北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2：

1 .写出四阶行列式中

11121314212223243132333441

a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项

解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()

()

13241τ-11233244a a a a 或()

()

13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项

为11233244a a a a 和11233442a a a a

2. 用行列式的定义证明111213141521

22232425

3241425152

000000000

a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：

（1）01000020;0001000

n n -L L M M M O

M L L

（2）00100200100000

n n

-L L M O M O M L L

；解：（1）0100

0020

0001

000

n n -L

M M M O

M L

=()()23411n τ-L 123n ????L =()1

1!n n --

（2）0010

02001000

n n

-L L

M O

M O M L L

=()()()()

12211n n n τ---L 123n ????L =()()()

1221!n n n --- 4.设n 阶行列式：A=1111n

n nn

a a a a L

M O

M L

，B=111112122122

21212n n n

n n n n n nn

a a

b a b a b a a b a b a b a -----L L M

M L

，其中0b ≠，试

证明：A=B 。证明：

111112122122

21212n n n

n n n n n nn

a a

b a b a b a a b a b a b a -----L L M

M L

()

[]1212121212121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑L L L ！

()

(

)

[]1212121212121()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑L L L L ！

=()(

)

[]12121212(1)(2)()121n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+-∈-∑

L L L L ！

()(

)

[]121212121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑

L L L ！

命题得证。

5.证明：如下2007阶行列式不等于0：

332007

20072007

2007

220062007232007200834200820082007200820082008L L L

M M O M M L

；证明：最后一行元素，除去2007

2007是奇数以外，其余都是偶数，故含2007

2008

的因式也都

是偶数。若最后一行取2007

2007

，则倒数第二行只有取2006

2007

才有可能最后乘积为奇数，

以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。故原命题得证。

习题1.3

1求下列行列式的值：

(1)

3111

131111311113

; (2)

0111

101111011110

; （3.）A=

+c 23243236310+6b 3a b c d a a b

a b c

a b d

a a

b a b

c a b c

d a a b a b c a c d

++++++++++++++++，

解：

(1)

3111

131111311113

3423

λλλλλλ-+-+-+???→

31112200022

---4332

c c c c c c +++???→

6321020000200002

=48

；

(2)

0111101111011110

3423

λλλλλλ-+-+-+???→

011111

0001100

---4332

c c c c c c +++???→

332101

0000100

---=3-;

（3.）.A=

+c 23243236310+6b 3a

b c d a a b

a b c

a b d

a a

b a b

c a b c

d a a b a b c a c d

++++++++++++++++，

+c 23243236310+6b 3a b c d a

a b

a b c

a b d a a b a b c a b c d

a a

b a b

c a c

d ++++++++++++++++==

023*********+63a c d a

a b c

a b c d a a a b c

a b c d

a a a

c a b c

d +++++++++++++++

=324326310+63a b c d a b

a b c

a b c d

a b a b c a b c d a b a b c a b c d

++++++++++++++0023243236310+63a

d a

a b

a b c d a a a b

a b c d

a a a

b a b

d +++++++++++0000+=2432232432310+6336310+63a c d a a

a b c d a

a b

a b c a a c a b c d

a a a b

a b c

a a c a

d a a a b a b c

++++++++++++++++

00000000+=

23223432224323633610+633310+63a d a a a

a b

d a

a b c a

a b c a a a b d a a a a b c

a a

b a b c

a a a

b d

a a a a

c a a

b a b c

+++++++++++++

000000000000+

23432322342333610+63633610366a a a a a

a b a

c a

a a

b a a a a b

a a a c a a a a

a a a

b a a a a b a a a c

a a a a

a a a b

2432431

000

00011

1100002

26234343

23405

361036103610a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a

a a a

λλλλλλ-+????→????→=

—

413

1065

a a a a a ???=

2.求下列n 阶行列式的值：

（1）()()2

2221

22311

n n n n n n n n n n n n ++++-+-+L L L M M O M L

；（2）32222322

22322223

L L L M M M O M L ；（3）123103120

1230

n n n ------L L L

M M M O M L

；（4）12311312112

n x n x n x +++L

L L M M M O M L

解：（1）n D =()()2

121

2221

2231112

n n n n n n n n n n n n ++++-+-+L L L M M O M L ；（1）若n=1;则n D =1；（2）若n=2;则n D =1234

=2-;

（3）若3n ≥，则

n D =()()2

2221

2231112

n n n n n n n n n n n n ++++-+-+L L L M M O M L 2312

λλλλ-+-+???→

()()2

n n n n

n n n n n n n n -+-+L L L M M O M L

=0；综上：n D =112

203

n n n =??

-=??≥?

（2）

3222232222322223

L L L M M M O M L

1i i

λλ--+???????→

L 其中，i 先后取n,n-1,2

3222110

001

00011

---L L L

M M O O M 1

i i c c -+??????→

L i 依次取n,n-12

()()321222220100

00100000

n n +--?L

L L M O O M =2n+1；（3）

12310312

1230

n n n ------L L L

M M M O M L

1n,n-1,2

i λλ+?????→

L 依次取123223232n n n n

?L L

M =n!；（4）

1131211231

n x n x n x +++L

L L M M M O M L

123n

i ic c -+?????→

L 依次取、、1

11121

x x x n ---+M O

=()()()121x x x n ---+L ；

习题1.4

1. 计算下列行列式：

（1）0

000

a b c

y d

c z f g h k u

l v

；（2）211212

21222

1+x 11n

n n n n

x x x x x x x x x x x x x x ++L

M M O M

；

（3）

765432978943

749700

536100

005600

006800

；（4）

00010000000000001000n n

a a a a a ?L L L M M M O M M L L

解：（1）

0000000000x a b c y d c z f g h k u l v 2424

c c λλ?????→

00000000000

x b a

c g u k

h l z

f y

1212

c c λλ?????→

000000000

k h

x b a c

z c f y v

=xyzuv; （2）

211212

21222

1+x 11n

n n n n

x x x x x x x x x x x x x x ++L

M M O M

21122

2121

1+x 0

101n n x x x x x x x x x +L

M M O M

211212

21222121+x 1n

n n n n

x x x x x x x x x x x x x x +L

M M O M

()

211212

222

11121

1+x 111n

n n

n n n n x x x x x x x x x x x x x x +---+-+L L M M

O M

K +2

2122

21+x 11

x x x x x x x x x +L

L M M O

M L

=211211

221

121

1+x 11n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -----++L

L M M

+2n x =

2112

122

222

1+x 11n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -----++L L M M

n-1x +2n x =L =1+

2212x x +++L 2

n x ;

(Q 2

221

1+x 11

x x x x x x x x x +L

L M

M O

M L

i 12n 1

n i

i x λλ--+??????→

L 依次取、、1

x x x O L

=1)

（3）

765432978943

749700536100

005600

006800

=()()()56347632

6974316874005300+++-=

()

()()

3+4+1+2567432-168

5343

566874325343

=4;

（4）00010000000000001000n n

a a a a a ?L L L

M M M O

M M L L

a +

()()()

231121n n n a τ---L =()2

1n a

--;

2.试用拉普拉斯定理计算：A=12342

22212

11001

23000

11100x x x x x x x x ；解：

()()()

12121+2+1+32

22123422413

22212

11100123001

111

11111011111+-1121300x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=-??()

()()

()()()()()12233

443324231412

011

102230x x x x x x x x x x x x x x ++++-?=------???? 2. 利用范德蒙行列式计算：

（1）()

()

1111

n n n a

a a n a a a n a a a n ---------L L M

M L M L L

；（2）

11111111222

211111111

n n n n n n n n n n n

n n n n n n a a b a b b a a b a b b a a b a b b ------++++++L

L M

L ，

（0,i a ≠1,2,,1i n =+L ）

解：（1）()

()

111111n

n n n n a a a n a a a n a a a n ---------L L M

M L M L L

i 1

n-12

i i λλ-???????→L 依次取n 、、

()

n-1

1-()

()

11n n n a a a n a

a a n ------L

L M M O M L ???→

同理()(

)()()

()

n-121

111111n n

a a a n

a a a n +-++-----L L L M M

=()

()()

1n n n i j j i -+≥>≥--∏

2）

11111111222

211111111

n n n n n n n n n n n n

n n n n n n a a b a b b a a b a b b a a b a b b ------++++++L

L M

L =

()

121n a a a +L 2

1111112

2222222

3333332

1111

111

n n n n n n b b b a a a b b b a a a b b b a a a b b b a a a ++++++???? ? ???

???? ? ????????? ? ???????

? ???

L M M M

()

121n a a a +L n 11j i i j i j b b a a +≥>≥??

- ? ???∏=()n 11

i j i j b a

a b +≥>≥-∏

习题1.5

1. 用克莱姆法则解下列方程：

（1）1234124

2341234258369

2254760

x x x x x x x x x x x x x x +-+=??--=??

-+=-??+-+=? 解：

151130602121

-----24

λλ-+???→2

1511306021

712

-----=()

()()

34231+++-2121

7716

---+

()(

)()

34242225

17121

+++--+()(

)()

34341221

171213

+++----=27；

同理：x D =91，y D =108-，z D =27-，

w D =27;∴1x =

x D D =3;2x =y D D =4-;3x =z D

D =1-；4w D x D

==1; 总复习题一

1.计算行列式D=

11142112011029998

---；

2.计算行列式D=246427327

1014543443342721621-；

3.计算行列式D=

1111111111111

x y y

+-+-；

4.计算行列式D=

1111 1111 1111

1111

-+-

+--

；

5.计算行列式D=1333 3233 3333

333n

M M M O M

；

6.计算行列式A=

11121

21222

n n n n

a b a b a b

+++

M M O M

；

7.计算行列式

()

100

120

123

---N

；

8证明D=

1111 1111 1111

1111

n a

M M M O M

；

9.证明：2cos1000

12cos100

012cos00

0002cos1

00012cos

M M M O M M

sin(1)

sin

n x

10.试证明

()()()()()

()()()

()

111212122212n n n n nn a t a t a t a t a t a t d dt a t a t a t L L M

M O M L

()()()()()()()()()

111121221

1j n n

j n j n nj nn d

a t a t a t dt d

a t a t a t dt

=∑L

L L L M

M L M L

11.一个n 阶行列式n D 的元素满足，则称为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零。 12计算由杨辉三角规律给出的n 阶横列式

11111123

136141L L L L L

L M O

L M M M O

M M M M M O

解：1、

111421120110299981

2---=331

124c c i i c c ++?????→???→依次取、、42

1263

103399133

---34

λλ-+???→42126

033991

00100

--=()4+3

422

1100630331

--=1800-

D=246

427327

1014543443342721621

-=()11

1+-246

543443721621

+()12

10144431427

342621

+--+

()

10145431327

342721

+--=246()()()()50043600214004370021++-++????

()4271014621342443-?+?+()3271014721342543?+?=246?17800+

()()1014721427100427721100---????+342()()543427100427543100---????=

4378800-29811600-3967200=-29400000

3、D=

1111111111111

x y y

+-+-=4123

i c c -+?????→依次取、、x 001001001

y y

--=

x 001001

0011x y y y y -+

x 000000000

x y

y y

--1234

i λλ-+?????→

依次取、、x 00100000

x x x y x y

y ----++2

x y

+λλ-???→x

00100

00y

x x x y y

---+2

x y =2

x y

4、

111111111111

x x x x ---+---+--+1i i

i c c +?????→依次取1、2、3

100

x x x

x x ----1321

i i

i λλ+-+?????→

依次取、、x 10

001

x x x --=()

()314

1x -?-= 4

5、

D=1333

3233

3333

333n

M M M O M

12456n

c c

??????→

依次取、、、、

=6()3

n-!

6.计算行列式A=

11121

21222

n n n n

a b a b a b

+++

M M O M

Q A=

11121

21222

n n n n

a b a b a b

+++

M M O M

；

1）若n=1,则A=

a b

+；

2）若n=2,则A=()()

1112

2112

2122

a b a b

a a

b b

a b a b

=--

；

3）若n≥3,则A=

1112112231

2122212232

121223

n n

n n n n n n

a b a b a b b b b b a b

+++--+

L L

M M O M M M O M

L L

=0 ∴()()

2112

a b n

A a a b b n

=--=

?≥

7.计算行列式

()100120123

121n n

-----N

2312

λλλλ-+-+???→

()

100020003121n n

-----N

=()

1+1

1n +-()20031

21n n

-----N

()

1+n 1

1+-()

1+n 1

1+-2??

()31

21n n

-----N

()

321n +-()12

61n n

--?

---N =

()

()+3(+4)

13!!n n n -=()

(1)

13!!n n n --

8证明

D=1231111111

11111111n

a a a a ++++L

L L M M M O M L

=12111n

n i i a a a a =??+ ???

∑L ,

12n a a a L 0≠；

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号）（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

2019春北京大学网络教育学院线性代数作业答案

春季学期线性代数作业一、选择题（每题2分，共20分） 1.（教材§1.1，课件第一讲）行列式（B ）。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.（教材§1.3，课件第二讲）下列对行列式做的变换中，（B ）不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.（教材§2.2，课件第四讲）若线性方程组无解，则a的值为（ D ）。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.（教材§3.3，课件第六讲）下列向量组中，线性无关的是（C ）。 A. B. C. D. 5.（教材§3.5，课件第八讲）下列向量组中，（D ）不是的基底。 A. B. C. D.

6.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，和均为实数，则下列结论不正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 7.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，则（ C ）。 A. B. C. D. 8.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（ D ）。 A. B. C. D. 9.（教材§4.3，课件第十讲）下列矩阵中，（A ）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.（教材§5.1，课件第十一讲）矩阵的特征值是（B ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分）

11.（教材§1.1，课件第一讲）行列式的展开式中，的一次项的系数是 2 。 12.（教材§1.4，课件第三讲）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为0或1 。 13.（教材§2.3，课件第四讲）齐次线性方程组有（填“有”或“没有”）非零解。 14. （教材§3.1，课件第五讲）已知向量则。 15. （教材§3.3，课件第六讲）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。 16. （教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，那么。 17. （教材§4.2，课件第九讲）已知矩阵，那么。 18. （教材§5.1，课件第十一讲）以下关于相似矩阵的说法，正确的有1,2,4

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ；解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶性如何？解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ，故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的

值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ，其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式：解： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）?? ??????? ???711 00251020214214；（2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12；（3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解：； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=

2.求下列排列的逆序数：（1）34215；解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312；解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21；解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ；解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

北京大学线性代数2016期末考试题

线性代数B期末试题－2016年秋第一题（20分）：令A∈M n[?]为一可逆矩阵，u,v∈?n，定义分块矩阵 C=?A u v?0? 1)（10分）求u,v的一个充分必要条件使得矩阵C可逆。 2)（10分）在1)的条件满足的情况下求C?1。第二题（20分）： 1)（10分）求a的取值范围，使得矩阵 A=?1a a a1a a a1? 正定。 2)（10分）判断下列矩阵是否正定（给出判断依据）： A=?32250 12 1 0211?1003?，B=?32240000 00001111?，C=? 2?1 ?1200?10 0?10 02?1 ?12 ? 第三题（15分）：令矩阵A,B∈M n(?)。 1)（5分）设A是对称正定矩阵，B是对称矩阵，证明存在可逆矩阵P使得P?AP=I且P?BP为对角矩阵。 2)（10分）设A和B均为对称半正定矩阵，证明存在可逆矩阵P使得P?AP和P?BP为对角矩阵。如果B仅是对称矩阵，同样的结论是否成立？如果成立，给出证明，否则给出一个反例。第四题（15分）：令L＝D2+2D+1为线性空间V=<1,sin(x),cos(x)?sin(x)> 上的线性变换，求其在基{1,sin (x),cos(x)?sin(x)}下的矩阵。第五题（10分）：证明任何一个秩为r的矩阵总可以写成r个秩为1的矩阵之和。第六题（10分）：在?2中，对于任意α,β∈?2，定义二元函数 (α,β)=a1b1?a1b2?a2b1+4b1b2 求证(α,β)是?2的一个内积，并求?2关于该内积的一个标准正交基。第七题（10分）：对任一矩阵C，我们定义range(C)为矩阵C列向量组生成的线性空间，定义ker (C)为齐次线性方程组Cx=0的解空间。?m是标准内积空间。 1)（5分）令A∈M m×n(?)，证明ker(A?)⊕range(A)=?m。 2)（5分）令矩阵A∈M m×n(?)，β∈range(A)??m，γ∈?n，d∈?。证明下面的两个命题为等价命题： a.线性方程组Ax=β的任何一个解x都满足γ?x=d。 b.存在一个向量α∈?m，使得γ=A?α，d=β?α。

数值线性代数北大版问题详解全

数值线性代数习题解答习题1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得 [注意]考虑到存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。 [解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）

（2）计算上三角矩阵。运算量大约为. （3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。 [解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。

[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，从而即A的LU分解是唯一的。６．设的定义如下证明A有满足的三角分解。 [证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下容易验证：７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式证明仍是对称阵。 [证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案

第一章行列式 1、利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

线性代数习题与答案(复旦版)1

线性代数习题及答案习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解：设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

北大版-线性代数第一章部分课后标准答案详解

北大版-线性代数第一章部分课后答案详解

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《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版课后习题答案详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解逆序数为 2 ) 1(-n n :

线性代数课后习题答案 1.3

习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解.

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