误差和数据分析习题参考答案
第三章 误差和数据分析习题
1.指出在下列情况下,各会引起哪种误差?如果是系统误差,应该采用什么方法减免? (1) 砝码被腐蚀;
(2) 天平的两臂不等长; (3) 容量瓶和移液管不配套;
(4) 试剂中含有微量的被测组分; (5) 天平的零点有微小变动;
(6) 读取滴定体积时最后一位数字估计不准; (7) 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液;
(8) 标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸收了CO 2。
答:(1)系统误差中的仪器误差。减免的方法:校准仪器或更换仪器。 (2)系统误差中的仪器误差。减免的方法:校准仪器或更换仪器。 (3)系统误差中的仪器误差。减免的方法:校准仪器或更换仪器。 (4)系统误差中的试剂误差。减免的方法:做空白实验。 (5)随机误差。 (6)随机误差。 (7)过失误差。
(8)系统误差中的试剂误差。减免的方法:做空白实验。
2.如果分析天平的称量误差为±0.2mg ,拟分别称取试样0.1g 和1g 左右,称量的相对误差各为多少?这些结果说明了什么问题?
解:因分析天平的称量误差为mg 2.0±。故读数的绝对误差g a 0002.0±=E
根据%100?T
E =
E a
r 可得 %2.0%1001000.00002.01.0±=?±=
E g
g
g r
%02.0%1000000.10002.01±=?±=
E g
g
g r
这说明,两物体称量的绝对误差相等,但他们的相对误差并不相同。也就是说,当被测定的量较大时,相对误差就比较小,测定的准确程度也就比较高。
3.滴定管的读数误差为±0.02mL 。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右,读数的相对误差各是多少?从相对误差的大小说明了什么问题?
解:因滴定管的读数误差为mL 02.0±,故读数的绝对误差mL a 02.0±=E
根据%100?T
E =
E a
r 可得 %1%100202.02±=?±=
E mL mL
mL r
%1.0%1002002.020±=?±=E mL
mL mL
r
这说明,量取两溶液的绝对误差相等,但他们的相对误差并不相同。也就是说,当被测定的量较大时,测量的相对误差较小,测定的准确程度也就较高。
4.下列数据各包括了几位有效数字?
(1)0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.7×10-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00 答:(1)三位有效数字 (2)五位有效数字 (3)四位有效数字 (4) 两位有效数字 (5) 两位有效数字 (6)两位有效数字
5.将0.089g Mg 2P 2O 7沉淀换算为MgO 的质量,问计算时在下列换算因数(2MgO/Mg 2P 2O 7)中哪个数值较为合适:0.3623,0.362,0.36?计算结果应以几位有效数字报出。
答::0.362 应以三位有效数字报出,数据首位数大于或等于8时,则有效数字可多算一位。
6.用返滴定法测定软锰矿中MnO 2质量分数,其结果按下式进行计算:
%1005000.094
.86)25
101000.000.807.1268000.0(
32
?????-=-MnO
ω
问测定结果应以几位有效数字报出? 答::应以四位有效数字报出。
7.用加热挥发法测定BaCl 2·2H 2O 中结晶水的质量分数时,使用万分之一的分析天平称样0.5000g ,问测定结果应以几位有效数字报出?
答::应以三位有效数字报出。
8.两位分析者同时测定某一试样中硫的质量分数,称取试样均为3.5g ,分别报告结果如下:
甲:0.042%,0.041%;乙:0.04099%,0.04201%。问哪一份报告是合理的,为什么? 答::甲的报告合理。因为在称样时取了两位有效数字,所以计算结果应和称样时相同,都取两位有效数字。
9.标定浓度约为0.1mol ·L -1的NaOH ,欲消耗NaOH 溶液20mL 左右,应称取基准物质H 2C 2O 4·2H 2O 多少克?其称量的相对误差能否达到0. 1%?若不能,可以用什么方法予以改善?若改用邻苯二甲酸氢钾为基准物,结果又如何?
解:根据方程2NaOH+H 2C 2O 4·H 2O==Na 2C 2O 4+4H 2O 可知, 需H 2C 2O 4·H 2O 的质量m 1为:
g m 13.007.1262
020
.01.01=??= 相对误差为 %15.0%10013.00002.01=?=
E g
g
r
则相对误差大于0.1% ,不能用H 2C 2O 4·H 2O 标定0.1mol·L -1的NaOH ,可以选用相对分子质量大的作为基准物来标定。
若改用KHC 8H 4O 4为基准物时,则有:
KHC 8H 4O 4+ NaOH== KNaC 8H 4O 4+H 2O
需KHC 8H 4O 4的质量为m 2 ,则 g m 41.022.204020.01.02=??= %049.0%10041.00002.02=?=
E g
g
r
相对误差小于0.1% ,可以用于标定NaOH 。
10.有两位学生使用相同的分析仪器标定某溶液的浓度(mol ·L -1),结果如下: 甲:0.12,0.12,0.12(相对平均偏差0.00%);
乙:0.1243,0.1237,0.1240(相对平均偏差0.16%)。 你如何评价他们的实验结果的准确度和精密度?
答:乙的准确度和精密度都高。因为从两人的数据可知,他们是用分析天平取样。所以有效数字应取四位,而甲只取了两位。因此从表面上看甲的精密度高,但从分析结果的精密度考虑,应该是乙的实验结果的准确度和精密度都高。
11.当置信度为0.95时,测得Al 2O 3的μ置信区间为(35.21±0.10)%,其意义是( ) A. 在所测定的数据中有95%在此区间内; B. 若再进行测定,将有95%的数据落入此区间; C. 总体平均值μ落入此区间的概率为95%; D. 在此区间内包含μ值的概率为0.95; 答:D
12. 衡量样本平均值的离散程度时,应采用( ) A. 标准偏差 B. 相对标准偏差 C. 极差 D. 平均值的标准偏差 答:D
13. 某人测定一个试样结果为30.68%,相对标准偏差为0.5%。后来发现计算公式的分子误乘以2,因此正确的结果应为15.34%,问正确的相对标准偏差应为多少?
解:根据
%1001?=
-
x
S S r
得 %100%
68.30%5.0?=
S
则S=0.1534%
当正确结果为15.34%时, %0.1%100%
34.15%
1534.0%1002=?=
?=
-
x
S S r
14. 测定某铜矿试样,其中铜的质量分数为24.87%。24.93%和24.69%。真值为25.06%,计算:(1)测得结果的平均值;(2)中位值;(3)绝对误差;(4)相对误差。
解:(1)%83.243
%
69.24%93.24%87.24=++=-
x
(2)24.87%
(3)%23.0%06.25%83.24-=-=-=E -T x a (4)%92.0%100-=?=
T
E E a
r 15. 测定铁矿石中铁的质量分数(以32O Fe W 表示),5次结果分别为:67.48%,67.37%,67.47%,67.43%和67.40%。 计算:(1)平均偏差(2)相对平均偏差 (3)标准偏差;(4)相对标准偏差;(5)极差。
解:(1)%43.675
%
407.67%43.67%47.67%37.67%48.67=++++=
-
x
∑=+++=
=-%04.05
%
03.0%04.0%06.0%05.0||1i d n d (2)%06.0%100%
43.67%
04.0%100=?=?=
-
-
x d d r (3)%05.01
5%)03.0(%)04.0(%)06.0(%)05.0(1
2
2222=-+++=
-=
∑n d
S i
(4)%07.0%100%
43.67%
05.0%100=?=
?=
-
x
S S r
(5)X m =X 大-X 小=67.48%-67.37%=0.11%
16. 某铁矿石中铁的质量分数为39.19%,若甲的测定结果(%)是:39.12,39.15,39.18;乙的测定结果(%)为:39.19,39.24,39.28。试比较甲乙两人测定结果的准确度和精密度(精密度以标准偏差和相对标准偏差表示之)。
解:甲:%15.393
%
18.39%15.39%12.391=++=
=
∑-
n x x %04.0%19.39%15.391-=-=-=E -
T x a %03.013%)03.0(%)03.0(1
2
221=-+=
-=
∑n d
S i
-
=
x
S S r 11%08.0%100%
15.39%
03.0%100=?=
?
乙:%24.393
%
28.39%24.39%19.392=++=
-
x
%05.0%19.39%24.392=-==E -
x a %05.01
3%)04.0(%)05.0(1222
2=-+=-=∑n d
S i
%13.0%100%
24.39%
05.0%1002
22=?=
?=
-
x S Sr
由上面|Ea 1|<|Ea 2|可知甲的准确度比乙高。 S 1
综上所述,甲测定结果的准确度和精密度均比乙高。
17. 现有一组平行测定值,符合正态分布(μ=20.40,σ2
=0.042)。计算:(1)x=20.30和x=20.46时的u 值;(2)测定值在20.30 -20.46区间出现的概率。
解:(1)根据σ
μ
-=
x u 得
u 1=
5.204.040.2030.20-=- 5.104
.040
.2046.202=-=u
(2)u 1=-2.5 u 2=1.5 . 由表3—1查得相应的概率为0.4938,0.4332
则 P(20.30≤x≤20.46)=0.4938+0.4332=0.9270
18. 已知某金矿中金的含量的标准值为12.2g ?t -1(克·吨-1),σ=0.2,求测定结果大于11.6的概率。
解: σμ-=
x u =
32
.02
.126.11-=- 查表3-1,P=0.4987 故,测定结果大于11.6g·t -1的概率为:
0.4987+0.5000=0.9987
19. 对某表样中铜的质量分数(%)进行了150次测定,已知测定结果符合正态分布N (43.15,0.232)。求测定结果大于43.59%时可能出现的次数。
解: σ
μ
-=
x u =
9.123
.015
.4359.43≈-
查表3-1,P=0.4713 故在150次测定中大于43.59%出现的概率为: 0.5000-0.4713=0.0287
因此可能出现的次数为 150?0.0287(次)4≈
20. 测定钢中铬的质量分数,5次测定结果的平均值为1.13%,标准偏差为0.022%。
计算:(1)平均值的标准偏差;(2)μ的置信区间;(3)如使μ的置信区间为1.13% ±0.01%,问至少应平行测定多少次?置信度均为0.95。
解:(1)
0.01%x
s -=
=≈ (2)已知P=0.95, f=n-1=5-1=4时, t0.95,4=2.78
钢中铬的质量分数的置信区间为1.13%0.03%± (3)根据n
s t x s t x f
p x
f p ,,±=±=-
-
-μ
得%01.0,±=±=--
n
s t x f
p μ
已知%022.0=s , 故 5.0%
022.0%
01.0==
n
t
查表3-2得知,当201=-=n f 时,09.220,95.0=t 此时
5.02109.2≈
即至少应平行测定21次,才能满足题中的要求。 21. 测定试样中蛋白质的质量分数(%),5次测定结果的平均值为:34.92,35.11,35.01,35.19和34.98。(1)经统计处理后的测定结果应如何表示(报告n ,x 和s )?(2)
,1.13% 2.780.01% 1.13%0.03%
p f x x t s μμ=±=±?=±根据:得:
计算P=0.95时μ的置信区间。
解:(1)n=5
%04.355
%
98.34%19.35%01.35%11.35%92.34=++++==∑
-
n x x %11.01
506.015.003.007.012.012
22222
=-++++=-=
∑n d s i
经统计处理后的测定结果应表示为:n=5, %,04.35=-
x s=0.11% (2)%04.35=-
x , s=0.11% 查表t 0.95,4=2.78 因此 %14.0%04.355
%11.078.2%04.35,±=?
±=±=-n
s t x f
p μ
22. 6次测定某钛矿中TiO 2的质量分数,平均值为58.60%,s=0.70%,计算:(1)
的置信区间;(2)若上述数据均为3次测定的结果, 的置信区间又为多少?比较两次计算结果可得出什么结论(P 均为0.95)?
解:(1)%60.58=-
x , s=0.70% 查表t 0.95,5=2.57 因此 %73.0%60.586
%70.057.2%60.58,±=?
±=±=-
n
s t x f
p μ
(2)%60.58=-x , s=0.70% 查表t 0.95,2=4.30 因此 %74.1%60.583
%70.030.4%60.58,±=?
±=±=-
n
s t x f
p μ
由上面两次计算结果可知:将置信度固定,当测定次数越多时,置信区间越小,表明-
x 越接近真值。即测定的准确度越高。
23. 测定石灰中铁的质量分数(%),4次测定结果为:1.59,1.53,1.54和1.83。(1)用Q 检验法判断第四个结果应否弃去?(2)如第5次测定结果为1.65,此时情况有如何(Q 均为0.90)?
解:(1)8.053.183.159
.183.111=--=--=
-x x x x Q n n n
查表3-3得Q 0.90,4=0.76,因Q>Q 0.90,4 , 故1.83这一数据应弃去。 (2)6.053
.183.165
.183.111=--=--=
-x x x x Q n n n
查表3-3得Q 0.90,5=0.64,因Q 24. 用K 2Cr 2O 7基准试剂标定Na 2S 2O 7溶液的浓度(mol ·L -1),4次结果为:0.1029,0.1056,0.1032和0.1034。(1)用格鲁布斯法检验上述测定值中有无可疑值(P=0.95);(2)比较置信度为0.90和0.95时μ的置信区间,计算结果说明了什么? 解:(1) 1038.04 1056 .01034.01032.01029.0=+++= - x 0011.01 40018.00004.00006.00009.0122222 =-+++=-= ∑n d s i 82.00011 .01029.01038.011=-=-= - s x x G 64.10011 .01038 .01056.041=-=-= - s x x G 查表3-4得, G 0.95,4=1.46 , G 1 1034 .01032.01029.0=++= - x 00025.01 30002.00003.01 2 22=-+= -= ∑n d s i 当 P=0.90时,92.22,90.0=t 因此 0004.01032.03 00025 .092.21032.0,1±=? ±=±=- n s t x f p μ 当 P=0.95时,30.42,90.0=t 因此 0006.01032.03 00025 .030.41032.0,1±=? ±=±=- n s t x f p μ 由两次置信度高低可知,置信度越大,置信区间越大。 25. 已知某清洁剂有效成分的质量分数标准值为54.46%,测定4次所得的平均值为54.26%,标准偏差为0.05%。问置信度为0.95时,平均值与标准值之间是否存在显著性差异? 解:根据4% 05.0| %46.54%26.54|||=-=-= - s T x t 查表3-2得t 0.90,3=3.18 , 因t>t 0.95,3 ,说明平均值与标准值之间存在显著性差异。 26. 某药厂生产铁剂,要求每克药剂中含铁48.00mg.对一批药品测定5次,结果为(mg ·g -1):47.44,48.15,47.90,47.93和48.03。问这批产品含铁量是否合格(P=0.95)? 解: 89.475 03 .4893.4790.4715.4844.47=++++= = ∑- n x x 27.01 5)14.0()04.0()01.0()26.0()45.0(2 2222=-++++=s 41.027 .0| 00.4889.47|||=-=-= - s T x t 查表3-2, t 0.95,4 =2.78 , t 27. 分别用硼砂和碳酸钠两种基准物标定某HC1溶液的浓度(mol ·l -1),结果如下: 用硼砂标定 χ2=0.1017,s 1=3.9×10-4,n 1=4 用碳酸钠标定 χ2 =0.1020,s 2=2.4×10-4 ,n 2=5 当置信度为0.90时,这两种物质标定的HC1溶液浓度是否存在显著性差异? 解:n 1=4 1017.01=- x 41109.3-?=s n 2=5 1020.02=-x 42104.2-?=s 64.2) 104.2()109.3(442 2 21=??== --s s F 查表3-5, f s 大=3, f s 小=4 , F 表=6.59 , F< F 表 说明此时未表现s 1与s 2有显著性差异(P=0.90)因此求得合并标准差为 4 4242122 2121101.3) 15()14() 15)(104.2()14()109.3() 1()1() 1()1(---?=-+--?+-?= -+--+-= n n n s n s s 44.1545 410 1.3|1020.01017.0|||4 212121=+??-=+-= -- - n n n n s x x t 查表3-2 , 当P = 0.90, f = n 1 + n 2 – 2 = 7 时, t 0.90 , 7 = 1.90 , t < t 0.90 , 7 故以0.90 的置信度认为1- x 与2- x 无显著性差异。 28. 根据有效数字的运算规则进行计算: (1)7.9936÷0.9967-5.02=? (2)0.0325×5.0103×60.06 ÷139.8=? (3)(1.276×4.17)+1.7×10-1 -(0.0021764×0.0121)=? (4) pH=1.05,[H +]=? 解:(1) 7.9936÷0.9967-5.02=7.994÷0.9967-5.02=8.02-5.02=3.00 (2) 0.0325×5.103×60.06÷139.8=0.0325×5.10×60.1÷140=0.0712 (3) (1.276×4.17)+1.7×10-4-(0.0021764×0.0121) =(1.28×4.17)+1.7×10-4-(0.00218×0.0121) = 5.34+0+0 =5.34 (4) pH=1.05 ,[H +]=8.9×10-2 29. 用电位滴定法测定铁精矿中铁的质量分数(%),6次测定结果如下: 60.72 60.81 60.70 60.78 60.56 60.84 (1) 用格鲁布斯法检验有无应舍去的测定值(P=0.95); (2) 已知此标准试样中铁的真实含量为60.75%,问上述测定方法是否准确可靠(P=0.95)? 解:(1) %74.606 % 84.60%56.60%78.60%70.60%81.60%72.60=+++++= - x %10.01 6%1.0%18.0%04.0%04.0%07.0%02.012222222 =-+++++=-= ∑n d s i 8.1% 10.0% 56.60%74.6011=-=-= - s x x G 0.1% 10.0% 74.60%84.6062=-=-= - s x x G 查表3-4得, G 0.95,6=1.82 , G 1 10.0| %75.60%74.60|||=-=-= -s T x t 查表3-2得,t 0.95,5=2.57 , 因t 第一章 误差和数据处理习题解答 1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差: (1)视差; (2)天平零点漂移; (3)千分尺零点不准; (4)照相底版收缩; (5)水银温度计毛细管不均匀; (6)电表的接入误差。 解:(1)忽左忽右,属随机误差; (2)往单方向漂移属系统误差;随机漂移属随机误差; (3)属系统误差,应作零点修正; (4)属系统误差; (5)按随机误差处理; (6)属系统误差,可作修正。 2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小: (1)米尺因低温而收缩; (2)千分尺零点为正值; (3)测密度铁块内有砂眼; (4)单摆公式测重力加速度,没考虑θ≠0; (5)安培表的分流电阻因温度升高而变大。 解:(1)使结果偏大; (2)使结果偏大,属系统误差,修正时应减去这正零点值; (3)使密度值偏小; (4)使结果偏小: 当θ≠0时,单摆公式为: )2 sin 411(220θπ +=g l T 或 2220 2)2sin 1(4θπ+=T l g 若用θ=0的2 0204T l g π=近似,结果偏小; (5)分流电阻变大,分流变小,使结果偏大。 3、用物理天平(仪?=0.020g )称一物体的质量m ,共称5次,结果分别为36.127g 、 36.122g 、36.121g 、36.120g 和36.125g 。试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确定度。 解:36.12736.12236.12136.12036.12536.12336.1230 m g +++++== m S =0.0026g , 已知:仪? =0.020g , 0.020u g ==? 数据分析期末试题及答案 一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2),一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据,试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解: 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2),一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系 上图是以人均GDP(x1)为横轴,地区平均寿命(y)为纵轴的散点图,由图可知,他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计,得出 表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系 上图是以成人识字率(x2)为横轴,地区平均寿命(y)为纵轴的散点图,由图可知,他们之间基本呈正线性关系。 上图是以疫苗接种率(x3)为横轴,地区平均寿命(y)为纵轴的散点图,由图可知,他们之间没有呈线性关系 。 x)为横轴,地区平均寿命(y)为纵轴的散点图,上图是以疫苗接种率(x3)的三次方(3 3 由图可知,他们之间呈正线性关系 所以可以采用如下的线性回归方法分析。 2.线性回归 先用强行进入的方式建立如下线性方程 设Y=β0+β1*(Xi1)+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi(i=1.2……22)相互独立,都服从正态分布N(0,σ^2)且假设其等于方差 R值为0.952,大于0.8,表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2),一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。 建立总体性的假设检验 提出假设检验H0:β1=β2=β3=0,H1,:其中至少有一个非零 得如下方差分析表 上表是方差分析SAS输出结果。由表知,采用的是F分布,F=58.190,对应的检验概率P值是0.000.,小于显著性水平0.05,拒绝原假设,表示总体性假设检验通过了,平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2),一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。 误差理论与数据处理 误差习题 第一章 绪论 1-5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解: 绝对误差等于: 相对误差等于: 1-8在测量某一长度时,读数值为2.31m ,其最大绝对误差为20m μ,试求 其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级(即引用误差为2.5%)的全量程为100V 的电压表,发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差,问该电压表是否合格? %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ,L2=80mm 。测得值各为50.004mm ,80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''=o 1-13 多级弹导火箭的射程为10000km 时,其射击偏离预定点不超过0.lkm ,优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心,试评述哪一个射击精度高? 解: 射手的相对误差为: 多级火箭的射击精度高。 1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ,其测量误差分别为 m μ11±和m μ9±;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。 其测量误差为m μ12±,试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 0.01%110111±=± =mm m I μ 0.0082%11092±=± =mm m I μ %008.0150123±=± =mm m I μ 123I I I <<第三种方法的测量精度最高误差和数据处理习题解答
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误差理论与数据处理 误差习题
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