李贤平《概率论与数理统计第五章》答案

1 第5章极限定理

1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ<∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。

2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >，

1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。

4、{}k ξ各以

概率取值s k 和s

k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ 的算术平均值？

6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：

（1）1{2}2

k P X =±=

；（2）(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；

（3）1

21{2},{0}12

k k P X k P X k --=±===-。

7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，

证明这时对{}k ξ大数定律成立。

8、已知随机变量序列12,,ξξ 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明

对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ=

++ ，11

()n n a E E n

ξξ=++ ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞??

-=??+-??

。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而

→时， 2

2211~2n

n n e n m n π-???? ???-??

??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试

求有10个或更多终端在使用的概率。

13、求证，在x o >时有不等式2221

1122221

1t x x x x e e dt e x x

-∞--≤≤+?。 14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，01p <<，则不管k 是如何大的常数，总有

{||}0()n P np k n μ-<→→∞。

15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。

16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率：n P p n με??

-≥????

并进行比较。这里n μ是n 次贝努里试验中成功总次数，p 为每次成功的概率。 17、现有一大批种子，其中良种占

16，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1

之差小于1%的概率是多少？ 18、种子中良种占

16，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与1

之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？

19、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之

差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。

20、设分布函数列{()}n F x 弱收敛于连续的分布函数()F x ，试证这收敛对1

x R ∈是一致的。 22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。

24、若n X 的概率分布为0

111n n n ?? ?

???

，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 25、随机变量序列{}n ξ具有分布函数{()}n F x ，且()()n F x F x →，又{}n η依概率收敛于常数0c >。试证：（I ）n n n ζξη=+的分布函数收敛于()F x c -；（II ）n

n n

ξζη=的分布函数收敛于()F cx 。 26、试证：（1）0P P

n n X X X X ??→?-??→；

（2）,{}1P

n n X X X Y P X Y ??→??→?==；（3）0(,)P P

n n m X X X X n m ??→?-??→→∞；（4）,P

n n n n X X X Y X Y X Y ??→??→?±??→±；（5）,P n X X k ??→是常数P

n kX kX ??→；（6）2

n n X X X X ??→???→；

3 （7）,,,P P n n X a Y b a b ??→??→常数P

n n X Y ab ??→；（8）111P P n n X X -??→???→；（9）,,

,P P n n X a Y b a b ??→??→常数110P

n n b X Y ab --≠???→；

（10）,P n X X Y ??→是随机变量P

n X Y XY ???→；（11）,P P P n n n n X X Y Y X Y XY ??→??→???→。

27、设P n X X ??→。而g 是1

R 上的连续函数，试证()()P

n g X X ??→。 28、若{}n X 是单调下降的正随机变量序列，且0P n X ??→，证明0a s n X ????→。

29、若12,,X X 是独立随机变量序列，μ是整值随机变量，{}k P k p μ==，且与{}i X 独立，求

1X X μη=++ 的特征函数。

30、若()f t 是非负定函数，试证（1）(0)f 是实的，且(0)0f ≥；（2）()()f t f t -=；

（3）|()|(0)f t f ≤。

31、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。

33、若母体ξ的数学期望2,E m D ξξσ==，抽容量为n 的子样求其平均值ξ，为使

{||0.1}95%P m ξσ-<≥，问n 应取多大值？

34、若{,1,2,}n n ξ= 为相互独立随机变量序列，具有相同分布11

{1},{0}22

n n P P ξξ-=

-=，而12n

n k k

ξη==∑

，试证n η的分布收敛于[0,1]上的均匀分布。

35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。

36、用特征函数法证明，普阿松分布当λ→∞时，渐近正态分布。计算n Y 的特征函数，并求n →∞时的极限。

38、设n X 独立同分布，2{2}2k k n P X --== (1,2,)k = ，则大数定律成立。 39、若{}i X 是相互独立的随机变量序列，均服从(0,1)N ，试证122

n n

X X W n

X X ++=

++ 及1221

n n n

X X U X X

++=

++ 渐近正态分布(0,1)N 。

40、设12,,X X 是独立随机变量序列，均服从[0,1]均匀分布，令11n

n i i Z X =??

= ???

∏，试证P n Z c →，这

里c 是常数，并求c 。

41、若{}i X 是独立同分布随机变量序列，i EX m =，若()f x 是一个有界的连续函数，试证

1lim ()n n X X E f f m n →∞

?++???= ???????

。

42、若{}i X 是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证1

2(1)n

i i i iX EX n n =??→+∑。 44、设()f x 是[0,1]上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列{()}n B x ，在[0,1]上一致收

敛于()f x 。

45、设{}i X 是独立随机变量序列，试证0a s n X ????→的充要条件为，对任意0ε>有

{||}n

n P X

ε∞

=≥<∞∑。

46、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。 48、举例说明波雷尔——康特拉引理（i ）之逆不成立。

49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若

n DX k ∞

=<∞∑，则必有21lim 0k n DX n →∞=。 53、若{}k ξ是独立随机变量序列，方差有限，记n 1

(),n

n k k n k S E S n

ξξη==

∑。（1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明{

}

n 2

1max (2)

m m m

m j

n j p P

D ηεξ

ε+>≥<=≥≤∑

（2）对上述m p ，证明若21k

k D k

ξ∞

=<∞∑，则1m m p ∞

=∑收敛；

（3）利用上题结果证明对{}n ξ成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。 54、（1）设{}k c 为常数列，令{}1

sup ||,1,2,n k m m k m k s c b s s k ∞

+==

=-=∑ inf{,1,2,}m b b m == ，

试证

k c

∞

=∑收敛的充要条件是0b =；

（2）(Kronecker 引理)对实数列{}k c ，若1k k c k

∞

=∑收敛，则

k c

n =→∑。

5 56、设12,,X X 是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，则对{}n X 成立大数定律的充要条件

为()21()n D X X o n ++= 。

57、设12,,X X 是独立同分布随机变量序列，且

k X n

=∑

对每一个1,2,n = 有相同分布，那么，若0,1i i EX DX ==，则i X 必须是(0,1)N 变量。

58、设{}k X 是独立随机变量序列，且k X 服从(0,2)k N -，试证序列{}k X ：（1）成立中心极限定理；（2）

不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必

要条件。

59、若{}k X 是独立随机变量序列，i X 服从[1,1]-均匀分布，对2,3,,k k X = 服从1(0,2)k N -，证明

对{}k X 成立中心极限定理，但不满足费勒条件。

60、在普阿松试验中，第i 次试验时事件A 出现的概率为i p ，不出现的概率为i q ，各次试验是独立的，

以n v 记前n 次试验中事件A 出现的次数，试证：（1）()0P n n v Ev n

-??→；（2）对11

n i i n i i

i v p p q ==??- ???∑∑成立中心极限定理的充要条件是

i i

i p q

∞

==+∞∑。

61、设{}k X 独立，k X 服从[,]k k -均匀分布，问对{}k X 能否用中心极限定理？ 62、试问对下列独立随机变量序列，李雅普诺夫定理是否成立？

（1）:1

122k k

k X ??

- ? ? ?

；（2）0:,

11333a a k k k X a ??

- ?> ? ???

。

65、求证：当n →∞时，0

1!2

k n

k n e k -=→∑

。

解答

1、证：对任意x o >， 1

{}()()ay

y x

P x dF y e dF y e ξ≥≥≥=≤??10

()ay ax a ax e dF y e Ee e ξ∞

-≤=?

。

2、证：()h ξ为非负随机变量，所以对0c >有

{()}()()h h x c

x c

P h c dF x xdF x c ξ≥≥≥=≤??011()()h xdF x Eh c c ξ∞≤=?。

4、解：现验证何时满足马尔可夫条件2110n k k D n ξ=??

→ ???

∑，2211022k E k k ξ=-=，

2221122

s s

s k D k k k ξ=

+=。若12s <，这时210s -<，利用k ξ间的独立性可得

2221

22211110()s n n s s k k k n n D k n n n n n

ξ-==???=≤=→→∞ ???∑∑。若12s ≥，则 22221111111

0()2n n n s k k k k n D k k n n n n n

ξ===+??=≥=→→∞ ???∑∑∑。

所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。

6、证：（1）0k EX =，()

()2

2422

k k k DX k =?+-?=， 11222221111144440()1433n n n n

k k k k D X DX n n n n n n

++==-??==?=-→→∞ ?-??∑∑。不满足马尔可夫条件。（2）()

()2

110,2

212

2k k k k k k EX DX ++==?

+-?=，

2211110()n k k D X n n n n n

=??=?=→→∞ ???∑。满足马尔可夫条件。（3）()32

110,22k k EX DX k k k k

==?

+-?

=，

222221111111(1)1()22

n n n

k k k k n n D X k k n n n n n ===+??=≥=?→→∞ ???∑∑∑。不满足马尔可夫条件。

7、证：因为1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，所以

221111()n n k k

k k k D E E n n ξξξ==????=- ???????

∑∑1

2112111()2()()n n k k k k k k k k E E E E n ξξξξξξ-++==??=-+--????∑∑ 212

2,122122n k k k k n D r n n n n

σξσσ-+==+≤+∑230()n n σ=→→∞

其中利用,11k k r +≤且σ有限。马尔可夫条件成立，所以对序列{}n ξ成立大数定律。

8、证：由题中条件可得，对任给0c >，存在N ，使当||j i N ->时有||4ij r e

（设0c >），则

222

111111

2n n k k ij i j k k n j i D D r n n n ξξσσ==≥>≥??=+? ???

∑∑∑2212||ij i j i j nc r n n σσ<≤?+∑2

2||||ij i j ij

i j N j i j i

j i N

c r r

n n n σσσσ≥-<->≤++

∑

∑.

在上式前一个和式中，i 可以依次取1,2,,n ；对每个固定的i 来说，由于j i N -≤且i j < ，所以至多对应N 项；从而和式中至多有nN 项，在后一个和式中，由于j i >，所以对i 取1,2,,n ，至多依次对应1,2,2,1n n -- 项，从而和式中至多有(1)(2)21n n -+-+++ 1

(1)2

n n =-项，利用||1ij r ≤可得

222

1122(1)24n k k c n n D nN c c n n n n c ε

ξ=-??≤+??+??? ???

∑2114c Nc n n n ε??=++- ???。当n 充分大时，上式右方之值可以小于ε，所以 2110()n k k D n n ξ=??

→→∞ ???

∑。

对{}n ξ大数定律成立。

9、证：充分性。2

2(1)

t s t =+是(0)t >的增函数，所以对任给0ε>有

222||||2

()1

{|}()()1()1n n n n n n n n y a y a y a P a dF y dF y y a ηηε

εηεεε-≥-≥--≥=

≤

+-+?

?2222()11()n n n n a E a ηεεη??

-+≤??+-??

所以当22()01()n n n n a E a ηη??

-→??

+-??

时有{|}0n n P a ηε-≥→，此时{}i ξ服从大数定律。

必要性。设{}i ξ服从大数定律，即lim {||}0n n n P a ηε→∞

-≥=，则对任给0ε>，存在N ，当n N

>时有lim {||}n n n P a ηεε→∞-≥≤。由22(1)

t s t =+关于(0)t >的单调性和01s <<得 22()01()n n n n a E a ηη??-≤??+-??

2{|}1{|}1n n n n P a P a εηεηεε≤-≥+?-≥+ 22εεε<+<（当<1ε时）。

∴ 22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞

-=??+-??

。

10、证：斯特灵公式为1

!2,0012m m m m m m m e e m

θπ-=

。由此得 2221(2)!12()!()!2n n

n n n m n m n m ??????

= ??? ?

--+??

???? 222()()

122(2)12()2()()2()n

n m n m n m n m n n e e n m e

n m n m e n m θ

πππ-+-+---??

? ???=?+--+ 1111||122n n m n m θ??<++ ?

-+??221

22n m

n m

n n n e n m n m n m θπ+-??

??= ?

?-+-????

()

12112n m n m n m m e n m n n θπ

-+--????=

+- ? ?-??

222111111m

m m n e n m m m n n n θ

??- ???=

??????-+- ?

? ??????

? （1）若0,αβ→→∞，则当

2(1)o βα= （2）

时，才有下式成立：

()1

(1)1~e αβ

αβααα??+=+??

（3）

此题未必满足（2）式，所以不加条件地利用（3）式证是不妥的。这里结论的证明很简单。

若利用（3）式估计（1）式值，则应有34

23(1),(1)m m o o n n

==。后一式蕴含在前一式中，即应补

设前一条件成立，利用（3）才可证得结论。下面用另一种证法证明。

9 视,n m 为连续变量进行估值，然后再置,n m 为取正整数的变量，结论也应成立。利用台劳展式

ln(1)(1)

()(11)k

k n k x x o x x n

-=+=-+-<≤∑，

由

→得 221ln 11m

m m n m m n n ??- ?

??????-+ ?

????

? 22min 1min 1min 1m m m n n n ??????

=----+ ? ? ??????

23452462345246234523m m m m m m m m m n n n n n n n n n ????

=----------- ? ?????

234523452345m m m m m m n n n n n ??

------- ???

2463511615m m m n n n =---- 242

3211615m m m n n n ??=--++ ???

2431(1)6m m o n n ??

=--+ ???

2431(1)62

2111m

m m o n n n m m n e m m n n ??--+ ?

- ???=????-+ ?

????

? 由题设条件得

4223m m m m o n n n n ????== ? ?????

，

所以要证明的结论中只能是21

m n

n π

，在题设条件下显然有2

11m e

n θ

-→ ???

，所以欲 2

22112n

n n e n m n π-????+ ???

-??

??22221111111m

m n n m m n e e n n m m m n n n θ

ππ-??

- ???=÷????

??-+-

? ? ??????

2431(1)62

1m m o n n e

m n θ

??-

-+ ???

- ???

必须且只需431(1)(1)6m o o n ??

+= ???

，即430m n →。

这条件必须在题中补设出来，即再当4

30m n →时有 2

2211~2n

n n e n m n π-???? ???-??

??。

12、解：每个终端在某时刻使用的概率为0.05，ξ表示在某时刻同时使用的终端数。则

120120{}(0.05)(0.95)k

k k n P k C μ-==

由积分极限定理得

{12010}1{10}P P ξξ≥≥=-<610611200.050.95

1200.050.95P ξ--??

1(1.675)0.047≈-Φ=。

即有10个或更多个终端在使用的概率为0.047。

13、证：当0x >时有

22221111

2211

x t t x x

x t e

dt e dt e e x

x x ∞

∞∞----??≤== ????

2221114

242221

1t t t x

t t t e

dt e

dt d e t t t ∞∞∞---??+-≥=- ?+++??

2211

222

211t t x

t x

e e t x

∞

---==++ 所以不等式成立。

14、证：利用德莫哇佛——拉普拉斯积分定理得

212

||1{||}2k

x npq n k n npq

np k P np k P e

dx npq npq μμπ--??-??

-<=<≈??

????

在如上积分中，积分区间长度

20k

npq

→，所以{||}0()n P np k n μ-<→→∞。 15、解：设需要投掷n 次，用车贝晓夫不等式得（p=0.5）

2211110.40.60.50.110.90.122n n P P n n n n μμ????

<<=-<≥-????=????????

10.10.04n =，取1000

2504

n ≥=。用积分极限定理得

11 0.50.11110.40.6210.9555n n n P P n n n n npq pq μμ??-??????????

<<=<≈Φ-Φ-=Φ-=????

? ? ?????????????

110.95, 1.645,67.6555n n n ??

Φ=-== ???

取68n ≥。

16、解：利用车贝晓夫不等式估计值为：222

n npq

n P p n n μεε

ε??-≥≤=????。利用德莫哇佛——拉普拉斯积分定理估值为：

22t n n np n n

P p P e

dt n npq pq pq

μμεεεπ∞

-????-??

-≥≤≥≈????

??????

22122

12()n t pq

pq e

dt e

o n n n n

εε

επεπ

εε-

∞

-??

=→∞ ???

两者比较，后者估计精确得多。

17、解：任选6000粒可看作6000重贝努里试验,,由积分极限定理得

1600010.01600060.0160006151560006868P P μμ??-???

????-<=≤???????????

????

(2.078)( 2.078)2(2.078)1≈Φ-Φ-=Φ- 2.9812410.96=-≈。

18、解：与上题同理得

1600016

12030.996000615600068P P μμεε??-???????-<=≤=????????

??????

， 2(1203)10.99,(1203)0.995εεΦ-=Φ=，

1203 2.58,0.0124εε==。

把0.0124ε=代入上式计算得

{}10.0124100074.460006P P μμ??

-<=-

{9251075}0.99P μ=<<=。所以相应的良种数应落在925粒与1075粒之间。

19、解：在蒲丰试验中，频率与概率之差为2048128

0.00693404024040

-==。由积分极限定理得要求的概率为

202010.0069340400.006931404021404024P P μμ????-?????

-≤=≤?????????????

20200.882(0.88)1140404P μ??

??-??=≤≈Φ-?????????

20.810610.621=?-≈。

20、证：由于()F x 有界非降，()0F -∞=，()1F +∞=，故对任意0ε>，可找到0M >，使当x M ≥时有 1()F x ε-<，（1）且当x M ≥-时有 ()F x ε<。（2）由于()n F x 处处收敛于()F x ，故存在一正整数N ，使当1n N >时，一方面有

|()()|n F M F M ε---<。

由（2）得 ()2n F M ε-< （3）另一方面又有 |()()|n F M F M ε-<，

由（1）得 1()2n F M ε-< （4）因此，对x M <-，若1n N ≥，则由（2），（3）有

|()()||()|()n n F x F x F x F x -<+()()3n F M F M ε≤-+-<。（5）

同样，对x M >，如果1n N >，则由（1），（4）有

|()()||(1())(1())|n n F x F x F x F x -<---|1()||(1()|n F x F x <-+-

1()1()3n F M F M ε≤-+-< （6）

在有限闭区间[,]M M -上，()F x 连续，故也均匀连续，因而在[,]M M -上可找到t 个点

12,,,,,t k t x x x x M x M =-= ，使

1()()(1,2,,1)i i F x F x i t ε+-<=- 。（7）

还可找到21N N >，使在此t 个点中的每一点上，当2n N >时有

|()()|n i i F x F x ε-<

。（8）

13 于[,]M M -中任取一x ，则此x 必属于某一1[,]i i x x +，因此当2n N >时，由（8）得

11()()()n n i i F x F x F x ε++≤<+ （9）

及 ()()()n n i i F x F x F x ε≥>- （10）由此及（9），（7）得

11()()()()()()2n i i i F x F x F x F x F x F x εεε++-<-+≤-+<。（11）

同样由（10）及（7）得

1()()()()()()2n i i i F x F x F x F x F x F x εεε+->--≥-->-。（12）

故当2n N >时，由（5），（6），（11），（12）得，对任意1x R ∈有 |()()|3n F x F x ε-<。

22、证：由P n X X ??→可推得L n X X ??→，从而()()W

n F x F x ??→，由上题即得证。

24、证：?????<≤<-≤==n x n x n

x x X P x F n n 当当当,

10,110,

0},{)(。令n →∞得 0,0

()()1,0n x F x F x x ≤?→=?

>?。这说明分布函数收敛，但 1,0,()n n E X E X E X E X n +==→

→∞。当1k >时，

k k n EX n n n

-=?

=， 11()(1)(1)1(1)k k k k n n n E X EX E X n n n ??

-=-=--+-? ???

所以当n →∞时，n EX →∞，()k n n E X EX -→∞。由此知其中心距，原点矩均不收敛。 25、证：题中分布函数收敛系数指弱收敛。

（I ）设x c -是()F x 的连续点，现证()()n F x F x c ζ→-。对任给0ε>，有

{}{,||}{,||}n n n n n n n n x x c x c ξηξηηεξηηε+<=+<-<+<-≥

上式中右边两事件依次记为12,S S ，则12S S φ= ，

12(){}()()n n n F x P x P S P S ζξη=+<=+，（1）

我们有 1

{(),||}{(),||

}()

n n n

n P x c c P x c c P S ξεηεξεηε<-+-≥≤<-+-≤≤ {(),||}n n P x c c ξεηε≤<-+-<

{()}n P x c ξε≤<-+ （2）

由（1），（2）得

2{()}{||}()n n P x c P c P S ξεηε<-+--≥+2{}{()}()n n n P x P x c P S ξηξε≤+<≤<--+

此式对任意n 成立，所以

[]2lim {()}lim (){||}n n n n P x c P S P c ξεηε→∞

→∞

<-++--≥

2lim ()lim ()lim {()}lim ()n n n n n n n F x F x P x c P S ζζξε→∞

→∞

≤≤≤<-++ （3）

由P

n c η??→得 2(){||}0()n P S P c n ηε≤-≥→→∞。

再适当选取ε使x c ε--同是()F x 的连续点，利用弱收敛性由（3）可得

()lim ()lim ()()n n n n F x c F x F x F x c ζζεε→∞

→∞

--≤≤≤-+。（4）

由于()F x 单调增加，其至多有可列个不连续点，这里对ε的限制丝毫不影响以下结论成立。由于ε是任意的且x c -是()F x 的连续点，由（4）得

lim ()()n n F x F x c ζ→∞

→-。

所以()()n W

F x F x c ζ??

→-。（II ）设(0)cx x ≠是()F x 的连续点，对任给0(0)c εε><<，

12,||,||n n n n n n n n x x c x c S S ξξξηεηεηηη??????

<=<-<<-≥=????????????

（记）

，则 122,

(){||}0()n S S P S P c n φηε=≤

-≥→→∞ 。另外，1()P S 介于如下两概率之间；

{(),||}n n P c x c ξεηε<--<， {(),||}n n P c x c ξεηε<+-<，

对这两个概率值又分别有

0{()}{(),||}{||}n n n n P c x P c x c P c ξεξεηεηε≤<--<--<≤-≥， 0{()}{(),||}{||}n n n n P c x P c x c P c ξεξεηεηε≤<+-<+-<≤-≥。

取极限可得，当0x >时有（若0x <，则下式前后两项分别改成取上，下极限，且调换前后之位

置），

lim (()}lim ()lim ()lim (())n n n n n n n n F c x F x F x F c x ζζεε→∞

→∞

-≤≤≤+。

可适取ε，使()c ε-与()c x ε+都是()F x 的连续点，当0x >时，由弱收敛性得（若0x <，则前后两项调换位置），

(())lim ()lim ()(())n n n n n F c x F x F x F c x ζζεε→∞

→∞

-≤≤≤+。

由ε的任意性及cx 是()F x 的连续点得

15 lim ()()n n F x F cx ζ→∞

=。

若0cx =（从而0x =）是()F x 的连续点，则对任意0(0)εε><有

(0)0n n n F P ζξη??

0,||0,||n n n n n n P c P c ξξηεηεηη????=<-<+<-≥????????

{}0,||0,||n n n n n P c P c ξξηεηεη??=<-<+<-≥????

{}{}00,||0,||n n n n n n P P c P c ξξξηεηεη??

=<+<-≥+<-≥????

。

等式右边三项中，由()()W

n F x F x ??→得第一项{}0(0)(0)n n P F F ξ<=→，其余两项中概率

值均不超过{||}n P c ηε-≥，所以右边从而左边极限存在。取有限可得lim (0)(0)n n F F η→∞

=。

至此得证()()n W

F x F cx ζ??→。

26：（1）n n P{|X 0|}{|X |}0X P X εε--≥=-≥→， ∴ n X 0()P

X n -??→→∞。

（2）对任给0ε>，

{||}{|X |}n n P X Y P X X Y εε-≥+-+-≥

{||}{||}0()22

n n P X X P X Y n εε≤-≥+-≥→→∞

由ε的任意性得{}0P X Y ≠=，所以{}1P X Y ==。（3）{||}{||}n m n m P X X P X X X X εε-≥=-+-≥

m 11

{||}{|X |}022

n P X X P X εε≤-≥+-≥→

∴ 0(,)P

n m X X n m ??→→∞。

（4）{|()()|}{|()()|}n n n n P X Y X Y P X X Y Y εε±-±≥=-±-≥

n 11

{||}{|Y |}022

n P X X P Y εε≤-≥+-≥→

∴ ()P

n n X Y X Y n ±??→±→∞。

（5）若0k =，显然有()P

n kX kX n ??→→∞。若0k ≠，则

{||}{||||}{||}0||

n n n P kX kX P k X X P X X k ε

εε-≥=-≥=-≥

→

∴ ()P

n kX kX n ??→→∞。

（6）222

{||}{||}{2||||}22

n n n P X X P X X P X X X εεε-≥=-≥

+-≥ 2n 11

{||}{|X |}22

n P X X P X εε≤-≥+-≥

11||||||24n n P X X P X X X εε?????

?=-≥+-≥??????????

对任给0δ>，取0M >，使{}1

||3

P X M δ><

，再取N 使当n N >时有 ()n 1|X |43

P X M εδ????-≥

?-≥

?>≤-≥???????

? {||}||(4)n X M X X M ε???>-≥???

所以当n N >时有

21{||}||{||}||2(4)n n n P X X P X X P X M P X X M εεε??????-≥≤-≥+>+-≥??????????

111

333

δδδδ≤++=, 从而2

lim {||}0n n P X X ε→∞

-≥=，即22n X ()P

X n ??

→→∞。（7）{||}n n P X Y ab ε-≥

{|2|}n n n n n n P X Y aY bX ab aY bX ab ε=--+++-≥ {|()()()()|}n n n n P X a Y b a Y b b X a ε=--+-+-≥

111|()()||()||()|333n n n n P X a Y b P a Y b P b X a εεε?????

?≤--≥+-≥+-≥????????????

111||||||||333n n n P X a P Y b P a Y b εεε?????????

?≤-≥+-≥+-≥??????

??????????

1||||03n P b X a ε?

?+-≥→???

?，

∴ ()P

n n X Y ab n ??→→∞。

17 （8） 1

|1|{|1|}||n n n X P X P X εε-??

--≥=≥?

???

|1|

11||||,

22||n n n n X P X P X X ε??-?

?≤≤

+>≥?????

???

11|1||1|022n n P X P X ε???

?≤-≥+-≥→???????

?，

∴ 1

1()P n X n ??→→∞－。

（9）在（8）中令n n Y X b

=，再利用（5）由P n Y b →可证得11P n Y b --→；再现（7）中n Y 为这里

1n Y -即得证。

（10）对任给0δ>，取0M >，使1

{||}2

P Y M δ>

<。再取N ，使当n N >时，1||2n P X X M εδ?

?-≥

?，则

{}{||}||||n n P X Y XY P Y X X εε-≥=-≥{}{||}||,||||n P Y M P Y M Y X X ε≤>+≤-≥

11{||}||22n P Y M P X X M εδδδ?

?≤>+-≥<+=???

?，

∴ ()P

n X Y XY n ??→→∞。

（11）对任给0δ>，取0M >及N ，使当n N >时如下五式同时成立：

11||28P X M δ??≥

?≥

?， {}1||4P Y M δ≥<，

1||(2)4n P Y Y M εδ??-≥

||(2)4n P X X M εδ??-≥

?。则当n N >时有

{}11||||,||||,||22n n n P X M P X M X M P X X M M ????

≥=≥≥+<≥????????

111||||,||222n P X M P X M X X M ???

?≤≥+<-≥???????

?111884δδδ<+=。

从而

{||}n n P X Y XY ε-≥{||}n n n n P X Y X Y X Y XY ε=-+-≥

11||||||||22n n n P X Y Y P Y X X εε???

?≤-≥+-≥???????

1{||}||,||||2n n n n P X M P X M X Y Y ε?

?≤≥+<-≥??

?1{||}||,||||2n P Y M P Y M Y X X ε?

?+≥+<-≥???

{||}||(2)n n P X M P Y Y M ε??

≤≥+-≥??

{||}||4(2)4n P Y M P X X M εδ??+≥+-≥

δ=,

∴ ()P

n n X Y XY n ??→→∞。

27、证法一：对任给0δ>，取0M >及1N ，使当1n N >时有

{||},

{||}33

n P X M P X Y M δδ≥<-≥<。

()g x 在[2,2]M M -上一致连续，则对任给0ε>，存在10ε>，使当12,[2,2]

x x M M ∈-且121||x x ε-<时有 12|()()|g x g x ε-<。再取1N N ≥，使当n N >时有 {}11

||3

n P X X εδ-≥<

。由于 {}{}{}||2{||2}||||,||2n n X M X M X M X M X M ≥≥?≥≤≥

{}{||}||n X M X X M ?>-≥ ，

{}{}1||2,

||2,|()()|||n n n X M X M g X g X X X εε≤≤-≥?-≥，

所以当n N >时有

{}|()()|n P g X g X ε-≥

{}{}{}||2||2||2,||2,|()()|n n n P X M X M P X M X M g X g X ε≤≥≥+<≥-≥ {}{}{}1||||||n n P X M P X X M P X X ε≤≥+-≥+-≥

111

333

δδδδ≤++=， ∴ ()(),()P

n g X g X n ??→→∞。

证法二：()1P Ω=是有限测度，在实变函数论中曾得到，这时P

n X X ??→的充要条件是，

19 对{}n X 的任一子序列{}k n X ，都能找到其的一子序列{}k

n X 几乎处处收敛于X 。（上题也可以用

此定理证）对序列{()}n g X 的任一子序列{()}k n g X 。因为P

n X X ??→，由充要条件得，对{}k n X 可找到其一子序列{}k

n X ，使k v

a s n X X ????→。由于g 是1

R 的连续函数，由此得

{}()k v

a s n g X g X ????→。再由充要条件得()()P

n g X g X ??→。

28、证：由序列的单调下降性可得，当n →∞时的极限存在，且 {l i m }{}n k n X X εε→∞

由0P k X ??→得 1{lim }lim {}1n k n k P X P X εε→∞

→∞

≥<≥<=，

再由0n X >及ε的任意性得

lim {0}1n n P X →∞

>=，即0a s n X ??

??→。

29、解：设事件12,,,n B B B 互不相容，()0(1,2,,)i P B i n >= ，而且

i i B ==Ω ，由全概率公式得

()1

(){}{}{}()n

i i i i i i F x P x P x B P B F x B P B ξξ===<=<=∑∑。

所以有 ()1

()()n

i i i E xd F x E B P B ξξ∞-∞

=∑?

。

此式称为全数学期望公式。由此并利用独立性得

()11()exp {}it k n k f t E e E it X n P n μη

ημμ∞

==????

====?? ???????

∑∑

1111exp ()X k

n n k n n n k n k E it X p f t p ∞

∞

====????

== ? ?????∑∑∑∏。

30、证：因为()f t 是非负定的，故对任何实数12,,,n t t t ，复数12,,,n λλλ ，恒有

()0n n

j k j k j f t

t λλ==-≥∑∑。

（1）令111,0,1n t λ===。由非负定性条件得

()(0)0n n

j k j k j f t

t f λλ==-=≥∑∑。

（2）令122,0,n t t t ===得

0()n n

k j k j k j f t t λλ==≤-∑∑11122122(00)(0)(0)()f f t f t f t t λλλλλλλλ=-+-+-+-

()22121212(0)||||()()f f t f t λλλλλλ=++-+

所以1212()()f t f t λλλλ-+应该是实数。设

112212(),(),f t i f t i i αβαβλλδ-=+=+=?+，12i λλδ=?-，

代入上式并设虚部为0得

1212()()0ααδββγ-++=。

由,γδ的任意性得 12120,0ααββ-=+=，即()()f t f t -=。

（3）在（2）中令12(),

|()|f t f t λλ==-，得

2222(0)|()||()||()||()||()|0f f t f t f t f t f t --≥，

若|()|0f t ≠，则得(0)|()|f f t ≥；若|()|0f t =，则由（1）中结果得(0)|()|f f t ≥。

31、证：即要证，若n μ是次贝努里试验中事件出现和次数，01p <<，则对任意有限区间[,]a b ，当n →∞

时一致地有()b n a

np P a b x dx npq μ???-??≤<→??????

?，其中4121()2x x e

?π-=。因为n μ服从二项分布(;,)b k n p ，所以它的特征函数为()()it n n f t q pe =+，而n np

npq

μ-的特征函数

为

()exp exp exp exp n n

n it npit pit qit g t q p q p p npq npq npq npq ??????????

??=+-=+-+???? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????

按台劳公式展开z

()2

2112!

z e z z o z =++

+，则得

22exp 2qit pq qt t p p it o n n n npq ????=+-+ ? ? ????? 2

2exp 2pit pq pt t q q it o n n n npq ????-=--+ ? ? ????

? 代入()n g t 得

()1()2n

x n t t g t o e n n

n -??

??=-+→→∞?? ?????。

而41

x e -是标准正态分布(0,1)N 的特征函数，由逆极限定理即可得要证的结论。

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

第5章极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2 k k P X =±= ；（2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；（3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章随机事件及其概率一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则（） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件