二次函数和幂函数知识点

教学内容

二次函数与幂函数

1．二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义

形如： f(x)＝ ax2＋ bx＋c_(a≠ 0)的函数叫作二次函数．

(2)二次函数解析式的三种形式

①一般式： f(x)＝ ax2＋ bx＋ c_(a≠ 0)．

②顶点式： f(x)＝ a(x－ m)2＋ n(a≠0) ．

③零点式： f(x)＝ a(x－ x1 )(x－ x2)_(a≠ 0)．

2．二次函数的图像和性质

f(x)＝ ax2＋ bx＋ c f(x)＝ ax2＋ bx＋

c

解析式

( a>0)(a<0)

图像

定义域(－∞，＋∞ ) (－∞，＋∞ )

2 2 值域4ac－b ，＋∞－∞， 4ac－ b

4a 4a

在 x∈ －∞，－

b

上单调递减；在 x∈ －∞，－

b

上单调递

增；

单调性

2a 2a

在 x∈ －b，＋

∞－b，＋∞

上单调递增在 x∈上单调递减2a 2a

奇偶性当 b＝0 时为偶函

数，b≠0 时为非奇非偶函数

b4ac－b2

顶点

－2a，4a

1

对称性图像关于直线x＝－b成轴对称图形

2a

3.幂函数

形如 y＝ xα (α∈ R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图像及性质

(1)幂函数的图像比较

(2)幂函数的性质比较

y＝ x2y＝ x31

y＝x y＝ x2定义域R R R [0，＋∞ )

值域R [0，＋∞ ) R [0，＋∞ )

奇偶性奇函数偶函数奇函数

非奇非偶函

数

x∈ [0，＋

∞ )

单调性增时，增；x∈ (－增增

∞， 0]时，减

[ 难点正

本疑点清源 ]

1．二次函数的三种形

式

(1)已知三个点的坐标时，宜用一般

式．

( 2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小 )值有关时，常使用顶点

式．

(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式

求f(x)更方便．

－ 1

y＝ x

{ x|x∈ R

且 x≠

0}

{ y|y∈ R

且 y≠

0}

奇函数

x∈ (0，＋∞ )

时，减；x∈(－

∞， 0)时，减

2．幂函数的图像

(1)在 (0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在 (1，＋∞ )上幂函数中指数

越大，函数图像越远

离 x 轴．

(2)函数 y＝x，y＝ x2， y＝ x3， y＝ x12， y＝ x－1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．

2

1． 已知函数 f(x)＝ x 2

＋2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－∞， 3]上是减函数，则实数

a 的取值范围为

____________． 答案 (－∞，－ 2]

解析 f(x)的图像的对称轴

为

x ＝ 1－ a 且开口向上，

∴ 1－a ≥ 3，即 a ≤ － 2.

2． (课本改编题 )已知函数 y ＝ x

2

－ 2x ＋ 3 在闭区间 [0，m]上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为 ________． 答案 [1,2]

解析 y ＝ x 2

－ 2x ＋ 3 的对称轴为 x ＝ 1.

当 m<1 时， y ＝ f(x)在 [0，m]上为减函数． ∴ y max ＝ f(0)＝ 3， y min ＝f(m)＝ m 2

－ 2m ＋ 3＝ 2. ∴ m ＝ 1，无解．

当 1≤m ≤2 时， y min ＝f(1)＝ 12

－ 2× 1＋ 3＝ 2， ymax ＝ f(0)＝ 3.

当 m>2 时， y max ＝ f(m)＝ m 2

－2m ＋3＝ 3，

∴ m ＝ 0，m ＝ 2，无解． ∴ 1≤ m ≤ 2.

3． 若幂函数 y ＝ (m 2－3m ＋ 3)xm 2

－ m － 2 的图像不经过原点，则实数

m 的值为 ________．

答案 1 或 2

m 2

－ 3m ＋ 3＝ 1

解析 由 ，解得 m ＝ 1 或 2.

m 2

－ m －2≤ 0

经检验 m ＝ 1 或 2 都适合．

4． (人教 A 版教材例题改编 )如图中曲线是幂

函数 y ＝ x n

在第一象限的图

1

C 1，C 2， C 3， C 4 的 n 值依

次 为 像．已知 n 取 ±2，± 四个值，则相应于曲线

2 ____________．

答案 2， 1

，－ 1

，－ 2

2 2

解析 可以根据函数图像是否过原点判

断

n 的符号，然后根据函数凸凹性确定 n 的值． 5． 函数 f(x)＝ x 2

＋ mx

＋ 1 的图像关于直线 x ＝ 1 对称的充要条件是

( ) A ． m ＝－ 2 B ． m ＝2 C ． m ＝－ 1 D ． m ＝ 1

答案 A

解析函数 f(x)＝

x2m m

1，即 m＝－

2.

＋ mx＋ 1 的图像的对称轴

为x＝－2，且只有一条对称轴，所以－ 2 ＝

3

题型一 求二次函数的解析式

例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－ 1， f(－ 1)＝－ 1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函

数．

思维启迪： 确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．

解 方法一 设 f( x)＝ ax 2

＋ bx ＋ c (a ≠

0)，

4a ＋ 2b ＋ c ＝－

1，

a ＝－ 4，

a －

b ＋

c ＝－ 1，

解之，得 b ＝ 4， 依题意有

4ac － b 2

c ＝7， 4a ＝

8，

∴ 所求二次函数解析式为

f(x)＝－ 4x 2

＋4x ＋

7. 方法二 设 f(x)＝ a(x － m)2

＋ n ，a ≠ 0.∵ f(2)＝ f( －1)，

2＋ － 1 1 1

∴ 抛物线对称轴为

x ＝

2

＝ 2.∴ m ＝ 2.

又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8，

∴ y ＝ f(x)＝ a x － 1

2 2

＋8.

∵ f (2)＝－ 1， ∴ a 2－ 1 2 ＋8＝－ 1，解之，得 a

＝－ 4. 2 ∴ f (x)＝－ 4 x － 12 2 ＋8＝－ 4x 2

＋ 4x ＋ 7. 方法三 依题意知， f(x) ＋1＝ 0 的两根为 x 1＝ 2， x 2＝－ 1，故可设

f( x)＋ 1＝ a(x － 2)(x ＋1) ，a ≠ 0.

即 f(x)＝ ax 2

－ ax － 2a － 1.

4a － 2a － 1 －a 2

又函数有最大值 y max ＝ 8，即

＝ 8， 4a 解之，得 a ＝－ 4 或 a ＝0(舍去 )． ∴ 函数解析式为 f ( x)＝－ 4x 2

＋ 4x ＋ 7.

探究提高 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果． 已知二次函数 f(x)同时满足条件：

(1) f(1 ＋x)＝ f(1－ x)；

(2) f( x)的最大值为 15；

4

(3) f( x)＝ 0 的两根平方和等于 17. 求 f(x)的解析式．

解 依条件，设 f( x)＝ a(x － 1)2

＋ 15 (a<0) ， 即 f(x)＝ ax 2

－ 2ax ＋ a ＋ 15.

令 f(x)＝ 0，即 ax 2

－ 2ax ＋ a ＋ 15＝ 0，

15

∴

x1＋ x2＝ 2， x1x2＝ 1＋

a

.

2 2 2 － 2x1 2 1＋ x2＝ (x1＋ x2 x ) x

15 30 ＝ 4－2 1＋ a ＝ 2－ a ＝17，

∴ a ＝－ 2， ∴f(x)＝－ 2x 2

＋ 4x ＋13.

题型二 二次函数的图像与性质

例 2 已知函数 f(x)＝ x 2

＋2ax ＋ 3， x ∈[－ 4,6] ．

(1)当 a ＝－ 2 时，求 f(x)的最值；

(2)求实数 a 的取值范围，使 y ＝ f(x)在区间 [ －4,6] 上是单调函数；

(3)当 a ＝ 1 时，求 f(|x|)的单调区间．

思维启迪： 对于 (1)和 (2) 可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于 (3)，应先将函数化为分段函数，再求单

调区间，注意函数定义域的限制作用．

解 (1) 当 a ＝－ 2 时， f(x)＝ x 2－ 4x ＋3＝ (x － 2)2

－ 1，由于 x ∈ [－ 4,6] ，

∴ f(x)在 [ － 4,2] 上单调递减，在 [2,6] 上单调递增，

∴ f(x)的最小值是 f(2)＝－ 1，又 f(－ 4)＝ 35， f(6)＝ 15，故 f(x)的最大值是 35.

(2)由于函 数 f( x)的图像开口向上，对称轴是 x ＝－ a ，所以要使 f(x)在[ － 4,6] 上是单调函数，应有－ a ≤－ 4

或－ a ≥ 6，即 a ≤ － 6 或 a ≥ 4.

(3)当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x 2

＋ 2x ＋ 3，

∴ f(|x|)＝x 2

＋2|x|＋ 3，此时定义域为 x ∈ [ －6,6] ，

x 2

＋ 2x ＋ 3， x ∈ 0， 6]

且 f(x)＝ ，

x 2

－ 2x ＋3， x ∈ [－ 6，0]

∴ f(|x|)的单调递增区间是 (0,6] ，

单调递减区间是 [－ 6,0] ．

探究提高 (1) 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，

不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系

进行分类

5

讨论； (2) 二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．

若函数 f(x) ＝2x2＋ mx－ 1 在区间 [ － 1，＋∞ )上递增，则f(－ 1)的取值范围是

____________．

答案(－∞，－ 3]

m

解析∵抛物线开口向上，对称轴为 x＝－4，

又f(－ 1)＝ 1－m≤ －3，∴ f(－ 1)∈ (－∞，－ 3]．

题型三二次函数的综合应用

例 3 若二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠0) 满足 f( x＋1)－ f(x)＝ 2x，且 f(0) ＝ 1.

(1)求 f(x)的解析式；

(2)若在区间 [ －1 ,1]上，不等式f(x)>2 x＋ m 恒成立，求实数m 的取值范围．

思维启迪：对于 (1) ，由 f(0)＝ 1 可得 c，利用 f(x＋ 1)－ f(x)＝ 2x 恒成立，可求出a， b，进而确定

f(x)的解析式．对于 (2) ，可利用函数思想求得．

解(1) 由 f(0)＝ 1，得 c＝ 1.∴ f(x)＝ ax2＋ bx＋ 1.

又f(x＋ 1)－ f(x)＝2x，

∴a(x＋ 1)2＋ b(x＋1) ＋ 1－ (ax2＋ bx＋ 1)＝ 2x，

2a＝ 2，a＝ 1，

即 2ax＋ a＋ b＝2x，∴∴

a＋ b＝ 0，b＝－ 1.

因此， f(x)＝ x2－ x＋ 1.

(2)f( x)>2 x＋ m 等价于 x2－ x＋ 1>2x＋m，即 x2－ 3x＋ 1－m>0，要使此不等式在 [－ 1,1] 上恒成立，只需

使函数

g(x)＝ x2－ 3x＋ 1－ m 在[－ 1,1] 上的最小值大于0 即可．

∵g(x)＝ x2－ 3x＋1－ m 在 [－ 1,1]上单调递减，

∴g(x)min＝ g(1)＝－ m－ 1，由－ m－ 1>0 得， m<－1.

因此满足条件的实数m 的取值范围是 (－∞，－ 1)．

探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三

个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图

像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立 )问题是高考命题的热点．已知函数 f(x)＝ x2＋ mx＋n 的图像过点 (1,3)，且 f(－1＋ x)＝ f( －1－ x)对任意实数都成立，函数

y＝ g(x)

与 y＝f(x)的图像关于原点对称．

(1)求 f(x)与 g(x)的解析式；

(2)若 F(x)＝ g(x)－λf(x)在(－1,1] 上是增函数，求实数λ的取值范围．

6

解(1) ∵ f(x)＝ x2＋ mx＋n，

∴f(－ 1＋ x)＝ (－ 1＋ x) 2＋m(－ 1＋ x)＋ n

＝x2－ 2x＋ 1＋ mx＋ n－ m

＝x2＋ (m－ 2)x＋ n－ m＋ 1，

f(－ 1－ x)＝ (－ 1－x)2＋ m(－ 1－ x)＋ n

＝x2＋ 2x＋ 1－ mx－ m＋ n

＝x2＋ (2－ m)x＋ n－ m＋ 1.

又f(－ 1＋ x)＝ f(－ 1－ x)，∴m－ 2＝ 2－ m，即 m＝ 2. 又f(x)的图像过点 (1,3) ，

∴3＝12＋ m＋ n，即 m＋ n＝2，

∴n＝0，∴ f(x)＝ x2＋2x，

又y＝g(x) 与 y＝ f(x)的图像关于原点

对称，∴ －g( x)＝ (－ x)2＋ 2×

(－x)，

∴g(x)＝－ x2＋ 2x.

2

(2)∵ F(x)＝ g(x)－λf(x)＝－ (1＋λ)x ＋ (2－ 2λ)x，

当λ＋ 1≠ 0 时， F(x)的对称轴为x＝2－ 2λ 1－λ

＝，2 1＋λλ＋ 1

又∵F(x)在 (－ 1,1]上是增函数．

1＋λ<0 1＋λ>0

∴ 1－λ或 1－λ.

≤－ 1 ≥ 1

1＋λ1＋λ

∴ λ<－ 1 或－ 1<λ≤ 0.

当λ＋ 1＝ 0，即λ＝－ 1 时， F(x)＝ 4x 显然在 (－ 1,1] 上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0] ．

题型四幂函数的图像和

性质

例 4 已知幂函数f(x) ＝ xm2－ 2m－

3

(m∈ N * )的图像关于 y 轴对称，且在 (0，＋∞ )上是减函

数，求满足

(a＋

1)

－m m

的 a

的取值范

围．

3

<(3－ 2a)

－

3

思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－ 2m－3<0 ，再结合 m 是整数，及幂函数是偶函数可

得

m 的

值．

7

解∵函数在 (0，＋∞ )上递减，

∴m2－ 2m－ 3<0，解得－ 1

∵m∈ N*，∴ m＝ 1,2.

又函数的图像关于y 轴对称，∴ m2－ 2m－ 3 是偶数，

而 22－ 2× 2－ 3＝－ 3 为奇数， 12－ 2×1－ 3＝－ 4 为偶数，

∴ m＝ 1.而 f(x)＝ x－13在( －∞， 0)， (0，＋∞ )上均为减函数，

1 1

∴ (a＋ 1)－3<(3－ 2a)－3等价于 a＋ 1>3－

2a>0或 0>a＋1>3 － 2a 或 a＋ 1<0<3－2a.

2 3

解得 a<－ 1 或

3

2 3

故a 的取值范围为 a|a<－ 1或3

探究提高(1) 幂函数解析式一定要设为y＝ xα( α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性．

方法与技巧

1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规

律：

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从① 开口方向；②

对称轴位置；③ 判别式；④ 端点函数值符号四个方面分析．

(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题

a>0

(1)a x 2＋ bx＋ c>0 ，a≠ 0 恒成立的充要条件是

.

b2－ 4ac<0

a<0

(2)a x 2＋ bx＋ c<0 ，a≠ 0 恒成立的充要条件是

.

b2－ 4ac<0

α

α∈ R)，其中α为常数，其本质特征是以幂

的底

x 为自变量，指数α为常

数．

3．幂函数 y＝x (

失误与防范

1．对于函数 y＝ ax2＋ bx＋ c，要认为它是二次函数，就必

须满足a≠ 0，当题目条件中未说明a≠ 0 时，就要

讨

8

论 a ＝0 和 a ≠0 两种情况 .

2． 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要

看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点

一定是原点 .

A 组 专项基础训练

(时间： 35 分钟，满分： 57 分)

一、选择题 (每小题 5 分，共 20

分 )

－x ， x ≤ 0，

( ) 1． (2011 浙·江 )设函数 f(x)＝ x

2， 若 f(α)＝ 4，则实数 α等于 x>0，

A ．－ 4 或－ 2

B ．－ 4 或 2

C ．－ 2 或 4

D ．－ 2 或 2

答案 B

解析 当 α≤ 0 时， f(α)＝－ α＝ 4，得 α＝－ 4；

2

当 α>0 时， f(α)＝ α＝ 4，得 α＝ 2.∴ α＝－ 4 或 α＝2.

2． 已知函数 f(x)＝ x

2

－2x ＋ 2 的定义域和值域均

为 [1， b] ，则 b 等于 ( ) A ． 3

B ． 2 或 3

C ． 2

D ． 1 或 2

答案 C

解析 函数 f(x)＝ x 2

－ 2x ＋ 2 在[1 ，b]

上递增，

f 1 ＝1，

b 2

－ 3b ＋ 2＝0，

由已知条件 f b ＝b ， 即 解得 b ＝ 2.

b>1.

b>1，

3． 设 abc>0，二次函数 f(x) ＝ax 2

＋bx ＋ c 的图像可能是 ( )

答案 D

解析 由 A ， C ， D 知， f(0)＝ c<0.

b

∵ abc>0 ， ∴ ab<0， ∴ 对称轴 x ＝－ 2a >0 ，

9

知 A ， C 错误， D 符合要求．

b

由 B 知 f(0)＝ c>0，∴ ab>0，∴ x＝－2a<0， B 错误．

4．设二次函数f(x)＝ ax2－ 2ax＋ c 在区间 [0,1] 上单调递减，且 f(m) ≤f(0)，则实数m 的取值范围是

( )

A． (－∞，

0] B． [2，＋∞ )

C． (－∞， 0]∪ [2，＋∞ ) D． [0,2]

答案 D

解析二次函数 f( x)＝ ax2－ 2ax＋ c 在区间 [0,1] 上单

调递减，则

a≠ 0， f′ (x)＝ 2a(x－ 1)<0 ，

x∈[0,1] ，

所以 a>0，即函数图像的开口向上，对称轴是直

线x＝ 1.

所以 f(0)＝ f(2) ，则当 f(m)≤ f(0) 时，有 0≤ m≤ 2.

二、填空题 (每小

题 5 分，共 15 分 )

5．二次函数的图像过点 (0,1)，对称轴为 x＝2，最小值为－ 1，则它的解析式为 ____________．

答案

1 2

－ 1 y＝ (x－

2)

2

6．已知函数 f(x)＝ x2＋2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－∞， 3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________．

答案(－∞，－ 2]

解析f(x)的图像的对称轴

为x＝ 1－ a 且开口向上，

∴1－a≥ 3，即 a≤ － 2.

7．当α∈ － 1，1，1， 3 时，幂函数 y＝ xα的图像不可能经过第

________象限．

2

答案二、四

α 1 α

解析当α＝－

1、

1、 3 时， y＝ x 的图像经过第一、三象

限；当α＝2时， y＝ x 的图像经过第一象限．

三、解答题 (共 22 分 )

8． (10 分 )已知二次函数f( x)的二次项系数为 a，且 f( x)>－ 2x 的解集为 { x|1

根，求 f(x)的解析式．

解设 f(x)＋ 2x＝ a(x－ 1)(x－3) ( a<0) ，

则f(x)＝ ax2－ 4ax＋ 3a－ 2x，

f(x)＋6a＝ ax2－ (4a＋ 2)x＋ 9a，

＝[－ (4a＋ 2)]2－ 36a2＝ 0，即 (5a＋ 1)(a－ 1)＝ 0，

1

解得 a＝－5或 a＝ 1(舍去 )．

1

因此 f(x)的解析式为f( x)＝－5(x－1)( x－3) ．

9． (12 分 )是否存在实数a，使函数

f(x)＝ x2－ 2ax＋ a 的定义域为 [－ 1,1] 时，值域为 [－ 2,2] ？若存在，求 a 的值；

1