 021==?λλ与题设矛盾.

11．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关. 证明 设有4321,,,x x x x 使得

044332211=+++b x b x b x b x 则

0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x

(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,

411x x k +=; 212x x k +=; 323x x k +=; 434x x k +=;

由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关. (2) 若4321,,,a a a a 线性无关, 则???????=+=+=+=+0000

4332

2141x x x x x x x x 011000110001110014321=?????

? ????????

???x x x x 由

01

10001100

0111001= 知此齐次方程存在非零解. 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.

12．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组

r b b b ,,,21 线性无关.

证明 设02211=+++r r b k b k b k 则

++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k

因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故

?????==++=+++000221r r r k k k k k k ????

??

? ??=?????? ???????? ?

?0001001101121 r k k k

因为

011

001

101

1≠= 故方程组只有零解. 则021====r k k k . 所以r b b b ,,,21 线性无关

13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:

(1) ?????? ??-=41211a ,?????? ??=41010092a ,??????

??---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=T

a .

解 (1) 3131,2a a a a ?=-线性相关.

由????? ??----=????

? ??824241010094121321T T T

a a a ?????

??--000032198204121~

秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .

(2) ??

??

? ??------=????? ??7431651431213

21T T T a a a ?????

??------105501899031

21~????

?

??---00001899031

21~ 秩为2,最大线性无关组为T

T a a 21,.

14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:

(1) ???

??

?

?

?4820

322513454947513253947543173125; (2) ???

??? ??---14

011313021512012211.

解 (1) ??????

?

?4820

3225134549475132539475

43173125

141312

33~r r r r r r ---

?????

?

?

?53

1

05310321043173125

233

4~r r r r --?????

? ??00

03100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

(2) ??????

?

?---14

01

1313021512012

2111

413

2~r r r r --?????

?

??------222001512015120122114

323~r

r r r ?+???

??

?

?

?---000

002220015120122

11，

所以第1、2、3列构成一个最大无关组．

15. 设向量组

(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T

的秩为2, 求a , b .

解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为

???

? ??----???? ??---???? ??=5200111031116110111031

113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,

而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.

16．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由它们线性表示,证明

n a a a ,,,21 线性无关.

证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关. 不妨设:

n

nn n n n n

n n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111

所以 ??

?

??

? ???????? ??=?????? ??T n T T

nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e

e 212

1

22221

11211

21

两边取行列式，得

T n T T nn n n n n

T

n

T

T

a a a k k k k k k k k k e e e

2

121222

21112112

1

= 由 002

12

1≠?≠T n

T T T n T T a a a e e e 即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n . 故n a a a ,,,21 线性无关.

17．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.

证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量

T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.

必要性

?n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即

n

nn n n n n

n n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++= 22112222121212121111

故 ???

??

??? ??????

??

??=?????? ??n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a

a εεε

212

1

22221

112112

1 两边取行列式，得 T

n

T

T

nn n n n n T

n

T

T

k k k k k k k k k a a a εεε

2

121222

21112112

1

=

由 002

1

22221112112

1≠?

≠nn

n n n

n T n T T k k k k k k k k k a a a

令 ??

???? ??=?nn n n n n n n k k k k k k k k k A

2

1

2222111211 . 由?????

? ??=?????? ????????? ??=

?????

?

??-T n T T T n T T

T n T T T n T T

a a a A A a a a εε

εεεε 212112121

即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.

充分性

?

已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：

n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由16题知n a a a ,,,21 线性无关.

18. 设向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ? ? ?, a k -1线性表示.

证明 因为a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?,

λm , 使

λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λm a m =0,

而且λ2, λ3,? ? ?, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知

λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使

λk ≠0, λk +1=λk +2= ? ? ? =λm =0,

于是

λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λk a k =0,

a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λk -1a k -1),

即a k 能由a 1, a 2, ? ? ?, a k -1线性表示.

19．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为

K a a b b s r ),,(),,(11 =，

其中K 为r s ?矩阵，且A 组线性无关。证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩r K R =)(. 证明 ?若B 组线性无关

令),,(),,(11s r a a A b b B ==则有AK B =

由定理知)()}(),(min{)()(K R K R A R AK R B R ≤≤= 由B 组:r b b b ,,,21 线性无关知r B R =)(，故r K R ≥)(. 又知K 为s r ?阶矩阵则},min{)(s r K R ≤

由于向量组B :r b b b ,,,21 能由向量组A :s a a a ,,,21 线性表示,则s r ≤

r s r =∴},min{

综上所述知r K R r ≤≤)(即r K R =)(． ?若r k R =)(

令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数r i ,,2,1 =

则有0),,,(121=???

?

? ??r r x x b b b

又K a a b b s r ),,(),,(11 =,则0),,(11=???

?

? ??r s x x K a a

由于s a a a ,,,21 线性无关,所以021=?????

? ???r x x

x K

即 ?????????=+++=+++=+++=+++0

00

02211221

122221

121221111r rs s s r rr r r r

r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k

（1）

由于r K R =)(则(1)式等价于下列方程组:

???????=+++=+++=+++0

0221122221121221111r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k

由于 0212

2212

12111≠rr

r r r r k k k k k k k k k 所以方程组只有零解021====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关, 证毕.

20. 设

?????+???+++=?????????????????????+???++=+???++=-1

321312321 n n n

n ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价. 证明 将已知关系写成

?????

? ?

???????????????????????????????=???01111011

1101

1110

) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为

0)1()1(0

111

1011

1

1011110

||1≠--=?

??????????????????????????=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组

β1, β2, ? ? ?, βn 等价.

21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.

(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解 因为

AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x )

????

??-=110301000) , ,(2x x x A A ,

所以???

?

??-=110301000B .

(2)求|A |.

解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.

22．求下列齐次线性方程组的基础解系:

(1)?????=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)???

??=-++=-++=+--0

3678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x

(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .

解 (1)?????

? ??--???

?? ??---=000041431004012683154221081~初等行变换A

所以原方程组等价于 ??

?

??+=-=4323141434x x x x x

取3,143-==x x 得 0,421=-=x x ; 取4,043==x x 得1,021==x x .

因此基础解系为?????

? ??=??????

??--=4010,310421ξξ (2) ??

?????? ??

--?

??

?? ??----=00001971914101911920

13678245

31232~初等行变换

A 所以原方程组等价于??

??

?+-=+-=4

32431

197

1914191192x x x x x x 取2,143==x x 得0,021==x x ; 取19,043==x x 得7,121==x x .

因此基础解系为?????

? ??=?????? ??=1907

1,210021ξξ

(3)原方程组即为

1212)1(------=n n x x n nx x

取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=

取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n

取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x

所以基础解系为?

?

?????

??-+--=-21

100010

001

),,,(121

n n n ξξξ

23．设??

?

??--=82593122A ,求一个24?矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .

解 由于2)(=B R ,所以可设?????? ??=43211001x x x x B . 则由 ??

? ??=?????

? ????? ??--=00001001825931224321x x x x AB 可得

?????? ??--=?????? ???????? ??592280200802301003014321x x x x , 解此非齐次线性方程组可得唯一解 ?

???????

?

?

??-=?????? ??2125212114321x x x x ， 故所求矩阵?????

??? ??-=2125212111001B ． 24．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.

解 显然原方程组的通解为

?????? ??+?????? ??=?

????

? ??01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈2

1,) 即 ???????=+=+==1

4

2132

12

2

1

3223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得

???=+-=+-0230

32431

421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组.

25. 设四元齐次线性方程组 I : ???=-=+00

4

221x x x x , II :

???=+-=+-004

32321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解. 解 (1)由方程I 得???=-=4

24

1x x x x .

取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;

取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为

ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .

由方程II 得???-=-=4

324

1x x x x x .

取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为

ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程

III : ?????=+-=+-=-=+000

04

323214221x x x x x x x x x x

的解. 因为方程组III 的系数矩阵 ????

? ?

?--?????

?

?---=000

02100

10101001 111001111010

0011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为

?????==-=4

3424

12x x x x x x .

取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .

因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .

26．设n 阶矩阵A 满足A A =2

,E 为n 阶单位矩阵,证明 n E A R A R =-+)()(

(提示:利用矩阵性质6和8。) 证明 0)(2=-=-=-A A A A E A A

所以由21题所证可知n E A R A R ≤-+)()( 又 )()(A E R E A R -=- 由11题所证可知

n E R A E A R A E R A R E A R A R ==-+≥-+=-+)()()()()()(

由此n E A R A R =-+)()(．

27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明

???

??-≤-===2

)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当.

证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .

当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,

即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1. 当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而

R (A *)=0.

28．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：

(1) ???

??=+++=+++=+;32235,122,54

3

2143

2121x x x x x x x x x x (2)???

??-=+++-=-++=-+-.

6242,1635,

11325432143214321x x x x x x x x x x x x

解 (1)????

? ??--?????

?

?=210001301108010132

2351211

250011~初等行变换B

?????

?

??-=?????? ??-=∴011

1,20138ξη

(2) ??

?????

?

??--

-?

??

?? ??-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换

B ?????

? ??-=?????? ??-=?????? ??-=∴201

1,0719,002121ξξη

29．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且

?????? ??=54321η，?????

? ??=+432132ηη

求该方程组的通解．

解 由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，

且由于321,,ηηη均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得

齐次解

齐次解齐次解=?

?

???

? ??=-+-=+-654

3))()()()(2(2121321ηηηηηηη 为其基础解系向量，故此方程组的通解：?????

? ??+?????? ??=543

26543k x ，)(R k ∈

30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时

(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;

(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;

(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.

解 ???? ??---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ???

? ??-+++---βαβαα

34001110121 ~r .

(1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.

(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一. (3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,

???? ??----=1105402111421) , , ,(123b a a a ???

?

??--000013101201 ~r ,

方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为

?

???

??--+=???? ??-+???? ??-=???? ??c c c c x x x 1312011132321, c ∈R .

因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1, 即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .

31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线 l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,

l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,

相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.

证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

?????=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即?????-=+-=+-=+3

33222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.

32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.

解 由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解. 由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解. 由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系. 方程A x =b 的通解为

x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .

33．设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证

明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关； (2)

r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关。

证明 (1)反证法,假设r n -*ξξη,,,1 线性相关,则存在着不全为0的数r n C C C -,,,10 使得下式成立:

0110=+++--*r n r n C C C ξξη (1)

其中,00≠C 否则,r n -ξξ,,1 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。 由于*η为特解，r n -ξξ,,1 为基础解系，故得

b C A C C C C A r n r n 00110)(==+++*--*ηξξη

而由(1)式可得 0)(110=+++--*r n r n C C C A ξξη

故0=b ，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得0≠b 产生矛盾,假设不成立, 故

r n -*ξξη,,,1 线性无关.

(2)反证法,假使r n -***++ξηξηη,,,1 线性相关.

则存在着不全为零的数r n C C C -,,,10 使得下式成立:

0)()(110=+++++-*-**r n r n C C C ξηξηη （2）

即0)(1110=++++++--*-r n r n r n C C C C C ξξη 1) 若010=+++-r n C C C ,由于

r n -ξξ,,1 是线性无关的一组基础解系,故

010====-r n C C C ,由(2)式得00=C 此时 010====-r n C C C 与假设矛盾.

2) 若010≠+++-r n C C C 由题(1)知, r n -*ξξη,,,1 线性无关,故

02110=====+++--r n r n C C C C C C 与假设矛盾,

综上,假设不成立,原命题得证.

34.设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,,1 为实数，满足121=+++s k k k .证明

s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解.

证明 由于s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解.

故有 ),,1(s i b A i ==η

而 s s s s A k A k A k k k k A ηηηηηη+++=+++ 22112211)(b k k b s =++=)(1 即 b Ax = （s s k k k x ηηη+++= 2211）

从而x 也是方程的解．

35．设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为r ，11,,+-r n ηη 是它的1+-r n 个线性无关的解(由

题24知它确有1+-r n 个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为

112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη （其中111=+++-r n k k ）. 证明 设x 为b Ax =的任一解．

由题设知：121,,,+-r n ηηη 线性无关且均为b Ax =的解．

取11132121,,,ηηξηηξηηξ-=-=-=+--r n r n ，则它的均为b Ax =的解． 用反证法证：r n -ξξξ,,,21 线性无关．

反设它们线性相关，则存在不全为零的数：r n l l l -,,,21 使得

02211=+++--r n r n l l l ξξξ

即 0)()()(11132121=-++-+-+--ηηηηηηr n r n l l l

亦即 0)(13221121=+++++++-+---r n r n r n l l l l l l ηηηη

由121,,,+-r n ηηη 线性无关知

0)(2121=====+++---r n r n l l l l l l

矛盾，故假设不对．

r n -∴ξξξ,,,21 线性无关，为b Ax =的一组基．

由于1,ηx 均为b Ax =的解，所以1η-x 为的b Ax =解1η-?x 可由r n -ξξξ,,,21 线性表出．

r n r n k k k x ---+++=-ξξξη123121 )()()(111133122ηηηηηη-++-+-=+-+-r n r n k k k 0)1(1133221321=++++----=+-+-+-r n r n r n k k k k k k x ηηηη 令13211+-----=r n k k k k 则11321=+++++-r n k k k k 112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη , 证毕．

36．设

}0,,),,,({211211=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足

}1,,),,,({211212=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足

问21,V V 是不是向量空间？为什么？ 证明 集合V 成为向量空间只需满足条件：

若V V ∈∈βα,，则V ∈+βα

若R V ∈∈λα,，则V ∈λα

1V 是向量空间，因为：

0),,,(2121=+++=n T n ααααααα . 0),,,(2121=+++=n T n βββββββ . T n n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+ ,

且)()()(2211n n βαβαβα++++++ 0)()(2121=+++++++=n n αααβββ 故1V ∈+βα

),,,(,21n R αααλαλ =∈

00)(2121=?=+++=+++λαααλλαλαλαn n 故1V ∈λα

2V 不是向量空间，因为：

)()()(2211n n βαβαβα++++++ 211)()(2121=+=+++++++=n n αααβββ 故2V ?+βα

),,,(,21n R λαλαλαλαλ =∈. λλαααλλαλαλα=?=+++=+++1)(2121n n 故当1≠λ时，2V ?λα

37．试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321===所生成的向量空间就是3

R . 证明 设),,(321a a a A =

011101110,,321a a a A =021

101010

11)1(1≠-=-=-

于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3,

所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间就是3

R .

38．由,)1,1,0,1(,)0,0,1,1(21T T a a ==所生成的向量空间记作1L ,由,)1,1,1,0(,)3,3,1,2(21T

T a b --=-=所

生成的向量空间记作2L ,试证 21L L =.

证明 设{}

R k k a k a k x V ∈+==1122111,, {}

R x V ∈+==1122112,λλβλβλ

任取1V 中一向量,可写成2211a k a k +, 要证22211V a k a k ∈+,从而得21V V ? 由22112211βλβλ+=+a k a k 得

???=+-+=??????-=-=-==+1212

112

12212

1211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中,把21,k k 看成已知数,把21,λλ看成未知数

021

1021≠=-=D 21,λλ?有唯一解

21V V ?∴

同理可证: 12V V ? (00

11

12≠=D ) 故21V V =

39．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3

R 的一个基,并把T

T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==

用这个基线性表示.

解 由于062

301113

21,,321≠-=-=a a a

即矩阵),,(321a a a 的秩为3. 故321,,a a a 线性无关，则为3

R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则

?????=+=++-=++7

23053232321321k k k k k k k k ?????-===?132321k k k 故321132a a a v -+=

设3322112a a a v λλλ++=，则

?????-=+-=++--=++13

23893232321321λλλλλλλλ ???

??-=-==?233321k k k 故线性表示为 3212233a a a v --=

40. 已知R 3的两个基为

a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ,

b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解 设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则

???

?

??-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a ,

1

32132111

1001

111

) , ,() , ,(-???? ??-=a a a e e e , 于是 ???

? ?

?=341432

321

) , ,() , ,(321321e e e b b b ????

?????? ??-=-341432321111001111) , ,(1

321a a a ,

由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为

???

?

??---=???? ?????? ??-=-1010104323414323211110011111

P .