线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式

习题1.1

1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有

3

)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以

)

3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以

)3(33)

(3)3()

3)(3()3)(3(3

32

2

22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=

-+-+=

++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=?

∈?,，从而有

q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2

qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有

a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。

所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

同样可得)()(p Q q Q ?。

（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q 和?之间存在无穷多个不同的数域。

2. 解：（1）)1(-P 是数域，证明略（与上面类似）。

（2）)1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=-=-?)1()1(C 复数域。

（3）)1(-Z 不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如

)1(2

1

-?Z 。 3. 证明：（1）因为K F ,都是数域，所以K Q F Q ??,，从而K F Q ??。故K F ?含

有两个以上的复数。

任给三个数K F c K F b a ?∈≠?∈0,,，则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域，所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。所以K F c

a

ab b a ?∈±,,。 所以K F ?是数域。

（2）K F ?一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==，我们有K F ?∈3,2，但是K F ??=

326。

习题1.2

2. 解：项651456423123a a a a a a 的符号为Λ=-+)

312645()234516()

1(ττ

习题1.3

1．证明：根据行列式的定义

111111111

L

L M M M

L

=

121212()

12(1)

n n

n

j j j j j nj j j j a a a τ-∑

L L L 1

ij a =

1212()

(1)n n

j j j j j j τ-∑

L

L =0。

所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列

产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列，故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。

2．解(1) 199819992000

200120022003

200420052006

32

C C

-

199819991

200120021

200420051

21

C C

-

199811

200111

200411

=0；

（2）1001

0220

0330

4004

-

-

32

41

C C

C C

-

+

1000

0200

0360

4008

-

下三角形

1268=96

???；

（3）1110

1101

1011

0111

21

31

R R

R R

-

-

1110

0011

0101

0111

-

-

24

R

1110

0111

0101

0011

-

-

32

R R

+

1110

0111

0012

0011

-43

R R

+

1110

0111

0012

0003

上三角形

1113=3

???；

（4）

22

22

22

a b c a a

b b

c a b

c c c a b

--

--

--

123

R R R

++

22

22

a b c a b c a b c

b b

c a b

c c c a b

++++++

--

--21

31

(2)

(2)

R b R

R c R

-

-

111

()00

00

a b c b c a

c a b

++---

---

=3

()

a b c

++。

（5）72222

27222

22722

22272

22227

5

1

2

i

i

C C

=

+∑

152222

157222

152722

152272

152227

1

2,3,4,5

i

R R

i

-

=

152222

05000

00500

00050

00005

上三角形

5

15555535

????=?。

3．解：（1）

111213

212223

313233

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

提取每行的公因子123

123123

123

y y y

x x x y y y

y y y

性质4

0。

（2）左端

14,3,2

i i C C i --=222

2

212325

212325212325212325

a a a a

b b b b

c c c c

d d d d ++++++++++++4332C C C C --

2222

2122212221222122

a a

b b

c c

d d ++++=0=右端。

（3）121112

1

122

1

12

11

1111n n n n n a a a a b a a a a b a a a a b -----+++L

L L M M M M L

1

2,i R R i n

-=L 121121

1000000000

n n a a a b b b --L L L M M M M L

上三角形

121n b b b -L 。

（4）原式（先依次12211,,,C C C C C C n n n n ------Λ）=。。。=?

??>=2,2

,n if n if ΛΛ。

（5）原式（先依次12211,,,R R R R R R n n n n ------Λ）=。。。=??

?>=2

,2

,n if n if ΛΛ。

4．解：设展开后的正项个数为x 。则由行列式的定义有!2)!(n x x n x D -=--=。又因为

=D （利用n i R R i ,,3,2,1Λ=+）

221021001Λ

M

M M ΛΛ

（下三角行列式）1

2

-=n 。所以有

2

!

2,!22

11

n x n x n n +=-=--。

5．证明：（1）左端

123C C C ++提取公因子

11111112222222333

33332a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++++++++2131

C C C C --

1111122222333

3

3

2a b c b c a b c b c a b c b c ++--++--++--123

3

C ;(1)C C C C ++-2(-1)1

11

22233

3

2a b c a b c a b c =右端。

（2）利用性质5展开。

6．解：（3）与上面3（3）类似可得。 7．解：利用行列式的初等变换及性质5。

8．解：11

22110000000

0011111

n n a a a a a a -----L L

M M M

M M L L

11,2,,1

i i C C i n ++=-L

1

210

000

0000

0000

1

2

31n a a a n n

-----L

L M M M M

M

L L

下三角形

121(1)n n na a a --L 。 9．证明：设原行列式=D 。则对

D

进行依次如下变换后

∑=+??5

2

14323

14

,10,100,10,10i i C C C C C C 所得的行列式D ′第一列由题设中所给的5个数

字构成。从而由行列式的定义可知D ′可被23整除。又由行列式的性质知D ′D 10

10=。因为23是素数，且10

10不可能被23整除，所以D 可以被23整除。

习题1.4

1．解：(1) 0

000

00

000x

a b c

y d

e z f

g h k u l

v

5按第行展开0

000

0x

a b y v e

z g

h k

u 按第4列展开000

x a b vu y e z

按第1列展开

0y xuv

e

z

=xyzuv ；

(2)

1111

23413412412314,3,2i i R R i --=111112

3

011311311--12,3,4i R R i -=11110

1

2

10040040

---

按第1列展开

1210404

--- 1.27(4)-习题第题

3(31)

2

(1)

(1)(4)(4)-----=16；

(3)方法一 01000

0010000010

a b c d e

e d c b a

按第1列展开1000

0100

0010

a d c

b a

+51

1000(1)

01

00001

b c d

e

e

+-

第2个行列式按第4列展开

241100

(1)010001

a e e ++-=22a e -；

方法二 逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。

(4)逐次按第2行展开

123100010000000000001

n n

a a a a a -L L L M M M

M M L L

=132

010010n

a a a a L L M M M L

==L

1231

11

n n

a a a a a -L =2311(1)n n a a a a a --L ；

(5)

123

11122

1232

22212

3

2

223

312

3

311000100011100

x x x a b c a b x x x c x x x a b x x x c 36C 12311122

2

23122212

3

222

3

33

2

3

11110000001110

0x x x a b c a b c x x x x x x a b c x x x -

35R

=2123(,,)D x x x -=222

313221()()()x x x x x x ----；

(6)

23

11

11122144

188

x x x --=(1,2,2,)D x -=(2)(2)(1)(22)(21)(21)x x x +-------

2

12(1)(4)x x =--；

（7）换行后可得到范德蒙行列式； （8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。

2．解：(1)

0000

00

0000000000x y x

y x x y y x

L L

L

M M M

M M L L 按第1列展开

1100

(1)00

0x

y x

y x

x

+-L L M M M M

L

+100000(1)0000

0n y x

y y x x y

+-L L L M

M M M L

=1

(1)

n n n x y ++-；

(2) 1231231231

2

3

111n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a +++L L

L

M

M M M L

12,3,,i R R i n

-=L 12

311

100

10

1

1

001

n

a a a a +---L L L

M M M M L 12n

i

i C C =+∑ =1+

1

n

i

i a =∑；

（此处有笔误） (3)

111212122212111111111n n n n n n

x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++++L

L M M

M L

=1112112213111

2

111()()()

n

n

n n n

x y x y x y y y y x x x x x x y y y y +++---L L L M M L

，

据此当2n =时，原式=2121()()x x y y --；当2n >时，原式=0。 3．解：（1）将n D 按第n 列展开得:

n D =

00

000

0000

00

0x y y y y z x

z x x z x

L L

L M M M M M

L L

=10000(1)00

000

0n z x z

x y x z

+-L L M M M M L L

+0000000x y y y z x x z

x x

L L L

M M M M L

=1

11(1)

n n n yz xD +---+。

（2）略（参考课本例中的叙述）。 4．解：（1）交换行、列后得到三角块行列式，然后利用例；或者直接利用Laplace 定理。 （2）左端先做变换3241,C C C C ++，再做变换2314,R R R R --，然后利用P30推论。

5．解：（1）7654329789437

497005361000056000

6

8

M M L

L L L M L L M M M M 再分块

24

7

4975

36132

(1)43

00560

6

8

?-?M M L L M L L M M =

327456

435368

??

=4； （2）

1221

010*********

23C 1221001221010021

23R 1221

2101

00120021

M M L L M L L

M M =121292121

?=； （3）利用初等变换。 附加：P30推论的证明：

证 (1) 将第r+1列与r 列交换, 由将新的r 列与r-1列交换, 如此继续, 直到将第r+1列交换到第1列, 这样共交换r 次; 再将第r+2列如上方法交换至第2列, 也交换了r 次, 如此继续直到将r+s 列交换至第s 列. 于是交换了rs 次后得到

111111*********

r s r rr r rs s s ss

a a c c a a c c

b b b b L L M M M M L L L

L M M M M L L

=111111111111(1)

000

rs r r rs r rr rs

s s ss

c c a a c c a a b b b b -L L M M M M L L L L

M M M M L

L

将所得行列式的第r +1行依次与第r 行, r -1行, ……, 第1行交换. 交换r 次后, r +1行交换至第1行. 类似地交换r 次后将r +2行交换至第2行, ……, 交换r 次后将第r+s 行交换至第s 行, 于是交换rs 次后得:

(2), (3) 思路与(1)类似, 证明过程略去。

习题1.5

2．解：计算得 100200

110

0001

2D λ

λ-=

14C C +100

0001100

4012

λλ-2第行展开

10(1)10401

λ

λ-

=41λ-

根据克拉默法则, 当D 0≠时, 即1

4

λ≠

时, 原方程组只有零解。 习题1.6

1．证明：方法一 归化 =1211

(1)n

n i i

a a a a =+

∑L =右端. 方法二 归纳法

当1n =时, 1D =111

1

1(1).a a a +=+

结论成立. 假设1n -时结论成立, 即有1n D -=1

12111(1).n n i i

a a a a --=+

∑L 则当n 时, 将 n D 的第n 列看成1+0,1+0,……,1+n a , 故n D 可表示为2个行列式之和, 而第2个行列式按第n 列展开可算出为1n n a D -从而

123111

1111

11111111

1n n

a a D a a ++=++L

L L M M M M L

=

1

2311111111

11111111

a a a +++L L L M M M M L +1n n a D - 而

1

231111*********

1

1

1

a a a +++L L L M M M M L

1,2,,1

i n

R R i n -=-L 123000

000

01111

a a a L L L

M M M M L

=121n a a a -L . 所以n D =121n a a a -L +1n n a D -=121n a a a -L +n a 1

12111(1)n n i i

a a a a --=+

∑L

=1211

(1)n

n i i

a a a a =+∑L =右端. 方法三 递推

由证明(二)可知n D 与1n D -存在以下递推关系:n D =121n a a a -L +1n n a D -

所以n D =121n a a a -L +1n n a D -=11211()n n n i n i D a a a a a -=+∑

L =L =1211

(1)n

n i i

a a a a =+∑L =右端.

方法四 加边法

123

111111*********

1n n a a D a a ++=++L

L L M M M M L

=121

100011111111111

1n

n a a a ++++L

L L M M M M L

1121100010

01001

n

i i

n

a a a a =+∑

L L

L M M M

M L

=121

1

(1)n

n i i

a a a a =+

∑L =右端。

2．证明：（1）注意当把行列式按第n 列展开时，得到的递推公式中有三项，故归纳法第一

步应验证n=1，2时均成立。而归纳法第二步应假设当)3(≥

n n R R R R R R ----13221,,,Λ；然后按第一列展开，再依次1,1>-i C C i ；最后按最

后一列展开。

4．解：通过倍加行变换易知f(x)的次数最大为1；又因为如果ij a 全取零，则有f(x)=0。所以选(D)。

5．看自己或别人的作业。 6．解：方法一：利用课本中例

方法二：设),,,,()(21x x x x D x f n Λ=。则有f(x)中1

-n x 的系数为n D 。又因为

∏∏--=

?

?

)()()(j i

i

x x

x x x f （范德蒙行列式），所以f(x)中1

-n x 的系数为。。。

所以可得Λ=n D 。

第二章 线性方程组

习题2.1

2．证明. 因||0A ≠,说明11

121...n a a a 不全为零,故当某个10k a ≠,通过适当的行互换,

可使得1k a 位于左上角,用1

1k a -来乘第一行,然后将其余行减去第一行的适当倍数,矩阵A

可以化为:'

'12111 (00)

0n a a A ??????

????

??

????

M ,由于||0A ≠,此时必有1||0A ≠,故可以对1A 重复对A 的讨论, 此时A 可经初等行变换化为'''1213

1'

'232'31

...0

1 0

01 (000)

...1n n n a a a a a a ??

????

?????????

?

M M M M M , 然后再将第n 行的'in a -倍加到

第i 行(1,2,...,1i n =-),再将第1n -行的'

(1)i n a --倍加到第i 行(1,2,...,2i n =-),这样

继续下去,一直到将第2行的'

12a -倍加到第1行,此时A 就化为1

000

100

1?????

???????

L L M M M , 故所证结论成立。

3．证明：以行互换ij R 为例: 列互换可以同样证明.

若1212(1)121122...j i

i i in i i in R R j j jn j i j i jn in i a a a i a a a A j a a a j a a a a a a +-???

?

???????

?

????=????→????

---????

???????

?

L L L L L L L L

L L L

121122i j

j j jn R R j i j i jn in i a a a j a a a a a a +?

??????????→?

?---??????L L L L

L L 12(1)12...j ii

j j jn R R i i in i a a a j a a a +-??

????

??????→??---??

????

L L L L L

12

(1)12...ji j j jn R i i in i a a a j a a a -??

?????????→????????

L L L L L , 这相当于A 中交换第i 行和第j 行, 所以结论成立。

习题2.2

1． 解：A 中一定存在不为零的1r -阶子式,否则秩()1A r <-,与题设秩（A ）＝r 矛盾. 由秩（A ）＝r 知，A 中至少存在一个r 阶子式不为零, 这表明A 中的r 阶子式只要有一

个不为零即可,其余可以等于零,也可以不等于零. A 中一定不存在不为零的1r +阶子式,否则A 的秩至少是1r +, 这也与题设秩（A ）＝r 矛盾。 2． 提示：利用矩阵的行秩和向量的极大无关组证明。 3． 略。

4． 思路：可将矩阵写成一个列向量和一个行向量的乘积，从而由秩1≤；进而因为矩阵不

等于零，所以秩〉0。 5． 略。

习题2.3

略。

习题2.4

2．证明：(Ⅰ)的增广矩阵为A =11

121121

22221,11,21,11

2n n n n n n n n n nn

n a a a b a a a b a a a b a a a b ----?????????

???????

L

L M M

M M L L

, 因为系数矩阵的秩不超过增广矩阵的秩, 所以有秩(A )≥秩(A ).

观察可知, 矩阵B 其实就是在增广矩阵A 下面加了一行, 所以秩(B )≥秩(A ). 由题意知, 秩(A )=秩(B ), 据此可得秩(A )≥秩(A ). 综上知秩(A )=秩(A ), 故(Ⅰ)有解。 3．解：将增广矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵.

当120n b b b +++≠L 时, 秩(A )≠秩(A ), 所以线性方程组无解;

当120n b b b +++=L 时, 秩(A )=秩(A )<未知量个数, 所以线性方程组有无穷多解.

原方程组同解于 12123234311,

,

,.

n n n x x b x x b x x b x x b ---=??-=??

-=???-=??M

故通解为11231223111,,

,.n n n n n x b b b b t x b b b t x b t x t ----=+++++??=++++??

??=+?

=??L L M

其中t 为任意常数。 4．证明：该线性方程组的增广矩阵A =11

1,11,21

2,12,31

3,13,1,1

n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----??????

?????????

?

L M L M L M M M M M L

M

, 由题意0ij D a =≠知

秩(A )=n . 但是系数矩阵A 是一个(1)n n ?-的矩阵, 所以秩(A )1n ≤-<秩(A ). 据此秩(A )≠秩(A ), 所以该线性方程组无解。

第三章 矩阵

习题3.1

4．解：（1） 由矩阵乘法运可得：

11111211221

2222212n n n n n n n nn a a a a a a DA a a a λλλλλλλλλ??????

=???

???L

L M M M L

；1112121121

22221122n n n n n n nn a a a a a na AD a a a λλλλλλλλλ??

???

?

=??

????

L

L M M

M L

。

（2）与D 乘法可换的矩阵A 满足DA AD =。故DA 与AD 的元素对应相等，利用（１）

的结果，有i ij j ij a a λλ=，从而()0i j ij a λλ-=。由于j i λλ≠（i j ≠），可得：当i j ≠时，0ij a =，即A 为对角矩阵。

5．证明：（1）数学归纳法：当2n =时，计算得2

110121011012001001????

????=????????????

，故结论成立． 假设当n k =时，结论成立，即有2

110101*********k

k k C k ??

??????=????

????????

，

则当1n k =+时，

1

2211011101101101011011001001001001k k k k C k k C k k +????

++????????????==+??????????????????

??????

．

因2

21(1)(1)22

k k k k k k C k k C +-++=+==所以1

2111011011011001001k k k C k ++??+??

??

??

=+??????????

??

，

即当1n k =+时，结果成立．由归纳法原理知，对任意大于2得正整数n 有????

??????=??

???

?????1001011001100112

n C n n n

．

（2）当1n =时，结果显然成立．当2n =时, 直接计算得2B E =. 假设当n k =时，结果成立，即,,k

E B B ?=??

k 为偶数；

k 为奇数；．我们要证明当1n k =+时，结

果也成立，即可完成证明．

第一种情况：k 为奇数，则

1k k B B B BB +===142142100032032010043043001E ??????

??????----==??????????????????

．

第二种情况：k 为偶数，则

1k k B B B EB B +===．

综上：1

,,k E B

B +?=??k+1为偶数；

k+1为奇数；

即当1n k =+时，结论成立． 6． 解：（1）先计算出4,3,2,1=n 时的结果。然后归纳出应该有

cos sin cos sin sin cos sin cos n

n n n n ???

????

?--????

=???

?????

，接下来用数学归纳法证明这一归纳出的结

果。

当n=1时，结论显然成立．

假设当n k =时，结论成立，即cos sin cos sin sin cos sin cos k

k k k k ?

??

??

??

?--????

=?

???????

． 则当1n k =+时， 结论成立． 7．记住结论。

8．证明：因为A 与所有n 阶方阵乘法可换，故与ij E 乘法可换, 利用第7题结果有

ij ij AE E A =，即12120

00000000000000

000000000i i j j jn ni

j

a a i a a a a ??

???

??????????

?=?????????

????????

?L M M M L L L L

L L M M M M

M

L L

L

M M M L ,,1,2,0

ii jj ij a a i j n a =???=?

=?L ．设11a λ=，则000

0,0

A E λλλλ?????

?==??????

L

L

M M M 即A 为数量矩阵．

10．证明：设1111n m mn a a A a a ????=??????K M O M L ，1111m n nm b b B b b ??

??=??????

K

M O M L ，则 tr 1111122111()n n AB a b a b a b =+++L

同理可得 tr 11

()n m

ji ij

j i BA b

a ===

∑∑

由于

11

11

m

n

n

m ji ij

ji ij j i j i a

b b a =====∑∑∑∑，可得tr ()AB =tr ()BA ．

11．证明：假如存在n 阶方阵满足AB BA E -=，则

AB BA E =+?tr ()AB =tr ()BA E +=tr ()BA n +．

由于0n ≠，可得tr ()AB ≠tr ()BA ，这与10题所得结果矛盾． 所以假设不成立．即不存在n 阶方阵A ，B 满足AB BA E -=． 15．证明：因A ，B 都是对称矩阵, 故()T

T

T

AB B A BA ==, 从而

AB 为对称矩阵()T AB AB BA AB ?=?=.

16．证明：设1111n m mn a a A a a ????=??????L

M M L

，则1111m T

n mn a a A a a ??

??=?

?????

L

M M L

． 由T

T

A A O A A =?的主对角线上元素为零

222120,1,2,i i mi a a a i n ?++=?=L L , 由ij a 为实数知

A O ?=.

证法二：利用二次型。

习题3.2

4．思路：注意到矩阵多项式的运算和一般多项式的运算一样就可以了。 证明：计算2

1

()()k k E A E A A A

E A --++++=-L , 由题意可知k A O =, 所以

21()()k k E A E A A A E A E

--++++=-=L .

根

据

定

理

E A -21k E A A A -++++L

5．证明：计算

()n E J -1()1n E J n -

-=221111n n n E J E EJ J n n --+-- =211()111

n n n n n E J J E nE J J n n n -+=-----

计算11

11111111111111()1111111111111111n n n n nE J J O n n ----????????----????

????-==----????????????----????

L L L L L L M M M M M M M M L L

据此()n E J -11

()()11

n n n E J E nE J J E n n -=--=--,根据定理

n E J -1

1

n E J n --

6．证明：因为1

110m m m m a A a A a A a E O --++++=L 所以有

12110()m m m m A a A a A a a E ---+++=-L . 由题意可知00a ≠, 所以可在等式两边同

乘上0

1a -

, 由此可得121101

()m m m m A a A a A a E a ----+++=L , 整理得12110

1

[()]m m m m A a A a A a E a ----

+++=L ,

根

据

定

理

A 112110

1

()m m m m A a A a A a a ----=-

+++L 7．证明：(1) 由题意2

4A A E O +-=可得1[()]4

A A E E +=, 根据定理

A 11

()4

A A E -=+

(2) 由题意2

4A A E O +-=可得2

22A A E E +-=, 而这个等式可化为

()(2)2A E A E E -+=, 即有1

()[(2)]2

A E A E E -+=, 同样根据定理

A E -11

()(2)2

A E A E --=+

8．思路：注意题设实际上是给出了矩阵多项式0)(2

=-=A A A f 。所以一般情况下，

A E -2如果可逆，其逆矩阵也应该是一个矩阵多项式。所以我们可以假设其逆矩阵为

bE aA +（待定系数法）

，从而由逆矩阵定义知应该有E bE aA A E =+-))(2(，即E bE A b a aA =+-+-2)2(2。在注意到题设是0)(2=-=A A A f ，所以我们有bE A b a bE A b a aA bE A b a aA E 2)(2)2(2)2(2+-=+-+-=+-+-=，所以有

12,0==-b b a ，即2

1

=

=b a 。 证明：因为A A =2

，所以E E

A A E ==+-Λ2

)2(。所以。

。。 9．证明：(1)1

1

13

A

A

--==; (2)由于*

AA A E =, 所以*

1

1

3A A A A --==, 由此可得*13133A A A --==

1

2793

=?=;

(3)3

2(2)8324A A -=-=-?=-; (4)1

1

31311(3)

3(3)(33)81

A A

A ----===?=

; (5)由(2)中分析可知*

1

3A A -=, 所以

*111111

4(3)4333

A A A A A -----=-=- 311

(3)2793

A -=-=-?=-;

(6) 由(2)中分析可知*

1

3A A -=, 则*1

111111

()

(3)()33

A A A A -----===。

10．证明：,A B 都可逆, 所以有*

*

,AA A E BB B E ==, 由此可知

*1*1,A A A B B B --==, 从而得到**11B A A B B A --=.

另一方面, 由于,A B 都可逆且均为n 阶方阵, 所以AB 也可逆, 所以有

*1()()AB AB AB -=, 而111()AB AB A B B A ---=.

综合上述可得*

1

1

*

*

()AB A B B A B A --==.

11．略。

12．证明：假设A 是可逆矩阵, 那么在等式2A A =两边都左乘A 的逆矩阵1A -可得A E =, 这与题设中A E ≠矛盾! 所以A 不可逆.

13．证明：根据题意可知存在非零的n ×t 矩阵B 使AB=O, B 是非零矩阵所以必存在某一列

上的元素不全为零, 不妨设这一列为12i i

ni a a a ????????????M . 由于AB O =, 所以A

12i i ni a a a ????????????M 000????

??=??????

M , 据此可知12i i

ni a a a ????????????

M 是线性方程组AX O =的一个非零解. 由于AX O =有非零解, 所以

A =0.

14．略。

15．解：(A) 可逆的充要条件是0A ≠而不是A O ≠, 设1000A O ??

=≠????

, 但A 不是可逆

矩阵, 所以选项(A)是错误的.

(B) 设,A E B E ==-, 显然,A B 都是可逆的, 但是A B O +=不是可逆矩阵, 所以

选项(B)是错误的.

(C) 可逆的充要条件是0A ≠而T A A =.所以选项(C)是正确的.

(D) 不可逆的充要条件是0=A ；而A 中至少有一行全为零只是0=A 的充分条件。

设??

?

?

??=1111A , 但A 不是可逆矩阵, 所以选项(D)是错误的. 习题3.3

1．解：

(1) 设12121321,,,31214134A B C D -????????

====?

???????

--????????

, 则原式可以分块写成 A O C O O B O D ????????????, 利用分块矩阵的性质计算得A O C O AC

O O B O D O

BD ??????

=???????????

?

而121250312117AB --??????==?

?????-??????, 13211113413450CD ??????

==??????

-??????

, 据此可

得500

017000

011130050A O C O AC

O O B O D O

BD -??

??????????==?

???

????

????????

??

. (2) 设10111140102,01,,111,010*******A E B C D G ????

????????=====????????????????-????

则原式可以分块写成A B D O C G ????????????, 利用分块矩阵的性质计算得A B D AD BG O C G CG +??????

=??????

??????

而

22210232010222220122300122221241AD BG ED BG D BG ??????

????????+=+=+=+=????????????????-??????

,

1401001401001001CG ??????

==????????????.

据此可得2

322

232410140

01A B D AD BG O C G CG ??

???

?+????????==??????

?

?????????????

.

2．解：(1) []111

1n n n

A A

E A A A E E A ----????==????;

(2) 1111n n n A E AA A E A E A ----??????

==????????????; (3) []11112n n

n n n n n A A A A E E A A E E E A E A

E ----??????

==????????????； (4) []

[][]2T

n n n n n A A A A

E A E A E E A

E ????

==?

???????

; (5) [][]

[]2T

n n n n n A A

E A E A E A E E ??

==+????

。

3．证明：(1) 先证“?”, 当Q 可逆时, 则必有0Q ≠. 而(1)rt O A

Q A B B O

=

=-,

所以有0A B ≠, 从而有0,0A B ≠≠, 因此,A B 均可逆.

再证“?”, ,A B 均可逆, 则有0,0A B ≠≠, 所以有0A B ≠, 而

(1)rt O A

Q A B B O

=

=-, 所以0Q ≠, 据此可知Q 可逆.

综上即有Q 可逆?A ，B 均可逆. (2) 设1C D Q F G -??=?

???, 则有1

O A C D E QQ B O F G E -??????==???????????

? 而O A C D AF

AG B O F G BC BD ??????=???????????

?, 所以有AF E

AG O BC O BD E

=??=?

?

=??=?, 因为Q 可逆, 由(1)可知必有,A B 可逆, 所以由AG O =, BC O =可得G C O ==. 而由AF E =, BD E

=可得1

1

,F A D B --==. 所以11

1

O B Q A

O ---??=????

. 5．解：(1)设2127,1113A B ????==?

???????, 则原矩阵为A O O B ??

??

??

. 而1

11A O A O O B O

B ---??

??

=????????

. 因为1

12111,1112A ---????==????-????1

1

273737131212B ----??????==-=??????--??????

, 所以

可得

1

111100120000370012A O A O O B O

B ----??

??-????

??

==

??????

-??????-??

. 习题3.4

4．解：(1) A 中i 行与j 行互换相当于用初等矩阵(,)E i j 左乘A 得到(,)E i j A . 由于

11((,))((,))A E i j E i j A E --=, 而1(,)E i j -=(,)E i j , 所以相当于1A -右乘了初等矩阵

(,)E i j , 即1A -中的i 列与j 列互换.

(2) A 中i 行乘上非零数k 相当于用初等矩阵(())E i k 左乘A 得到(())E i k A . 由于