苏科八上精选专题《勾股定理》：勾股数精选题33道

勾股数精选题33道

一．选择题（共16小题）

1．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是()

A．15

a=，8

b=，17

c=B．9

a=，12

b=，15

c= C．7

a=，24

b=，25

c=D．3

a=，5

b=，7

c=

2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是()

A ．1 、2 、3

B ．2 、3 、4

C ．3 、4 、5

D ．4 、5 、6 3．下列几组数中，是勾股数的有()

①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5(k k为正整数）；④2

3

、2、

7

3

A．1组B．2组C．3组D．4组4．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是()

A．2，4，5B．6，8，11C．5，12，12D．1，1 5．下列各组数中，是勾股数的为()

A．1，1，2B．1.5，2，2.5C．7，24，25D．6，12，13 6．下列各组数据为勾股数的是()

A B．1C．5，12，13D．2，3，4 7．下面三组数中是勾股数的一组是()

A．6，7，8B．1.5，2，2.5C．21，28，35D．9，16，25 8．下列四组数中，是勾股数的是()

A．0.3，0.4，0.5B．23，24，25C．3，4，5D．111 ,, 345

9．以下四组数中，不是勾股数的是()

A．3n，4n，5(n n为正整数）B．5，12，13

C．20，21，29D．8，5，7

10．下列各组数为勾股数的是()

A．7，12，13B．3，4，7C．3，4，6D．8，15，17 11．下列各组数能构成勾股数的是()

A．2B．12，16，20C．1

3

，

1

4

，

1

5

D．23，24，25

12．下列各组数是勾股数的是( )

A ．3，4，5

B ．1.5，2，2.5

C ．23，24，25 D

13．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是( )

A ．6，8，10

B ．7，24，25

C ．2，5，7

D ．9，12，15

14．下列各组数据不是勾股数的是( )

A ．2，3，4

B ．3，4，5

C ．5，12，13

D ．6，8，10

15．下列各组数，不是勾股数的是( )

A ．3，4，5

B ．6，8，10

C ．12，16，20

D ．23，24，25

16．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是( )

A ．1、2、3

B ．1、2

C ．6，8，10

D ．5、12、10

二．填空题（共12小题）

17．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 ．

18．若8，a ，17是一组勾股数，则a = ．

19．若8，a ，17是一组勾股数，则a = ．

20．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，

41；?，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： ．

21．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为 ．

22．探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)?，请写出第6个数组： ．

23．探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)?请写出下一数组： ．

24．观察下列各式：222345+=；2228610+=；22215817+=；222241026+=；?；你有

没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子： ．

25．有一组勾股数，两个较小的数为8和15，则第三个数为 ．

26．写出一组直角三角形的三边长 ．（要求是勾股数但3、4、5和6、8、10除外） 27．2019年4月17日，法国著名世界文化遗产著名地标建筑巴黎圣母院遭遇大火，引起全球关注，各界人士纷纷自发捐款支持重建每天巴黎圣母院重建筹备组统计人员分法国政府捐款、法国民间捐款及国外捐款三部分进行统计．截止2019年5月7日，统计人员发现，这

三部分捐款总数超过280万法郎，并且这三部分捐款数分别加上2万法郎，1万法郎，1万法郎后，这三个数恰好是一组勾股数，（如果正整数x 、y 、z 满足方程222x y z +=，那么就称x 、y 、z 是一组勾股数）．其中，国外捐款多于法国民间捐款，法国政府捐款数最少．若法国政府捐款加上2万法郎后为一个质数（如果一个大于1的正整数除了1和它本身以外没有其它的因数那么就称这个数为质数），且仍然少于法国民间捐款和国外捐款．求截止2019自气5月7日，国外捐款的最小值为 万法郎．

28．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；?，请你写出具有以上规律的第⑧组勾股数： ．

三．解答题（共5小题）

29．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如222x y z +=的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解(x ，y ，)z 叫做勾股数．如，(3，4，5)就是一组勾股数．

（1）请你再写出两组勾股数：( )，( )；

（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n 表示大于1的整数，2x n =，21y n =-，21z n =+，那么，以x ，y ，z 为三边的三角形为直角三角形（即a ，y ，z 为勾股数），请你加以证明．

30．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：21a n =+，222b n n =+，2221(c n n n =++为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数．

（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当221()2a m n =-，b mn =，221()(2

c m n m =+、n 为正整数，m n >时，a 、b 、c 构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且5n =，求该直角三角形另两边的长．

31．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；

9，40，41等等都是勾股数．

（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，22521=+，22321=-；5，12，13中，221332=+，22532=-；请证明：m ，n 为正整数，且m n >，若有一个直角三角形斜边长为22m n +，有一条直角长为22m n -，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；

（2）斜边长，且a 和b 均为正整数，用含b 的代数式表示a ，并求出a 和b 的值；

（3）若22111c a b =+，22222c a b =+，其中，1a 、2a 、1b 、2b 均为正整数．证明：存在一个整

数直角三角形，其斜边长为12c c ．

32．我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

（1）如果a 、b 、c 是一组勾股数，即满足222a b c +=，求证：ka 、kb 、(kc k 为正整数）也是一组勾股数．

（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式21a n =+，222b n n =+，2221(c n n n =++为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a ，b ，c 是一组勾股数．

（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当221()2a m n =-，b mn =，221()(2

c m n m =+、n 为正整数，)m n >时，a ，b ，c 构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数．

33．勾股数又名毕氏三元数，指的是凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．我国在早期的《周髀算经》中就谈到“勾广三，股修四，弦隅五”，指边长为3，4，5的直角三角形，古代数学家刘徽在《九章算术》中有：222345+=；22251213+=；22281517+=等多组勾股数的记载．

（1）判断下列两组数能否是勾股数：

①11，60，61；

②31，73，77；

（2）勾股数有多种奇妙的规律性存在，比如：8，15，17这组勾股数，最小数为偶数，另两个数是奇数，且相差2，又如：20，99，101也是这样的一组勾股数．如果有一组勾股数

也是上述规律，且最小数为12，求这组勾股数．

（3）还有些勾股数有这样一种规律存在：最小数是奇数，而另两个数相差1，比如：3，4，5这组勾股数最小数3是奇数，而4，5相差1．若有两个数与13是勾股数，且满足此规律，求出符合条件的勾股数．

勾股数精选题33道

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）

1．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )

A ．15a =，8b =，17c =

B ．9a =，12b =，15c =

C ．7a =，24b =，25c =

D ．3a =，5b =，7c = 【分析】理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方．

【解答】解：由题意可知，在A 组中，22215817289+==，

在B 组中，22291215225+==，

在C 组中，22272425625+==，

而在D 组中，222357+≠，

故选：D ．

【点评】理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接， 能组成直角三角形的是( )

A ． 1 、 2 、 3

B ． 2 、 3 、 4

C ． 3 、 4 、 5

D ． 4 、 5 、 6

【分析】判断是否能组成直角三角形， 只要验证两小边的平方和是否等于最长

边的平方即可 ．

【解答】解：A 、222123+≠，∴不能组成直角三角形， 故A 选项错误； B 、222234+≠，∴不能组成直角三角形， 故B 选项错误；

C 、222345+=，∴组成直角三角形， 故C 选项正确；

D 、222456+≠，∴不能组成直角三角形， 故D 选项错误 ．

故选：C ．

【点评】此题考查了勾股定理的逆定理： 已知ABC ?的三边满足222a b c +=，

则ABC ?是直角三角形 ．

3．下列几组数中，是勾股数的有( )

①5、12、13；②13、14、15；③3k 、4k 、5(k k 为正整数）；④

23、2、73

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

【分析】勾股数是满足222a b c += 的三个正整数，据此进行判断即可．

【解答】解：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数，

∴是勾股数的有①5、12、13；③3k 、4k 、5(k k 为正整数）．

故选：B ．

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

4．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )

A ．2，4，5

B ．6，8，11

C ．5，12，12

D ．1，1【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．

【解答】解：A 、22224205+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B 、2226810011+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

C 、22251216912+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D 、222112+==，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．

故选：D ．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，

c 满足222a b c +=，那么这个三角形就是直角三角形．

5．下列各组数中，是勾股数的为( )

A ．1，1，2

B ．1.5，2，2.5

C ．7，24，25

D ．6，12，13

【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．

【解答】解：A 、222112+≠，∴不是勾股数，此选项错误；

B 、1.5和2.5不是整数，此选项错误；

C 、22272425+=，∴是勾股数，此选项正确；

D 、22261213+≠，∴不是勾股数，此选项错误．

故选：C ．

【点评】此题考查了勾股数，说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足222a b c +=，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；?

6．下列各组数据为勾股数的是( )

A B ．1C ．5，12，13 D ．2，3，4

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解答】解：A 、222+≠，不能构成直角三角形，故错误；

B 、2221+=，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；

C 、22212513+=，能构成直角三角形，故正确；

D 、222234+≠，不能构成直角三角形，故错误．

故选：C ．

【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC ?的三边满足222a b c +=，则ABC ?是直角三角形．

7．下面三组数中是勾股数的一组是( )

A ．6，7，8

B ．1.5，2，2.5

C ．21，28，35

D ．9，16，25

【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A 、222768+≠，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；

B 、 1.5，2.5不是整数，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；

C 、222212835+=，∴这一组数是勾股数，故本选项正确；

D 、22291625+≠，∴这一组数不是勾股数，故本选项错误；

故选：C ．

【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键．

8．下列四组数中，是勾股数的是( )

A ．0.3，0.4，0.5

B ．23，24，25

C ．3，4，5

D ．111,,345

【分析】根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足222a b c +=，称为勾股数．由此判定即可．

【解答】解：A 、2220.30.40.5+=，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；

B 、222222(3)(4)(5)+≠，不是勾股数，故本选项不符合题意；

C 、222345+=，是勾股数，故本选项符合题意；

D 、222111()()()453

+≠，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C ．

【点评】此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

9．以下四组数中，不是勾股数的是( )

A ．3n ，4n ，5(n n 为正整数）

B ．5，12，13

C ．20，21，29

D ．8，5，7

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解答】解：A 、222345n n n +=，是勾股数；

B 、22251213+=，是勾股数；

C 、222202129+=，是勾股数；

D 、222758+≠，不是勾股数；

故选：D ．

【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数，并能够熟练运用．

10．下列各组数为勾股数的是( )

A ．7，12，13

B ．3，4，7

C ．3，4，6

D ．8，15，17

【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．

【解答】解：A 、不是勾股数，因为22271213+≠；

B 、不是勾股数，因为222347+≠；

C 、不是勾股数，因为不是正整数；

D 、是勾股数，因为22281517+=；

，且8，15，17是正整数． 故选：D ．

【点评】本题考查了勾股数的概念：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足222a b c +=，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；?

11．下列各组数能构成勾股数的是( )

A ．2

B ．12，16，20

C ．13，14，15

D ．23，24，25

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是

否等于最长边的平方．

【解答】解：A 、2222+=，但不是正整数，故选项错误；

B 、222121620+=，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；

C 、222111()()()453

+≠，不能构成直角三角形，故选项错误； D 、222222(3)(4)(5)+≠，不能构成直角三角形，故选项错误．

故选：B ．

【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知

ABC ?的三边满足222a b c +=，则ABC ?是直角三角形．

12．下列各组数是勾股数的是( )

A ．3，4，5

B ．1.5，2，2.5

C ．23，24，25 D

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解答】解：A 、222345+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

B 、2221.52 2.5+=，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；

C 、222222(3)(4)(5)+≠，不能构成直角三角形，故不是勾股数；

D 、222+=，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数．

故选：A ．

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答此题掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC ?的三边满足222a b c +=，则ABC ?是直角三角形．

13．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是( )

A ．6，8，10

B ．7，24，25

C ．2，5，7

D ．9，12，15

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．

【解答】解：A 、2226810+=，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长； B 、22272425+=，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；

C 、222527+≠，符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长；

D 、22212915+=，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长．

故选：C ．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边

的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

14．下列各组数据不是勾股数的是( )

A ．2，3，4

B ．3，4，5

C ．5，12，13

D ．6，8，10

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解答】解：A 、222134+≠，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意； B 、222345+=，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；

C 、22251213+=，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；

D 、2226810+=，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；

故选：A ．

【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC ?的三边满足222a b c +=，则ABC ?是直角三角形．

15．下列各组数，不是勾股数的是( )

A ．3，4，5

B ．6，8，10

C ．12，16，20

D ．23，24，25

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解答】解：A 、222345+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

B 、2226810+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

C 、222121620+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

D 、22291625+≠，不能构成直角三角形，故不是勾股数；

故选：D ．

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答此题掌握勾股数的定义，及勾股

定理的逆定理：已知ABC ?的三边满足222a b c +=，则ABC ?是直角三角形．

16．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是( )

A ．1、2、3

B ．1、2

C ．6，8，10

D ．5、12、10

【分析】根据勾股数的定义：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数．

【解答】解：A 、222123+≠，不能构成勾股数，故错误；

B

C 、2226810+=，能构成勾股数，故正确；

D 、22251012+≠，不能构成勾股数，故错误．

故选：C ．

【点评】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

二．填空题（共12小题）

17．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 15 ．

【分析】设第三个数为x 根据勾股定理的逆定理：∴①222817x +=，②222178x +=．再解x 即可．

【解答】解：设第三个数为x ，

是一组勾股数，

∴①222817x +=，

解得：15x =，

②222178x +=，

解得：x （不合题意，舍去），

故答案为：15．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

18．若8，a ，17是一组勾股数，则a = 15 ．

【分析】分a 为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解答】解：①a 为最长边，a ，不是正整数，不符合题意；

②17为最长边，15a =，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．

故答案为：15．

【点评】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知ABC ?的三边满足222a b c +=，则ABC ?是直角三角形．

19．若8，a ，17是一组勾股数，则a = 15 ．

【分析】分a 为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证

两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解答】解：①a 为最长边，a ，不是正整数，不符合题意；

②17为最长边，15a =，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．

故答案为：15．

【点评】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知

ABC ?的三边满足222a b c +=，则ABC ?是直角三角形．

20．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，

41；?，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： 13、84、85 ．

【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．

【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数

是5，?，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，

又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x ，第三个数为1x +， 根据勾股定理的逆定理，得：13的平方x +的平方(1)x =+的平方，解得84x =．

则得第6组数是：13、84、85．

故答案为：13、84、85．

【点评】本题考查了勾股数，关键是根据给出的数据找出规律，发现第一个数是从3，5，7，

9，?的奇数，第二、第三个数相差为一．

21．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为 2 ．

【分析】满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数，依此即可求解．

【解答】解：①2220.60.81+=，不是整数，不是勾股数；

②22251213+=，是勾股数；

③22281517+=，是勾股数；

④222456+≠，不是勾股数；

其中是勾股数的组为2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了勾股数，注意：①三个数必须是正整数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．

22．探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)?，请写出第6个数组： (13，84，85) ．

【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．

【解答】解：①3211=?+，242121=?+?，2521211=?+?+；

②5221=?+，2122222=?+?，21322221=?+?+；

③7231=?+，2242323=?+?，22523231=?+?+；

④9241=?+，2402424=?+?，24124241=?+?+；

⑤11251=?+，2602525=?+?，26125251=?+?+，

则⑥13261=?+，2262684?+?=，22626185?+?+=，

故答案为：(13，84，85)．

【点评】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．

23．探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)?请写出下一数组： (11，60，61) ．

【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．

【解答】解：(3，4，5):3211=?+，242121=?+?，2521211=?+?+；

(5，12，13):5221=?+，2122222=?+?，21322221=?+?+；

(7，24，25):7231=?+，2242323=?+?，22523231=?+?+；

(9，40，41):9241=?+，2402424=?+?，24124241=?+?+；

∴下一组数为：11251=?+，2602525=?+?，26125251=?+?+，

故答案为：(11，60，61)．

【点评】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的

关键．

24．观察下列各式：222345+=；2228610+=；22215817+=；222241026+=；?；你有

没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子： 222351237+= ．

【分析】观察等式的规律，可分别观察等式的左边：第一个的底数分别为：2321=-，

2831=-，21541=-，22451=-，第n 个式子为2(1)1n +-，第二个的底数是4，6，8?连续的偶数．右边的底数是比左边的第一个数大2，根据规律即可写出下一个式子规律为：

22222[(1)1][2(1)][(1)1]n n n +-++=++．

【解答】解：根据规律，下一个式子是：222351237+=．

【点评】等式找规律的时候，注意分别观察等式的左边和右边以及左右两边的关系，这需要

平时的努力．

25．有一组勾股数，两个较小的数为8和15，则第三个数为 17 ．

【分析】根据勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数可设第三个数为(x x 为

正整数），由题意得：222815x =+，再解方程即可．

【解答】解：设第三个数为(x x 为正整数），由题意得：

222815x =+，

解得：17x =，

故答案为：17．

【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数：满足222a b c += 的三个正整数．

26．写出一组直角三角形的三边长 5，12，13 ．（要求是勾股数但3、4、5和6、8、10

除外）

【分析】根据勾股数定义：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数进行解答．

【解答】解：22251213+=，因此5，12，13可以构成直角三角形，又都是正整数，因此5，

12，13是勾股数，

故答案为：5，12，13．

【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC ?的三边满足

222a b c +=，则ABC ?是直角三角形．

27．2019年4月17日，法国著名世界文化遗产著名地标建筑巴黎圣母院遭遇大火，引起全球关注，各界人士纷纷自发捐款支持重建每天巴黎圣母院重建筹备组统计人员分法国政府捐款、法国民间捐款及国外捐款三部分进行统计．截止2019年5月7日，统计人员发现，这

三部分捐款总数超过280万法郎，并且这三部分捐款数分别加上2万法郎，1万法郎，1万法郎后，这三个数恰好是一组勾股数，（如果正整数x 、y 、z 满足方程222x y z +=，那么就称x 、y 、z 是一组勾股数）．其中，国外捐款多于法国民间捐款，法国政府捐款数最少．若法国政府捐款加上2万法郎后为一个质数（如果一个大于1的正整数除了1和它本身以外没有其它的因数那么就称这个数为质数），且仍然少于法国民间捐款和国外捐款．求截止2019自气5月7日，国外捐款的最小值为 144 万法郎．

【分析】设法国政府捐款、法国民间捐款及国外捐款分别为x 万法郎、y 万法郎、z 万法郎，由题意可得，280x y z ++>，2x y z +<<，则有94z >，又由222(2)(1)(1)x y z +++=+，可得222(2)(1)(1)(2)()x y z z y z y +=+-+=++-，因为2x +是质数，可求1z y -=，所以2(2)21189x z +=+>，要使z 最小，则2x +要最小，所以217x +=，即可分别求x 、y 、z 的值．

【解答】解：设法国政府捐款、法国民间捐款及国外捐款分别为x 万法郎、y 万法郎、z 万法郎，

由题意可得，280x y z ++>，2x y z +<<，

22z x y ∴>++，

22802z z ∴>-+，

94z ∴>，

222(2)(1)(1)x y z +++=+，

222(2)(1)(1)(2)()x y z z y z y +=+-+=++-，

2x +是质数，

1z y ∴-=，

2(2)21189x z ∴+=+>，

2x +是质数，

要使z 最小，则2x +要最小，

217x ∴+=，

15x ∴=，144z =，143y =，

z ∴的最小值是144，

故答案为144．

【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．

28．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；?，请你写出具有以上规律的第⑧组勾股数： 20，99，101 ．

【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n 组数，则这组数中的第一个数是2(2)n +，第二个是：(1)(3)n n ++，第三个数是：2(2)1n ++．根据这个规律即可解答．

【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2(2)n +，第二个是：(1)(3)n n ++，第三个数是：2(2)1n ++，

故可得第⑧组勾股数是20，99，101．

故答案为：20，99，101．

【点评】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．

三．解答题（共5小题）

29．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如222x y z +=的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解(x ，y ，)z 叫做勾股数．如，(3，4，5)就是一组勾股数．

（1）请你再写出两组勾股数：( 6，8，10 )，( )；

（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n 表示大于1的整数，2x n =，21y n =-，21z n =+，那么，以x ，y ，z 为三边的三角形为直角三角形（即a ，y ，z 为勾股数），请你加以证明．

【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；

（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．

【解答】解：（1）请你再写出两组勾股数：( 6，8，10)，( 9，12，15)，

故答案为：6，8，10；9，12，15；

（2）证明：22222(2)(1)x y n n +=+-

242421n n n =+-+

4221n n =++

22(1)n =+

2z =，

即x ，y ，z 为勾股数．

【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．

30．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：21a n =+，222b n n =+，2221(c n n n =++为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数．

（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当221()2a m n =-，b mn =，221()(2

c m n m =+、n 为正整数，m n >时，a 、b 、c 构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且5n =，求该直角三角形另两边的长．

【分析】（1）分别计算出2243248841a b n n n n +=++++，243248841c n n n n =++++，于是得到222a b c +=，即可得到结论；

（2）讨论：①当37x =时，利用221(5)372

m -=计算出m ，然后分别计算出y 和z ；②当37y =时，利用537m =，解得375m =，不合题意舍去；③当37z =时，利用22137()2

m n =+求出7m =±，从而得到当5n =时，一边长为37的直角三角形另两边的长．

【解答】解：（1）222222432432(21)(22)44148448841a b n n n n n n n n n n n n +=+++=+++++=++++， 222432(221)48841c n n n n n n =++=++++，

222a b c ∴+=， n 为正整数，

a ∴、

b 、

c 是一组勾股数；

（2）解：221()2a m n =-，b mn =，221()2

c m n =+， 222a b c ∴+=，

ABC ∴?是直角三角形，且c 为直角边，

5n =，

221(5)2a m ∴=-，5b m =，21(25)2

c m =+， 直角三角形的一边长为37，

∴分三种情况讨论，

①当37a =时，221(5)372

m -=，

解得m =±

②当37b =时，537m =， 解得375

m =（不合题意舍去）； ③当37c =时，22137()2

m n =+， 解得7m =±，

0m n >>，m 、n 是互质的奇数，

7m ∴=，

把7m =代入①②得，12a =，35b =．

综上所述：当5n =时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．

【点评】此题主要考查了勾股定理与勾股数，关键是根据所给的数据证明222a b c +=．

31．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．

（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，22521=+，22321=-；5，12，13中，221332=+，22532=-；请证明：m ，n 为正整数，且m n >，若有一个直角三角形斜边长为22m n +，有一条直角长为22m n -，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；

（2）斜边长，且a 和b 均为正整数，用含b 的代数式表示a ，并求出a 和b 的值；

（3）若22111c a b =+，22222c a b =+，其中，1a 、2a 、1b 、2b 均为正整数．证明：存在一个整

数直角三角形，其斜边长为12c c ．

【分析】（1）用平方差公式因式分解，并化简，结合勾股定理的逆定理可得答案；

（2）由勾股定理可得a ，b 的关系式，变形可用含b 的代数式表示出a ；再根据b 的范围分别代值验证，可求得a ；从而可得b ；

（3）对常见的勾股数要熟悉，然后观察代值验证即可．

【解答】解：（1）证明：

222222()()m n m n +--

22222222()()m n m n m n m n =++-+-+

2222m n =

2(2)mn =

2222222(2)()()mn m n m n ∴+-=+ m ，n 为正整数，且m n >，

2mn ∴，22m n -，22m n +均为正整数

∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；

（2）由勾股定理得：

77(15030)1615a b -+-=?

97307

b a +∴= 由题意可知：770a ->，150300b ->

1a ∴>，05b << a 和b 均为正整数

b ∴的可能值为：1，2，3，4．

当1b =时，973012777a +=

=，不是正整数，故1b =不符合题意； 当2b =时，976015777a +=

=，不是正整数，故2b =不符合题意； 当3b =时，979018777a +=

=，不是正整数，故3b =不符合题意；

当4b =时，97120317

a +==

22240+=，2240=