最全线性代数习题及参考答案
第一章：
一、填空题：
1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；
解：a a a a a D a
a a a a D n nn
n n
nn
n n
n )1(11111111-=----=
∴==
2、设321,,x x x 是方程03
=++q px x 的三个根，则行列式1
3
2
213
3
21
x x x x x x x x x = ； 解：方程02
3
=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：
a d x x x a c x x x x x x a
b x x x ///321133221321-==++-=++
所以方程03
=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：
q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210
033)(33212213213
332311
3
2
2133
21=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x
3、行列式
1
000
0000199800019970
020
01000
= ；
解：原式按第1999行展开：
原式=!19981998199721)1(0
00199800199700
200
1
000
219981999-=⨯⨯⨯-=+++
4、四阶行列式
4
4
332211
000
00a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：
原式=
)
)(()()(0
00
0041413232432432143243214
332
214
33
22
1b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-
5、设四阶行列式c
d
b a a c
b
d
a d
b
c
d c b
a D =4，则44342414A A A A +++= ；
解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，
44342414A A A A +++=
01
11111111
1
11==d a c d d c c a b
d b a c b
d
d b c c b
a
6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；
解：n 阶行列式可写成∑-=
n np p p t
a a a
D 2211
)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数
所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()
1(5)
3,1,5,4,2(-=-=-t
7、在函数x
x x x
x
x f 2
1
1
12)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3
x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为
3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
8、四阶行列式
a
b
c
d
b a d
c c
d a b d c b a
------= ；
解：原式=
⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---+--+--+-⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+--+-+-+=++--+++-+=++--+++-+=++--+++-+=------22
22222222222
22222222222222222222
2
2
22
2
11///0
///0///0///1
///1a ab ac ab a ad ac ad a d ab ac cd a ad bd ad a a cd ac ab c ad ac bc a d cd ac cd c ad bd bc a a ab
bd
ab a bc ac ad b d ab bd cd a bc bd ad
b a cd bd ab
c bc ac bc b
d cd bd cd c bc bd bc b a a d ab cd ac bd ab cd a c ad bc ac bd ad bc a b a a a d b a cd c a
bd b a cd a a c d a
bc
c a b
d d a bc a a
b a a a d b a cd
c a b
d b a cd a a c d a bc c a bd d a bc a a b a
d a c a b a a
b
c
d
b a d
c c
d a b a d a c a b a ()
2
2222222242222222222222222222
)()()()(0)(0001
d c b a d c b a a d c b a d a d c b a c a d c b a b a a
+++=+++++++++++++++++++=
9、若b a ,为实数，则当a = 且b = 时，01
0100=---a
b
b a
；
解：)(1
010022b a a
b b
a a
b
b a
+-=--
=---
所以当a = 0且b = 0时，行列式的值为0； 10、排列n n i i i i 121- 可经2
)
1(-n n 次对换后变为排列121i i i i n n -
二、计算题：
1、D 5=17019020100241011951
2
00
31
12
46
01
19
302
75400
3110275101
77401
3211011221032101132
22113
13211
-=-=------=--------=
--------=----- 2、D n =
)
1)(1()
1)(1(00
00000)(0
00000)(0
00
0000000000----⨯-----+------=-------=n n n n n
n x
z y x y x x
z y y y x z x y x x
z y x y x x
z y y y x y x y x x z y x x z y x y x x z y y y y x x
z z
z
y x z z y y x z y y y x
2
1)
2)(2(1)()()(0
000)()(-------+-=-----+-=n n n n n x z y z x D y x x z x z y x x
z y
z x D y x
三、解答题：
1、 问μλ,取何值，齐次方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
200321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0
)1(21121
2111
1
1λμμλμλμμμλμμμλ
-=+-=---++=
所以，当0=μ或1=λ时，齐次线性方程组有非零解。 四、证明题：
1、证明：0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2
222
2
222
2222
=++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a 证明：左式=9
644129
64
4129
644129644129
64412964
41
29644129
644122
2
2
2
2222
2
222
2222
2222
++++++++++++=++++++++++++++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a d d d d d d d
c c c c c c c
b b b b b b b a a a a a a a
09
41941941941641
641641641941941941941641
6416416419
4294294294264
26426426429
4294294294264264264264222
2
2
2222
2
2
2
2
2
2
22
2
22
22222222
222
22=++++++++
=d c b a d d c c b b a a d
d c c b b a a d d d c c c b b b a a a d
d c c b b a a d d
d c c c b b b a a a d
d d c c c b b b a a a d d d d c c c c b b b b a a a a
2、 证明：
θ
θ
θ
θθθsin )1sin(cos 21
1cos 21
11
1cos 21
1cos 2+=
n
证明：用数学归纳法：
当n=1时，左边=θcos 2，右边=θθθcos 2sin /2sin =，所以等式成立； 当n=2时，左边=1cos 42
-θ，
右边=
1cos 42cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 3sin 22-=+=+=θθθθ
θ
θθθθθ， 所以n=2时等式成立；
设等式在n=n 及n=n-1时均成立，即θ
θ
θθsin )1sin(,sin sin 1+=
=-n D n D n n 当n=n+1时：
-==
++n
n n D θ
θθθθ
θ
θθθcos 21
1cos 21
1
1cos 21
1cos 2cos 2cos 21
1cos 21
11
1cos 21
1cos 21
1
θθθθθθθθθθθθθθ
θ
θθθθθθθθθθ
θθ
θ
θθθθ
θθsin )1)1sin((sin cos 2sin sin 2cos sin cos cos sin 2sin )1cos 2(sin sin )sin cos cos (sin cos 2sin sin sin )1sin(cos 2cos 2cos 21
1cos 211
11cos 21
1
cos 2cos 2cos 21
1cos 21
11
cos 210
1211
++=
+=+-=-+=
-+=-=-
=--n n n n n n n n n n D D D n n n n n
得证。
3、用数学归纳法证明：∏≤<≤-----+++==
n
i j j i
n n n
n n n
n n
n n n n
n
n x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D 1213
2
12232221223
2
2
213
2
1
)()
(1111
证明：n=2时，))((1
11212212222
2
12x x x x x x x x D -+=-==
，成立；
设∏≤<≤-----+++==
n
i j j i
n n n
n n n n n n n n n
n
n x x
x x x x
x
x
x
x
x x x x x x x x x x x D 1213
2
1
2232221223
2
2
213
2
1
)()
(1111
成立，
当n=n+1时，
∏∏∏∏∏+≤<≤++≤<≤+≤<≤++≤<-++----+---+++≤<+-++-++++------++-+++++++----+-++++=-+-++++-=
++++-=
----------------=
=
1
11211
21
1
21321
111
1
1111
11331
12221
223
22
21223221
3
21
112
121111121111112121212313212212121323122
211331*********
11
21
111312
1
111312
11223
22213211)
()
(]
)()()
[()(1111)
()
()()
()(1)()()(0)()()(0)
()
()
(0
)()()(0111111111n i j j i
n n n i j j i
n i j j i
n n n i i
n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n i i
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D
五、设n 阶行列式n
n
D n 00103010
021321=，求第一行各元素的代数余子式之和n A A A 11211+++
解
：
!2
!
2!1!!])2()!3()[1()!2()!1(])1()!2([)!1()!1(1)2)(3())2())(1(()1(10010301002111110100003000021111)1(001030100211111321111
1111211n n n n n n n n A n n n n n n n A n n n n nA n nA n n n n n n A A A A n n n n n n n n n
n n +-------
==-+---+----=-+--+--=+--=+-------=-+--==+++=----+--+
第二章： 一、填空题：
1、设A 为n 阶方阵，A *
为其伴随矩阵，3/1det =A ，则⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-*11541det A A = ； 解：()()
3)1(||)1()det(54det ||154det 1541det 111111*1n n A A A A A A A A A -=-=-=-=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-------
2、设3阶方阵A O ≠，B=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛35342531t ，且AB=O ，则t= ；
解：0||0||||||,=∴==∴=B B A AB O AB
4
1640
5186050912===---++t t t t
3、已知E A =3，则=-1A ； 解：212
3
A A E
AA A =∴==-
4、矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=008050200A 的逆矩阵A -1= ；
解：A 矩阵只有副对角线有元素，所以：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-002/105/108/1001
A
5、设4阶矩阵⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=31125221001
1001
2A ，则A 的逆矩阵A -1
= ； 解：将A 分块：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=------11
111
1
Y ZX
Y O X Y Z
O X A 其中：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------13935242153315221111112111
1
1
1
ZX Y X X
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------=∴-211395
3352400210011
1
A
6、若n 阶矩阵A 满足方程0322
=++E A A ，则A -1= ； 解：原等式为：E A A 322
-=+
E E
A A
=-+3
2 3
21
-+=∴-E A A
7、设A 为三阶矩阵，且|A|=1，|2A -1+3A *|= ； 解：**1
||/A A A A
==-
3131*15||5|5||32|===+∴---A A A A 或：323*3**1
5||5||5|5||32|====+∴
-A A A A A
8、设⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=400010003A ，则A n = ；
解：A 为对角阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=∴n n
n
A 400010
00
3 二、设A 、B 均为n 阶方阵，且B=B 2，A=E+B ，证明A 可逆，并求其逆。
证明：E A A E A E A B E
A B B
E A +-=--=-=∴+=2))((22
由已知B=B 2得：
E A E A A -=+-22
即：E E
A A
E A A =---=-2
3232
2
31
--=
∴-E
A A
即A 可逆。 三、设n 阶实方阵A O ≠，且A *=A T ，证明A 可逆。
证明：E A AA AA A
A T T
||**
==∴=
||1|
|||||||||||2
2
≠∴===-A A A A A A A n n n T
A 可逆。
四、解下列矩阵方程：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X
解：⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--2014310120101000010211023411000010101
1
X （两个初等矩阵的逆矩阵）
五、求下列矩阵：
（1）n
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--2312 （2）()21312-⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ （3）n n ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞
→5/10003/10002/1lim （4）n
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101 解：（1）E =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--100123122312
所以，⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--奇数偶数n n E
n 23122312 （2）()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛63214221312
（3）O n n
n n n
n =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞
→∞→0000000005/10003/10002/1lim 5/10003/1000
2/1lim
（4）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001001100010101n n
（作n 次把第1列加到第3列（或第3行加到第1行））
六、设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=321011324A ，AB=A+2B ，求B ；
解：由AB=A+2B 得（A-2E ）B=A ，所以B=(A-2E)-1A
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=--9122692683321011324461351341321011324121011322)2(1
1
A E A B
七、设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明：
（1）若|A|=0，则|A *|=0 （2）|A *|=|A|n-1 证明：（2）1***
||||||||||||||||-=∴==∴=n n n A A A E A A A E A AA
（1）0||0|||
|||*1
*
==∴=-A ，A A A n 时
八、求下列矩阵的逆矩阵：
（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000
021********
00031
000
11
A （2）⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=1133223210
10101
0008200031
B
解：A 矩阵分块成对角分块矩阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=--1000021000
002/1000004/14/10004/14/310
002100000200
0003100
111
1
A
B 分块成下三角分块矩阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=--2/16/16/712/11203
/13/26/732/16/16/112/720002/110002/3411
3322321010101
00082000311
1
B 九、设B AP P =-1
，求A 11
；其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=2001B 解：由已知得：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--==-21433/13/13/43
/1200111
411PBP A
第三章：
1、若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当 r=n 时，方程组有唯一解；当r 时，方程组有无穷多解； 2、齐次线性方程组，⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=+=++=++0 302032321321x kx x x x x kx x 只有零解，则k 应满足的条件是 ； 解：齐次线性方程组只有零解时，D ≠0， 5/30533 0112 1 1≠≠-=k k k k 3、设⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--=111111111A ，则AX=O 的通解为 ； 解：将A 进行初等行变换，变换成行阶梯形： ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛100010111~A ，即R （A ）=3，所以齐次线性方程组AX=O 有唯一零解。 4、线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-5 154 543432321 21a x x a x x a x x a x x a x x 有解的充要条件是 ； 解：非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，变换成阶梯形： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛----⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝ ⎛-----∑=5,1432154321000001 1000011001 111000011~1000111000011001111000011i i a a a a a a a a a a R （A ）=4，若此方程组有解，必须使 05 ,1=∑=i i a ，使R （B ）=4 5、设A 为4阶方阵，且秩R(A)=3，则R(A *)= ； 解：R(A)=3，说明A 的等价矩阵中有一行为零行，所以对应的A *只有1列不全为零，剩下3列全为零，所以秩为1； 6、矩阵⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=001110221011 1000A 的秩是 ； 解：非零列为2列，所以秩为2； 二、计算题： 1、讨论λ的范围，确定矩阵的秩： （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---16101512211λλ （2）⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛342231********* 1 3λ 解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ +--++-- +-++- -⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛---+---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---λλλ λλλλλλλλλλλλ213321)5)(3(002112121 0211~1510012210211 ~16101512211 所以，当3=λ时，秩为2，3≠λ时，秩为3 （2）⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛0000317701104031771~3422 4113110431771~342231********* 1 3λλλλ λ 所以，当0=λ时，秩为2，0≠λ时，秩为3 2、求解下列线性方程组： （1）⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+--+=+--+068650353220246354325432154321x x x x x x x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++5 54931 2323623 23354321543214 32154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：（1）求齐次线性方程组，对系数矩阵进行行初等变换： ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000004/54/74/3104/14/34/901~246133532268651~686513532224613 n=5，r=2，所以有3个自由变量543,,x x x 通解为：⎪⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪⎪⎪⎨⎧-+--+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54354354354321) 573(41)39(4 1 x x x x x x x x x x x x x x （2）非齐次线性方程组求增广矩阵的秩： ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000000 000000 5/45/25/1100 5/35/15/7031~ 51549311123120316231 2331 • n=5，r=2，所以有3个自由变量542,,x x x 通解为：⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛005/405/3105/205/1015/105/70001354254321x x x x x x x x 3、a 、b 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=++4 423 321 321321bx x x x ax x x ax x 有唯一解？无解？无穷多解？无穷多解时求其通解。 解：非齐次线性方程对其增广矩阵进行初等行变换： ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a b a b a a a b a a 12100/10102101~01210100311 ~4114121311 （1）当2/1=a 且1=b 时，R （A ）=R （B ）=2，方程线有无穷多解， 通解为：⎪⎩⎪ ⎨⎧==+-=33 23122 x x x x x （2）当0≠a 且1≠b 时，R （A ）=R （B ）=3，方程线有唯一解， 解为：⎪⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎪⎨⎧--==+---=)1(12/12) 1(12321 b a a x a x b a a x （3）其余情况下无解。 三、利用矩阵的初等变换求逆矩阵： （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011012111 （2）⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛------1111111111111111 解：（1）对⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--10001000101101 2111进行初等行变换： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/13/213/23/103/13/10100010001~100010001011012111 所以，⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/13/213/23/103/13/100110121111 （2）⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------4/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14 /14/14/1100001000010 0001 ~10000100001000011111111111111111 所以，⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-------11111 11111111111414/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/111111111111111111 四、证明题： 1、A 、B 为两个n 阶方阵，且ABA=B -1，证明：秩(E-AB)+秩(E+AB)=n 证明：,,1 1 E B B ABAB B ABA ===-- ， n AB E R AB E R O ABAB AB AB E AB E AB E ≤-++∴=--+=-+)()())(( 又n E R AB E AB E R AB E R AB E R ==-++≥-++)2()()()( n AB E R AB E R =-++∴)()( 2、设A 为m ×n 实矩阵，证明：秩（A T A ）=秩（A ） 证明：对任一实向量O X ≠，与A 矩阵组成齐次线性方程O AX =时，必有O AX A T =， 同理，若O AX A T =时，必有O AX A X T T =，即O AX AX T =)(，所以O AX = 所以，O AX =与O AX A T =同解，即A A A T ~ 即：秩（A T A ）=秩（A ） 第四章： 一、填空题： 1、设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk ，则k= 时，线性相关； 解：由此4个向量构成4阶方阵的秩为： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----135000 92/1300 22/510 12 01~92/1300 110 22/510 12 1 ~7410110045201201~501210103241201~120110103245012k k k k k 当13/5-=k 时，秩<4，向量组线性相关； 或求由向量构成的4阶行列式： 05133161020381 2 11 110 38)1(1 2 1 10110 30850121 20 1 10103245012=+=++-+--=------=-----= -----k k k k k k 当13/5-=k 时，齐次线性方程组有非零解，向量组线性相关； 2、设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα，则t= 时，线性无关； 解：求向量组的秩： ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00002 30043502021~000025 0435 02021~250435043502021~031435020210312t t t t t 无论取何值，秩均小于4，均线性相关 0031 03 122 021******* 43 5020210312≡----= ----t t 所以t 无论取何值，齐 次线性方程组均有非零解，均线性相关 3、已知向量组)7,6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321====αααα，则该向量组的秩是 ； ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛000000003210 4321 ~7654654354324321 秩=2 4、n 维向量组n εεε ,,21均可由向量组s ααα ,,21线性表出，则向量个数 ； 解：设由n 维向量组n εεε ,,21组成的空间为V 1，由s 维向量组s ααα ,,21组成的空间为V 2， 1V x ∈∀，均可由n εεε ,,21线性表示，又因为n εεε ,,21均可由向量组s ααα ,,21线性表示， 所以x 均可由s ααα ,,21线性表示，即2V x ∈，即21V V ⊂，所以s n ≥ 5、已知1 101001100001100 00110 0101=A ，则秩R （A ）= ； 解：解法一：02111 1010 1100 0110 01011010110001100011 10100 1100001100 00110 0101≠=+=-==A 所以，R(A)=5； 解法二：对相应的矩阵进行初等变换： ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000001000 00100 0001000001 ~110100110000110 00011 00101 所以，R(A)=5； 6、方程组AX=0以)1,1,0(),2,0,1(21-==ηη为其基础解系，则该方程的系数矩阵为 ； 解：由已知可以R=1（即最大无关组为2），且以21,x x 为自由变量，并有2132x x x -= 所以，该方程组的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112000000A 7、设αββα==⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=A ),3,2,1(,321，则秩R （A ）= ； 解：⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==000000321~963642321αβA R(A)=1 8、向量组)7,6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321====αααα的一个极大无关组是 ； 解：⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000003210 4321 ~7654654354324321 一个极大无关组是21,αα 二、计算题： 1、已知0432321=+++βααα，其中)4,5,2,3(),3,4,1,2(),2,1,8,5(321--=--=--=ααα，求β 解：)2,2,1,0()8,8,4,0(4 1 )32(41321-=---=++- =αααβ 2、已知向量组)1,1,1(),0,,2(),1,2,(321-===αααt t ，试求t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？线性无关？ 解：⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t t t t t 300220111~120220111~1202111~1110212 当3,2-=t 时，秩<3，向量组321,,ααα线性相关， 当3,2-≠t 时，秩=3，向量组321,,ααα线性无关； 3、求实数a 和b ，使向量组)1,1,0,0(),0,1,1,0(),0,0,1,1(321===ααα与向量组)2,1,1,2(),1,,,1(21==ββb a )1,2,1,0(3=β等价； 解：由321,,ααα构成的矩阵为： ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121021********* 1100 011~1210211211110001100011b a b a 由321,,βββ构成的矩阵为： ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎨⎧=---=--=---+-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ --- -----+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12121212121121)2)(21(112121200 0212110 0021)2)(21(11~121002121011 ~1210211211a b a b b b a a a b a b b b a a b a b a b a 只需a=b 即可； 三、证明题： 1、设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，且m >n ，试证明det(AB)=0； 证明：A 为m ×n 矩阵，且m >n ，R(A)≤n ， B 为n ×m 矩阵，且m >n ，R(B)≤n ， AB 为m ×m 阶矩阵，R(AB )≤min(R(A),R(B)) ≤n 证明：(1) O A A R n B R n B R A R O AB ==∴=≤+∴=0)()()()(, 3、 已知向量组（I ）321,,ααα；（II ）4321,,,αααα，（III ）5321,,,αααα，如果各向量组的秩分别为R(I)=R(II)=3， R(III)=4，试证明：向量组：45321,,,ααααα-的秩为4； 证明：由已知：321,,ααα及5321,,,αααα线性无关，4α可由321,,ααα线性表示， 即向量组5321,,,αααα中有4阶子式不为零，而向量组4321,,,αααα的4阶子式为0； 45321,,,ααααα-对应的4阶子式等于5321,,,αααα的4阶子式，所为也不为零，即其秩为4； 四、向量组321,,ααα线性无关，问常数l,m 满足什么条件时，向量组133221,,αααααα+++m l 线性无关； 解：设向量组133221,,αααααα+++m l 线性相关，即有系数k 1=k 2=k 3，使： 0)()()(133322211=+++++ααααααm k k l k 即0)()()(332221131=+++++αααmk k k k k l k 因为321,,ααα线性无关，所以，0)(,0)(,0)(322131=+=+=+mk k k k k l k 要使向量组133221,,αααααα+++m l 线性无关，即要使k 1=k 2=k 3=0，即上面的齐次线性方程只有零 解，即01001 1 1 0≠=m l D ，即1-≠lm 第五章： 一、填空题： 1、设A 是n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，|A|=2，则方阵B=AA *的特征值是 ，特征向量是 ； 2、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 3 32A A B -=的特征值为 ； 3、设⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200031141,201034011B A 的特征值为2和1（二重），那么B 的特征值为 ； 4、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，则x= ,y= ； 5、二次型23212 3222143212432),,,(x x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵是 ； 6、当 ，实二次型3231212 322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定的； 7、矩阵⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--=31412242 1A 对应的二次型是 ； 8、当t 满足 时，二次型3231212 32221321422),,(x x x x x x tx tx tx x x x f -++++=是负定的； 二、计算题： 1、设2是矩阵⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛=32131103t A 的特征值，求（1）t 的值；（2）对应于2的所有特征向量； 2、设矩阵A 与B 相似，其中⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10001000,00010221y B x A ， （1）求x 和y 的值；（2）求可逆阵P ，使得B AP P =-1 3、已知三阶矩阵的特征值为1，2，-1，设矩阵2 32A A A B +-=，试求： （1）矩阵B 的特征值及其相似对角矩阵； （2）行列式||B 及|3|2 E A -的值； 第一章： 一、填空题： 1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ； 解：a a a a a D a a a a a D n nn n n nn n n n )1(11111111-=----= ∴== 2、设321,,x x x 是方程03 =++q px x 的三个根，则行列式1 3 2 213 3 21 x x x x x x x x x = ； 解：方程02 3 =+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为： a d x x x a c x x x x x x a b x x x ///321133221321-==++-=++ 所以方程03 =++q px x 的三个根与系数之间的关系为： q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210 033)(33212213213 332311 3 2 2133 21=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x 3、行列式 1 000 0000199800019970 020 01000 = ； 解：原式按第1999行展开： 原式=!19981998199721)1(0 00199800199700 200 1 000 219981999-=⨯⨯⨯-=+++ 4、四阶行列式 4 4 332211 000 00a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开： 原式= ) )(()()(0 00 0041413232432432143243214 332 214 33 22 1b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=- 5、设四阶行列式c d b a a c b d a d b c d c b a D =4，则44342414A A A A +++= ； 解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式， 44342414A A A A +++= 01 11111111 1 11==d a c d d c c a b d b a c b d d b c c b a 6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ； 《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B. 100 1 2 00 1 3 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ C. 1 3 00 010 00 1 2 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ D. 1 2 00 1 3 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+… 第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==011y x x ； (2) ?? ?+=-=??? ?cos sin sin cos 1 1y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设????? ??--=111111111Α，??? ? ? ??--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112???? ? ?? (2) ???? ? ??????? ??1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 3213 32123 11542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=??? ??,?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示 式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换. 6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f (x )=x 2-5x +3，? ?? ? ??--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . . 线性代数第二版答案(共10篇) 线性代数第二版答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版 最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数第二版答案（二）: 线性代数和概率论与数理统计教程答案 线性代数（第二版）是张民选主编南京大学出版社 概率论与数理统计教程周国利主编南京大学出版社 教程答案 线性代数第二版答案（三）: 数学线性代数，举2阶矩阵的例子，它们有相同的特征值但是不相似。注：不要复制粘贴，拍题搜出来的答案 数学线性代数，举2阶矩阵的例子，它们有相同的特征值但是不相似。 注：不要复制粘贴，拍题搜出来的答案不对。 线性代数第二版答案（四）: 线性代数第二版陈维新 设ε1,ε2,...,εn为线性空间V的一组基,求这个基到基ε2,...,εn,ε1的过渡矩阵 设ε1,ε2,...,εn为线性空间V的一组基,求这个基到基ε2,...,εn,ε1 的过渡矩阵 解:因为(ε2,...,εn,ε1)=(ε1,ε2,...,εn)A A = 0 0 0 ... 0 1 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 0 所以ε1,ε2,...,εn 到ε2,...,εn,ε1 的过渡矩阵为A. 线性代数第二版答案（五）: 线性代数：为什么二次型的标准形式不唯一的,而它的规范形唯一 标准形对平方项的系数没有严格限制 如 4x^2 = (2x)^2 作一个变换其标准形就改变了. 但规范型要求平方项的系数是1或-1 而二次型的正负惯性指数是不变量 所以规范型是唯一的(不考虑变量的顺序) 线性代数第二版答案（六）: 大二,线性代数习题, 设二次型 f(X1,X2,X3)=X1 +X2 +X3 -2(X1X2)-2(X2X3)-2(X3X1), 1求出二次型f的矩阵A的全部特征值 2求可逆矩阵P,使（P的逆阵乘以AP)成为对角阵 3计算A的m次方的绝对值（m是正整数） 第一章作业参考答案 1-1. 求以下排列的逆序数： （1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10 （2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1) 2(1)2 n n n n -⨯=- 1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a 解：()12(234516)4,•3126454t t t t ==== 128t t t =+=为偶数，故该项带正号。 1-3. 用行列式的定义计算： （1） 0004 0043 0432 4321 （3） 01 2 3 100010001x x x a a a x a ---+ 解：（1） 1241231240 0040 043(1)(1)444425604324 3 21 t q q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3） 1320 1 2 3 1 00010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+ 233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++ 1-4. 计算下列行列式： （1） 1111111111111111--- （3） 120 03 40000130051 - （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a = 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数． 由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯ )1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）⎥⎥ ⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢711 00251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢-26 0523******** 12； （3）⎥⎥⎥⎦ ⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥ ⎥⎥⎦ ⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100 110011001 解 (1) 7 1 100251020214 2 1434327c c c c --0 10 01423102 02110214--- 线性代数习题册答案 第一章 行列式 练习 一 班级 学号 姓名 1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ; （3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）. 2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 . 3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 . 4．003 42215 = －24 . 5．计算下列行列式： （1）1 22 2 122 21 -----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或 （2）11 1 11 1 λ λλ ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3 λ＋3λ+2=2 (2)(1)λλ-+ 练习 二 班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3 (1)11-⋅=- 2． 11 1 2 3 44916 = 2 . 3．已知D= 1 01211031 110 1254 --,则41424344A A A A +++= —1 . 用1，1，1，1替换第4行 4． 计算下列行列式： (1) 111a b c a b c a b c +++ = 13233110 1 10 01 1 ,01 101 11111r r r r c c a b c b c a b c a b c -----+-= =++++++ (2) x y x y y x y x x y x y +++ 线性代数习题 一、判断题 1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。（ ） 2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。（ ） 3、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。（ ） 4、排列()3211 -n n 为偶排列。（ ） 5、若22B A =，则B A =或B A -=。（ ） 6、若AC AB =，0≠A ，则C B =。（ ） 7、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。（ ） 8、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。（ ） 9、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。（ ） 10、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---=B A AB 。（ ） 11、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---+=+B A B A 。（ ） 12、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。（ ） 13、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。（ ） 14、若矩阵A 与B 等价，则B A =。（ ） 15、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。（ ） 16、设A =0，则()0=A R 。（ ） 17、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。（ ） 18、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。（ ） 19、要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→ 2111ξ，⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=→0112ξ都是线性方程组0=AX 的解，则系数矩阵A 可为()111-k 。（ ） 20、若n ，，，ααα 21线性无关，且02211=+++n n k k k ααα ，则021====n k k k 。（ ） 21、单独的一个零向量是线性相关的。（ ） 22、一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。（ ） 线性代数练习题及答案 线性代数作为一门重要的数学学科，对于理工科学生来说是必修课程之一。在 学习线性代数的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的完成，可以 巩固理论知识，提高解题能力。本文将介绍一些常见的线性代数练习题及其答案，希望对读者有所帮助。 一、向量与矩阵 1. 给定向量a=(2,3,1)和b=(1,-1,2)，求向量a与向量b的内积及外积。 答案：向量a与向量b的内积为a·b=2*1+3*(-1)+1*2=1，向量a与向量b的外 积为a×b=(7,3,-5)。 2. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵和逆矩阵。 答案：矩阵A的转置矩阵为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]，矩阵A的逆矩阵不存在，因为A的行列式为0。 二、线性方程组 1. 解方程组： 2x + 3y - z = 1 3x - 2y + 4z = 5 x + y + 2z = 0 答案：通过高斯消元法，可以得到方程组的解为x = -1，y = 2，z = -1。 2. 解方程组： x + 2y + z = 3 2x + 4y + 2z = 6 3x + 6y + 3z = 9 答案：该方程组为一个超定方程组，通过最小二乘法可以得到方程组的近似解为x = 1，y = 1，z = 1。 三、特征值与特征向量 1. 给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：首先求解A的特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=1，λ=3。然后，将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。 2. 给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：同样地，求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=2，λ=4。将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。 四、线性变换 1. 给定线性变换T：R^2 -> R^2，将向量(1,0)和(0,1)分别变换为(2,3)和(-1,4)，求线性变换T的矩阵表示。 答案：设矩阵表示为A = [a b; c d]，则有A*(1,0)^T = (2,3)^T和A*(0,1)^T = (-1,4)^T。解得A = [2 -1; 3 4]。 2. 给定线性变换T：R^3 -> R^2，将向量(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)分别变换为(2,3)、(-1,4)和(0,5)，求线性变换T的矩阵表示。 答案：设矩阵表示为A = [a b c; d e f]，则有A*(1,0,0)^T = (2,3)^T，A*(0,1,0)^T = (-1,4)^T和A*(0,0,1)^T = (0,5)^T。解得A = [2 -1 0; 3 4 5]。 通过以上的练习题，我们可以对线性代数的基本概念和解题方法有一个更深入的理解。希望读者能够通过不断的练习和思考，掌握线性代数的核心知识，提高自己的数学水平。 第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式与n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 〔1〕 23112 =； 〔2〕 cos sin 1sin cos θθθ θ -=； 〔3〕 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++112211221122 1122a a a b b a b b 1221 122112211221a a a b b a b b 〔4〕 11121112 21222122 a a b b a a b b + 1122 1122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式 〔1〕103 12 126231-=--； (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a 〔3〕a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： 〔1〕3214； 〔2〕614235. 123t 112217t 〔3〕() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时，2n k ，排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n 其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序 数；k 为21k 与它前面数构成的逆序数；(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和； 113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n k ，排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数； (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的 和. 4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i j ，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式： 〔1〕 0001 002003004000(4321) (1) 2424 〔2〕 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd 线性代数试题（完整试题与详细答案） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．行列式 1 1 1 101111011110 ------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 2．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ． 3 4 D ．2 3．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B A D ．11--A B 4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1 *)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d c b a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d C ．⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛--a c b d D ．⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛d c b a 5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量 D ．s ααα,,,21 全是零向量 6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ） A ．n r =)(A B ．m r =)(A C ．n r <)(A D ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．A E - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．． 初等矩阵的为（ ） 线性代数练习题（本科） 一、判断题 1.可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。(√) 2.若α1, α2线性无关, α2, α3线性无关，则α1, α2，α3线性无关。(×) 3.若α1, α2，…，αm线性无关，则α1+ α2+…+αm≠0。(√ ) 4.若齐次线性方程组AX=0有非零解，则非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多解。(×) 5.若A的特征值全为0,则A一定相似于零矩阵。(×) 6.若A,B为n阶正定阵，则AB也为正定阵。(×) 7.若A为n阶方阵，则|5A T|=5|A|。(×) 8.若矩阵A,B满足(A+ B)2=A2+2AB+ B2，则AB=BA。(√ ) 9.若方程组AX=0有非零解，则AX=b有无穷多个解。(×) 10.设A,B为非零阵，且AB=0，则B的行向量线性相关。( √ ) 11.设r(A)=r，则A至少有一个r-1阶子式不为零。(√ ) 12.若α1, α2,…,αm线性无关，则α1+2α2+3α3+…+mαm≠0 。( √) 13.可逆的上三角阵的逆矩阵仍是上三角阵.(√ ) 14.若α=(α1, α2，…，αn)T≠0，则ααT的秩必为1。(√) 15.设A,B,C为n阶方阵，若ABC=I，则C=B-1A-1。( √) 16.设A 为m×n矩阵，r(A)=m，则非齐次线性方程组AX=b一定有解。( √) 17.若A,B为n阶正定阵，则A-1+B-1也为正定阵。( √) 18.若A的特征值为1或0，则A= A 。(×) 19.若n阶方阵A中每列元素之和为0，则|A|=0。(√ ) 10.若A可逆，则(A*)-1=(A-1)*，其中A*是A 的伴随矩阵。(√) 线性代数部分综合练习及参考答案 一、单项选择题 1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 正确答案：A 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T T T )(A B AB = C . 1T 11T )()(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB 正确答案：B 3．以下结论或等式正确的是（ ）． A ．若 B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若A C AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵 D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠ 正确答案：C 4．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --1 正确答案：C 5．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ ）． A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 正确答案：D 6．设⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 正确答案：C 7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤⎢ ⎢⎢ ⎢⎣⎡--000 0120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为 （ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 正确答案：A 线性代数习题和答案 第一部分选择题 (共28分） 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题 目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（ ) A。 m+n B. —(m+n） C. n-m D. m—n 2.设矩阵A= 100 020 003 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，则A-1等于（） A。 1 3 00 1 2 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B. 100 1 2 00 1 3 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ C。 1 3 00 010 00 1 2 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ D。 1 2 00 1 3 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3。设矩阵A= 312 101 214 - - - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B。 6 C。 2 D. –2 4。设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ） A。A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D。｜A|≠0时B=C 5。已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ ) A. 1 B。 2 C。 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则( ） A。有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0 D。有不全为0の数λ1，λ2，…,λs和不全为0の数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7。设矩阵Aの秩为r，则A中( ） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r—1阶子式全为0 C。至少有一个r阶子式不等于0 D。所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误の是( ) A。η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=bの一个解 C。η1—η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=bの一个解9。设n阶方阵A不可逆,则必有（ ) A。秩（A) 线性代数考试题库及答案(一) 1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练 第一章行列式的格式正确版本： 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) . 2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1 的逆序数是(B) n-k。 3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。项。 4.1/1 = (D) 2. 5.1/(-1) = (B) -1. 6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0. 7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 = 2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32. 8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (- k^2)a。 9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的 余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3. 10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2. 11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1. 12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。(B) -2. 二、填空题 1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。 2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。 改写后的文章： 线性代数考试题库及答案 第一部分专项同步练 第一章行列式 一、单项选择题 线性代数习题及解答完整版 线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 线性代数习题一 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的 转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） A ．?? A B 可逆，且其逆为-1-1 A B B ．?? A B 不可逆 C ．?? A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? A B 可逆，且其逆为-1-1?? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1 B ．2 10月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 转置矩阵，* A 表示矩阵A 伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 行列式，()A r 表示矩阵A 秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出四个备选项中只有一个是符合题目要求，请将其代码填写在题后括号内。错选、多项选择或未选均无分。 1.设3阶行列式1 1 1 232221 13 1211 a a a a a a =2，若元素ij a 代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 第3行乘以2 1 -得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1 - C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则以下向量中是A 属于特征值2-特征向量为 【 】 A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011 B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201 D.⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛211 5.二次型212 322213214),,(x x x x x x x x f +++=正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设1 3 12)(--= x x f ，则方程0)(=x f 根是 7.设矩阵⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=0210A ,则* A = 8.设A 为3阶矩阵，2 1-=A ,则行列式1 )2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=4321B ,⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出 表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关， 则数=k 12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+00 32 21x x x x 基础解系中所含解向量个数 为 第一章 随堂检测 1.已知行列式33323123222113 12 11a a a a a a a a a D = 展开式的六项中含有,则i+j=( ) A.1 B.2 C.4 D.6 我的答案：D 2.某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( ) A.一定是整数 B.一定不是零 C.一定是正数 D.一定是负数 我的答案：A 3.[单选题] 行列式=b b a a ( ) A.0 B.b a 2 2 - C.b a 2 2 + D.2ab 我的答案：A 4.[单选题] 方程组⎩⎨⎧=-=+21 21212x x x x 的解是( ) A.⎩⎨⎧==01 21x x B.⎩⎨⎧==1121x x C.⎩⎨⎧==1 021x x D.⎩⎨⎧==0 021x x 我的答案：A 5.[单选题] 行列式 3 4-4 3的结果是( ) A.0 B.7 C.10 D.25 我的答案：D 6.[单选题] 某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( ) A.3 B.4 C.7 D.0 我的答案：D 7.[单选题] 关于三阶行列式说法正确的是( ) A.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零 B.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零 C.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零 D.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零 我的答案：A 8.[单选题]行列式1010101 02( ) A.0 B.1 C.2 D.4 我的答案：B 9.[单选题] 一元一次方程12 11x =的解是( ) A.x=1 B.x=2 C.x=3 第一部分 专项同步练习 第一章 队列式 一、单项选择题 1． 以下摆列是 5 阶偶摆列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．假如 n 阶摆列 j 1 j 2 j n 的逆序数是 k , 则摆列 j n j 2 j 1的逆序数是 ( ). (A) k (B) n k (C) n! k (D) n(n 1) k 2 2 3. n 阶队列式的睁开式中含 a 11a 12的项共有 ( ) 项. (A) 0 (B) n 2 (C) ( n 2)! (D) ( n 1)! 0 0 0 1 4． 0 1 0 ( ). 0 1 0 0 1 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 0 1 0 0 ( ). 5. 0 0 1 0 1 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 f ( x) 1 x 1 2 ). 3 2 x 中 x 3 项的系数是 ( 3 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 a 11 a 12 a 13 1 ，则D 1 2a 11 a 13 a 11 2a 12 7. 若 D a 21 a 22 a 23 2a 21 a 23 a 21 2a 22 ( ). a 31 a 32 a 33 2 2a 31 a 33 a 31 2a 32 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若 a 11 a 12 a ，则 a 12 ka 22 ( ). a 21 a 22 a 11 ka 21 (A) ka (B) ka (C) k 2a (D) k 2 a 9． 已知 4 阶队列式中第 1 行元挨次是 4, 0,1, 3 , 第 3 行元的余子式挨次为 2, 5,1, x , 则 x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 D 6 2 3 1 1 1 1 ，则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ( ). 1 4 3 7 5 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 3 0 4 0 11. 若 D 1 1 1 1 ，则 D 中第四行元的余子式的和为 ( ). 0 1 0 5 3 2 2 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) x 1 x 2 kx 3 0 12. k 等于以下选项中哪个值时，齐次线性方程组 x 1 kx 2 x 3 0 有非零解 . kx 1 x 2 x 3 ( )最全线性代数习题及参考答案
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