线性代数习题答案详解
线性代数习题答案详解
【篇一：段正敏主编《线性代数》习题解答】
张应应胡佩 2013-3-1
目录
第一章第二章第三章第四章第五章第六章
行列
式 ....................................................................................................... ............. 1 矩
阵 ....................................................................................................... ............... 22 向量组的线性相关
性 .......................................................................................... 50 线性方程
组 ....................................................................................................... ... 69 矩阵的相似对角
化 .............................................................................................. 91 二次
型 ....................................................................................................... (114)
1
附录：习题参考答
案 ....................................................................................................... . (129)
1
教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。
第一章行列式
1．填空题：
（1）3421的逆序数为 5 ；
解：该排列的逆序数为t?0?0?2?3?5. （2）517924的逆序数为7；解：该排列的逆序数为t?0?1?0?0?3?3?7. （3）设有行列式
21d?6
1?1
5?1501
?130201
047832
?432=?(aij)，
含因子a12a31a45的项为；解：(?1)
t(23154)
a12a23a31a45a54?(?1)3?5?2?6?8?3??1440
(?1)t(24153)a12a24a31a45a53?(?1)4?5?0?6?8?1?0
所以d含因子a12a31a45的项为-1440和0.
（4）若n阶行列式dn??(aij)?a,则d??(?aij)?解：?行列式d中每一行可提出一个公因子?1，
??1?
n
a
；
?d??(?aij)???1??(aij)???1?a.
nn
1
（5）设f(x)?
14?8
1xx
2
2?248
，则f(x)?0的根为；
x3
解：f(x)是一个vandermonde行列式，
?f(x)?(x?1)(x?2)(x?2)(?2?1)(?2?2)(2?1)?0的根为1，2，-2.（6）设x1,x2,x3是方程x?px?q?0的三个根，则行列式
3
x1
x3
x2x1x3
x3
x2? ； x1
3
3
2
x2
解：根据条件有
x?px?q?(x?x1)(x?x2)(x?x3)?x?(x1?x2?x3)x?ax?x1x2x3 比较系数可得：x1?x2?x3?0，x1x2x3??q
?x13??px1?q?3
再根据条件得：?x2??px2?q
?x3??px?q
3?3
原行列式=x1?x2?x3?3x1x2x3??p(x1?x2?x3)?3q?3?(?q)?0.
3
3
3
x
（7）设有行列式?1
23
x0=0，则x； x1
x
解：?1
23
x0?x2?3x?2?(x?1)(x?2)?0 x1
?x?1,2.
a11
（8）设f(x)?
a12a22xa42
a13xa33a43
xa24a34a44
，则多项式f(x)中x3的系数为；
a21a31x
解：按第一列展开f(x)?a11a11?a21a21?a31a31?xa41，
?a11,a21,a31中最多只含有x2项，?含有x3的项只可能是xa41 a12
xa41?x(?1)4?1a22
x
a13xa33
xa24a34
3
?????????x?xaa?aa?aa?x?a13a22a34?a12a24a33?????1234 13242233??
?xa41不含x3项，?f(x)中x3的系数为0.
1234
（9）如果
6543002x0033
=0，则x
1234
解：
65430020033
122x
???(5?12)(6?3x)?0 x6533 ?x?2.
000
（10）
a000
；
b000c
000d
解：将行列式按第一行展开： 000b000c
000d
a000
b00
?a?(?1)1?40c
0??abcd.
00d
a31
（11）如果b
a?3b?3c?3
21??r1?3r3??
r2?2r3
01=1，则521??a
?at
41
；
ca31
解：b
1
abc302111
a?3b?3c?351
21
41
?1.
0121a11
c
a12a22a32
a132a112a122a222a32
2a12?2a13
2a22?2a23 2a32?2a33
（12）如a21
a31
2a112a122a13
a23=2，则2a21
2a31a33a21?a31
a21?3a11a22?3a12a23?3a13
a11
a12a22a32
00a21a22a23
a11a13
0a31a32a33
a21a22a23
2123
a31a32??1a33
；
a
a22?a3211
a12
a23?a33
a13
a13a33
解：a?a21
a23??1?2?3?at?a12?2?3?2
a31
2a112a31
2a122a32
2a22?2a23?2?12?22a32?2a33
??3??8?0?a???16
2?2?2?3?231?2?2??3
2a212a22 ?????????????????????????????????????????8??1?2?2 ??1?2
2a112a122a13
a21?3a11a22?3a12a23?3a13
a21?a31
a22?a32?2?1a23?a33
?2?3?1?2??3?2?1?2?3?1?2??3?2?2
?2??3??1?3?1?2??3?2??3?2??1?2 ?????????????????????????????????????????????2?? 1?????????????????????????????????????????????2?1 ?
?3
?2??1?2
? ??????????????????????????????????????????????2at ??4
0a11a12a13
0a21a22a23
0a31a32a33
2
1??按第一行展开??23
ab
1?4
2（?-1）at??4.
（13）设n阶行列式d=a?0，且d中的每列的元素之和为b，则行列式d中的第二行的代数余子式之和为=???；
a11
解：
a12?a1n?
?
a11?
a12?a1nb?
?
b?=b
a111?
a12?a1n1?
?
1?
a21?an1
a22?a2n??每行元素加到第二行??ban2?ann
an1an2?annan1an2?ann
??按第二行展开??
b?a21?a22???a2n??a?0
?b?0,且a21?a22???a2n?0
?a21?a22???a2n?
a b
实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和
ai1?ai2???ain?
a
,i?1,2,?,n. b
a11
（14）如果
a12a22a32a42
a13a23a33a43
a14a24a34a44
=1，则
000a11
a22a32a42a12
a23a33a43a23
a24a34a44a24
000
a42
a22a23a24
a32a33a34
1
a43=????????；
a11
a44
a22
解：令b?a32
a23a33a43
a24
a34，则 a44
a42
【篇二：同济大学_第五版_线性代数课后习题解析】3
4
5
【篇三：线性代数习题及解答】
：本卷中，a-1表示方阵a的逆矩阵，r(a)表示矩阵a的秩，||?||表示向量?的长度，?t表示向量?的转置，
e表示单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
a11
a12a13
3a113a123a131．设行列式a21
a22a23=2，则?a31?a32?a33=（）
a31
a32
a33
a21?a31
a22?a32
a23?a33
a．-6 b．-3 c．3
d．6
2．设矩阵a，x为同阶方阵，且a可逆，若a（x-e）=e，则矩阵x=（） a．e+a-1
b．e-a c．e+a
d．e-a-1
3．设矩阵a，b均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）
a．??a?
a-1?
?b?可逆，且其逆为????b-1
? b．?
??
?a?b?不可逆 ?
c．??a?
?b-1?d．??b?
可逆，且其逆为???a
-1? ?
?a?
?a-1??b?可逆，且其逆为??
?
b-1? ?
4．设?1，?2，…，?k是n维列向量，则?1，?2，…，?k线性无关的充分必要条件是a．向量组?1，?2，…，?k中任意两个向量线性无关
b．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得
l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 c．向量组?1，?2，…，?k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 d．向量组?1，?2，…，?k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)t,3??2??(1,?4,?3,0)t
,则???=（） a．（0，-2，-1，1）t
b．（-2，0，-1，1）t
c．（1，-1，-2，0）t
d．（2，-6，-5，-1）t
6．实数向量空间v={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（） a．1
b．2
）
（
c．3 d．4
7．设?是非齐次线性方程组ax=b的解，?是其导出组ax=0的解，则以下结论正确的是
（）
a．?+?是ax=0的解 c．?-?是ax=b的解 8．设三阶方阵a的特征值分别为a．2,4,c．
b．?+?是ax=b的解 d．?-?是ax=0的解
11
,,3，则a-1的特征值为（） 24
b．
1 3111,, 243
11,,3 24
1
d．2,4,3
9．设矩阵a=
2?1
，则与矩阵a相似的矩阵是（）
1
a．?1
?12
3
01
b．1
02
?2
c．
1
11
d．
?2
1
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） a．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 c．正定矩阵的行列式一定大于零
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (a)=-1，det (b)=2，且a，b为同阶方阵，则det ((ab))=__________．
3
b．正定矩阵的行列式一定小于零 d．正定矩阵的差一定是正定矩阵 1
12．设3阶矩阵a=4
2t
?2
3，b为3阶非零矩阵，且ab=0，则t=__________． 1
-1
3?1
k
13．设方阵a满足a=e，这里k为正整数，则矩阵a的逆
a=__________． 14．实向量空间r的维数是__________．
n
17．设?是齐次线性方程组ax=0的解，而?是非齐次线性方程组
ax=b的解，则a(3??2?)=__________． 18．设方阵a有一个特征值为8，则det（-8e+a）=__________．
19．设p为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则
||px||=__________．
20．二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正惯性指数是__________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
2
2
2
1
21．计算行列式
142
?12?614
2
．
?1?1?4121
2
22．设矩阵a=
35
，且矩阵b满足aba=4a+ba，求矩阵b．
-1-1-1
23．设向量组?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并
将其余向量通过极大线性无关组表示出来．
?1
24．设三阶矩阵a=?2
45
3
3，求矩阵a的特征值和特征向量．
2
?4?2
25．求下列齐次线性方程组的通解．
?x1?x3?5x4?0
?
?2x1?x2?3x4?0
?x?x?x?2x?0
234?1
2?24?20
26．求矩阵a=
301
03
?1101
10
的秩．
?12
四、证明题（本大题共1小题，6分）
a11
27．设三阶矩阵a=a21
a12a22a32
a13
a23的行列式不等于0，证明： a33
a31
?a13??a11??a12?
??????
?1??a21?,?2??a22?,?3??a23?线性无关．
?a??a??a??31??32??33?
线性代数习题二
说明：在本卷中，a表示矩阵a的转置矩阵，a表示矩阵a的伴随矩阵，e表示单位矩阵。
的行列式，r(a)表示矩阵a的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或t
*
a
表示方阵a
未选均无分。
1.设3阶方阵a的行列式为2，则
?
1
2
a?() a.-1 b.?14
c.
14
d.1
x?2
x?1
x?2
f(x)?2x?2
2x?12x?2,则方程f(x)?0的根的个数为（）
3x?23x?23x?5
a.0
b.1
c.2
d.3
3.设a为n阶方阵，将a的第1列与第2列交换得到方阵b，若a?b,则必有（a.a?0 b. a?b?0 c.
a?0
d.
a?b?0
4.设a,b是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（） a.(a?b) 2
?a2?2ab?b2
b.(a?b)(a?b)?
a2?b2
c.(a?e)(a?e)?(a?e)(a?e)
d.(ab)
2
?a2b2
?a1ba1b2a1b3?
5.设a??
1?a2b1
aa?
0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,则矩阵a的秩为（?a3b1
a3b2
a3b3??
a.0
b.1
c.2
d.3
6.设6阶方阵a的秩为4，则a的伴随矩阵a*的秩为（） a.0
b.2
））
c.3
d.4
b.-4 d.10
?x1?x2?x3?4?
8.已知线性方程组?x1?ax2?x3?3无解，则数a=()
?2x?2ax?4
2?1
a.?c.
1
2
b.0 d.1
1 2
9.设3阶方阵a的特征多项式为a.-18 c.6
?e?a?(??2)(??3)2,则a?()
b.-6 d.18
10.若3阶实对称矩阵a?(aij)是正定矩阵，则a的3个特征值可能为（） a.-1，-2，-3 c.-1，2，3
b.-1，-2，3 d.1，2，3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
30
11.设行列式d
4
2,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
?22
53?2
12.设a??
a??a?b?b?,b????,则ab?__________.
?a?a?bb????
?103?
??
??103???
14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.
?x1??x2?x3?0
?
16.设方程组??x1?x2?x3?0有非零解，且数??0,则??__________. ?x?x??x?0
3?12